Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội

CÔNG THỨC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM MIN – MAX
TRONG SỐ PHỨC
Bài toán 1 : Tìm max, min của z thỏa mãn z  x  yi  k . Khi đó k  x 2  y 2  z  k  x 2  y 2

Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của z , biết rằng số phức z thảo mãn điều kiện z  1  i  1.
A:

2 1

B :  2 1

C : 2 1
Hướng dẫn giải

D : 32 2

Đáp án C
Khi đó từ z  1  i  1 có : x  1, y  1, k  1
Áp dụng công thức k  x 2  y 2  z  z  1  12  12  2  1
Vậy giá trị nhỏ nhất của số phức là :

2 1

Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của lần lượt của z .
A : 2 2  1,2 2  1

B:

2  1, 2  1

C : 2, 1

D : 2 3  1,2 3  1

Bài 3 : Tìm số phức z sao cho z  3  4i  5 , gọi zo là số phức có modun lớn nhất. Tổng phần thực và phần ảo
của zo bằng .
A:9

B : -1

C : -2

D:2

Bài 4 : Tìm số phức z sao cho z  3i  1 đạt giá trị nhỏ nhất.
A : z  1  3i

B : z  1  3i

C : z  3i

D : z  3  i

Bài 5 : Trong các số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 5 , gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của z . Tính M +
m bằng.
A: 2 5

B: 3 5


1 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

C: 4 5

0961219094

D:

5

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN


Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội

Đáp án
Bài 2 : A

Bài 3 : C

Bài 4 : B

Bài : 5 B

Bài toán 2 : Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z2  a(a  0) . Tìm max – min của w  z  z3 trong đó
z1; z2 ; z3 là các số phức cho trước.

Khi đó :

z2

z
a
a
 z3 
 w  2  z3 
z1
z1
z1
z1

Lưu ý : nhiều khi đề bài yêu cầu tìm min – max của z nghĩa là z3  0

3  3 2i

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn

1  2 2i

z  1  2i  3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M.m bằng.
A : 25

B : 20

C : 24
Hướng dẫn giải

D : 30


Chọn C
Áp dụng công thức trên với z1 

3  3 2i
1  2 2i

, z2  1  2i, z3  3  3i, a  3 ta được : Max = 6 ; Min = 4

Khi đó : M.m = 24
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của z , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện
A:1

B:2

Bài 3 : Cho số phức z thỏa mãn

C:3

2  3i
z 1  1.
3  2i
D:4

1 i
z  2  1 , đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số
1 i

phức z . Khi đó m  iM bằng .
A : 10


B : 2 10

C : 3 10

D :  10

Bài 4 : Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  2i  2 , số phức z có modun nhỏ nhất là.
2 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

0961219094

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN


Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội
A : z  2

C : z  2

3
13
3
13



78  9 13
i
26


B : z  2  2i



78  9 13
i
26

D : z  2  2i

4  2i
z 1  1.
1 i

Bài 5 : Tìm GTNN của z biết z thỏa mãn
A:1

B:2

C:0

D:3

Bài 6 : Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  1  7i  2 . Tìm max z .
A:4

B:3

C:7


D:6

Đáp án
Bài 2 : B

Bài 3 : A

Bài 4 : D

Bài 5 : C

Bài 6 : D

 z1  a  bi

Bài toán 3 : Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z2  z1.z  z2  K với  z2  c  di . Tìm giá trị lớn nhất và giá
 z  x  yi
 3

trị nhỏ nhất của z . Khi đó :



k 2  4 c2  d 2



4 a b
2


2



z

k
2 z1

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 , gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
số phức z . Khi đó M.m bằng.
A: 4 3

B: 2 3

C:

3

D: 3 3

Hướng dẫn giải
Chọn B
Áp dụng công thức trên với : z1  1, z2  1, k  4  m  min  3;M  max  2  M.m  2 3

3 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

0961219094

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN



Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội
Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn iz 

2
2
 iz 
 4 , gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
1 i
1 i

nhất của số phức z . Khi đó M.m bằng.
A:

