Câu 1: [2D2-5-3] [NGUYỄN TRÃI – HD – 2017] Phương trình 223 x .2 x  1024 x  23x3  10 x 2  x
3

2

có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây
B. 0, 40.

A. 0,35.

D. 0, 45.

C. 0,50.
Lời giải

Chọn D
Ta có 223 x .2 x  1024 x  23x3  10 x 2  x  223 x
3

2

Hàm số f  t   2t  t đồng biến trên

3

x

 23x3  x  210 x  10 x 2
2

nên

223 x  x  23x3  x  210 x  10 x 2  23x3  x  10 x 2  x  0 hoặc x 
3

2

5 2
23

10
 0, 4347
23
Mẹo: Khi làm trắc nghiệm có thể dùng “Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba”
Nếu phương trình ax3  bx 2  cx  d  0 (a  0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì:

Tổng các nghiệm bằng

b
c
d
x1  x2  x3   ; x1 x2  x2 x3  x3 x1  ; x1 xx x3  
a
a
a

Câu 2: [2D2-5-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Tất cả giá trị của m sao cho phương trinh
4 x 1  2 x  2  m  0 có hai nghiệm phân biệt là

A. 0  m  1 .


B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  0 .

Lời giải
Chọn A
Đặt t  2 x  t  0  , phương trình trở thành 4t 2  4t  m  0 * .
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình * có hai
nghiệm dương phân biệt

 '  0
 4  4m  0


  S  t1  t2  0   m
 0  m 1.
 4  0
P  t t  0

1 2

Câu 3: [2D2-5-3] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m để phương trình 4 x  m.2 x 1  2m 2  5  0 có hai nghiệm phân biệt ?

A. 1 .

B. 5 .


C. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn A
Ta có: 4 x  m.2 x 1  2m 2  5  0  4 x  2m.2 x  2m 2  5  0 .
Đặt t  2 x , t  0 , ta được phương trình: t 2  2mt  2m 2  5  0 1 .

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình 1 có hai
nghiệm dương phân biệt


   0

 S  0
P  0


Vậy m  2
biệt.

 5  m  5

2

10
m  5  0
m  


10


2
  2m  0
 

m 5.
2
 2m 2  5  0
  m  10

 
2

m  0
là giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân

Câu 4: [2D2-5-3] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m để phương trình 4 x  m.2 x 1  3m  3  0 có hai nghiệm trái dấu.

A.  ; 2  .

B. 1;   .

D.  0; 2  .

C. 1; 2  .

Lời giải

Chọn C
Phương trình 4 x  m.2 x 1  3m  3  0 1  4 x  2m.2 x  3m  3  0 .
Đặt t  2 x ,  t  0  ta có phương trình t 2  2mt  3m  3  0  2  .
Phương trình 1 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình  2  có hai

m2  3m  3  0

m  1
3m  3  0

nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0  t1  1  t2  
t1.t2   t1  t2   1  0
m  0
 t1  1 t2  1  0

m  1
m  1
 m  1; 2  .


3m  3  2m  1  0
m  2

Câu 5: [2D2-5-3](THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho các số thực
dương x, y thỏa mãn log 6 x  log9 y  log 4  2 x  2 y  . Tính tỉ số
A.

x 2
 .
y 3


B.

x
2

.
y
3 1

C.

x
?
y

x
2

.
y
3 1

D.

Lời giải
Chọn B

 x  6t


Giả sử log 6 x  log9 y  log 4  2 x  2 y   t . Ta có:  y  9t
 2 x  2 y  4t

t

x 6t  2 
   0 .
y 9t  3 
Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có

Khi đó

(1)
(2) .
(3)

x 3
 .
y 2


 2  t
2
(thoûa)
   1  3 
2t
t
3
3


1


2
2
t
t
t
2.6  2.9  4     2.    2  0  
.
 2 t
3
3


   1  3
(loaïi)
 3 

Câu 6: [2D2-5-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương
trình 4 x  2 x  4  3m  2 x  1 có hai nghiệm phân biệt
A. 1  m  log 3 4 .

B. 1  m  log 3 4 .

C. log 4 3  m  1 .

D.

log 4 3  m  1 .

Lời giải
Chọn B

Ta có 4 x  2 x  4  3m  2 x  1  4 x  1  3m  2 x  4  3m  0 .
Đặt t  2 x  0 , n  3m  0 ta tìm n  0 để phương trình t 2  1  n  t  4  n  0 có
hai nghiệm dương phân biệt.

1  n   4  4  n   0
 n 2  2n  15  0
  n  5
  0





 n  1
Do đó  S  0  n  1  0
   n  3
n  4
4  n  0
P  0
1  n  4





2


3 n  4
Vậy 3  3m  4  1  m  log3 4 .

Câu 7: [2D2-5-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng
thức 3x  a x  6 x  9 x đúng với mọi số thực x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  12;14 .

B. a  10;12 .

C. a  14;16 .

D.

a  16;18 .
Lời giải
Chọn D
Ta có
3x  a x  6 x  9 x

 a x  18 x  6 x  9 x  3x  18 x

 a x  18x  3x  2x  1  9x  2x  1
 a x  18x  3x  2x  1 3x  1

 * .

Ta thấy  2x  1 3x  1  0, x 

 3x  2x  1 3x  1  0, x 


.


Do đó, * đúng với mọi số thực x
 a x  18x  0, x 
x

a
    1, x 
 18 


a
 1  a  18  16;18 .
18

Câu 8: [2D2-5-3] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Biết phương trình
log3  3x  1 . 1  log3  3x 1  6 có hai nghiệm là x1  x2 và tỉ số
a, b 

*

x1
a
 log trong đó
x2
b

và a b có ước chung lớn nhất bằng 1 . Tính a  b .
B. a  b  37 .


A. a  b  38 .
a  b  55 .

C. a  b  56 .

D.

Lời giải
Chọn D

28

 log 3  3x  1  3
x1  log 3


Ta có log3 3  1 . 1  log3 3 1   6 

27

 log 3  3x  1  2

 x2  log 3 10
x
28
 1  log
 a  28 , b  27  a  b  55 .
x2
27






x



x



Câu 9: [2D2-5-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Có bao nhiêu số nguyên
m   0; 2018 để phương trình m  10 x  m.e x có hai nghiệm phân biệt.

A. 9 .

B. 2017 .

C. 2016 .

D. 2007 .

Lời giải
Chọn C
Nhận thấy phương trình m  10 x  m.e x có nghiệm x  0 với mọi m .
e x  1 10
 .
Khi x  0 ta có m  10 x  m.e x 

x
m
x
e x  x  1  1
e 1

f
x

Xét hàm số  
, x  0 ta có f  x  
.
x
x2
Đặt g  x   e x  x  1  1  g   x   xe x . Giải phương trình g   x   0  x  0 .

Ta có bảng biến thiên
x

g  x 

g  x



–

0
0







1

0


Từ bảng biến thiên ta có f   x   0 , x  0 .
Bảng biến thiên
x 
0
y
+
1
0
y
1


+



Từ bảng biến thiên ta có thấy phương trình m  10 x  m.e x có hai nghiệm phân biệt
m  0

 0  m  10 .

 10
1

m
Do m   0; 2018 và m nên có 2016 giá trị.

Câu 10: [2D2-5-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Giá trị thực của tham số m

để phương trình 9 x  2  2m  1 .3x  3  4m  1  0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn

 x1  2 x2  2   12

thuộc khoảng nào sau đây

A.  3;9  .

B.  9;   .

1 
C.  ;3  .
4 

D.

 1 
  ;2 .
 2 
Lời giải
Chọn C
Đặt t  3 x ( t  0 ) thì phương trình đã cho trở thành t 2  2  2m  1 t  3  4m  1  0

(1).

 2m  12  3  4m  1  0
   0


(1) có hai nghiệm dương phân biệt khi  S  0  2m  1  0
P  0
 4m  1  0


m  1


1.
m


4
x
t  4m  1 3 1  4m  1  x1  log 3  4m  1
 x

Khi đó 
.
3 2  3
t  3
 x2  1

Ta có  x1  2  x2  2   12  log3  4m  1  2  m 


5
(thỏa điều kiện).
2


Câu 11: [2D2-5-3](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Tìm tập hợp tất cả các
giá trị của tham số thực m để phương trình 4 x  m.2 x  16  0 có đúng hai nghiệm thuộc
khoảng  0;3 .
A. 8;   .

C. 10;17  .

B.  8;10  .

D.  8;10 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t  2 x , t  1;8 . Ta được phương trình : t 2  mt  16  0 
Xét hàm số f  t  
Ta có : f   t  

f  t   0 

t 2  16
 m.
t

t 2  16

, t  1;8 .
t

t 2  16
t2

t  4  1;8 
t 2  16
0 
.
2
t
t


4

1;8




Bảng biến thiên :

 8  m  10 thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 12: [2D2-5-3] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Phương trình
31 x  3x  m  0 có hai nghiệm phân biệt khi :

A. m  2 3 .

m  0.

C. m  2 3 ; m  2 3 .

B. m  2 3 .

Lời giải
Chọn B
Ta có 31 x  3x  m  0 

3
 3x  m  0 1 .
x
3

Đặt t  3 x  t  0  . Khi đó 1 trở thành

3
 t  m  0  t 2  mt  3  0  2  .
t

D.


Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt   2  có hai nghiệm dương phân biệt

m2  12  0   m  2 3


 m  0

   m  2 3  m  2 3 .
3  0


m  0

Câu 13: [2D2-5-3] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Phương trình
4 x 1  2 x  2  m  0 ( m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi

C. m  0 .

B. m  1 .

A. m  1 .

D. m  1 .

Lời giải
Chọn A
Ta có 4 x 1  2 x  2  m  0  4.  2x   4.2x  m  0 .
2

Đặt t  2 x  0 , ta được 4t 2  4t  m  0

1

YCBT  1 có nghiệm dương.
Xét hàm số f  t   4t  4t 2 , với t   0;   ta có

t   0;  

1
f   t   4  8t ; 
t .
2
 f   t   0
Bảng biến thiên :
x 0
y





0, 5

0



1

y

0



Từ bảng trên ta được m  1 thỏa mãn.
Cách 2 : YCBT  1 có nghiệm dương.



   4  4 m  0

TH1. 1 có 2 nghiệm dương phân biệt  t1  t2  1  0  0  m  1 .

m
t1t2   0

4
TH2. 1 có nghiệm kép dương    4  4m  0  m  1 .
1
 m  1 thỏa mãn.
2
   4  4 m  0

TH3. 1 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu  
m0.
m
t
t


0
1
2

4

Thử lại, với m  1 ta được 4t 2  4t  1  0  t 



Kết hợp cả 3 trường hợp ta được m  1 thỏa mãn.

Câu 14: [2D2-5-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Tìm giá trị m để phương trình
2

2 x 1 1

2

x 1

 m  0 có nghiệm duy nhất.
1
8

A. m  3 .

C. m  1.

B. m  .

D. m  3

.
Lời giải
Chọn D
Đặt t  2 x1  t  1 .
Khi đó ta được phương trình 2t 2  t  m  0 1
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 1 có nghiệm kép t  1

hoặc có một nghiệm t  1 và một nghiệm t  1 .
Phương trình 1 có nghiệm t  1  2 1  m  0  m  3 .

t  1
Thử lại: Với m  3 ta được: 2t  t  3  0  
.
t   3

2
2

Suy ra m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15: [2D2-5-3] [CHUYÊN KHTN L4 – 2017] Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương
trình 4 x

2

 2 x 1

 m.2 x

2

2 x2

 3m  2  0 có bốn nghiệm phân biệt.

B.  ;1   2;   .


A.  ;1 .
.

C.  2;  .

D.  2;  

Lời giải
Chọn D.
Đặt t  2( x1)

2

 t  1

Phương trình có dạng: t 2  2mt  3m  2  0 *
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm phân
biệt lớn hơn 1
2

m  3m  2  0

2

 x1,2  m  m  3m  2  1


2

m  3m  2  0


2

 m  3m  2  m  1

m 2  3m  2  0

 m  1  0
 2
2
m  3m  2  m  2m  1

m2
BÌNH LUẬN
Trong bài này do đề bài yêu cầu phương trình có 4 nghiệm phân biệt nên ta cần chú
ý mỗi t  1 thì ta nhận được bao nhiêu giá trị x
Từ phương trình (*) chúng ta có thể cô lập m và ứng dụng hàm số để biện luận số
nghiệm của phương trình thỏa đề bài.

