Phn I: LY THA, HM S M, HM S LễGARIT
I.Ly tha:
1. nh ngha:
= ƠĂ
123
*
. ... ( , )
n
n thửứa soỏ
a a a a a n

1
a a a = Ă
,
0
1 0a a=

{ }
1
( , 1, / 0 )
n
n
a n Z n a R
a
+
=

( )
0; ,
m
n

m
n
a a a m n N
= >

( )
1 1
0; ,
m
n
m
n
m
n
a a m n N
a
a

= = >

2k
x

xỏc nh khi
0x
(k
Ơ
)
2 1k
x

+
ã
xỏc nh x
Ă
(k
Ơ
)
2. Cỏc tớnh cht : Tt c cỏc loi ly tha u cú tớnh cht tng t sau õy(Ch khỏc iu kin):
Cho
0; 0a b> >
v
, .m n

Ă
Ta cú:
.
m n m n
a a a
+
=

.
( ) ( )
m n n m m n
a a a = =
m
m n
n
a
a

a

=

( . ) .
n n n
a b a b =

n
n
n
a a
b
b

=
ữ

II.Hm s ly tha:
o hm ca hm s ly tha:
( )
/
1
. ( 0, )x x x



= >
Ă
;

( )
/
1 /
. . ( 0, )u u u u



= >
Ă
III. Lụgarit:
( )
log 0; 1; 0
dn
a
b a b a a b


= = > >

Cỏc tớnh cht : Vi
1 2
0; 1; 0; 0; 0; 0; 1a a b b b c c
> > > > >
. Ta cú cỏc tớnh cht:

log 1 0
a
=

log 1

a
a
=

log
b
a
a b =

log
a
a


=

1 2 1 2
log ( . ) log log
a a a
b b b b
= +

1
1 2
2
log ( ) log log
a a a
b
b b
b

=

log .log
a a
b b


=

1
log log
n
a a
b b
n
=
c bit :
2
log 2.log
a a
N N
=

log log .log
c c a
b a b
=

log
log

log
c
a
c
b
b
a
=

( )
1
log 1
log
a
b
b b
a
=

( )
1
log log 0
k a
a
N N
k

=
Cụng thc c bit:
a

b
c
c
b
a
loglog
=

IV. Hm s m: Cú dng :
x
y a=
( a > 0 , a

1 ).
Tp xỏc nh :
.D
=
Ă
Tp giỏ tr :
( )
0
x
T a x R
+
= > Ă tức là:

Tớnh n iu:
+ a > 1 :
x
y a=

ng bin trờn
Ă
.
+ 0 < a < 1 :
x
y a=
nghch bin trờn
Ă
.
th hm s m
x
y a=
:
17
a > 1
0 < a < 1


 Đạo hàm hàm số mũ:

( )
'
x x
e e
• =

( )
' '
u u
e u e

• =

( )
/
ln
x x
a a a
• =
(a > 0, a ≠ 1)
( )
' '. ln
u u
a u a a
• =
V. Hàm số lôgarít: Dạng
log
a
y x
=
( a > 0 , a
≠
1)
 Tập xác định :
= +∞
D (0; )
 Tập giá trị:
=
¡T .
 Tính đơn điệu:
+ a > 1 :

log
a
y x
=
đồng biến trên
+∞(0; )
(Tức là:
1 2 1 2
log log
a a
x x x x
< ⇔ <
)
+ 0 < a < 1 :
log
a
y x
=
nghịch biến trên
+∞(0; )

(Tức là:
1 2 1 2
log log
a a
x x x x
< ⇔ >
)
 Đồ thị của hàm số lôgarít:
a > 1

0 < a < 1


 Đạo hàm hàm số lôgarit:

( )
1
log '
ln
a
x
x a
• =

( )
'
log '
ln
a
u
u
u a
• =

( )
1
ln 'x
x
• =


( )
'
ln '
u
u
u
• =
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN (Xem thêm).
Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức:
Hướng giải: Sử dụng các công thức đã biết, rút gọn các biểu thức.
Ví dụ 1: Tính
25
log 15
theo a khi biết
3
log 15 a=
.
Phân tích: Tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận  Biểu diễn
25
log 15
và
3
log 15
qua
3
log 5
.
Ta có:
( ) ( )
2

