KĨ THUẬT ÁP DỤNG NGUYÊN TẮC DIRICLET
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Cơ sở của phương pháp dựa trên nguyên lí DIRICHLET nhà toán học Đức P.G.Lejeune
Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà về sau người ta gọi là Nguyên lí Dirichlet,
nguyên lý được phát biểu như sau:
“Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng (m,n Î N ,n>m) thì ta sẽ tìm được một chiếc lồng mà trong
én ù
đó không ít hơn ê ú+1 con thỏ”
ê
ëm ú
û
Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa ứng dụng hết sức quan trọng. Đó là:
Mệnh đề: Trong 3 số thực bất kì x, y , z thì phải có 2 số có tích không âm.
Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức
của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh BĐT. Chẳng hạn đẳng thức xảy
ra khi a = b = c = k thì ta có thể giả sử trong 3 số a - k ; b - k ; c - k

có ít nhất 2 số có tích

không âm.
Giả sử 2 số (a - k ) , (b - k ) có tích không âm khi đó thì (a - k )(b - k ) ³ 0
A. Các ví dụ :
I. Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải bài tập chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 1. Cho các số thực dương a, b, c.
Chứng minh rằng:

a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +1 ³ 2(ab + bc + ca )
Lời giải.

Nếu a = b = c thì

a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +1 = 2(ab + bc + ca ) Þ 3a 2 + 2a 3 +1 = 6a 2 Û 2a 3 - 3a 2 +1 = 0
Û 2a 3 - 2a 2 - a 2 + a - a +1 = 0 Û ( a - 1) ( 2a 2 - a - 1) = 0
2

Û ( a - 1) ( 2a +1) = 0 Û a = 1
Nên dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích không âm.
. Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 thì
2c ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Þ 2abc ³ 2bc + 2ca - 2c .

Ta có

1


a 2 + b2 + c 2 + 2abc +1 ³ a 2 + b 2 + c 2 +1 + 2bc + 2ac - 2c = ( a 2 + b 2 ) +( c 2 +1) + 2bc + 2ac - 2c
Û a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +1 ³ ( a 2 + b 2 ) +( c 2 +1) + 2bc + 2ac - 2c
Û a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +1 ³ 2ab + 2c + 2bc + 2ac - 2c = 2(ab + bc + ca)
ïìï ( a - 1) ( b - 1) = 0
ï
Û a = b = c =1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ïí a = b
ïï
ïï c = 1
î
Ví dụ 2.
Cho x; y; z dương thỏa mãn xyz = 1
2
2
2

Chứng minh rằng: x + y + z + x + y + z ³ 2 ( xy + yz + zx )

Lời giải.
Nếu x = y = z thì
x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z = 2 ( xy + yz + zx ) Þ 3x 2 + 3x = 6 x 2 Þ 3x ( 1- x ) = 0 Û x = 1;( vi x > 0)
Dự đoán điểm rơi x = y = z = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( x - 1) , ( y - 1) , ( z - 1) có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử ( x - 1) ( y - 1) ³ 0
Nên ( x - 1) ( y - 1) ³ 0 Þ xy - x - y +1 ³ 0 Þ xyz ³ xz + yz - z
Theo BĐT Cauchy : x + y + z ³ 3 3 xyz = 3
BĐT (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được:
x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ³ x 2 + y 2 + z 2 + 3 ³ 2 ( xy + yz + zx )
Ta có
x 2 + y 2 + z 2 + 3 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz +1 ³ x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xz + yz - z ) +1
Û ( x 2 + y 2 ) + ( z 2 +1) + 2 ( xz + yz - z ) ³ 2 xy + 2 z + 2 ( xz + yz ) - 2 z = 2 ( xy + yz + zx )
2
2
2
Nên x + y + z + x + y + z ³ 2 ( xy + yz + zx ) Dấu “=’ xảy ra

ìï ( x - 1) ( y - 1) = 0
ïï
ïí x = y = z
Û x = y = z =1
ïï
ïï z = 1
î
Ví dụ 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

( a 2 + 2) (b 2 + 2)(c2 + 2) ³

Lời giải
Nếu a = b = c

2

9( ab + bc + ca )


( a 2 + 2) (b 2 + 2)(c 2 + 2) = 9(ab + bc + ca) Û ( a 2 + 2)

3

= 27a 2

Û a 6 + 6a 4 +12a 2 + 8 = 27 a 2
2

a 6 + 6a 4 - 15a 2 + 8 = 0 Û ( a 2 - 1) ( a 2 + 8) = 0 Þ a = 1;(vi a > 0)
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 2 - 1; b 2 - 1; c 2 - 1 có ít nhất 2 số có tích không âm.
sử 2 số a 2 - 1; b 2 - 1 nên
(a 2 - 1)(b 2 - 1) ³ 0 Û a 2b 2 - a 2 - b 2 +1 ³ 0 Û a 2b 2 + 2a 2 + 2b 2 + 4 ³ 3a 2 + 3b 2 + 3
Û ( a 2 + 2) ( b 2 + 2) ³ 3( a 2 + b 2 +1) Û ( a 2 + 2) ( b 2 + 2) ( c 2 + 2) ³ 3( a 2 + b 2 +1) ( 1 +1 + c 2 )
Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy
Dãy 1 a , b ,1 dãy 2 : 1 , 1 , c ta có
3( a 2 + b 2 +1) ( 1 +1 + c 2 ) ³ 3( a + b + c) ³ 9(ab + bc + ca) nên
2