Câu 16: [2D2-5-3] [CHUYÊN KHTN L4 – 2017] Phương trình 333 x  333 x  34 x  34 x  103 có tổng
các nghiệm là ?
A. 0 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn A.
333 x  333 x  34 x  34 x  103

 7   27.33x 
Đặt t  3x 

7

27
81
1 
1


 81.3x  x  103  27.  33 x  3 x   81.  3x  x   103
3x
3
3
3 
3 



7 '

1 Côsi
1
 2 3x. x  2
x
3

3
3

1
1
1
1
1

 t   3x  x   33 x  3.32 x. x  3.3x. 2 x  3 x  33 x  3 x  t 3  3t
3 
3
3
3
3

3

Khi đó:  7 '  27  t 3  3t   81t  103  t 3 
Với t 

10
1 10
 3x  x 
3
3
3

103
10

t  2
27
3

N 

 7 ''

y  3
1 10
2
Đặt y  3  0 . Khi đó:  7 ''  y    3 y  10 y  3  0  
y  1
y 3

3
x

Với y  3  3x  3  x  1

N
N


Với y 

1
1
 3 x   x  1
3

3

Câu 17: [2D2-5-3] [CHUYÊN KHTN L4 – 2017] Phương trình 32 x  2 x  3x  1  4.3x  5  0 có tất
cả bao nhiêu nghiệm không âm ?
A. 1.

D. 3.

C. 0.

B. 2.
Lời giải

Chọn A.

32 x  2 x  3x  1  4.3x  5  0   32 x  1  2 x  3x  1   4.3x  4   0
  3x  1 3x  1   2 x  4   3x  1  0   3x  2 x  5 3x  1  0
 3x  2 x  5  0

Xét hàm số f  x   3x  2 x  5 , ta có : f 1  0 .

f '  x   3x ln 3  2  0; x 

. Do đó hàm số f  x  đồng biến trên

.

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x  1
BÌNH LUẬN
x

Có thể đặt t  3  0 sau đó tính delta theo x

Câu 18: [2D2-5-3] [CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2 – 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình 3x  mx  1 có hai nghiệm phân biệt?
A. m  0 .

m  0
B. 
.
m  ln 3

C. m  2 .

D. Không

tồn tại m .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: Số nghiệm của phương trình 3x  mx  1 phụ thuộc vào số giao điểm của đồ
thị hàm số y  3x và đường thẳng y  mx  1 .


y  x.ln 3  1

y  3x

Ta thấy y  mx  1 luôn đi qua điểm cố định  0; 1 nên
+Nếu m  0 : phương trình có nghiệm duy nhất
+ Nếu m  0 : y  mx  1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y  3x
tại một điểm duy nhất.

+ Nếu m  0 :Để thỏa mãn ycbt thì đường thẳng y  mx  1 phải khác tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y  3x tại điểm  0; 1 , tức là m  ln3 .

m  0
Vậy 
m  ln 3

Câu 19: [2D2-5-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số giá trị nguyên
của m để phương trình  m  1 .16 x  2  2m  3 .4 x  6m  5  0 có 2 nghiệm trái dấu là
A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn A
Đặt t  4 x , t  0 , khi đó phương trình trở thành:

 m  1 t 2  2  2m  3 t  6m  5  0 . *

D. 3 .


Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì phương trình * có hai nghiệm
dương và số 1 nằm giữa khoảng hai nghiệm.







4  m  1
 m  1 f 1  0
 m  1 3m  12   0

3



2
2
m

3
2
2
m

3




 
  m 
0
0

 4  m  1

2
t1  t2 
m 1

 m 1
  m  1
6m  5

 6m  5

5
t1.t2  m  1  0
 m  1  0

m   6

  m  1

.

Vì m   m  3; 2 .

Câu 20: [2D2-5-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Tập hợp các giá trị của tham số
m để phương trình  m  116 x  2  2m  3 4 x  6m  5  0 có hai nghiệm trái dấu là khoảng

 a; b  . Tính

S  a b .

A. S  5 .


B. S  

29
.
6

C. S  

11
.
6

D. S 

3
.
2

Lời giải
Chọn A.
Đặt t  4 x  t  0  . Khi đó

 m  116x  2  2m  3 4x  6m  5  0   m  1 t 2  2  2m  3 t  6m  5  0 .
Để phương trình  m  116 x  2  2m  3 4 x  6m  5  0 có hai nghiệm trái dấu thì
phương trình  m  1 t 2  2  2m  3 t  6m  5  0 có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa
0  t1  1  t2 .

Ta có  m  1 t 2  2  2m  3 t  6m  5  0  m  
Xét hàm số f  t   


f  t  

10t 2  2t  56

t

2

 4t  6 

2

t 2  6t  5
.
t 2  4t  6

t 2  6t  5
trên khoảng  0;   , ta có
t 2  4t  6


f  t   0  t 

1  561
 1.
10

Ta có bảng biến thiên


a  4
Từ đó ta chọn 4  m  1. Suy ra 
 a  b  5. .
b  1

Câu 21: [2D2-5-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số
x

x

1
1
m để phương trình    m    2m  1  0 có nghiệm. Tập
9
 3
nguyên?
C. 0 .

B. 9 .

A. 4 .

\ S có bao nhiêu giá trị

D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
t2 1
1

Đặt    t , với t  0 ta có phương trình t 2  mt  2m  1  0  m 
 * .
t2
3
x

Xét hàm số f  t  

t2 1
t 2  4t  1
trên  0;    \ 2 ta có f   t  
;
2
t2
t  2

f  t   0  t  2  5 .

Bảng biến thiên:

t

0

f




f




0









1
2



2 5

2

42 5




1

Vậy S   ;     4  2 5;   .

2 

Do đó

 1

\ S   ; 4  2 5  có 9 giá trị nguyên là 0 , 1 , ... , 8 .
 2


Câu 22: [2D2-5-3] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tích tất cả các giá trị
của x thỏa mãn phương trình  3x  3   4x  4    3x  4x  7  bằng
2

A. 4

2

B. 1

2

C. 3

D. 2

Lời giải
Chọn B
Phương trình   3x  4x  7  3x  4x  1  3x  4x  7 


 2.4 x  8
  3  4  7  2.4  8   0   x
x
3  4  7  0
Xét phương trình 1 : 1  4 x  4  x  1 .
x

x

x

2

1
 2

Xét phương trình  2  : Xét hàm f  x   3x  4 x  7 trên

.

Hàm f  x  liên tục và f   x   3x.ln 3  4 x.ln 4  0 x  nên f  x  là hàm đồng
biến trên
Khi đó,  2   f  x   f 1  x  1. Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng 1
.

Câu 23: [2D2-5-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Giá trị
nguyên dương nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình 4 x  2018m.2 x 1  3  1009m  0 có
nghiệm là
A. m  1


B. m  2

C. m  3
Lời giải

Chọn A
Đặt t  2 x , t  0 .
Khi đó bất phương trình trở thành t 2  1009mt  3  1009m  0
t2  3
 1009m 
(do t  0 ).
t 1
t 2  2t  3
t2  3
Xét f  t  
, ta có f   t  
2
t 1
 t  1

t  1 t 0
f   t   0  t 2  2t  3  0  
t  1
t  3

D. m  4


2
.

t 0
1009
Vậy m  1 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài toán.

ycbt  1009m  min f  t   2  m 

Câu 24: [2D2-5-3] [THPT chuyên Thái Bình-2017] Phương trình 2017sin x  sin x  2  cos 2 x có
bao nhiêu nghiệm thực trong  5 ; 2017  ?
vô nghiệm.
A. 2022 .

B. 2017 .

C. 2023 .

D. 2000 .

Lời giải
Chọn C
Ta có hàm số y  2017sin x  sin x  2  cos 2 x tuần hoàn với chu kỳ T  2 .
Xét hàm số y  2017sin x  sin x  2  cos 2 x trên  0; 2  .
Ta có .

y  cos x.2017sin x.ln 2017  cos x 


sin x 
 cos x.  2017sin x.ln 2017  1 

2 2  cos x

1  sin 2 x 

2sin x.cos x
2

.


3
Do vậy trên  0; 2  , y  0  cos x  0  x   x 
.
2
2
1
 3 
 
y    2017  1  2  0 ; y   
1  2  0 .
 2  2017
2
Bảng biến thiên.


Vậy trên  0; 2  phương trình 2017sin x  sin x  2  cos 2 x có đúng ba nghiệm
phân biệt.
Ta có y    0 , nên trên  0; 2  phương trình 2017sin x  sin x  2  cos 2 x có ba
nghiệm phân biệt là 0,  , 2 .
Suy ra trên  5 ; 2017  phương trình có đúng 2017   5  1  2023 nghiệm.

Câu 25: [2D2-5-3] [THPT Chuyên NBK(QN)] Nếu


9x y
4x
 243 , x, y là các số thực thì tích

8
,
2x y
35 y

xy bằng?
A.

12
.
5

D. 4 .

C. 12 .

B. 6 .
Lời giải

Chọn D
4x
 8  22 x  2 x  y 3  x  y  3
x y
2


1 .

9x y
 243  32 x  y   35 y 5  2 x  3 y  5
5y
3

 2 .

Từ 1 và  2  ta được x  4 ; y  1  xy  4 .

Câu 26: [2D2-5-3] (CỤM 7 TP. HCM) Cho 9 x  9 x  23 . Khi đó biểu thức A 
với

a
tối giản và a, b 
b

5  3x  3 x a

1  3x  3 x b

. Tích a.b có giá trị bằng:
B. 8 .

A. 10 .

D. 10 .

C. 8 .

Lời giải

Chọn D
Ta

có

9 x  9 x  23   3x    3 x   2.3x.3 x  25   3x  3 x   25  3x  3 x  5 .
2

2

2

5  3x  3 x 5  5 5


Do đó: A 
.  a  5, b  2  a.b  10 .
1  3x  3 x 1  5 2


Câu 27:

[2D2-5-3] [THPT NGUYỄN DU] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

32 x 1  (m  3)3x  2(m  3)  0
B. m  3 .

A. m  3 .


C. m  21.

D. m  0 .

Lời giải
Chọn C

Câu 28: [2D2-5-3] [THPT NGUYỄN DU] Phương trình (7  3 5) x  m(7  3 5) x  2x3

(1) có

nghiệm thực thì m bằng:
C. m  16 .

B. m  16 .

A. m  16 .

D. m  0 .

Lời giải
Chọn A

Câu 29:

[2D2-5-3] [TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8] Tập nghiệm của bất phương trình
 2 1
x  
2



2 x 2  x 1

1 x

1

  x2  
2



2
A.  1; 
.
2 

C.  1;0  .

là


2
B.  0;
.
 2 

2 
2

D.  1; 
  0;
.
2   2 

Lời giải

Chọn D

1
1

Do x   0x nên  x 2  
2
2

2

2 x 2  x 1

1 x

1

  x2  
2





 x2  1  1

2

  x 2  1  1
 
2
 2
 2 x  x  1  1  x

1
 0  x 2   1
2

 2 x 2  x  1  1  x






1

x  
1
2
x  

2


 
1   1

;  

  x   ; 
1 


  
2  2
   x   1; 

2


  x   1;0


 1 
 x  0;
  1 1 


2

;
 x   

2 2

 
  x  ; 1  0; 

 
 


2 
2
 x   1; 
  0;
.
2   2 


1
Câu 30: [2D2-5-3] [THPT TRẦN PHÚ] Số nghiệm nguyên của bất phương trình  
3
là
A. 1 .

B. 0 .

x 2 3 x 10

1
 
 3

x2


D. 11 .

C. 9 .
Lời giải

Chọn C

1
 
3

x 2 3 x 10

1
 
3

x2

 x 2  3x  10  x  2
 x  3x  10  0

 x  2  0
 2
2
 x  3x  10   x  2 
2

  x  2


 x  5

 x  2
 x  14



 5  x  14
Vậy tập tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là
5;6;7;8;9;10;11;12;13 .
x

Câu 31: [2D2-5-3] Giải bất phương trình 8 x2  36.32 x.
 3  x  2
.
A. 
x  4
  log 3 18  x  2
.
x  4


  log 2 6  x  2
.
B. 
x  4

 4  x  2
.

C. 
x  1

D.


Lời giải.
Chọn D
x4

x4
log 3 2  4  x
x2
x  4  0
x  4


 log3 2 
x  4  0

  x  4


  x  4 
 1  0

  log 3 2
  log 3 2  2  x
 x2


1  0
0


x2
 x  2

x

8 x2  36.32 x  2 x  2  34 x 

x  4
x  4

x  4
x

4



 
  x  4
.
 log 3 18  x  2
  log 3 18  x


  log 3 18  x  2
0


 x  2
[2D2-5-3] [THPT A HẢI HẬU] Số nghiệm nguyên của bất phương trình

Câu 32:



10  3



3 x
x 1





10  3



x 1
x 3

là
B. 0 .

A. 2 .


D. 3 .

C. 1 .

Câu 33: [2D2-5-3] [GK1-THPT Nghĩa Hưng C] Cho 9 x  9 x  23 . Khi đó biểu thức K 

5  3x  3 x
1  3x  3 x

có giá trị bằng
A. 

5
.
2

B.

1
.
2

C.

3
.
2

D. 2 .


[2D2-5-3] [THPT A HẢI HẬU] Số nghiệm nguyên của bất phương trình

Câu 34:



10  3



3 x
x 1





10  3



x 1
x 3

A. 2 .

là
B. 0 .


D. 3 .

C. 1 .

Trùng với câu 24

Câu 35: [2D2-5-3] [SG– HÀ TĨNH] Tích các nghiệm của phương trình 4 x  x1  2 x  x  3 bằng
2

A. 1.

B. 1.

C. 0.
Lời giải.

Chọn A
ĐK x

2

D. 2.


4

x 2  x 1

2


x2  x



1 2
 3  2x x
4



2x x  2
3 0   2
 x2  x  1
x x
 2
 6
2

2

2

x2  x

 x2  x  1  0
Vậy tích các nghiệm của phương trình là

c
 1 .
a


Câu 36: [2D2-5-3] [THPT TRẦN PHÚ] Một học sinh giải phương trình 3.4 x   3x  10  .2 x  3  x  0

*

như sau:
Bước

:

1

Đặt

t  2x  0 .

Phương

trình

*

được

viết

lại

là


3t 2   3x  10   t  3  x  0 1 .
Biệt số    3x  10   12  3  x   9 x 2  48 x  64  3x  8
2

Suy ra phương trình 1 có hai nghiệm t 

2

1
hoặc t  3  x .
3

Bước 2 :
+ Với t 

1
1
1
ta có 2 x   x  log 2
3
3
3

+ Với t  3  x ta có 2 x  3  x  x  1 (Do VT đồng biến, VP nghịch biến nên PT
có tối đa 1 nghiệm)
Bước 3 : Vậy * có hai nghiệm là x  log 2

1
và x  1 .
3


Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bước 2 .
.

B. Bước 3 .

C. Đúng.

D. Bước 1

Lời giải
Chọn C
Bài giải trên hoàn toàn đúng.

Câu 37: [2D2-5-3] [THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI] Tìm tích các nghiệm của phương trình



 
x

2 1 



x

2 1  2 2  0 .


A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn B

D. 1 .


Ta có







2 1



x

2 1 




2  1  1 . Vậy đặt t 





x

2  1 , điều kiện t  0 . Suy ra

1
t

Phương trình đã cho trở thành
1
 t  2 2  0  t 2  2 2t  1  0
t
t  2  1  2  1 x  2  1  x  1


x
x
t  2  1  2  1  2  1  2  1 










 



2 1

1

 x  1

Vậy tích của hai nghiệm x1 x2  1. 1  1

Câu 38: [2D2-5-3] [THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU] Tìm tích tất cả các nghiệm của phương



log 100 x2

trình 4.3

  9.4log10 x  13.61log x .

A. 100 .

B. 10 .

C. 1 .


D.

1
.
10

Lời giải
Chọn C
ĐK: x  0 .
2.log10 x 

 4.3

PT

3
 4.  
2

2 log 10 x 

3
Đặt t   
2

3
 13. 
2

 9.2


2.log 10 x 

 13.6

log 10 x 

log10 x 

9  0

log 10 x 

 0 thì phương trình trở thành:

 3 log10 x 
1
 
1
t  1

log 10 x   0
2
x



2

4t  13t  9  0   9 



10 .
log10 x 


t 
log
10
x

2



3
9



 4  
 x  10

 2 
4
Suy ra tích các nghiệm bằng 1 .

Câu 39: [2D2-5-3] [SGD – HÀ TĨNH] Cho các số thực b  a  0 . Trong các phương trình sau, phương
trình nào vô nghiệm trên


?

A. a x  b x   a  b  .
x

B. a x   2b   2  a  b  .
x

x


D. a x   a  b   b x .

C. a x  b x  2  a  b  .

x

x

Lời giải:
Chọn D
+ Xét đáp án A:
x

x

 a   b 
pt  
 
  1 (có nghiệm)

 ab  ab
 x 1

+Xét đáp án B
x

x

 a   2b 
pt  
 
  2 (có nghiệm)
 ab   ab
 x0

+ Xét đáp án C
x

x

 a   b 
pt  
 
  2 (có nghiệm)
 ab   ab
 x0

+Xét đáp án D
TH1: Nếu a, b   0;1 , a  b  a x  b x  a x   a  b   b x
x


 Phương trình vô nghiệm.
TH2: Nếu b  a  1  a  b  b   a  b   b x  a x   a  b   b x
x

x

 Phương trình vô nghiệm.

Câu 40: [2D2-5-3] Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6 x   3  m  2 x  m  0
có nghiệm thuộc khoảng  0;1 .
A. 3; 4 .

B.  2; 4 .

Lời giải
Chọn C

C.  2; 4  .

D.  3; 4  .


Ta có: 6 x   3  m  2 x  m  0 1 
Xét hàm số f  x  

f  x 

6 x  3.2 x
xác định trên

2x  1

12 x.ln 3  6 x.ln 6  3.2 x.ln 2

2

6 x  3.2 x
m
2x  1

x

 1

2

 0, x 

, có
nên hàm số f  x  đồng biến trên

Suy ra 0  x  1  f  0   f  x   f 1  2  f  x   4 vì f  0   2, f 1  4.
Vậy phương trình 1 có nghiệm thuộc khoảng  0;1 khi m   2; 4  .

Câu 41:

[2D2-5-3] [TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8] Giá trị của m để phương trình
4  m.2 x 1  2m  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3 là
x


B. m  4 .

A. m  3 .

C. m 

9
.
2

D. m 

3
.
2

Lời giải
Chọn B
Đặt t  2 x , điều kiện t  0 . Phương trình đã cho trở thành t 2  2mt  2m  0 (1).
Ta có 2 x  x  8  2 x .2 x  8 .
1

1

2

2

Vậy phương trình (1) phải có hai nghiệm dương t1 , t2 sao cho t1.t2  8 .
 m 2  2m  0

   0


Điều kiện t1  t2  0  2m  0
 m4.
t .t  8
 2m  8
1 2


Câu 42: [2D2-5-3] [THPT TRIỆU SƠN 2] Tìm m để phương trình 4 x  2 x 3  3  m có đúng 2
nghiệm x  1;3
A. 13  m  9 .
13  m  3 .

B. 3  m  9 .

C. 9  m  3 .

D.

Câu 43: [2D2-5-3] [THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU] Tìm tất cả các giá trị của m để phương



trình 7  3 5



x2




m 73 5



x2

 2x

2

1

có đúng hai nghiệm phân biệt.


A. m 

1
.
16

B. 0  m 

1
.
16


C. 

1
1
m .
2
16

D.

 1
 2  m  0
.

m  1

16
Lời giải
Chọn D
x2

x2

 73 5 
73 5 
1
PT  
  m
  .
2 

2 
2


x2

 73 5 
Đặt
t 
   0;1 .
2


2
 2t  t  2m  0  2m  t  2t 2  g  t 
Ta có g   t   1  4t  0  t 

Khi

đó

PT

(1).

1
.
4

Lập bảng biến thiên ta được kết quả

PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  (1) có đúng 1 nghiệm t   0;1

1

1
m


2m 
16


8

 1  m  0
 1  2m  0
 2

Câu 44: [2D2-5-3] [THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH] Tìm các giá trị thực của m để phương trình
2 x 1  m.2 x  2  2 x 3 luôn thỏa mãn x  R
A. m  3 .

B. m 

3
.
2

C. m 


5
.
2

D. m  2 .

Lời giải
Chọn C
Đặt

t  2x  0 .

Phương

2t  4mt  8t  4mt  10t  m 

trình

tương

đương

với

5
.
2

Câu 45: [2D2-5-3] [THPT CHUYÊN BIÊN HÒA] Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để
phương trình 4 x   2  m  2 x  5  m  0 có nghiệm thuộc  1;1 .



A. m  4;    .

 13 
B. m   4;  .
 3

C. m  ;  4   4;    .

 25 13 
D. m   ;  .
 6 3
Lời giải

Chọn B

1 
Đặt t  2 x , vì x   1;1 nên t   ; 2 
2 
Khi đi phương trình trở thành t 2   2  m  t  5  m  0

 t 2  2t  5  (t  1)m  0  m 
f '(t ) 

t 2  2t  3

 t  1
t


2

f t 

; f '(t )  0  t  1  t  3 , ta loại t  3

1
2

f  t 

2

1
–

25
6

t 2  2t  5
 f (t )
t 1



0

13
3


4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm khi: 4  m 

13
3

Câu 46: [2D2-5-3] [THPT PHAN ĐÌNH TÙNG] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m
để phương trình 4 x  1  3m  2 x  2m2  m  0 có nghiệm.
A.  ;   .

B.  ;1  1;   .

C.  0;  

D.

1

 ;   .
2

Lời giải
Chọn C
Xét phương trình 4 x  1  3m  2 x  2m2  m  0 1
Đặt t  2 x , t  0. Phương trình 1 trở thành t 2  1  3m  t  2m2  m  0  2 