ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT
LƯỢNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2018 - 2019
Môn thi: TOÁN

ĐỀ VIP 03

Thời gian làm bài: 90
phút
Câu 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị
của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê
ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm
số đó là hàm số nào?

x -2
.
x +1
x +2
C. y =
.
x -2
A. y =

x -2
.
x -1
x +2
D. y =
.
x -1
B. y =

® loại C và D.
Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2;0) ¾¾

® chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0;2) ¾¾

Câu 2. Cho hàm số y =

2 x -1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x +2

A. Hàm số đã cho đồng biến trên .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên  \ {-2}.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥;0).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +¥).

Lời giải. Tập xác định: D =  \ {-2}. Đạo hàm y ¢ =

5

( x + 2)

2

> 0, "x ¹ -2.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -2) và (-2; +¥) .

Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥). Chọn D.

Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng
biến của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:
 Hàm số đồng biến trên (-2; +¥) ;
 (1; +¥) Ì (-2; +¥) .

Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥).
Câu 3. Tìm điểm cực đại x 0 của hàm số y = x 3 - 3 x + 1.
A. x 0 = -1.
B. x 0 = 0.
C. x 0 = 1.

1

D. x 0 = 2.


é x = -1 ® y (-1) = 3
.
Lời giải. Ta có y ' = 3 x 2 - 3 = 3 ( x 2 -1); y ' = 0 Û êê
êë x = 1 ® y (1) = -1

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 . Chọn A.

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau
x

-¥


-2

y'
+¥

+¥

1
+

-

+¥

y

2
-¥
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:

® đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;
• lim y = +¥ ¾¾
x ®+¥

•


lim + y = +¥ ¾¾
® x = -2 là TCĐ;

x ® (-2)

• lim+ y = -¥ ¾¾
® x = 1 là TCĐ.
x ®1

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận. Chọn B.
Câu 5. Với a, b, x là các số thực dương thỏa mãn log 5 x = 4 log 5 a + 3 log 5 b. Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. x = 3a + 4b.

B. x = 4 a + 3b.

C. x = a 4 b 3 .

D. x = a 4 + b 3 .

® x = a4b3.
Lời giải. Ta có log 5 x = 4 log 5 a + 3 log 5 b = log 5 a 4 + log 5 b 3 = log 5 (a 4 b 3 ) ¾¾
Chọn C.

Câu 6. Tìm đạo hàm của hàm số y = log 2 éê(1 + x 2 )(2 + cos 2 x )ùú .
ë
û
2x
2 sin 2 x

2 x ln 2 2 ln 2 sin 2 x
.
A. y ¢ =
B. y ¢ =
+
.
2
2
+
cos 2 x ) ln 2
2 + cos 2 x
1+ x 2
(
(1 + x ) ln 2
C. y ¢ =

2 x ln 2 2 ln 2 sin 2 x
.
2 + cos 2 x
1+ x 2

D. y ¢ =

2x

(1 + x ) ln 2
2

+


2 sin 2 x
.
(2 + cos 2 x ) ln 2

2
é(1 + x 2 )(2 + cos 2 x )ù ¢
ê
ûú = 2 x (2 + cos 2 x ) - 2 sin 2 x (1 + x )
Lời giải. Ta có y ¢ = ë
(1 + x 2 )(2 + cos 2 x ) ln 2
(1 + x 2 )(2 + cos 2 x ) ln 2

=

2x

(1 + x ) ln 2
2

-

2 sin 2 x
. Chọn B.
(2 + cos 2 x ) ln 2

2


Câu 7. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình
A. 0.


log (10 x ) = log

x
.
10

B. 1.

C. 2.
D. 4.
x
Lời giải. Ta có log (10 x ) = log Û 1 + log x = log x -1
10
ì
log
x
³
1
ï
Ûï
Û log x = 3 Û x = 1000. Chọn B.
í 2
ï
ï
îlog x - 2 log x + 1 = log x + 1
Câu 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ln x 2 < 0.
A. S = (-1;1).

B. S = (0;1).


C. S = (-1;0).

D. S = (-1;1) \ {0}.

Lời giải. Điều kiện: x > 0 Û x ¹ 0.
2

Bất phương trình Û x 2 < e 0 = 1 Û x Î (-1;1).

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm S = (-1;1) \ {0}. Chọn D.
Câu 9. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng,
lãi suất 2% /quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi
quý, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau
đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước
đó. Tổng số tiền người đó nhận được một năm sau khi gửi tiền (cả vốn lẫn lãi)
gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 210 triệu.

B. 212 triệu.

C. 216 triệu.

D. 220 triệu.

Lời giải. Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là 100 (1 + 2%) triệu.
4

Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là 100 (1 + 2%) triệu.
2


Vậy tổng số tiền nhận là 100 (1 + 2%) + 100 (1 + 2%) = 212,283216 triệu. Chọn B.
4

2

Câu 10. Cho hai hàm số F ( x ) = ( x 2 + ax + b ) e - x và f ( x ) = (-x 2 + 3 x + 6) e - x . Tìm a
và b để F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ).
A. a = 1, b = -7. B. a = -1, b = -7.

C. a = -1, b = 7.

D. a = 1, b = 7.

® F ¢ ( x ) = f ( x ).
Lời giải. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) ¾¾

Ta có F ¢ ( x ) = éëê-x 2 + (2 - a ) x + a - b ùûú e - x .

ì2 - a = 3 ì
ï
ïa = -1
Ûï
. Chọn B.
Đồng nhất ta được ï
í
í
ï
ïa - b = 6 ï
ïb = -7

î
î
p
2

Câu 11. Biết rằng I = ò cos xdx = a + b 3 với a và b là các số hữu tỉ. Tính

P = a - 4b.

9
A. P = ×
2

p
3

B. P = 3.

1
C. P = - ×
2

3

1
D. P = ×
2


p

2

Li gii. Ta cú I = ũ cos xdx = sin x
p
3

p
2
p
3

ỡùa = 1
ù
ổ 1 ữử
3
ỗ
= 1= 1 + ỗ- ữữ. 3 ắắ
đ ùớ
ỗ
ùùb = - 1
ố 2ứ
2
ùợ
2

ắắ
đ P = a - 4b = 3. Chn B.

Cõu 12. Hỡnh v bờn biu din trc honh
ct th y = f ( x ) ti ba im cú honh

0, a, b (a < 0 < b ). Gi S l hỡnh phng

gii hn bi th y = f ( x ) v trc honh,
khng nh no sau õy sai?
0

b

A. S = -ũ f ( x ) dx + ũ f ( x ) dx .
0

a

C. S =

0

ũ
a

f ( x ) dx +

b

ũ
0

f ( x ) dx .

0


b

a

0

B. S = ũ f ( x ) dx + ũ f ( x ) dx .
D. S =

b

ũ
a

f ( x ) dx .

Li gii. Chn B.
Cõu 13. Kớ hiu H l hỡnh phng gii hn bi cỏc ng

y = ex,

y = 0, x = 0 v x = 1. ng thng x = k (0 < k < 1)

chia H thnh hai phn cú din tớch tng ng S1 , S2 nh
hỡnh v bờn, bit S1 > S2 . Mnh no sau õy l ỳng?
e -1
.
2
e +2

.
C. e k >
2

e +1
.
2
e +3
.
D. e k >
2

A. e k >

B. e k >

k

Li gii. Ta cú S1 = ũ e x dx = e x
0

k
0

1

= e k -1 v S2 = ũ e x dx = e x
k

Theo gi thit S1 > S2 e k -1 > e - e k e k >


1
k

= e -ek.

e +1
. Chn B.
2

Cõu 14. Mt ụ tụ ang chy vi vn tc 10 (m/s) thỡ ngi lỏi xe p phanh. T
thi im ú, ụ tụ chuyn ng chm dn u vi vn tc v (t ) = -2t + 10 (m/s),

trong ú t l khong thi gian c tớnh bng giõy, k t lỳc bt u p
phanh. Tớnh qung ng ụ tụ di chuyn c trong 8 giõy cui cựng.
A. 16m.
B. 25m.
C. 50m.
D. 55m.
Li gii. Ta cú phng trỡnh: -2t + 10 = 0 t = 5.
Suy ra thi gian tớnh t lỳc bt u p phanh n khi dng l 5 giõy. Vy
trong 8 giõy cui cựng thỡ cú 3 giõy ụ tụ chuyn ng vi vn tc 10m/s v 5

4


giây chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = -2t + 10 (m/s). Suy ra quảng
5

đường ô tô di chuyển là s = 3.10 + ò (-2t + 10) dt = 30 + 25 = 55 m. Chọn D.

0

Câu 15. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên?
A. z1 = 1 - 2i.
B. z1 = 1 + 2i.
C. z1 = -2 + i.
D. z1 = 2 + i.
Lời giải. Chọn C.
Câu 16. Cho số phức z = (1 + i ) (1 + 2i ). Số phức z có phần ảo là
2

A. -2.

B. 2.

C. 4.

D. 2i.

Lời giải. Ta có z = (1 + i ) (1 + 2i ) = -4 + 2i. Suy ra phần ảo của z là 2. Chọn B.
2

Câu 17. Tìm hai số thực x và y thỏa (2 x - 3 yi ) + (1 - 3i ) = x + 6i với i là đơn vị
ảo.

A. x = -1; y = -3.
C. x = 1; y = -1.

B. x = -1; y = -1.

D. x = 1; y = -3.

Lời giải. Ta có (2 x - 3 yi ) + (1 - 3i ) = x + 6i Û x + 1 + (-3 y - 9)i = 0
ì
ì
ïx + 1 = 0
ï x = -1
Ûï
Ûï
. Chọn A.
í
í
ï
ï
3
y
9
=
0
ï
ï y = -3
î
î

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i ) z +

2 (1 + 2i )
1+ i

= 7 + 8i . Kí hiệu a, b lần lượt


là phần thực và phần ảo của số phức w = z + 1 + i . Tính P = a 2 + b 2 .
A. P = 5.
B. P = 7.
C. P = 13.
D. P = 25.
2 (1 + 2i )
2 (1 + 2i )
= 7 + 8i Û (2 + i ) z = 7 + 8i Lời giải. Ta có (2 + i ) z +
1+ i
1+ i
4 + 7i
Û (2 + i ) z = 4 + 7i Û z =
Û z = 3 + 2i .
2 +i
ì
ïa = 4
Suy ra w = z + 1 + i = 4 + 3i ¾¾
®ï
¾¾
® P = 16 + 9 = 25. Chọn D.
í
ï
ï
îb = 3
Câu 19. Trong tam giác Pascal, tính tổng của tất cả các số hạng từ hàng thứ 1
đến hàng thứ 11.
A. 1023.

B. 2 047.


C. 8191.

D. 4 095.

Lời giải. Tổng tất cả các số hạng từ hàng thứ 1 đến hàng thứ 11 là:
S = 2 + 2 + 2 + ... + 2
0

1

2

10

=

(

2 0. 1 - 210
1- 2

) = 2047.

Chọn B.

Câu 20. Tính tổng S = C 20n + C 21n + C 22n + ... + C 22nn .
A. S = 2 2 n.

B. S = 2 2 n -1.


C. S = 2 n.

5

D. S = 2 2 n + 1.


Lời giải. Khai triển nhị thức Niutơn của (1 + x ) , ta có
2n

(1 + x ) = C 20n + C 21n x + C 22n x 2 +  + C 22nn x 2 n .
2n

Cho x = 1 , ta được C 20n + C 21n + C 22n +  + C 22nn = (1 + 1) = 2 2 n. Chọn A.
2n

Câu 21. An chọn ngẫu nhiên một số thực bất kỳ thuộc đoạn [0;3], Bình chọn
ngẫu nhiên một số thực bất kỳ thuộc đoạn [0;6 ]. Xác suất để số của Bình lớn
hơn số của An bằng
A.

1
.
2

Lời giải. Đặt x ,

B.


2
.
3

C.

3
.
4

D.

7
.
8

y lần lượt là số của An và Bình

chọn; M ( x ; y ) là một điểm thuộc hình chữ nhật

OABC với A (3;0), B (0;6).

Mà y > x nên điểm M ( x ; y ) thuộc phần của hình
chữ nhật phía trên đường thẳng y = x

(phần tô

đậm).
Dựa vào hình vẽ ta thấy xác suất hình học bằng


3
.
4

Chọn C.
Câu 22. Cho (un ) là một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu tính được theo công
thức Sn = 5n 2 + 3n với n Î  * . Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó là
ìu1 = -8
ì
ìu1 = 8
ïìu = -8
ï
ïu = 8
ï
.
.
.
.
A. ïí 1
B. ï
C. ïí 1
D. ï
í
í
ïïîd = 10
ï
ï
ï
ï
ï

ï
îd = -10
îd = 10
îd = -10
ïìS1 = 5.12 + 3.1 = 8
ïìu = 8
ïìu = 8
Û íï 1
Û íï 1
Þ d = u2 - u1 = 10. Chọn C.
Lời giải. Có ïí
2
ïïS2 = 5.2 + 3.2 = 26 ïïîu1 + u2 = 26 ïïîu2 = 18
î
Câu 23. Ông Nam đã trồng cây ca cao trên mảnh đất của mình có dạng hình
tam giác, ông trồng ở hàng đầu tiên 3 cây ca cao, kể từ hàng thứ hai trở đi số
cây ca cao phải trồng ở mỗi hàng nhiều hơn 5 cây so với số cây đã trồng ở hàng
trước đó và ở hàng cuối cùng ông đã trồng 2018 cây ca cao. Số cây ca cao mà
ông Nam đã trồng trên mảnh đất của mình là
A. 407231 cây. B. 407232 cây.
C. 408242 cây.

D. 408422 cây.

Lời giải. Số cây ca cao trồng ở mỗi hàng là cấp số cộng với u1 = 3 và d = 5.
Ta có un = 2018 Û u1 + (n -1) d = 2018 Û 3 + 5 (n -1) = 2018 Û n = 404.
Số cây ca cao ông Nam trồng là S 404 = u1 + u2 +  + u404 =
Chọn C.
6


404 (2u1 + 403d )
2

= 408242.


Cõu 24. Giỏ tr lim
x đ2

A. 1.

x3 -8
bng
x2 -4
B. 2.

Li gii. Ta cú lim
x đ2

D. +Ơ.

C. 3.

( x - 2)( x + 2 x + 4 )
x -8
x + 2 x + 4 12
= lim
= lim
=
= 3. Chn C.

2
x
đ
2
x
đ
2
x +2
4
x -4
( x - 2)( x + 2)
3

2

2

Cõu 25. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + 2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th
hm s bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng y = A. y = 45 x -173; y = 45 x + 83.
C. y = 45 x + 173; y = 45 x - 83.

B. y = 45 x -173.
D. y = 45 x - 83.

1
x.
45

Li gii. Gi M ( x 0 ; y0 ) l ta tip im v k l h s gúc ca tip tuyn.
ộ x0 = 5

ổ 1ử
.
Theo gi thit, ta cú k.ỗỗ- ữữữ = -1 k = 45 3 x 02 - 6 x 0 = 45 ờ
ỗố 45 ứ
ờ x 0 = -3
ở

ùỡ y = 52
ắắ
đ Phng trỡnh tip tuyn: y = 45 x -173.
Vi x 0 = 5 đ ùớ 0
ùùợk = 45
ùỡ y = -52
ắắ
đ Phng trỡnh tip tuyn: y = 45 x + 83. Chn A.
Vi x 0 = -3 đ ùớ 0
ùùợk = 45

Cõu 26. Cho hỡnh chúp S . ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vi AB CD. Gi I
l giao im ca AC v BD. Trờn cnh SB ly im M . Giao tuyn ca hai mt
phng ( ADM ) v (SAC ) l
A. SI .

B. AE ( E l giao im ca DM v SI ).

C. DM .

D. DE ( E l giao im ca DM v SI ).

Li gii. Ta cú A l im chung th nht.

ỡùE ẻ SI è (SAC )
Gi E = SI ầ DM ị ùớ
ùùE ẻ DM è ( ADM )
ợ

ị E l im chung th hai.

Vy AE l giao tuyn ca ( ADM ) v (SAC ). Chn B.
Cõu 27. Cho hỡnh lng tr u ABC . A ÂB ÂC Â cú AB = 3 v AA Â = 1. Gúc to bi
gia ng thng AC Â v ( ABC ) bng
A. 30.

B. 45.

C. 60.

7

D. 75.


Li gii. Vỡ CC Â ^ ( ABC ) nờn
ÂAC .
AC Â, ( ABC )) = (
AC Â, AC ) = C
(

ÂAC =
Vy tan C


1
CC Â
ÂAC = 30. Chn A.
=
, suy ra C
AC
3

Cõu 28. Cho lng tr ng ABC . A ÂB ÂC Â cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A,

AB = a, AC = a 3 v BB ÂC ÂC l hỡnh vuụng. Khong cỏch gia hai ng thng
AA Â v BC Â bng
A. a.

B. a 3.

C.

a 3
.
2

D.

3a 2
.
4

Li gii. Gi H l hỡnh chiu ca A lờn BC .
ỡ

ù AH ^ BC
ị AH ^ ( BB ÂC ÂC ) ị AH ^ BC Â.
Ta cú ù
ớ
ù
ù
ợ AH ^ BB Â

Suy ra AH l on vuụng gúc chung ca AA Â v BC Â
nờn
AB.CA
a 3
d ộở AA Â, BC Âựỷ = AH =
=
. Chn C.
2
2
2
AB + AC

Cõu 29. Cho hỡnh lp phng ABCD. A ÂB ÂC ÂD Â cú cnh bng a. Gúc gia hai
ng thng AB Â v BC Â bng
A. 30.
B. 45.

C. 60.

D. 90.

Li gii. Gi O = AC ầ BD, I = B ÂC ầ BC Â. Suy ra OI AB Â. Khi ú


AB Â, BC Â =
OI , BI .

(

) (

)

AB Â a 2
BD a 2
=
=
.
v IB = BO =
2
2
2
2
= 60. Vy (
Suy ra DIBO u ắắ
đ BIO
AB Â, BC Â) = 60. Chn C.

Ta cú OI =

8



Câu 30. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
AC = a 3. Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Khoảng

cách từ B đến mặt phẳng (SAC ) bằng
A.

a 39
.
13

B. a.

C.

2a 39
.
13

S

a 3
.
2

D.

Lời giải. Gọi H là trung điểm của BC ,
suy ra SH ^ BC Þ SH ^ ( ABC ).

Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK ^ AC .

Kẻ HE ^ SK ( E Î SK ).

Khi đó d éë B, (SAC )ùû = 2d éë H , (SAC )ùû
= 2 HE = 2.

SH .HK
SH 2 + HK 2

=

E

B

2a 39
. Chọn C.
13

A
K

H
C

Câu 31. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao
nhiêu cạnh?
A. 8.
C. 12.

B. 9.

D. 16.

Lời giải. Chọn D.
Câu 32. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và có các mặt bên
đều là hình vuông. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2a 3 3.

B. 3a 3 2.

C.

2a 3 2
.
3

D.

2a 3 2
.
4

ìï
ïïS = (2a )2 . 3 = a 2 3
Lời giải. Từ giả thiết, ta có í day
¾¾
®V = Sday .h = 2a 3 3. Chọn A.
4
ïï
ïïîh = 2a


Câu 33. Cho hình thang ABCD vuông A và B với AB = BC =

AD
= a. Quay hình
2

thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC . Tính thể tích V
của khối tròn xoay được tạo thành.
A. V =

4 pa 3
.
3

B. V =

5pa 3
.
3

C. V =

7pa 3
.
3

D. V = pa 3 .

Lời giải. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích hình
trụ có bán kính đáy AB và đường sinh AD trừ đi phần thể

tích hình nón có bán kính đáy OD = AB
OC = AD - BC .
9

và đường cao


1
1
5pa 3
. Chọn B.
Vậy V = p AB 2 . AD - pOD 2 .OC = pa 2 .2a - pa 2 .a =
3
3
3

Câu 34. Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000
chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng
kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay
hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục
AD (xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng

kể, chiều cao 7,2 cm; đường kính miệng cốc bằng
6,4 cm; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm. Kem được đổ

đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa
hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ
sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào
trong các giá trị sau
A. 132 dm 3 .