( a 2 + 2) (b 2 + 2)(c 2 + 2) ³


9( ab + bc + ca )

ìï ( a 2 - 1)(b 2 - 1) = 0
Û a = b = c = 1 a=b=c=1
Dấu “=” xảy ra khi ïí
ïïî a = b = c
Ví dụ 4. Cho a,b,c không âm . Chứng minh rằng
2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + abc + 8 ³ 5(a + b + c )
Lời giải.
Nếu a = b = c
2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + abc + 8 = 5(a + b + c) Û 6 a 2 + a 3 + 8 = 15a Û a 3 + 6 a 2 - 15a + 8 = 0
2

Û ( a - 1) ( a + 8) = 0 Þ a = 1 ;(vi a > 0)
điểm rơi a=b=c=1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích không âm..
Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 0
Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Þ abc ³ bc + ac - c .
2
2
2
2
2
2
Nên 2 ( a + b + c ) + abc + 8 ³ 2 ( a + b + c ) + bc + ac - c + 8 (*)

Ta cần chứng minh
2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + bc + ac - c + 8 ³ 5(a + b + c)
Û 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + bc + ac + 8 ³ 5(a + b) + 6c (**)
Ta có

4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2bc + 2ac +16

3

Dự đoán


= ( b + c) +( a + c ) + 3( a 2 +1) + 3( b 2 +1) + 2 ( c 2 +1) + 8 = P
2

2

2
ù+ é( a + c ) 2 + 4ù+ 3( a 2 +1) + 3( b 2 +1) + 2 ( c 2 +1)
Þ P=é
ê( b + c ) + 4û
ú ë
ê
ú
ë
û
Þ P ³ 4(b+ c) + 4(a + c) + 6 a + 6 b+ 4c = 10a +10b +12c

Þ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + bc + ac + 8 ³ 5(a + b) + 6c
2
2
2
Vậy BĐT (**) được chứng minh .Từ (*) & (*) ta có 2 ( a + b + c ) + abc + 8 ³ 5(a + b + c )

ìï ( a - 1) ( b - 1) = 0

ïï
Dấu “=” xảy ra khi ïí b + c = a + c = 2 Û a = b = c = 1
ïï
ïï a = b = c = 1
î
Ví dụ 5. Cho a, b, c dương abc=1 . Chứng minh rằng
1
1
1
+ 2 + 2 + 3 ³ 2(a + b + c )
2
a
b
c
Lời giải.
Nếu a = b = c
1
1
1
3
+ 2 + 2 + 3 = 2(a + b + c) Û 2 + 3 = 6a Û 6a 3 - 3a 2 - 3 = 0 Û 2a 3 - a 2 - 1 = 0
2
a
b
c
a
Dự đoán
2
Û ( a - 1) ( 2a + a +1) = 0 Þ a = 1
điểm rơi a = b = c = 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 0
Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Þ ab +1 ³ b + a Û 2ab + 2c + 2 ³ 2 ( a + b + c ) .(1)
Ta cần chứng minh

1
1
1
+ 2 + 2 + 3 ³ 2ab + 2c + 2
2
a
b
c

Ta có
1
1
1
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
+
+
+
3
=
+ 3 = a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 3
a 2 b2 c2
a 2b 2 c 2
Từ
2 2
2 2

2 2
2 2
2
2
2
2
Û a b + b c + c a + 3 = ( a b +1) + c ( a + b ) + 2 ³ 2ab + 2c ab + 2 = 2ab + 2c + 2 (2)
1
1
1
+ 2 + 2 + 3 ³ 2(a + b + c ) dấu “=” xảy ra khi
2
a
b
c
ìï ( a - 1) ( b - 1) = 0
ïï
ïï ab = 1
Û a = b = c =1
í
ïï abc = 1
ïï
ïïî a = b

(1) & (2) ta có

4


Ví dụ 6 .Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng

9abc +1 ³ 4(ab + bc + ca )
Lời giải.
Nếu a = b = c
9abc +1 = 4( ab + bc + ca) Þ 9 a 3 +1 =12a 2 Û 9 a 3 - 12 a 2 +1 = 0
1
Þ ( 3a - 1) ( 3a 2 - 3a - 1) = 0 Þ a = ;(do a + b + c = 1)
3
1
Dự đoán điểm rơi a = b = c =
3
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( 3a - 1) , ( 3b - 1) , ( 3c - 1) có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử
( 3a - 1) ( 3b - 1) ³ 0 Û 9ab - 3a - 3b +1 ³ 0 Û 9abc +1 ³ 3(ac + bc) - c +1
Ta phải chứng minh 3(ac + bc) - c +1 ³ 4(ab + bc + ca) (1)
Vì 1 = a + b + c Þ 1 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
Nên
3(ac + bc) - c +1 = 3(ac + bc) - c + a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
2