25 5 5 5
5
1 1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1
2 2
= = + = +

3 3 3 3 3 5
1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 log 3
1
a
a
= = + = + = =Þ
-
Vậy:
( )
25 5
1 1 1
log 15 log 3 1 1
2 2 1 2( 1)
a
a a
æ ö
÷
ç
= + = + =
÷
ç
÷

ç
è ø
- -
.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
1 1 1 1
1 -1
1 1 1 1
1
( ax )( )
4
a x a x
C xa
a x a x
− − − −
−
− − − −
− +
= − +
+ −
Phân tích:  Nên rút gọn các biểu thức nhỏ.(Cũng có thể giải theo hướng qui đồng hai phân thức trong
ngoặc phía sau).
Giải:
18
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1

4 4
1 1 ( ) ( ) 1 2( )
( )( ) ( )
4 4 4 2
x a x a
x a x a
a x a x ax ax
C
x a x a
a x ax
a x a x ax ax
x a x a x a x a x a x a x a x a
ax x a x a ax x a ax ax
− +
   
− +
 ÷  ÷
−
 
= − + = +
 ÷  ÷
 ÷
+ −
 
 ÷  ÷
+ −
   
− − + − − + + + +
= + = = =
+ − −

Dạng 2: So sánh hai số dưới dạng lũy thừa, lôgarit:
Hướng giải:
Sử dụng tính chất của hàm số mũ (lôgarit) có cơ số a:
1a
>
: hàm số đồng biến,
0 1a
< <
hàm số nghịch
biến trên tập xác định.
Nếu cùng cơ số: Ta so sánh trực tiếp dựa vào cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1.
Nếu khác cơ số, ta so sánh thông qua một số thứ ba.
Ví dụ: a. So sánh các cặp số
0,2
3
π
 
 ÷
 
và
0,3
4
π
 
 ÷
 
b. So sánh các cặp số:
0,1
log 2
và

0,1
log 5
a.Vì
1
3
π
>
nên hàm số
3
x
y
π
 
=
 ÷
 
là hàm số đồng biến. Do đó:
0,2 0
3 3
π π
   
>
 ÷  ÷
   
hay
0,2
1
3
π
 

>
 ÷
 
.
Ta cũng có:
0 1
4
π
< <
nên hàm số
4
x
y
π
 
=
 ÷
 
là hàm số nghịch biến. Do đó:
0,3 0
4 4
π π
   
<
 ÷  ÷
   
hay
0,3
1.
4

π
 
<
 ÷
 
Từ đó ta rút ra:
0,2 0,3
.
3 4
π π
   
>
 ÷  ÷
   
b. Ta có:
0,1 0,1
0 0,1 1
log 2 log 5
2 5
< <

⇒ >

<

Dạng 3: Đạo hàm hàm số mũ, lôgarit:
Hướng giải: Sử dụng các công thức đạo hàm đã nêu ở trên.
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số: a.
(cos 2)
x

y e x
= −
b.
ln 1
ln 1
x
y
x
−
=
+
Giải:
a.
( )
( )
1 cos 1
' '(cos 2) . cos 2 ' (cos 2) sin sin
2 2
x x x x x
x
y e x e x e x e x e x
x x x
 
= − + − = − − = − −
 ÷
 
.
b.
( ) ( ) ( ) ( )
( )

( )
( ) ( )
2 2 2
1 1
ln 1 (ln 1)
ln 1 ' ln 1 ln 1 ln 1 '
ln 1 2
' ' .
ln 1
ln 1 ln 1 ln 1
x x
x x x x
x
x x
y
x
x x x x
+ − −
− + − − +
−
 
= = = =
 ÷
+
 
+ + +
BÀI TẬP: Tính đạo hàm của các hàm số:
1) y = x.e
x
2) y = x

7
.e
x
3) y = (x – 3)e
x
4) y = e
x
.sin3x
5) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
6) y = sin(e
x
) 7) y = cos(
2
2 1x x
e
+
) 8) y = 4
4x – 1
9) y = x.lnx 10) y = x
2
lnx -
2
2
x
11) ln(
2
1x x+ +

) 12) y = log
3
(x
2
- 1)
13) y = ln
2
(2x – 1) 14) y = x.sinx.lnx 15) y = lnx.lgx – lna.log
a
(x
2
+ 2x + 3)
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Chú ý: Trước khi giải một phương trình, bất phương trình; cần chú ý đặt điều kiện cho phương trình, bất
phương trình (nếu có).
Phương trình mũ:
19
Cách giải tổng quát : Biến đổi phương trình để đưa các hàm số có mặt trong phương trình về cùng một
cơ số.
Một số phương pháp thường sử dụng:
I. Phương trình mũ cơ bản:
( )f x
a m
=
Điều kiện:
0 1a
< ≠
Trường hợp 1:
0m
≤

: Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2:
0m
>
: Nên suy nghĩ theo hai hướng ( Có thể luôn thực hiện theo hướng thứ hai):
 Nếu m = a
n
thì ta có:
( )
( )
( )
f x
n
f x
a a f x n
a m
= ⇔ =
= ⇔
 Nếu
n
m a
≠
thì ta có:
( )
( )
log
f x
a
a m f x m
= ⇔ =

Ví dụ: Giải phương trình:
a.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x
+ −
+ − =
b.
1
3 .2 72
x x+
=
Nhận xét: Trong hai phương trình, không có phương trình nào cần đặt điều kiện.
Phân tích câu a)  Có thể biến đổi các biểu thức vế trái để cùng có chung nhân tử
5
x
 Đặt nhân tử
chung, rút gọn Đưa về dạng cơ bản.
1 1
3 3 52
5 6.5 3.5 52 5.5 6.5 .5 52 5 (5 6 ) 52 .5 52 5 5 1.
5 5 5
x x x x x x x x x
x
+ −
+ − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =a.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b. Phân tích: có thể biến đổi vế trái:
1
3 .2

x x+
để đưa các lũy thừa về cùng số mũ x  đưa về dạng cơ bản.
1 2
3 .2 72 3 .2 .2 72 2.6 72 6 36 6 6 2.
x x x x x x x
x
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
II. Đưa về cùng cơ số:
Hướng giải:
- Biến đổi các hàm số có mặt trong phương trình về cùng cơ số, sau đó rút gọn, đưa về dạng cơ bản
hoặc về dạng:
( ) ( )
( ) ( ). (
f x g x
a a f x g x
= ⇔ = < ≠
Vôùi 0 a 1).
(Thường gặp)
- Nếu cơ số a thay đổi thì:
[ ]



=−−
>
⇔=
0)()()1(
0
)()(

xgxfa
a
aa
xgxf
(Ít gặp).
Ví dụ: Giải phương trình:
2
2 4
3 5
1
9
3
x
x x
− +
+ −
 
=
 ÷
 
Nhận xét: Hai vế của phương trình có thể biến đổi để đưa về cùng cơ số 3.
( ) ( )
2
2 2
2 4
2 4 3 5
3 5 1 2 2 4 2 6 10 2
2
1
9 3 3 3 3 2 4 2 6 10

3
1
2 4 6 0
3
x
x x x
x x x x x
x x x
x
x x
x
− +
− + + −
+ − − − + −
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + −
 ÷
 
=

⇔ + − = ⇔

= −

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1; x = -3.
BÀI TẬP: Giải các phương trình sau:
a)
4
3
2 4

x
−
=
b)
2
5
6
2
2 16 2
x x
− −
=
c)
2
2 3 3 5
3 9
x x x
− + −
=
d)
2
8 1 3
2 4
x x x
− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1

= 110 f)
5 17
7 3
1
32 128
4
x x
x x
+ +
− −
=
g) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
h) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+