B. 170 dm 3 .

C. 293 dm 3 .

D. 954 dm 3 .

Lời giải. Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm:
• Thể tích của hình nón cụt có lớn R = 3,2 cm, r = 0,8 cm và h = 7,2 cm.
• Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R = 3,2 cm.

1
2
Suy ra V = ph ( R 2 + Rr + r 2 ) + p R 3 » 170 cm 3 .
3
3
Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là: 170.103 cm 3 = 170 dm 3 . Chọn B.

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho sáu điểm A (1;2;3), B (2; -1;1),
   
C (3;3; -3), A ¢, B ¢, C ¢ thỏa mãn A ¢A + B ¢B + C ¢C = 0. Nếu G ¢ là trọng tâm tam giác
A ¢B ¢C ¢ thì G ¢ có tọa độ là
æ 4 1ö
æ
æ 4 1ö
æ
4 1ö
4 1ö
A. çç2; ; - ÷÷÷.
B. çç2; - ; ÷÷÷.

C. çç2; ; ÷÷÷.
D. çç-2; ; ÷÷÷.
çè 3 3 ø
çè
ç
ç
è 3 3ø
è
3 3ø
3 3ø
   
      
Lời giải. Ta có A ¢A + B ¢B + C ¢C = 0 Û A ¢G ¢ + G ¢A + B ¢G ¢ + G ¢B + C ¢G ¢ + G ¢C = 0
  
  

Û A ¢G ¢ + B ¢G ¢ + C ¢G ¢ + G ¢A + G ¢B + G ¢C = 0
  

Û G ¢A + G ¢B + G ¢C = 0.

(
(

)

) (

)


æ 4 1ö
Suy ra G ¢ cũng là trọng tâm của tam giác ABC nên có tọa độ G ¢ çç2; ; ÷÷÷. Chọn
çè 3 3 ø
C.

Câu

36.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

(S ) : ( x - a ) + ( y - b ) + z 2 - 2cz = 0 là phương trình mặt cầu, với a, b, c là các số
2


2

thực và c ¹ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
10


A. (S ) luụn i qua gc ta O.

B. (S ) tip xỳc vi mt phng (Oxy ).
C. (S ) tip xỳc vi trc Oz .

D. (S ) tip xỳc vi cỏc mt phng (Oyz ) v (Ozx ).

Li gii. Vit li (S ) : ( x - a ) + ( y - b ) + ( z - c ) = c 2 .
2

2

2

Suy ra (S ) cú tõm I (a; b; c ), bỏn kớnh R = c .

đ (S ) tip xỳc vi mt phng (Oxy ). Chn B.
Nhn thy R = c = d ộở I , (Oxy )ựỷ ắắ
Cõu

37.

Trong


khụng

gian

vi

h

ta



Oxyz ,

cho

mt

phng

(a ) : 4 x - 3 y - 7z + 3 = 0 v im I (1;-1;2). Phng trỡnh mt phng (b ) i xng

vi (a ) qua I l

A. (b ) : 4 x - 3 y - 7 z - 3 = 0.

B. (b ) : 4 x - 3 y - 7 z + 11 = 0.

C. (b ) : 4 x - 3 y - 7 z -11 = 0.


D. (b ) : 4 x - 3 y - 7 z + 5 = 0.

Li gii. Do (b ) i xng vi (a ) qua I nờn (b ) (a ).
Suy ra (b ) : 4 x - 3 y - 7 z + D = 0 vi D ạ 3.

Chn M (0;1;0) ẻ (a ), suy ra ta im N i xng vi M qua I l N (2; -3;2).
Rừ rng N (2; -3;4 ) ẻ (b ) nờn thay ta vo phng trỡnh (b ) ta c D = 11.
Vy phng trỡnh mt phng (b ) : 4 x - 3 y - 7 z + 11 = 0. Chn B.

Cõu 38. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , ly cỏc im A (a;0;0), B (0; b;0),
C (0;0; c ) trong ú a > 0, b > 0, c > 0 v

1 1 1
+ + = 2. Khi a, b, c thay i, mt
a b c

phng ( ABC ) luụn i qua mt im c nh cú ta
A. (1;1;1).

B. (2;2;2).

ổ1 1 1ử
C. ỗỗ ; ; ữữữ.
ỗố 2 2 2 ứ

Li gii. Phng trỡnh mt chn ca mt phng ( ABC ) l:

ổ 1 1 1ử
D. ỗỗ- ; - ; - ữữữ.
ỗố 2 2 2 ứ


x y z
+ + = 1.
a b c

1 1 1
1 1 1
đ 2 + 2 + 2 = 1. Kt hp vi a > 0, b > 0, c > 0 suy ra
T gi thit + + = 2 ắắ
a b c
a b c
ổ1 1 1ử
mt phng ( ABC ) luụn i qua mt im c nh cú ta l ỗỗ ; ; ữữữ. Chn C.
ỗố 2 2 2 ứ
ùỡù x = 1
ù
Cõu 39. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng d : ùớ y = 2 + 3t .
ùù
ùùợ z = 5 - t

ng thng d i qua im no di õy?
A. M (1;5;4 ).

B. M (-1; -2; -5).

C. M (0;3; -1).

11

D. M (1;2; -5).



Li gii. Kim tra ta thy ỏp ỏn A tha món. Chn A.
Cõu
d:

40.

Trong

khụng

gian

vi

h

ta



Oxyz ,

cho

ng

thng


x +1
y
z -2
=
=
v hai im M (-1;3;1), N (0;2; -1). im P (a; b; c ) thuc d
-2
-1
1

sao cho tam giỏc MNP cõn ti P . Khi ú 3a + b + c bng

2
A. - .
3

B. 1.

C. 2.

D. 3.

ắ P (-1 - 2t ; -t ;2 + t ).
Li gii. Do P ẻ d ơắ

M DMNP cõn ti P nờn PM = PN

(2t ) + (t + 3) + (t + 1) = (2t + 1) + (t + 2) + (t + 3) t = 2

2


2

2

2

2

2
3

ổ1 2 4 ử
1
2
4
đ a = , b = , c = ị 3a + b + c = 3. Chn D.
Do ú P ỗỗ ; ; ữữữ ắắ
ỗố 3 3 3 ứ
3
3
3

Cõu

41.

Cho

a


thc

f (x )

h

s

thc

v

tha

iu

kin

2 f ( x ) + f (1 - x ) = x , "x ẻ . Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s thc m hm s
2

y = 3 x . f ( x ) + (m -1) x + 1 ng bin trờn .

A. m ẻ .

B. m

10
.

3

C. m Ê 1.

D. m > 1.

Li gii. T gi thit, thay x bi x -1 ta c 2 f (1 - x ) + f ( x ) = ( x -1) .
2

ỡ
ù
2 f ( x ) + f (1 - x ) = x 2
ù
Khi ú ta cú ớ
ắắ
đ 3 f ( x ) = x 2 + 2 x -1.
2
ù
2
f
1
x
+
f
x
=
x
2
x
+

1
(
)
(
)
ù
ù
ợ
đ y  = 3 x 2 + 4 x + m - 2.
Suy ra y = x 3 + 2 x 2 + (m - 2) x + 1 ắắ

ỡDÂ Ê 0
ù
10
4 - 3 (m - 2) Ê 0 ắắ
đ m . Chn B.
YCBT y  0, "x ẻ ù
ớ
ù
3
ù
ợa = 3 > 0

Cõu 42. Cho hm s y = f ( x ) cú o hm trờn v cú bng xột du ca
y = f Â(x )

Hi hm s g ( x ) = f ( x 2 - 2 x ) cú bao nhiờu im cc tiu?
A. 1.

B. 2.


C. 3.

D. 4.
ộ2 x - 2 = 0
Li gii. Ta cú g  ( x ) = (2 x - 2) f  ( x 2 - 2 x ); g  ( x ) = 0 ờờ
2
ờở f  ( x - 2 x ) = 0

12


ộx = 1
ộx = 1
ờ
ờ
ờ x 2 - 2 x = -2
ờ x = 1 2 (nghiem kep)
theo BXD f '( x )
ờ
ơắắắắđ ờ 2
ờờ
.
ờ x - 2 x = 1(nghiem kep) ờ x = -1
ờ 2
ờ
ờở x - 2 x = 3
ờở x = 3

Bng bin thiờn


Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn A.
Cõu 43. Cho hm s y = f ( x ) liờn tc trờn v cú th
nh hỡnh v bờn. Xột hm s g ( x ) = f (2 x 3 + x -1) + m. Tỡm

m max g ( x ) = -10.
[0;1]

A. m = -13.
C. m = -1.

B. m = -12.
D. m = 3.

Li gii. t t ( x ) = 2 x 3 + x -1 vi x ẻ [0;1]. Ta cú t  ( x ) = 6 x 2 + 1 > 0, "x ẻ [0;1].
đ t ẻ [-1;2 ].
Suy ra hm s t ( x ) ng bin nờn x ẻ [0;1] ắắ

đ max ộở f (t ) + m ựỷ = 3 + m.
T th hm s ta cú max f (t ) = 3 ắắ
[-1;2 ]

[-1;2 ]

Theo yờu cu bi toỏn ta cn cú: 3 + m = -10 m = -13. Chn A.
Cõu 44. Cho hm s y = f ( x ). Hm s y = f  ( x ) cú
ổ 1ử
th nh hỡnh bờn. Bit f (-1) = 1, f ỗỗ- ữữữ = 2. Bt phng
ốỗ e ứ
ổ

1ử
trỡnh f ( x ) < ln (-x ) + m ỳng vi mi x ẻ ỗỗ-1; - ữữữ khi v
ỗố
eứ

ch khi
A. m > 2.
C. m > 3.

B. m 2.
D. m 3.

ổ
1ử
Li gii. Bt phng trỡnh m > f ( x ) - ln (-x ) ỳng vi mi x ẻ ỗỗ-1; - ữữữ
ốỗ
eứ

m max g ( x ) vi g ( x ) = f ( x ) - ln (-x ).
ộ
ự
1
ờ-1;- ỳ
e ỷỳ
ởờ

ỡ
ổ
ù
1ử

ù
f  ( x ) > 0, "x ẻ ỗỗ-1; - ữữữ
ù
ỗ
ù
ố
ổ
eứ
1
1ử
Ta cú g  ( x ) = f  ( x ) - . Do ùớ
ắắ
đ g  ( x ) > 0, "x ẻ ỗỗ-1; - ữữữ.
ù
ốỗ
ổ
x
eứ
1
1ử
ù
- > 0, "x ẻ ỗỗ-1; - ữữữ
ù
ù
ỗ
ố
eứ
ù
ợ x


13


ổ
ộ
1ử
1ự
Suy ra hm s g ( x ) ng bin trờn ỗỗ-1; - ữữữ v liờn tc trờn ờ-1; - ỳ nờn
ỗố
ờở
eứ
e ỳỷ
ổ 1ử
max g ( x ) = g ỗỗ- ữữữ = 3. Chn D.
ộ
ỗố e ứ
1ự
ờ
ỳ
-1;e ỷỳ
ởờ

Cõu 45. Cho a, b l cỏc s thc tha món a 2 + b 2 > 1 v log a2 +b 2 (a + b ) 1. Giỏ tr
ln nht ca biu thc P = 2a + 4b - 3 bng
A.

1
10

B.


.

10
.
2

C.

10.

D. 2 10.

ổ
1ử ổ
1ử
1
a 2 +b 2 >1
đ a + b a 2 + b 2 ỗỗa - ữữữ + ỗỗb - ữữữ Ê .
Li gii. Ta cú log a2 +b 2 (a + b ) 1ơắắắ
ỗố
ỗ
2ứ ố
2ứ
2
ộổ
ự
ử
ổ
ử

1
1
3
Ta cú a + 2b = ờỗỗa - ữữữ + 2 ỗỗb - ữữữỳ + . p dng bt ng thc Bunhiacopxky, ta cú
ờởốỗ
ốỗ
2ứ
2 ứỳỷ 2
2

2

2
2
2
ộổ
ộổ
ổ
1ử
1 ửự
1ử ổ
1ử ự
1 5
ờỗỗa - ữữ + 2 ỗỗb - ữữỳ Ê (12 + 2 2 ) ờỗỗa - ữữ + ỗỗb - ữữ ỳ Ê 5. = .
ờốỗ
ữ ốỗ
ữ ỳ
ờởốỗ
ốỗ
ứ

ứ
2 ứữ
2 ứữỳỷ
2
2
2 2
ờở
ỳỷ

ổ
ổ
1ử
1ử
10
10 3
ắắ
đ a + 2b Ê
+ ắắ
đ P = 2a + 4b - 3 Ê 10.
Do ú ỗỗa - ữữữ + 2 ỗỗb - ữữữ Ê
ỗố
ỗ
ố
2ứ
2ứ
2
2
2
5 + 10
5 + 2 10

; b=
. Chn C.
10
10
ổ1 1ử
2
.
Cỏch 2. Ta thy (1) l hỡnh trũn tõm I ỗỗ ; ữữữ , bỏn kớnh R =
ỗố 2 2 ứ
2

Du " = " xy ra a =

Ta cú P = 2a + 4b - 3 D : 2a + 4b - 3 - P = 0. Xem õy l phng trỡnh ng
thng.
ng thng v hỡnh trũn cú im chung d [ I , D] Ê R
1
1
2. + 4. - 3 - P
2
2
2

Ê
P Ê 10 ắắ
đ P Ê 10.
2
4 + 16

Cõu 46. Cho hm s

p
2

ũ
0

ộ pự
f ( x ) cú o hm liờn tc trờn ờ 0; ỳ , tha món
ởờ 2 ỷỳ

f ' ( x ) cos 2 xdx = 10 v f (0) = 3. Tớch phõn

A. I = -13.
p
2

ũ

Li gii. Xột

0

p
2

B. I = -7.

ũ
0


f ( x ) sin 2 xdx bng

C. I = 7.

D. I = 13.

ỡu = cos 2 x
ỡdu = - sin 2 xdx
ù
ù
f ' ( x ) cos 2 xdx = 10 , t ù
ịù
.
ớ
ớ
2
ù
ùdv = f ' ( x ) cos xdx ù
ù
ợv = f ( x )
ợ

Khi ú 10 = ũ f ' ( x ) cos 2 xdx = cos 2 xf ( x )
0

p
2

p
2

0

p
2

+ ũ f ( x ) sin 2 xdx
0

14


p
2

p
2

0

0

10 = - f (0) + ũ f ( x ) sin 2 xdx ắắ
đ ũ f ( x ) sin 2 xdx = 10 + f (0) = 13. Chn D.

