Đề thi HSG thanh thủy 2017 2018 (10)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (157.55 KB, 5 trang )

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC: 2017 - 2018
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 05
trang.
A. Một số chú ý khi chấm bài:
Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách
khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần theo hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm:
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
Đáp án C B C A D C D

8
9 10
A,B A C

11
B

12

13
A,C A

14
C

15
B

16
C

II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1: (3 điểm)
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 2  5 y 2  4 xy  4 x  8 y  12  0
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a  b  c  2 abc  1 . Chứng minh biểu thức:
P  a(1  b)(1  c)  b(1  c)(1  a)  c(1  a)(1  b)  abc  2017 là một hằng số.

Nội dung
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 2  5 y 2  4 xy  4 x  8 y  12  0

Điểm
1,5

Ta có:
x 2  5 y 2  4 xy  4 x  8 y  12  0

0,5

� x 2  4 x ( y  1)  (5 y 2  8 y  12)  0(*)

Để PT (*) có nghiệm nguyên thì  / là số chính phương

0,25

Lại có:   4( y  1)  5(5 y  8 y  12)  16  y �16
/

2

2

2

Từ đó ta tìm được: (x,y) �  2;0  ;  6;0  ;  10; 4  ;  6; 4  
Cách khác:

0,75

x 2  5 y 2  4 xy  4 x  8 y  12  0 �  x  2 y  2   y 2  16  42  02
2

Từ đó xét các trường hợp để tìm nghiệm.

1

b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a  b  c  2 abc  1 . Chứng minh biểu thức:
P  a(1  b)(1  c)  b(1  c)(1  a)  c(1  a)(1  b)  abc  2017

Theo đề bài ra ta có: a  b  c  2 abc  1 � a  2 abc  1  b  c
Do đó:
a (1  b)(1  c )  a(1  b  c  bc)  a (a  2 abc  bc)
 (a  abc ) 2  a  abc

1,5
0,25

0,25

Tương tự:
b(1  c)(1  a)  b  abc

0,25
0,25

c (1  a)(1  b)  c  abc

Khi đó:
P  a  b  c  3 abc  abc  2017  a  b  c  2 abc  2017  1  2017  2018

Vậy P = 2018.

0,5

Câu 2 (3,5 điểm):
1
1

 x 1

2
2
�
8 x3 y 3  27  18 y 3
�
b) Giải hệ phương trình: � 2
4x y  6x  y2
�

a) Giải phương trình:

3

x

Nội dung
1
2

a) Giải phương trình: 3 x  

1
 x 1
2

1
2

Điểm
2,0

0,25

+ ĐKXĐ: x �

1
1
x
2
2
a b 1
�
a 3  (1  b)3
�
�
Ta có: �3 2 � � 3
a b 1 �
a  1  b2
�

+ Đặt a  3 x  ; b 

1

Suy ra:
(1  b)3  1  b 2 � b3  4b 2  3b  0
b0
�
�
� b(b  1)(b  3)  0 � �
b 1

�
b3
�

0,25

+ TH1: Nếu b = 0 thì a = 1 � x  
+ TH2: Nếu b = 1 thì a = 0 � x 

1
( Thỏa mãn)
2

1
( Thỏa mãn)
2

0,25
0,25
2

17
( Thỏa mãn)
2
� 1 1 17 �
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  � ; ;  �
2
�2 2

+ TH3: Nếu b = 3 thì a = -2 � x  

�
8 x3 y 3  27  18 y 3
�
b) Giải hệ phương trình: � 2
4x y  6x  y2
�

1,5

+ Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ PT đã cho.

0,25

� 3 �3 �
(2 x)  � � 18
�
�
�y �
+ Với y �0, hệ phương trình trở thành: �
3�
� 3�
2 x  � 3
�2 x. y �
y�
�
�

0,25

3

3

+ Đặt a = 2x; b = y thay vào hệ trên ta được:
3
�
ab  3
�
a 3  b 3  18
�
a  b   3ab(a  b)  18
�

��
��
�
ab  1
ab (a  b )  3 �
ab(a  b)  3
�
�

� 3 5
a
�
�
2
��

3 5
�
b
�
�
2

hoặc

� 3 5
a
�
�
2
�
3 5
�
b
�
2
�

� 3 5
� 3 5
x
x
�
�
�
�

4
4
Tư đó ta tìm được các nghiệm của hệ đã cho là: �
và �
6
�y 
�y  6
�
�
� 3 5
� 3 5

0,5

0,5

Câu 3: (4 điểm):
Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung
lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình
vuông ABDE, ACFG và hình bình hành AEKG.
a) Chứng minh rằng AK = BC và AK vuông góc với BC.
b) DC cắt BF tại M. Chứng minh rằng A, K, M thẳng hàng.
c, Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của (O,R) thì K luôn thuộc
một đường tròn cố định.