2

B: 2 2

C: 3 2

D: 4 2

Bài 3 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  4  z  4  10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z . Tìm v   m  4i    2  Mi  .
A : 2 26

B:

26


C : 3 26

D : 4 26

Bài 4 : Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Giá trị nhỏ nhất của z là.
A:3

B:4

C:5

D:6

Bài 5 : Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z  2  z  2  4 2 . Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M và m là điểm
biểu diễn của z và z . Tính giá trị lớn nhất của diện tich tam giác OMN.
A: 4 2

B: 2 2

C: 3 2

D:

2

Đáp án
Bài 2 : B

Bài 3 : B


Bài toán 4 : Cho số phức z thỏa mãn z 
Khi đó :

k 2  4 zo  k
2

z

Bài 4 : B

Bài 5 : D

zo
 k . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z .
z

k 2  4 zo  k

2
4i
Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z 
 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z .
z
Tính M + m bằng.
A: 2 3

B: 2 5

C : 5 1

Hướng dẫn giải

D:

5 1

Chọn B
Áp dụng công thức ta có : zo  4i, k  2  1  5  z  1  5  M  m  2 5
4 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

0961219094

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN


Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội
Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn 1  i  .z2  1  2i  2 z . Tìm GTLN, GTNN của T  z bằng.
A:

5,  5

B : 10,  10

C : 1  2 10 ,  1  2 10

D : 1  1  2 10 , 1  1  2 10

Chọn D

x 2 y2

 1.
a2 b2
Cho số phức z thỏa mãn z  c  z  c  2a . Tìm GTLN, GTNN của P  z  zo .
Bài toán 5 : Phương trình  E  :

Hướng dẫn giải
2

2

2

Tính b  a  c .
Lập phương trình chính tắc của Elip :  E  :
Rút y theo x dạng y  

x 2 y2
  1 với z  c  z  c  2a
a2 b2

b 2
a  x2 .
a
2

 b 2

Thay vào P ta được : P   x  xo    
a  x 2  yo  , x  a; a  , zo  xo  yot
 a


Dùng chức năng TABLE của máy tính tìm GTLN và GTNN của hàm P 2  P
2

2

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  6 . Tìm GTLN, GTNN của P  z  1  3i .
Hướng dẫn giải
Ta có : a  3, c  2  b2  5
Phương trình chính tắc của Elip :

x 2 y2
5
 1 y  
9  x2
9 5
3
2



5
9  x2   f  x 
Vậy P   x  1   
 3



2


2

Bấm TABLE của hàm số f  x  với x   3;3 được GTLN, GTNN của P 2  P .





Bài toán 6 : Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2  2a, 2a  z1  z2 . Tìm GTLN, GTNN của
P  z  zo với đặc điểm nhận dạng zo 

5 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

z1  z2
.
2
Hướng dẫn giải
0961219094

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN


Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội
Tính 2c  z1  z2  c 

z1  z2
2

Tính b2  a2  c2  b  a2  c2  MaxP  a; MinP  b
Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  z  2  i  8 . Tìm GTLN, GTNN của P  2z  1  2i

Hướng dẫn giải
Ta có : P  2z  1  2i 

P
1
1
 z   i . Đặt A  z   i
2
2
2

1
Ta thấy z1  1  3i, z2  2  i  zo    i
2

5
39
Tính c  , a  4  b 
.
2
2
Vậy MaxA  4, MinA 

39
 MaxP  8, MinP  39 .
2

Bài toán 7 : Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 . Tìm Min T  z  zo
Hướng dẫn giải
Ý nghĩa hình học : Điều kiện z  z1  z  z2 thực chất là phương trình đường thẳng.

M

H

d

I

Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn của z , A là điểm biểu diễn của z1 và B là điểm biểu diễn của z2 thì giả
thiết tương đương với MA = MB hay M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Gọi I là điểm
biểu diễn của zo thì T  IM
Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d. Giá trị nhỏ nhất của T  d  I , d 
6 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

0961219094

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN


Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội
-

Lưu ý : Không phải phương trình nào cũng có dạng z  z1  z  z2 cho nên khi gặp giả thiết lạ,
cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường tròn hay đường thẳng ta nên gọi z  x  yi rồi thay
vào phương trình.