Cõu 47. Cho hm s y = f ( x ) liờn tc trờn v cú
th nh hỡnh. Tp hp tt c cỏc giỏ tr thc tham s m
phng trỡnh f (cos x ) = m cú 3 nghim phõn bit
ổ 3p ự
thuc khong ỗỗ0; ỳ l
ốỗ 2 ỳỷ


A. [-2;2 ].

B. (0;2).

C. (-2;2).

D. (0;2 ].

Li gii. phng trỡnh f (cos x ) = m cú 3 nghim x phõn bit thuc khong

ổ 3p ự
ỗỗ0; ỳ thỡ phng trỡnh f (cos x ) = m phi cú hai nghim cos x phõn bit, trong
ỗố 2 ỷỳ

ú cú 1 nghim thuc (-1;0 ] v mt nghim thuc (0;1).
Da vo th, suy ra m ẻ (0;2). Chn B.

Cõu 48. Hai chung nht th, mi con th cú lụng ch mang mu trng hoc
mu en. Bt ngu nhiờn mi chung mt con th. Bit tng s th trong hai
chung l 35 v xỏc sut bt c hai con th lụng mu en l

247
. Xỏc
300

sut bt c hai con th lụng mu trng bng
A.

1

.
75

B.

7
.
75

C.

1
.
150

D.

7
.
150

Li gii. Gi s th chung th nht l x , khi ú s th chung th hai l
35 - x .
1
S phn t khụng gian mu l W = C x1 .C 35
-x .

Gi a l s th en chung th nht;

b l s th en chung th hai ( a, b nguyờn dng).

Khụng gim tớnh tng quỏt gi s a b.
Ta cú xỏc sut bt c hai con th en l
C a1C b1
247
ab
247
=

=
1 1
300
x (35 - x ) 300
C x C 35-x

ùỡùab 247 (= 19.13 = 247.1) ỡùa = 19
ùỡùa = 19
ùù
ùù
ù
ù
ị ớ x (35 - x ) 300
ị ớb = 13
ị ùớb = 13 .
ùù
ùù
ù
ùùa, b < 35
ùù x (35 - x ) = 300 ùùùợ x = 20
ợ
ợ

1.2
1
Vy xỏc sut bt c hai con th lụng trng l
=
. Chn C.
300 150

15


(

)

Cõu 49. Cho hỡnh chúp S . ABC cú SA = x 0 < x < 3 , tt c cỏc cnh cũn li u
bng 1 . Th tớch ln nht ca khi chúp ó cho bng
A.

1
.
4

B.

1
.
8

C.


1
.
12

D.

1
.
16

Li gii. Ta cú tam giỏc ABC v SBC l nhng tam giỏc u cnh bng 1 .
đ SN =
Gi N l trung im BC ắắ

3
.
2

Trong tam giỏc SAN , k SH ^ AN .

(1)

ùỡBC ^ AN
ắắ
đ BC ^ (SAN ) ắắ
đ BC ^ SH .
Ta cú ùớ
ùùợBC ^ SN

(2 )


T (1) v (2) , suy ra SH ^ ( ABC ) .

1
1
1 3 3 1
Khi ú VS . ABC = SDABC .SH Ê SDABC .SN = .
.
= .
3
3
3 4 2
8

Du '' = '' xy ra H N . Chn B.

Cõu 50. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im A (0;1;2), mt phng

(a ) : x - y + z - 4 = 0 v (S ) : ( x - 3) + ( y -1) + ( z - 2) = 16. Gi ( P ) l mt phng i
2

2

2

qua A, vuụng gúc vi (a ) v ng thi ( P ) ct mt cu (S ) theo giao tuyn l
mt ng trũn cú bỏn kớnh nh nht. Ta giao im M ca ( P ) v trc xOx Â
l
ổ 1
ử

ổ 1
ử
ổ1
ử
A. M ỗỗ- ;0;0ữữữ. B. M (1;0;0).
C. M ỗỗ- ;0;0ữữữ.
D. M ỗỗ ;0;0ữữữ.
ỗố 3
ỗ
ỗ
ứ
ố 2
ứ
ố3
ứ

Li gii. Mt phng ( P ) l mt phng i qua A (0;1;2) v cú VTPT n = (a; b; c ).
Khi ú

( P ) : ax + by + cz - b - 2c = 0 (a 2 + b 2 + c 2 > 0).

( P ) vuụng gúc vi (a ) nờn a - b + c = 0.

( P ) ct mt cu (S ) theo giao tuyn l mt ng trũn cú bỏn kớnh nh nht
khi v ch khi khong cỏch t tõm mt cu n mt phng ( P ) l ln nht. Ta
cú
3a
vi I (3;1;2)
d ộở I , ( P )ựỷ =
2

a + b2 + c 2
16


=

Du " = " xy ra

3
ổ
c ử ổc ử
1 + ỗỗ1 + ữữữ + ỗỗ ữữữ
ỗố
a ứ ỗố a ứ
2

c
1
= - a = -2c ắắ
đ b = -c .
a
2

2

=

3
ổc ử
c

2. ỗỗ ữữữ + + 1
ỗố a ứ
a
2

Ê 6.

ổ 1
ử
Chn c = -1, suy ra ( P ) 2 x + y - z + 1 = 0. Khi ú ( P ) ầ xOx  = M ỗỗ- ;0;0ữữữ. Chn C.
ốỗ 2
ứ

17