PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

Họ và tên: …………………………..…...
Lớp 9… Trường THCS : ……………….
Người coi: ……………………

Câu

Người chấm: …………………

Điểm

BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ II
Môn: Toán - Lớp 9 - Năm học 2018 - 2019
(Thời gian: 90 phút )
Trắc
nghiệm

1

Tự luận
2
3 4

Tổng điểm
5

Nhận xét: ………………………………..……………………………….
……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..

I.

PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm)
Chọn đáp án đúng trong các câu sau đây và ghi vào bài làm:
 x + ay = 1
Tìm giá trị của a, b để hệ phương trình có
bx − y = −a

Câu 1. Cho hệ phương trình 
nghiệm là (2; 1).
A. a = 1; b = −1

B. a = −1; b = −1

C. a = 1; b = 1

D. a = −1; b = 1

ax + y = 1

Câu 2. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình  x + y = a có vô số nghiệm ?

A. a = 1

B. a = -1

C. a = 1 hoặc a = -1

D. a = 2


Câu 3. Tổng bình phương hai nghiệm của phương trình: x 4 − 5x 2 − 6 = 0 là:

A. −5
B. 12
C. 6
D. 5
2
Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , số giao điểm của parabol y = x và đường
thẳng y = x + 3 là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
Câu 5. Phương trình bậc hai x + 6x – m = 0 có nghiệm khi :
A. m ≤ – 9
B. m ≥ – 9
C. m ≤ 6
D. m ≥ – 6
Câu 6. Cho u + v = – 2 và u.v = – 15. Vậy u và v là hai nghiệm của phương trình:
A. x 2 − 2 x − 15 = 0
B. x 2 − 2 x + 15 = 0 C. x 2 + 2 x − 15 = 0 D. x 2 + 2 x + 15 = 0
Câu 7. Hàm số y = (m − 1) x 2 nghịch biến khi x<0 nếu :
A.m<1
B.m>1
C. m ≠ 1
D. m ≥ 1
2
2
Câu 8. Phương trình x + 6x + m = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Tính x1 + x22 theo m,

ta có kết quả là:
A. 36 + 2m
B. 6 – 2m
C. 36 – 2m
D. – 6 +m
Câu 9. Diện tích vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (O; 4cm) và (O; 3cm) là:
A. 25 cm2

C. 7π cm2

B. 7 cm2

D. 25 π cm2

Câu 10. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có ·
. Vậy số đo ·
là :
DAB = 1200
BCD

A. 1200

B.600

C.900

D. 180


Câu 11. Diện tích hình tròn nội tiếp tam giác đều cạnh bằng 6cm là:

A.12π cm2
B. 2 3π cm2
C. 3π cm2
D. 6π cm2
Câu 12. Cho đường tròn (O;5cm) và điểm M nằm bên trong đường tròn sao cho
OM = 3cm . Độ dài dây cung ngắn nhất của đường tròn (O) đi qua điểm M là:
A. 3cm
B. 10cm
C. 8cm
D. 4cm
II. PHẦN TỰ LUẬN: (7,0 điểm)
Câu 1. (1,25 điểm)
Cho biểu thức A =

 x
2
:
+
x −2  x−4

1 
÷ với x ≥ 0; x ≠ 4.
x −2

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng tỏ rằng A ≤ 2.
Câu 2. (1,25 điểm).
Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn

x1 − 2 x2 = 3.

Câu 3. (1,0 điểm).
 2 x + 3 y = 5 xy

Giải hệ phương trình  5 − 1 = 4.
x y


Câu 4. (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB ≠ AC ) có đường cao AH và I là trung
điểm của BC. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M và N
(M và N khác A).
a) Chứng minh AB. AM = AC. AN .
b) Chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi D là giao điểm của AI và MN. Chứng minh

1
1
1
=
+
.
AD HB HC

Câu 5. (0,5 điểm).
5
Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y + xy = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4


A = x2 + y 2 .


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HD CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2018-2019
Môn: Toán - Lớp 9
I. TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,25 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án
D
A
B
C
B
C
B
C
C
B


11
C

12
C

II. PHẦN TỰ LUẬN: (7,0 điểm)
Câu
 x
2
:
+
x −2  x−4

Cho biểu thức A =

Nội dung
1 
÷ với x ≥ 0; x ≠ 4.
x −2

Điểm

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng tỏ rằng A ≤ 2.

a)
A=
=

Câu 1
(1,25
đ)

Với x ≥ 0; x ≠ 4. Biến đổi biểu thức A ta được

 x
2
1 
2
x
:
+
:
+
÷=
x −2  x−4
x −2
x −2  x +2
x −2


(

2
:
x −2

)(
( x + 2) (

.

=

2
x −2

=

x +2
.
x +1

(

x + x +2

x +2

x −2
x −2

)

=

2
:
x −2


(

)(

)

2 x +2
x +2

)(

x −2


1 
x − 2


)

)

0,25

2 x +2
0,25

b) Theo câu a) ta có A =

x +2

với x ≥ 0; x ≠ 4.
x +1

x +2
1
=1+
x +1
x +1
1
≤ 1 ⇒ A ≤ 2.
Vì x ≥ 0; x ≠ 4 ⇒
x +1
Ta có A =

Câu 2
(1,25
đ)

0,25

Cho phương trình x − mx + m − 1 = 0 (m là tham số). (1)
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
mãn x1 − 2 x2 = 3.
(2)
a) Với m = 3 , phương trình (1) trở thành x 2 − 3x + 2 = 0
Giải phương trình ta được x = 1; x = 2.

0,25
0,25


2

0,25
0,25

b) Phương trình (1)
⇔ ( x − 1) ( x − m + 1) = 0
 x −1 = 0 ⇔ x = 1
⇔
 x − m + 1 = 0 ⇔ x = m − 1.
Với mọi m, phương trình (1) có hai nghiệm.

0,25


Trường hợp 1: x1 = 1; x2 = m − 1 . Thay vào (2) ta được
1 − 2(m − 1) = 3 ⇔ m = 0.
Trường hợp 2: x1 = m − 1; x2 = 1 . Thay vào (2) ta được
m − 1 − 2.1 = 3 ⇔ m = 6.
Kết luận: Tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn x1 − 2 x2 = 3 là m ∈ { 0;6} .

Câu 3
(1,0 đ)

0,25

0,25


 2 x + 3 y = 5 xy

(I )
Giải hệ phương trình  5 1
x − y = 4

Điều kiện xác định của hệ phương trình là x ≠ 0, y ≠ 0.

0,25

3 2
x + y =5

Khi đó hệ (I) ⇔ 
5 − 1 = 4
 x y

0,25

1
1
3a + 2b = 5
= a; = b ta được 
x
y
5a − b = 4
Giải hệ phương trình ta được a = b = 1.
Từ đó ta tìm được x = y = 1 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Đặt


Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB ≠ AC ) có đường cao AH và I là trung
(3,0 đ)
điểm của BC. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M
và N (M và N khác A).
a) Chứng minh AB. AM = AC . AN .
b) Chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.
1
1
1
=
+
.
c) Gọi D là giao điểm của AI và MN. Chứng minh
AD HB HC

0,25
0,25

B
H

M

I
O
D
A

N


C

a) Đường tròn (O), đường kính AH có ·AMH = 900 ⇒ HM ⊥ AB
Tam giác AHB vuông tại H có HM ⊥ AB ⇒ AH 2 = AB. AM
Chứng minh tương tự ta được AH 2 = AC. AN
Từ đó suy ra AB. AM = AC . AN .
AM AN
=
b) Theo câu a) ta có AB. AM = AC. AN ⇒
AC
AB
AM AN
·
=
Tam giác AMN và tam giác ACB có MAN
chung và
AC
AB
⇒ ∆AMN : ∆ACB

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


⇒ ·AMN = ·ACB
Từ đó suy ra tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.

c) Tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của BC
⇒ IA = IB = IC
·
·
⇒ ∆IAC cân tại I ⇒ IAC
= ICA
·
Theo câu b) có ·AMN = ·ACB ⇒ IAC
= ·AMN
·
·
·
Mà BAD
+ IAC
= 900 ⇒ BAD
+ ·AMN = 900 ⇒ ·ADM = 900.
AH
AI
=
.
AD AO
1
1
1
BC
=
Lại có AI = BC , AO = AH ⇒
2
2
AD AH 2

Tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC ⇒ AH 2 = BH .CH
Mà BC = BH + CH
1
BH + CH
1
1
1
⇒
=
⇒
=
+
.
AD
BH .CH
AD BH CH
5
Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y + xy = . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
2
2
biểu thức A = x + y .

0,25
0,25

0,25
0,25

Từ đó chứng minh được ∆AHI : ∆ADO ⇒


Ta có ( 2 x − 1) ≥ 0 ∀x ⇒ 4 x 2 + 1 ≥ 4 x ∀x
2

Câu 5
(0,5 đ)

Tương tự ta được 4 y 2 + 1 ≥ 4 y ∀y

(

)

0,25

(1)
(2)

2
2
Lại có ( x − y ) ≥ 0 ∀x, y ⇒ 2 x + y ≥ 4 xy ∀x, y (3)
2

0,25

0,25

Từ (1), (2) và (3) ta có
1
4 x 2 + 1 + 4 y 2 + 1 + 2 x 2 + y 2 ≥ 4 ( x + y + xy ) ⇒ x 2 + y 2 ≥ .

2
1
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y =
2
1
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 bằng ⇔ x = y = .
2
2

(

)

0,25

Chú ý:
Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng và phù hợp với chương trình thì cho điểm
tương đương.