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  2i . Tìm GTNN của z

A:1


B:2

2

C:

1

D:

2

Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi z  x  yi thì M  x; y  là điểm biểu diễn của z . Từ giả thiết ta có : z  1  i  z  2i  x  y  1  0  d 
Vậy M di chuyển trên  d  ta có : z  OM  d O, d  

0  0 1

1   1
2



2



1
2




Bài 2 : Cho số phức z có z thỏa mãn  z  3  i  z  1  3i là một số thực.
Tìm giá trị nhỏ nhất của T  z  1  i
A:1

B:

2

C: 3 2

D: 2 2

Bài 3 : Tìm số phức z có z nhỏ nhất, biết rằng số phức z thỏa mãn z  2  i  z .

3 3
A: z  i
5 10

3 3
B: z  i
5 10

C: z

3 3
 i
5 10


D: z

3 3
 i
5 10

Bài 4 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện v   z  i  2  i  là một số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z  2  3i .

A:

8 5
5

B:

85
5

C:

64
5

D:

17
5


Bài 5 : Trong các số phức thỏa mãn z  z  3  4i , số phức có modun nhỏ nhất là :
7 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

0961219094

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN


Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội
B : z  3  4i

A : z  3  4i

C : z  3 / 2  2i

D : z  3 / 2  2i

Bài 6 : Trong các số phức sau thì số nào thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức có modun bé nhất
là.
A : z  2i

B : z  3i

D : z  1  3i

C : z  2  2i

Bài 7 : Cho các số phức z,w thỏa mãn z  3  2i  z  3i ,w  1  i  z  3 . Giá trị nhỏ nhất của w là.
A:


1
5

B:

6
5

C:

5
5

D:

30
5

Đáp án
Bài 2 : C

Bài 3 : A

Bài 4 : A

Bài 5 : D

Bài 6 : C


Bài 7 : C

Bài toán 8 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z1'  R, z2  z2'  z2  z3' trong đó z1' , z2' , z3' cho trước . Tìm
GTNN của T  z1  z2
Phương pháp
Ý nghĩa hình học : Gọi M, N là các điểm biểu diễn
của z1 , z2 . Giả thiết z1  z1'  R tương đương với M

(C )

M

thuộc đường tròn tâm I bán kính R . Giả thiết
z2  z2'  z2  z3' tương đương với N thuộc đường
tròn ( C ) và N thuộc (d) sao cho MN ngắn nhất.
Từ hình vẽ ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của MN
bằng min T  d I ,  d   R





N
Min

d

Bài 1 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5 và z2  1  3i  z2  3  6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
T  z1  z2


A:5

B:

5

C : 5/ 2

D: 2 5

Hướng dẫn giải
8 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

0961219094

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN


Sưu tầm và biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ 1 – Đống Đa – Hà Nội
Chọn C
Gọi M, N là các điểm biếu diễn z1 , z2 . Giả thiết z1  5  5 tương đương với M thuộc đường tròn tâm

I  5;0  , R  5
Giả thiết z2  1  3i  z2  3  6i tương đương với điểm N thuộc đường thẳng d : 8x  6y  35  0





Vậy min MN  d I,  d   R 


15
5
5  .
2
2

Bài 2 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  4  3i  2 và z2  2  3i  z2  1  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
T  z1  z2 .

A:

23 34
2
34

B : -1

34

C:

D:

34  2

Đáp án A
Bài toán 9 : Cho số phức z thỏa mãn z  zo  R . Tìm GTLN của P  a z  z1  b z  z2 biết rằng
zo  z1  k  zo  z2  , k  0, a, b  




 2 b2 
2
Áp dụng công thức : P   a   1  k  R 2  k zo  z2
k 

2



Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Tìm GTLN của T  z  1  z  2  i
A:4

B:3

C:2

D:1

Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng công thức với zo  1, z1  i, z2  2  i, k  1, R  2  T  4  MaxT  4
Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm Max của T  z  z  3  6i .
A:

7

B: 3 7


9 | GV : TRỊNH QUANG THIỆN

C: 2 7

0961219094

D: 7 7

PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN