ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT
LƯỢNG
ĐỀ VIP 10

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2018 - 2019
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90

phút
Câu 1. Hàm số y =

bx - c
(a ¹ 0; a, b, c Î  ) có đồ
x -a

thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. a > 0, b > 0, c - ab < 0.
B. a > 0, b > 0, c - ab > 0.
C. a > 0, b > 0, c - ab = 0.
D. a > 0, b < 0, c - ab < 0.

Lời giải. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = a > 0 ; tiệm cận ngang y = b > 0.
Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các
khoảng xác định của nó nên y ¢ =

c - ab

(x - a)

2

< 0, "x ¹ a ¾¾
® c - ab < 0.

Vậy a > 0, b > 0, c - ab < 0. Chọn A.

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;0).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥; -2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
Lời giải. Chọn D.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

1


Mnh no sau õy l sai?
A. Hm s cú giỏ tr cc tiu y = -1.

B. Hm s cú giỏ tr

nh nht bng -1.
C. Hm s cú ỳng mt im cc tr.

D. Hm s t cc


i ti x = 0.
Li gii. Chn D.
Cõu 4. Bit rng th hm s y =

(m - 2n - 3) x + 5
x -m -n

nhn hai trc ta lm hai

ng tim cn. Tớnh tng S = m 2 + n 2 - 2.
A. S = -2.
B. S = -1.
C. S = 0.

D. S = 2.

Li gii. Ta cú
lim y = lim
x đƠ



lim

x đƠ

+

x đ(n + m )


(m - 2n - 3) x + 5
x -m -n

= m - 2n - 3 ắắ
đ y = m - 2n - 3 l TCN;

y = +Ơ ắắ
đ x = m + n l TC.

ỡ
ỡ
ùm + n = 0
ùm = 1
ịù
ắắ
đ S = m 2 + n 2 - 2 = 0. Chn C.
T gi thit, ta cú ù
ớ
ớ
ù
ù
m
2
n
3
=
0
n
=
1

ù
ù
ợ
ợ

Cõu 5. Bit hm s y = f ( x ) cú th i xng vi th

hm s y = 3x qua ng thng x = -1. Chn khng nh
ỳng trong cỏc khng nh sau
A. f ( x ) =

1
1
. B. f ( x ) =
.
x
3.3
9.3x

C. f ( x ) =

1 1
- .
3x 2

D. f ( x ) = -2 +

1
.
3x


Li gii. Gi M ( x ; y ) v M Â ( x Â; y Â) l hai im i xng nhau qua ng thng
ỡ x + x  = -2 ù
ỡ x = -2 - x Â
ù
1
Â
ịù
. Khi ú y = 3x y  = 3-2-x =
x = -1 nờn ù
. Chn B.
ớ
ớ
Â
ù
ù
9.3x
ù
ù
ợy = yÂ
ợy = yÂ
ủoỏi xửựng qua x =-1
Trc nghim: Chn A (0;1) ẻ y = 3x ắắắắắắ
đ A Â (-2; 1) ch cú ỏp ỏn B tha.

Cõu 6. Hm s f ( x ) = log 2 ( x 2 - 2 x ) cú o hm l
A. f  ( x ) =
C. f  ( x ) =

ln 2

.
x 2 - 2x

(2 x - 2) ln 2
x - 2x
2

B. f  ( x ) =
D. f  ( x ) =

.

Li gii. p dng cụng thc (log a u ( x ))Â =

f Â(x ) =

uÂ(x )

u ( x ).ln a

1

( x 2 - 2 x ) ln 2

.

(x

.


- 2 x ) ln 2

, ta c

( x 2 - 2 x )Â
2x - 2
= 2
.
2
x
2
x
ln
2
x
(
)
( - 2 x ) ln 2
2

2x - 2

2

Chn D.


Cõu 7. Cho phng trỡnh log 32 x + log 32 x + 1 - 2m -1 = 0. Tp tt c cỏc giỏ tr ca
tham s m phng trỡnh cú nghim thuc on ộờ1;3 3 ựỳ l
ở

ỷ
13
A. 0 Ê m Ê 1.
B. 0 Ê m Ê 2.
C. 0 Ê m < .
D.
1 Ê m Ê 2.
6
Li gii. iu kin: x > 0. t t = log 32 x + 1, vỡ x ẻ ộờ1;3 3 ựỳ nờn t ẻ [1;2 ].
ở
ỷ
Phng

trỡnh

tr

thnh

t 2 -1 + t - 2m -1 = 0 m =

t ẻ [1;2 ].

t2 + t -2
= f (t ) ẻ [0;2 ]
2

vi

Do ú yờu cu bi toỏn 0 Ê m Ê 2. Chn B.


Cõu 8. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc on [-5;5] phng
trỡnh e x = m ( x + 1) cú nghim duy nht?
A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 10.

Li gii. Vỡ e > 0 nờn m ạ 0.
x

1
x +1
1
= x = ( x + 1) e - x = f ( x ) .
m
m
e
Xột hm f ( x ) = ( x + 1) e - x . Ta cú f ' ( x ) = -xe - x = 0 x = 0.
Khi ú: e x = m ( x + 1)

Da vo BBT, ta thy phng trỡnh cú nghim
ỡ
1
ù
ù
=1

ù
ộm < 0
ù
m
ù
ờ
duy nht ớ
ờm = 1
ù
1
ù
ở
<0
ù
ù
ùm
ợ

ắắắắ
đ m ẻ {-5; -4; -3; -2; -1;1}. Chn B.
m ẻ
m ẻ[-5;5]

x -Ơ
fÂ
+
f

0
0

1

-

+Ơ

0

-Ơ

Cỏch 2. Ta cú y = e x l hm ng bin trờn v y = e x > 0 vi mi x ẻ cú
th (C ) (xem hỡnh 1).

Hỡnh 1

Hỡnh 2

Do ú:

3


 Nếu m < 0 thì y = m ( x + 1) là hàm số nghịch biến trên  , có đồ thị là một
đường thẳng luôn qua điểm (-1;0) nên luôn cắt đồ thị (C ) : y = e x tại duy nhất
một điểm.
 Nếu m = 0 : phương trình vô nghiệm (do y = e x > 0 ).
 Nếu m > 0 : để phương trình có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi đường
ì
ïe x = m ( x + 1)
thẳng D : y = m ( x + 1) là tiếp tuyến của (C ) (như hình 2) Û ïí x

ï
ï
îe = m
ïì x = 0
Û ïí
Þ m = 1.
ïïîm = 1
Câu 9. Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng, với lãi suất 1,2% /tháng. Sau
đúng một tháng kể từ ngày vay, người đó bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên
tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và bằng

10 triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ? Biết
rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời người đó hoàn nợ.
A. 70 tháng.
B. 77 tháng.
C. 80 tháng.
D. 85 tháng.
ìT = 0
ï
ï
ï
ï M = 500
mé
n
n
Lời giải. Áp dụng công thức T = M (1 + r ) - ê(1 + r ) -1ùú với ïí
.
û
ï
m = 10

r ë
ï
ï
ï
ï
ï
îr = 1,2%
Đặt a = 1 + r , ta được 0 = 500.a n -10.

a n -1
5
5
Û a n = Û n = log1,012  76,8. Chọn B.
a -1
2
2

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x .
A.
C.

ò tan
ò

2

x dx = tan x - x + C .

tan 2 x dx =


B.

ò tan

D.

ò

3

tan x
×
x

Lời giải. Dùng kỹ thuật thêm bớt, ta được

= ò (1 + tan 2 x ) dx - ò dx =ò

2

x dx = tan x - x .

tan 2 x dx =

ò tan

2

xdx = ò


1
dx - ò dx = tan x - x + C .
cos 2 x

tan 3 x
+C.
x
é(1 + tan 2 x ) -1ù dx
êë
úû

'' Nếu đề bài yêu cầu tìm họ nguyên hàm thì ta chọn A, còn yêu cầu tìm một

nguyên hàm thì ta chọn B '' .
Ở đây yêu cầu tìm nguyên hàm, tức là phải tìm họ nguyên hàm. Chọn A.
1
ì2 2017 x khi x ³ 0
ï
.
Câu 11. Tính tích phân I = ò f ( x ) dx , biết rằng f ( x ) = ï
í -2017 x
ï
khi x < 0
ï
-1
î2
2 2018 - 2
2 2018 -1
log 2 e.
log 2 e.

A. I =
B. I =
2017
2017
4


C. I =

2 2018 -1
ln 2.
2017

D. I =

1

0

2 2017 -1
.
2017 ln 2

1

Lời giải. Ta có I = ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx
-1

0


1

-1

0

= ò 2-2017 x dx + ò 2 2017 x dx = -

-1

0

-2017 x

2
2017 ln 2

0

-1

+

2 2017 x
2017 ln 2

1

=


0

2 2018 - 2
log 2 e. Chọn A.
2017

Câu 12. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình
vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
2

A.

2

2
ò ( 2 x - 2 x - 4 ) dx .

ò (-2 x + 2) dx .

B.

-1

-1

2

D.

2


2
ò (-2 x + 2 x + 4) dx .

ò ( 2 x - 2 ) dx .

C.

-1

-1

Lời giải. Với mọi x Î [-1;2 ], ta có -x + 3 ³ x - 2 x -1 nên
2

2

2

2

-1

-1

S = ò éê(-x 2 + 3) - ( x 2 - 2 x -1)ùú dx = ò (-2 x 2 + 2 x + 4 ) dx . Chọn C.
ë
û

Câu 13. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành

và các đường thẳng x = 0, x =

p
. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành
2

khi quay D quanh trục hoành.
A. V = p -1.

B. V = (p -1) p.
p
2

Lời giải. Thể tích cần tính V = p ò
0

(

C. V = (p + 1) p.
2 + cos x

)

2

p
2

D. V = p + 1.


dx = p ò (2 + cos x ) dx

CASIO

= 13,01119.

0

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho. Chọn C.
Câu 14. Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B
khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng
một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là
một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là
một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 3 giây
khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét?
A. 0 m.
B. 60 m.
C. 90 m.
ì
ïv A (t ) = - 20t 2 + 80t (m/s)
.
Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra ï
í
ï
ï
îv B (t ) = 20t (m/s)
3

D. 270 m.


Quãng đường đi được sau 3 giây của xe A là: s A = ò (- 20t 2 + 80t ) dt = 180m.
0

5


3

Quãng đường đi được sau 3 giây của xe B là: s B = ò 20t dt = 90m.
0

Vậy khoảng cách giữa hai xe sau 3 giây sẽ bằng: s A - s B = 90 m. Chọn C.
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn z = 1 và điểm A
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng
trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w =

1
iz

là một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu
diễn của số phức w là
A. Điểm M .