3

Nội dung

Điểm

Hình vẽ:
K

G

E
C'

B'

A

F

D
O
M
B

a) Ta có

H

C

�  EAG
�  1800 , BAC
�  EAG

�  1800 � KEA
�  BAC
� .
KEA

EK  AG  AC ; EA  AB � AEK  BAC � AK  BC.

Lại có:

Ta

1,5

có

�  ABC
� . Gọi H là giao điểm của KA và BC, ta có:
AEK  BAC � EAK
� �
�  EAK
�  900 � AH  BC . Vậy AK  BC .
BAH
ABC  BAH

�  KAG
�  900 ; BCF
� �
� �
�  BCF
� .

b) Vì KAC
ACB  900 mà KAG
ACB � KAC

1,0

�  BCF
� � KAC  BCF � CKH
�  FBC
� . Ta lại
Vì KA  BC ; AC  CF ; KAC
�  KCH
�  900 � FBC
�  KCH
�  900 � BF  KC (1) . Tương tự ta có
có CKH

KB  CD (2) . Từ (1)(2) suy ra M là trực tâm KBC , suy ra M �KH . Vậy A,
K, M thẳng hàng.
c) Dựng hình vuông BCC ' B ' trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC ,

1,5

suy ra B ' C ' cố định. Ta có AKB’B là hình bình hành (vì BB ', KA cùng vuông

4

�' KA  BAH
�

góc BC suy ra BB ' P KA ; BB '  KA  BC ). Do đó B ' K P BA � B
�
Tương tự ta có AKC ' C là hình bình hành suy ra KC ' P AC � �
AKC '  HAC
�' KC '  B
�' KA  �
�  HAC
�  BAC
� Vì khi A thay đổi trên
Suy ra B
AKC '  BAH

cung lớn BC của đường tròn (O; R ) thì K luôn nhìn đoạn B ' C ' cố định dưới
� . Do đó K thuộc quỹ tích cung chứa góc  dựng
một góc không đổi   BAC

trên đoạn B ' C ' cố định.

Câu 4: (1,5 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: Q 

ab
ac
bc
1



.

c  ab b  ac a  bc 4abc

Ta có: c  ab  c(a  b  c )  ab  (c  a )(c  b)
Tương tự : b  ac  (b  a)(b  c) ; a  bc  (a  b)(a  c )

0,25

Do đó:
Q

ab
ac
bc
1



(c  a)(c  b) (b  a)(b  c) (a  b)(a  c) 4abc

ab (a  b )  ac (a  c)  bc (b  c )
1
a 3  b3  b3  c 3  c 3  a 3
1

�

(a  b)(b  c )(c  a)
4abc
8abc
4abc

3
3
(Áp dụng BĐT Côsi; BĐT x  y �xy ( x  y ) với x, y  0, dấu bằng xảy ra
� x  y)




0,5

a 3  b3  c 3
1

4abc
4abc

Lại có :
a3  b3  c3  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca )  3abc
 1  3(ab  bc  ca)  3abc
(do a  b  c  1 )
a3  b3  c 3
1
3(ab  bc  ca )  3abc 9 3 a 2b 2c 2  3abc


�
4abc
4abc
4abc
4abc

1 � 9
� 1
 �3
 3 �� .  27  3  6
4 � abc
� 4
abc 1
 và ab  bc  ca �3 3 a 2b 2 c 2 )
( Áp dụng BĐT Côsi: 3 abc �
3
3
1
Vậy Max Q  6 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  .
3

0,25

Bởi vậy Q �

0,5

5

Đề thi HSG thanh thủy 2017 2018 (10)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về