III. Đặt ẩn số phụ:
Hướng giải: Thường biến đổi để phương trình chỉ còn một hàm số mũ duy nhất (nhưng không thể biến
đổi gọn hơn để đưa về các dạng cơ bản đã biết ở trên) và đặt nó làm ẩn phụ để đưa việc giải phương
trình đã cho về giải phương trình đại số. (Chú ý chỉ lấy nghiệm dương đối với ẩn số phụ).
Một số dạng thường gặp:
Loại 1: Phương trình có dạng
kf(x) (k-1)f(x) f(x)
k k-1 1 0
b a + b a + ...+ b a + b = 0
20
Khi đó ta đặt: t = a
f(x)
điều kiện: t > 0 . Ta được một phương trình đại số ẩn t, giải pt đại số này ta
biết được nghiệm của phương trình ẩn t.
Nếu có nghiệm t thì cần xét xem có thỏa điều kiện t > 0 hay không. Nếu thỏa điều kiện thì giải phương
trình
( )f x
t a
=
để tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ:
1 1 1 2 1
4 6.2 8 0 (2 ) 6.2 8 0
x x x x
+ + + +
− + = ⇔ − + =

Đặt t =
1

2
x
+
. Điều kiện t > 0. Ta có
2
2
6 8 0
4
t
t t
t
=

− + = ⇔

=

 Với t = 2 ta có
1
2
x
+
=2
0x
⇔ =
 Với t = 4 ta có
1
2
x+
= 4

1x
⇔ =
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
0x
=
và
1.x
=
BÀI TẬP: Giải phương trình.
1) 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0 2) 4
x+1
– 6. 2
x+1
+ 8 = 0 3) 3
4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27
4)
16 17.4 16 0
x x
− + =
6)
1
49 7 8 0

x x+
+ − =
8)
( ) ( )
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
9) 4
cos2x
+
x
2
cos
4
= 3
Loại 2: Phương trình đưa được về dạng:
f(x)
2
1 3
f(x)
α
α a + + α = 0
a
Hướng giải: Đặt
( )f x
t a
=
.
Ví dụ 1: Giải phương trình
1 3

5 125
5 5 26 26 0
5 5
x
x x
x
− −
+ = ⇔ + − =

Đặt
5 ; 0
x
t t
= >
Ta được phương trình:
2
125 ( )
125
26 0 26 125 0
5 ( )
5 5
t
t t
t
t
t
=

+ − = ⇔ − + = ⇔


=

nhaän
nhaän
 Với t =125 ta có
5 125 3
x
x= ⇔ =
.
 Với t = 5 ta có
5 5 1.
x
x
= ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 và x = 3.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( 7 48 ) ( 7 48 ) 14
x x
− + + =
(1)
Ta có
( 7 48 ) ( 7 48 ) 1
x x
− + =
. Đặt
1
( 7 48 ) ;( 0) ( 7 48 )
x x
t t
t

= + > ⇒ − =

(1) Trở thành:
2
7 48
1
14 14 1 0
7 48
t
t t t
t
t

= −
+ = ⇔ − + = ⇔

= +


 Vớt
7 48t
= −
ta có:
( 7 48 ) 7 48 2
x
x
+ = − ⇔ = −
.
 Vớt
7 48t

= +
ta có:
( 7 48 ) 7 48 2
x
x
+ = + ⇔ =
.
Lưu ý: Một số những cặp số là nghịch đảo của nhau. Ví dụ:
,... 83 ; 32 ; 12
±±±

BÀI TẬP: Giải phương trình.
1)
( ) ( )
23232
=−++
xx
2)
14487487
=






++







−
xx
Loại 3: Phương trình có dạng:
2f(x) f(x) 2f(x)
1 2 3
α a + α (ab) + α b = 0
Hướng giải: Chia cả hai vế cho
2 ( )f x
b

ta được phương trình
1
α
)(2 xf
b
a






+
2
α
)(xf
b

a






+
3
α
= 0
Ta đặt: t =
)(xf
b
a






điều kiện: t > 0, giải phương trình ẩn t, sau đó tìm nghiệm x.
Chú ý: Cũng có thể chia hai vế phương trình cho:
( )
( )
f x
ab
hoặc:
2 ( )f x
a

.
Ví dụ: Giải phương trình
9 6 2.4
x x x
+ =
.
21