B. Điểm N .

C. Điểm P .
D. Điểm Q.
ìï x 2 + y 2 = 1
.
Lời giải. Gọi z = x + yi ( x ; y Î  ). Từ giả thiết, ta có ïí

ïïî x > 0; y > 0
i ( x - yi )
1
i
i
y + xi
Ta có w = = - = ==- 2
= - y - xi.
iz
z
x + yi
x + y2
( x + yi )( x - yi )

Vì x > 0, y > 0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là (- y; - x ) (đều có
hoành độ và tung độ âm). Đồng thời w = (- y ) + (-x ) = 1 = z . Suy ra điểm
2

2

biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O
một khoảng bằng OA. Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn. Chọn C.
Câu 16. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. i 2016 = -i .

B. i 2017 = 1 .
C. i 2018 = -1 .
D. i 2019 = i .
ì
ï

i 4k = 1
ï
ï
ï
ïi 4 k +1 = i 4 k .i = 1.i = i
Lời giải. Áp dụng công thức ï
.
í 4 k +2
ï
i
= i 4 k .i 2 = 1.(-1) = -1
ï
ï
ï
4 k +3
ï
= i 4 k .i 3 = 1.i 2 = 1.(-i ) = -1
ï
îi

Do đó ta lấy số mũ chia cho 4 để được số dư bao nhiêu thì ứng với công thức
trên.
Chọn C.
Câu

17.

Tìm

các


giá

trị

của

z = ( x + iy ) - 2 ( x + iy ) + 5 là số thực.

tham

số

thực

x, y

2

A. x = 1 và y = 0 .

C. x = 1 hoặc y = 0 .

B. x = -1 .
D. x = 1 .

Lời giải. Ta có z = ( x + iy ) - 2 ( x + iy ) + 5 = x 2 + 2ixy - y 2 - 2 x - 2iy + 5
2

= ( x 2 - y 2 - 2 x + 5) + 2 ( xy - y )i.


6

để

số

phức


éy = 0
Để z là số thực Û 2 ( xy - y ) = 0 Û ê
. Chọn C.
êx = 1
ë

Câu 18. Cho số phức z = a + bi (a; b Î  ) thỏa z + 1 + 3i - z i = 0. Tính S = a + 3b.

7
B. S = .
3

A. S = 5.

7
D. S = - .
3

C. S = -5.


Lời giải. Theo giả thiết, ta có a + bi + 1 + 3i - a 2 + b 2 i = 0
ì
ìa = -1
ïa + 1 = 0
ï
Û (a + 1) + b - a 2 + b 2 + 3 i = 0 Û ï
Ûï
í
í 2
2
2
ï
ïb - a + b + 3 = 0 ï
ï b +1 = b + 3
î
î
ì
a = -1
ï
ì
a = -1
ï
ï
ï
ï
Ûí 2
Ûí
¾¾
® S = a + 3b = -5. Chọn C.
ï

ïb = - 4
ï
î b +1 = b + 3 ï
ï
3
î

(

)

Câu 19. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k £ n, mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. C nk =

n!
.
k !(n - k )!

B. C nk =

C. C nk =

n!
.
n
( k )!

D. C nk =


n!
.
k!
k !(n - k )!
n!

.

Lời giải. Chọn A.
Câu 20. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P ( x ) = x (1 - 2 x ) + x 2 (1 + 3 x ) .
5

A. 80.

B. 3240.

C. 3320.

10

D. 259200.

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niutơn, ta có
x (1 - 2 x ) = x .å C 5k .(-2 x )
5

5

5-k


k =0

= å C 5k .(-2)
5

5-k

.x 6-k .

k =0

¾¾
® số hạng chứa x 5 tương ứng với 6 - k = 5 Û k = 1 .
Tương tự, ta có x 2 (1 + 3 x ) = x 2 .å C10l .(3 x )
10

10

10-l

l =0

= å C10l .310-l .x 12-l .
10

l =0

¾¾
® số hạng chứa x tương ứng với 12 - l = 5 Û l = 7 .
5


Vậy hệ số của x 5 cần tìm P ( x ) là C 51 .(2) + C107 .33 = 3320 . Chọn C.
4

Câu 21. Gieo một đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Gọi Ai là biến cố: "Mặt
sấp xuất hiện ở lần gieo thứ i " với i = 1, 2, 3. Khi biến cố A1 È A2 È A3 là biến cố
A. "Cả 3 lần gieo đều được mặt sấp".
B. "Mặt sấp xuất hiện không quá một lần ".
C. "Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần ".
D. "Cả 3 lần gieo đều được mặt ngửa ".

7


Li gii. Vỡ Ai l bin c: "Mt sp xut hin ln gieo th i " nờn Ai l bin c:
"Mt nga xut hin ln gieo th i ". Do ú A1 ẩ A2 ẩ A3 l bin c: "Mt nga
xut hin ớt nht mt ln". Chn C.
Cõu 22. Cho cp s nhõn (un ) vi u1 = 1, cụng bi q = 2 v cp s cng (vn ) cú
v1 = 2, cụng sai d = 2. Hi cú tt c bao nhiờu s cú mt ng thi trong 1000 s

hng u tiờn ca c hai cp s cng núi trờn?
A. 9.
B. 10.
C. 11.
n
1
ỡùun = 2
Li gii. D dng ta cú ùớ
vi
ùùvm = 2 + (m -1) 2 = 2m

ợ
Cho un = vm ắắ
đ 2 n-1 = 2m m = 2 n-2.

D. 12.

ỡùn, m ẻ
ùớ
.
ùùợ1 Ê n, m Ê 1000
*

Do m Ê 1000 nờn suy ra 2 n-2 Ê 1000 ị n - 2 Ê log 2 1000 ằ 9,9.
Suy ra cú 11 giỏ tr n nờn cú 11 phn t bng nhau. Chn C.
Cõu 23. Mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh AB = a, din tớch S1 . Ni
4 trung im A1 , B1 , C1 , D1 theo th t ca 4 cnh AB, BC , CD, DA
ta c hỡnh vuụng th hai l A1 B1C1 D1 cú din tớch S2 . Tip tc
nh th ta c hỡnh vuụng th ba l A2 B2C 2 D2 cú din tớch
S3 , ... v c tip

tc nh th, ta c din tớch S 4 , S5 , ... Tớnh S = S1 + S2 + S3 + ... + S100 .
2100 -1
A. S = 99 2 .
2 a

B. S =

a (2100 -1)
2 99


Li gii. Ta tớnh c S1 = a 2 ; S2 =

.

C. S =

a 2 (2100 -1)
2 99

.

D. S =

a 2 (2 99 -1)

a2
a2
a2
; S3 = ; ...; S100 = 99 .
2
4
2

1
Nh vy S1 , S2 , S3 , ..., S100 l cp s nhõn vi S1 = a 2 v cụng bi q = .
2
100
ổ 1 ửữ
ỗỗ ữ -1
a 2 (2100 -1)

ỗ ữ
q 100 -1
2 ố2ứ
Vy S = S1 + S2 + ... + S100 = S1 .
=a .
=
. Chn C.
1
q -1
2 99
-1
2
f ( x ) -10
f ( x ) -10
= 5. Khi ú lim
Cõu 24. Cho lim
bng
x đ1
x
đ
1
x -1
x -1 4 f ( x ) + 9 + 3

(

A. 1.

B.


5
.
3

)(

C. 2.

Li gii. Phng phỏp trc nghim '' Chn hm '' .
ùỡù f ( x ) -10 = h ( x )( x -1)
f ( x ) -10
= 5 suy ra ớ
T gi thit lim
.
x đ1
ùùlim h ( x ) = 5
x -1
ùợ x đ1
8

)

D. 10.

2 99

.


Ta chọn h ( x ) = 5, suy ra f ( x ) = 5 ( x -1) + 10 thay vào lim


(
5(

x ®1

ta được kết quả: lim
x ®1

A.

(

)(

x -1

5 ( x -1)

)

20 ( x -1) + 49 + 3

= lim
x ®1

f ( x ) -10

)(
x + 1)


x -1

)

4 f (x )+ 9 + 3

20 ( x -1) + 49 + 3

= 1. Chọn

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C )
như hình vẽ bên, d1 và d 2 là các tiếp tuyến

(C ). Dựa vào hình vẽ, hãy tính
P = 3 f ¢ (0) + 2 f ¢ (1).

của

A. P = -8.
C. P = 3.

B. P = -6.
D. P = 8.

ìïd1 : y = 2 ® f ¢ (0) = 0
. Vậy P = -6. Chọn
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra ïí
ïïd 2 : y = -3 x + 3 ® f ¢ (1) = -3
î

B.

Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J

lần lượt là trọng tâm các tam giác

ABC , ABD . Khẳng định nào sau đây đúng ?

2
A. IJ  CD và IJ = CD .
3
1
C. IJ  AB và IJ = AB .
3

2
AB .
3
1
D. IJ  CD và IJ = CD .
3
B. IJ  AB và IJ =

Lời giải. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD, BC .
Mà I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , ABD
nên:
AI
AJ
2
2

=
= ¾¾
® IJ  MN và IJ = MN .
AN
AM
3
3
1
Mà MN  CD và MN = CD .
2
1
Do đó, IJ  CD và IJ = CD . Chọn D.
3
Câu

27.

Tứ

diện

OABC

có

OA, OB, OC

đôi

một


vuông

góc

và

OA = 1, OB = 2, OC = 3. Tan của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ( ABC )

bằng
A.

13
.
6

B.

6
.
7

C.

9

6 7
.
7


D.

6 13
.
13


Lời giải. Kẻ OH ^ BC ( H Î BC ).

Ta chứng minh được (OAH ) ^ ( ABC ). Khi đó


.
OA
, ( ABC ) = OAH

Ta có OH =

OB.OC
OB + OC
2

2

=

6 13
.
13



 = OH = 6 13 . Chọn D.
Vậy tan (OA, ( ABC )) = tan OAH
OA
13

Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác

SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BD bằng
A. a.

B.

a 2
.
2

C.

a 21
.
7

D.

a 21
.
14


Lời giải. Gọi I là trung điểm của AD nên suy ra SI ^ AD Þ SI ^ ( ABCD ).
Kẻ Ax  BD. Do đó d [ BD, SA ] = d éë BD, (SAx )ùû = d éë D, (SAx )ùû = 2d éë I , (SAx )ùû .
Kẻ IE ^ Ax , kẻ IK ^ SE . Khi đó
d éë I , (SAx )ùû = IK .

S

Gọi F là hình chiếu của I trên BD,
AO a 2
=
.
2
4
Tam giác vuông SIE , có

ta có IE = IF =

IK =

SI .IE
SI + IE
2

=

2

Vậy d [ BD, SA ] = 2 IK =

a 21

.
14

D

K
x
E

a 21
. Chọn C.
7

C
F

I

O
B

A

Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A ¢B ¢C ¢D ¢. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AD, BB ¢. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ¢ bằng
A.

2
.
3


B.

3
.
3

C.

5
.
3

Lời giải. Gọi cạnh của hình lập phương là a .

10

D.

2
.
4



ỡù
ù AC ' = AB + AD + AA Â
Ta cú ớ
v
ùù AC Â = a 3

ùợ
ỡù 1 1
ùù MN = MA + AB + BN = AB - AD + AA Â
ùù
2
2
.
ớ
ùù
a 6
2
2
2
2
2
ùùNM = MB + BN = AM + AB + BN =
2
ùợ

ổ 1 1 ử
1
1
Suy ra MN . AC Â = AB + AD + AA Â ỗỗ AB - AD + AA Âữữữ = AB 2 + AA Â 2 - AD 2 = a 2 .
ỗố
ứ
2
2
2
2


(

)



MN . AC Â
a2
2
Khi ú cos ( MN , AC Â) = cos MN , AC Â = =
=
. Chn A.
3
6
MN . AC Â
a 3.a
2
Â
Â
Â
Â
Cỏch 2. Gi di cnh hỡnh lp phng ABCD. A B C D l a.

(

)

Chn h trc ta Oxyz sao cho O A, B ẻ Ox , D ẻ Oy, A Â ẻ Oz .

Khi ú, ta cỏc nh: A (0;0;0), B (a;0;0), D (0; a ;0), A Â (0;0; a ), B Â (a ;0; a ), C (a; a; a ).

ổ a ử
M l trung im ca AD ị M ỗỗ0; ;0ữữữ
ỗố 2 ứ
ổ
aử
N l trung im ca BB Â ị N ỗỗa;0; ữữữ
ỗố
2ứ

ổ
a aử
Do ú MN = ỗỗa; - ; ữữữ v AC Â = (a; a; a ).
ỗố
2 2ứ


Cosin gúc gia AC Â v MN l



MN . AC Â
cos ( MN , AC Â) = cos MN , AC Â = =
MN . AC Â

(

)

a2
a 3.a


6
2

=

2
.
3

Cõu 30. Cho khi lng tr tam giỏc u ABC . A ÂB ÂC Â cú cnh ỏy bng a, gúc
gia ng thng B ÂC v mt ỏy bng 30. Khong cỏch gia hai ng thng
A ÂC v B ÂC Â bng

A.

a 15
.
5

B.

a 3
.
13

C.

đ B ÂC Â ( A ÂBC )
Li gii. Ta cú BC B ÂC Â ắắ

11

a 39
.
13

D.

a 15
.
15


¾¾
® d éë A ¢C , B ¢C ¢ùû = d éëê B ¢C ¢, ( A ¢BC )ùûú = d éëêC ¢, ( A ¢BC )ùûú = d éëê A, ( A ¢BC )ùûú .

(vì trung điểm của AC ¢ nằm trên mặt phẳng ( A ¢BC ) )

a 3
 
¢CB = 30°, suy ra BB ¢ = a tan 30° =
Ta có ( B ¢C , ( ABC )) = B
= AA ¢.
3
ì
ï
1
a3
ï
VA ¢. ABC = . AA ¢.SDABC =

ï
ï
3V
3
12
a 39
Ta có ïí
¾¾
® d éëê A, ( A ¢BC )ùûú = A ¢. ABC =
. Chọn D.
2
ï
S
13
a
13
ï
DA ¢BC
ï
ïSDA ¢BC = 4 3
ï
î

Câu 31. Một hình chóp có 2018 cạnh. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt?
A. 1010.
B. 1014.
C. 2017.
D. 2019.
Lời giải. Hình chóp có 2018 cạnh trong đó có 1009 cạnh bên và 1009 cạnh đáy
Do đó hình chóp có 1009 mặt bên. Hình chóp có 1 mặt đáy nữa nên có 1010

mặt.
Chọn A.
Câu 32. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với
nhau; AB = 6a, AC = 7a và AD = 4 a. Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các
cạnh BC , CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP .
A. V =

7 3
a .
2

B. V = 7a 3 .

C. V =

28 3
a .
3

D. V = 14 a 3 .

Lời giải. Thể tích khối tứ diện

1
1
AB. AC . AD = 6a.7a.4 a = 28a 3 .
6
6
1
1

= SDBCD suy ra VAMNP = VABCD = 7a 3 .
4
4

VABCD =
Ta có SDMNP
Chọn B.

Câu 33. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có
cạnh huyền bằng 2 3. Thể tích của khối nón đã cho bằng
A. p 3.

B. 3p.

C. 3p 2.

D. 3p 3.

Lời giải.

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng 2 3 nên hình nón đã cho có bán kính r = 3 và chiều cao h = 3 .
12


1
1
Vậy thể tích khối nón đã cho là: V = pr 2 h = p
3
3


( 3) .
2

3 = p 3. Chọn A.

Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường
thẳng SA vuông góc đáy ( ABCD ). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng

SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD bằng
A. a.

B. a 2.

C.

a
.
2

D.

a 2
.
2

Lời giải. Gọi O = AC Ç BD. Vì ABCD là hình vuông

(1)


nên OB = OD = OC .

Dễ dàng chứng minh được AH ^ HC nên tam giác

AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh
huyền AC nên suy ra OH = OC .

(2 )

Từ (1) và (2), suy ra R = OH = OB =

a 2
. Chọn D.
2

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A (2;1; -1),

B (3;0;1), C (2; -1;3), điểm D thuộc Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Tọa

độ của đỉnh D là
A. D (0; -7;0).

B. D (0;8;0).

C. D (0; -7;0) hoặc D (0;8;0).

Lời giải. Gọi D (0; y;0).

Áp dụng công thức V =
Câu


36.

Trong

1
6

D. D (0;7;0) hoặc D (0; -8;0).

  
é AB. AC ù . AD = 5 Û -4 ( y -1) - 2 = 30 Û éê y = -7 . Chọn C.
êë
úû
êy = 8
ë

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,


cho

(S ) : x + y + z - 2 x + 4 z -11 = 0 là phương trình mặt cầu và (a ) : x + y - z + 3 = 0
2

2

2

là phương trình mặt phẳng . Biết mặt cầu (S ) cắt mặt phẳng (a ) theo giao tuyến
là đường tròn (T ). Vhu vi của đường tròn (T ) bằng
B. 2p.

A. p.

C. 4 p.

Lời giải. Mặt cầu (S ) có tâm là O (1;0; -2) và bán kính

R = 4.

Gọi I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (a ) khi đó

OI = d éëO , (a )ùû =
Gọi

r

là


bán

1 + 0 - (-2) + 3
12 + 12 + (-1)

kính

2

đường

= 2 3.
tròn

r = R 2 - OI 2 = 2.

13

(T ),

khi

đó

D. 6p.


Vậy C(T ) = 2pr = 4 p. Chọn C.


Câu 37. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxz ) có phương trình là
A. z = 0.

B. x + y + z = 0.

D. x = 0.

C. y = 0.

Lời giải. Chọn C.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A (1;0;0), B (0;2;0),

C (0;0; m ). Để mặt phẳng ( ABC ) hợp với mặt phẳng (O xy ) một góc 60 0 thì giá trị

của m là
5
12
2
12
B. m = ± .
C. m = ±
D. m = ± .
.
.
2
5
5
5



Lời giải. Ta có AB = (-1;2;0) , AC = (-1;0; m ).
 

Suy ra mặt phẳng ( ABC ) có một VTPT là n = éê AB, AC ùú = (2m; m;2).
ë
û

Mặt phẳng (O xy ) có một VTPT là k = (0;0;1).

A. m = ±

Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và (Oxy ). Ta có

 
2m.0 + m.0 + 2.1
1
12
cos j = cos 60 0 Û cos n, k = cos 60 0 Û
= Ûm=±
. Chọn C.
2
5
(2 m ) + m 2 + 2 2 2

( )

Câu
d:

39.


Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz , cho

đường

thẳng

x -1 y - 7 z - 3
=
=
và mặt phẳng ( P ) : 3 x - 2 y - z + 5 = 0. Khoảng cách giữa d
2
1
4

và ( P ) bằng


9 14
.
14

Lời giải. Đường thẳng d đi qua điểm M (1;7;3) và có một VTCP ud = (2;1;4 ).

Mặt phẳng ( P ) có một VTPT nP = (3; -2; -1).
 
 
ìïu .n = 6 - 2 - 4 = 0 ïìïud .nP = 0
Ûí
. Do đó d song song với ( P ).
Ta có ïí d P
ïîï3.1 - 2.7 - 3 + 5 ¹ 0
ïï M Ï ( P )
î
3 -14 - 3 + 5
9
9 14
Vì d  ( P ) nên d éë d , ( P )ùû = d éë M , ( P )ùû =
=
=
. Chọn D.
14
9 + 4 +1
14

A.


14.

B.

14 14
.
9

C.

6

14

.

D.

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét mặt phẳng ( P ) :

x y z
+ + =1 (
a b c

a, b, c là ba số cho trước khác 0) và đường thẳng d : ax = by = cz . Chọn khẳng

định đúng trong các khẳng định sau
A. d nằm trong ( P ).

B. d song song với ( P ).

14


C. d cắt ( P ) tại một điểm nhưng không vuông góc với ( P ).
D. d vuông góc với ( P ).

æ 1 1 1ö

1
bc ; ac ; ab ).
Lời giải. Mặt phẳng ( P ) có một VTPT nP = çç ; ; ÷÷÷ =
çè a b c ø abc (

x
y
z
Đường thẳng d : ax = by = cz Û = =
¾¾
® d có một VTCP ud = (bc ; ac ; ab ).
bc ac ab


Nhận thấy nP cùng phương với ud . Chọn D.

Câu 41. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số
y = f ¢ ( x ) như hình bên dưới

Hàm số g ( x ) = f (1 - x ) +

x2

- x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng
2

sau?
A. (-3;1).

B. (-2;0).

Lời giải. Ta có g ¢ ( x ) = - f ¢ (1 - x ) + x -1.
Để

g ¢ ( x ) < 0 Û f ¢ (1 - x ) > x -1.

Đặt

f ¢ (t ) > -t .

Kẻ đường thẳng

y = -x

æ
3ö
C. çç-1; ÷÷÷.
çè
2ø

D. (1;3).

t = 1 - x , bất phương trình trở thành


cắt đồ thị hàm số

x = -3; x = -1; x = 3 (như hình vẽ)

15

f ' ( x ) lần lượt tại ba điểm


Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình
é t < -3
é1 - x < -3
éx > 4
f ¢ (t ) > -t Û ê
Þê
Ûê
. Đối chiếu đáp án ta chọn B.
ê1 < t < 3 ê1 < 1 - x < 3 ê-2 < x < 0
ë
ë
ë
Câu 42. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x + 2018) + m 2
có 5 điểm cực trị?
A. 1.
C. 4.

B. 2.

D. 5.

Lời giải. Vì hàm f ( x ) đã cho có 3 điểm cực trị nên f ( x + 2018) + m 2 cũng luôn có

3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).
Do đó ycbt Û số giao điểm của đồ thị f ( x + 2018) + m 2 với trục hoành là 2.
Để số giao điểm của đồ thị f ( x + 2018) + m 2 với trục hoành là 2, ta cần

® m 2 £ -2 : vô lý
• Tịnh tiến đồ thị f ( x ) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ¾¾

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f ( x ) lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6
đơn vị

é 2 £m< 6
m Î
¾¾
® 2 £ m 2 < 6 Û êê
¾¾¾
® m Î {-2; 2}. Chọn B.
êë- 6 < m £ - 2

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

16


S nghim ca phng trỡnh f ( x 2 -1) = 4 l
A. 1.


B. 2.

C. 3.

D. 4.

Li gii. t t = x -1 ắắ
đ phng trỡnh tr thnh f (t ) = 4. õy l phng trỡnh
2

honh giao im ca th hm s f (t ) v ng thng y = 4. Da vo bng

bin thiờn ta thy ng thng y = 4 cú im chung vi th hm s f (t ) ti
hai im cú honh ln lt l -2 v a vi a > 3.
Vi t = -2 ắắ
đ x 2 -1 = -2 : vụ nghim.

đ x 2 -1 = a x 2 = a + 1 x = a + 1. Chn B.
Vi t = a > 3 ắắ
Cõu 44. Cho bt phng trỡnh

x 4 + x 2 + m - 3 2 x 2 + 1 + x 2 ( x 2 -1) > 1 - m ( m l

3

tham s). Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m bt phng trỡnh nghim
ỳng vi mi x > 1.
A. m > 1.

5

C. m > .
4

B. m 1.

4
2
ỡ
3
ù
ùa = x + x + m
ắắ
đ a 3 - b 3 = x 4 - x 2 + m -1.
Li gii. t ù
ớ
ù
2
3
ù
ù
ợb = 2 x + 1

5
D. m .
4

xet ham
Khi ú bt phng trỡnh tr thnh a - b + a 3 - b 3 > 0 a 3 + a > b 3 + b ắắắđ
a>b


a 3 > b 3 x 4 - x 2 -1 > -m.

Xột hm s f ( x ) = x 4 - x 2 -1 trờn (1; +Ơ).

Ta cú f  ( x ) = 4 x 3 - 2 x = 2 x (2 x 2 -1) > 0, "x > 1.

Suy ra hm s f ( x ) ng bin trờn (1;+Ơ) v liờn tc trờn [1; +Ơ).

Do ú yờu cu bi toỏn -m Ê min f ( x ) = f (1) = -1 hay m 1. Chn B.
[1;+Ơ)

1

1

1

Cõu 45. Cho x , y, z l cỏc s thc dng tha 64 x + 8 y + 4 z = 3.4 2018. Giỏ tr ln
1
1
1
3029
+
+
+
bng
x + 4 y + 3z 2 x + 2 y + 3z x + 2 y + 6 z
2
B. 2018.
C. 2019.

D. 2020.

nht ca biu thc P =
A. 2017.

17


ỡ
ù
16
1
1
1
1
ù
Ê +
+
+
ù
ù
x
+
4
y
+
3
z
x
2

y
2
y
3
z
ù
ù
ù
16
1 1
1
1
1 4 ổ3
3
1 ử 3029
ù
Li gii. Ta cú ù
Ê + +
+
ị P Ê . ỗỗ +
+ ữữữ +
.
ớ
ỗ
ù
2 x + 2 y + 3z x x 2 y 3z
16 3 ố x 2 y z ữứ
2
ù
ù

ù
16
1
1
1
1
ù
ù
Ê +
+ +
ù
ù
ù
ợ x + 2 y + 6 z x 2 y 3z 3z
3
1
3 3 1
1
1
+ +
ổ 3.4 2018 ửữ
3
3
3
1
ữữ = 3.2018.
+ Ê log 4 ỗỗ
M 3.4 2018 = 64 x + 8 y + 4 z 3 4 x 2 y z suy ra +
ỗố 3 ữứ
x 2y z

Suy ra P Ê
Cõu
1

ộ

ũ ờờở f
0

46.

2018 3029
+
= 2019. Chn C.
4
2

Cho

hm

s

f (x )

liờn

tc

2


[0;1]

trờn

v

tha

món

2ự
( x ) + 2 ln 2 ỳ dx = 2 ũ ộở f ( x ) ln ( x + 1)ựỷ dx . Tớch phõn I = ũ f ( x ) dx .
1

e ỳỷ

1

0

0

4
B. I = ln .
e

e
A. I = ln .
4


e
C. I = ln .
2

D. I = ln

2
.
e

Li gii. Bng phng phỏp tớch phõn tng phn ta tớnh c
1

ũ
0

ln 2 ( x + 1) dx = 2 ln 2

1

1

2
2
= ũ 2 ln 2 dx .
e
e
0


Do ú gi thit ũ ộở f ( x ) - ln (1 + x )ựỷ dx = 0 f ( x ) ln (1 + x ), "x ẻ [0;1].
2

0

1

Suy ra

ũ
0

1

4
f ( x ) dx = ũ ln (1 + x ) dx = ln . Chn B.
e
0

Cõu 47. Cho hm s y = f ( x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v. Bit f (0) = f (3)
v f (-1) = f (2).

Tp hp tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh f (2 sin x + 1) = f (m ) cú
ộ p pự
ỳng 3 nghim thuc ờ- ; ỳ l
ờở 2 2 ỳỷ
A. ( f (0); f (2)).
B. (0;2).

C. (-1;3) \ {0;2}.


18

D. (-1;3).


ộ p pự
x ẻ ờ- ; ỳ
ờ
ỳ

ở 2 2ỷ
Li gii. t t = 2 sin x + 1 ắắắắ
đ-1 Ê t Ê 3. Ta thy ng vi mi nghim t cho
ộ p pự
ta duy nht mt nghim x thuc ờ- ; ỳ . Do ú yờu cu bi toỏn f (t ) = f (m )
ờở 2 2 ỳỷ

cú ỳng

3

BBT
đ m ẻ (-1;3) \ {0;2}.
nghim thuc [-1;3] f (2) < f (m ) < f (0) ắắắ

Chn C.
Cõu 48. Trong mt bi thi trc nghim khỏch quan cú 10 cõu hi. Mi cõu cú 4
phng ỏn tr li, trong ú ch cú mt phng ỏn tr li ỳng. Mt hc sinh
khụng hc bi nờn lm bi bng cỏch chn ngu nhiờn (mi cõu ch c chn

mt phng ỏn). Xỏc sut hc sinh ú tr li ỳng 7 cõu bng
A.

C107 .C 33
.
410

B.

C107 .C 33
.
40

C.

C107 .33
.
410

D.

C107 .33
.
40

Li gii. Khụng gian mu l s phng ỏn tr li 10 cõu hi m hc sinh chn
ngu nhiờn. Suy ra s phn t ca khụng gian mu l n (W) = 410 .
Mi cõu ỳng cú 1 phng ỏn tr li, mi cõu sai cú 3 phng ỏn tr li. Do ú
hc sinh ú tr li ỳng 7 cõu: cú C107 .(3) kh nng thun li.
3


Vy xỏc sut cn tớnh P =

C107 .33
. Chn C.
410

1
, xỏc sut tr li sai mi cõu
4
7
3
ổ1ử ổ3ử
3
l . Do ú xỏc sut hc sinh tr li ỳng 7 cõu bng C107 ỗỗ ữữữ ỗỗ ữữữ .
ỗố 4 ứ ỗố 4 ứ
4

Cỏch khỏc. Xỏc sut tr li ỳng mi cõu l

Cõu 49. Cho t din u ABCD cú cnh bng a. Gi E l im i xng ca A
qua D. Mt phng qua CE v vuụng gúc vi mt phng ( ABD ) ct cnh AB ti
im F . Th tớch ca khi t din AECF bng
A.

2a 3
.
15

B.


2a 3
.
30

C.

2a 3
.
40

D.

Li gii. Gi G l trng tõm tam giỏc ABD, suy ra CG ^ ( ABD ).
Do ú mt phng cn dng l
F = EG ầ AB.

2a 3
.
60

(CEG ). Gi

Gi M l trung im AD, ỏp dng Menelaus cho
DABM , ta cú
FA GB FM
FA 2
.
.
= 1 ắắ

đ
= .
FB GM FA
FB 3
Ta cú

VAECF
AE AC AF
2 4
4
2a 3
=
.
.
= 2.1. = ắắ
đVAECF = VADCB =
. Chn A.
VADCB
AD AC AB
5 5
5
15

19


Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A (0; -1;3),
B (-2; -8; -4 ),

C (2; -1;1)


và mặt cầu

(S ) : ( x -1) + ( y - 2) + ( z - 3) = 14. Gọi
2

2

2


 
M ( x M ; y M ; z M ) là điểm trên (S ) sao cho biểu thức 3 MA - 2 MB + MC đạt giá trị

nhỏ nhất. Tính P = x M + y M .
A. P = 0.

C. P = 6.

B. P = 14.

D. P = 3 14.

Lời giải. Mặt cầu (S ) có tâm I (1;2;3).

 
 
 
 
Ta có 3 MA - 2 MB + MC = 3 MK + KA - 2 MK + KB + MK + KC



 
= 2 MK + 3KA - 2 KB + KC với K là điểm tùy ý.

  
® K (3;6;9) cố định.
Chọn K sao cho 3KA - 2 KB + KC = 0 ¾¾

 


 
Khi đó 3 MA - 2 MB + MC = 2 MK = 2 MK . Để 3 MA - 2 MB + MC khi và chỉ khi

(

(

) (

) (
)

)

MK nhỏ nhất. Lại có M Î (S ) nên M là giao điểm của IK với mặt cầu (S ) .

Đường thẳng IK :


x -1 y - 2 z - 3
.
=
=
1
2
3

Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ
2
2
2
ì
ï
( x -1) + ( y - 2) + ( z - 3) = 14
ï
é M 1 (2;4;6)
ï
ï
¾¾
® êê
.
í x -1 y - 2 z - 3
ï
M 2 (0;0;0)
=
=
ï
ê
ë

ï
2
3
ï
î 1
ìï M K = 14
® P = x M + y M = 6. Chọn C.
Ta có ïí 1
. Vậy ta chọn điểm M 1 (2;4;6) ¾¾
ïï M K = 3 14
2
ïî
Nhận xét. Nếu bài toán yêu cầu lớn nhất thì kết luận điểm M 2 .

20