Û 3(ac + bc) - c +1 = 4(ab + bc + ca ) + c(a + b + c) - c+( a - b) ³ 4(ab + bc + ca )
Û 3(ac + bc) - c +1 ³ 4(ab + bc + ca) (2)
Từ (1) & (2) ta có 9abc +1 ³ 4(ab + bc + ca ) Dấu “=” xảy ra khi
ìï ( 3a - 1) ( 3b - 1) = 0
ïï
1
ïí a + b + c = 1
Û a =b =c =
ïï
3
ïï a = b

î
II. Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải bài toán tìm cực trị đại số
Ví dụ 1. Cho các số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm GTNN của biểu thức
A = ( x 4 + 2) ( y 4 + 2) ( z 4 + 2)
Lời giải
éx = 1
2
Nếu x = y = z thì xy + yz + zx = 3 Þ 3x = 3 Þ ê
ê
ëx =- 1
Dự đoán điểm rơi x 4 = y 4 = z 4 = 1
4
4
4
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số ( x - 1) ; ( y - 1) và ( z - 1) luôn tồn tại 2 số có tích
không âm.
4
4
Không mất tính tổng quát giả sử đó là ( x - 1) và ( y - 1) .
4
4
4 4
4
4
4 4
4
4
4
4
Suy ra: ( x - 1) ( y - 1) ³ 0 Þ x y ³ x + y - 1 Þ x y + 2 x + 2 y + 4 ³ 3x + 3 y + 3


Þ ( x 4 + 2) ( y 4 + 2) ³ 3( x 4 + y 4 +1)
Þ ( x 4 + 2) ( y 4 + 2) ( z 4 + 2) ³ 3( x 4 + y 4 +1) ( z 4 + 2)

5


Mt khỏc theo BT Bunhiacopxki ta cung cú:

( x 4 + y 4 +1) ( 1 +1 + z 4 ) ( x 2 + y 2 + z 2 )
4
4
4
Suy ra: A = ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) 27

2

2

( xy + yz + zx ) = 9

ỡù
ùù
ùù xy + yz + zx = 3
4
ù 4
x = y = z = 1
Du = xy ra ớ x = y = 1
ùù
1

ùù 4
4
ùù x = y = 4
z
ợ
Vy MinA = 27 x = y = z = 1 .
Vớ d 2. Cho ba s dng a, b, c. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
18
B = a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +
.
ab + bc + ca
Li gii
D oỏn im ri a = b = c = 1
Xột ba s a - 1, b - 1, c - 1 Theo nguyờn tc Dirichlet cú ớt nht 2 s cú tớch khụng õm.
Gi s : a - 1; b - 1 nờn
( a - 1)(b - 1) 0 ị ab a + b - 1 ị abc ( a + b - 1)c ị 2abc 2ac + 2bc - 2c
ị a 2 + b 2 + c 2 + 2abc a 2 + b2 + c 2 + 2ac + 2bc - 2c
ị a 2 + b 2 + c 2 + 2abc (a - b)2 + (c - 1) 2 + 2(ab + bc + ca) - 1
ị a 2 + b 2 + c 2 + 2abc 2(ab + bc + ca ) - 1
ổ
ử
18
9
ữ
- 1 = 2ỗ
ab + bc + ca +
Do ú: B 2(ab + bc + ca ) +
ữ
ỗ
ữ- 1 .

ỗ
ố
ab + bc + ca
ab + bc + ca ứ
Vi x, y > 0 ta luụn cú x + y 2 xy nờn:
9
9
2 (ab + bc + ca )
=6.
ab + bc + ca
ab + bc + ca
ỡù
ùù
ùù ( a - 1)(b - 1) = 0
ù
a = b = c =1
Do ú B 2.6 - 1 =11. Vy Min( B ) = 11. Khi ớ a = b; c = 1
ùù
9
ùù
ùù ab + bc + ca =
ab + bc + ca
ùợ
Vớ d 3. Cho cỏc s thc dng a, b,c tha món a + b + c = 3 .
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
C = a 2 + b 2 + c 2 + abc
Li gii
a
=
b

=
c
thi
a
+
b
+
c
=
3
ị
3
a
=
3
ị
a =1
Nu
ab + bc + ca +

D oỏn im ri a = b = c = 1
Xột ba s a - 1, b - 1, c - 1 Theo nguyờn tc Dirichlet cú ớt nht 2 s cú tớch khụng õm.
Gi s 2 s l a - 1, b - 1 ị ( a - 1) ( b - 1) 0 ab - a - b +1 0 abc ac + bc - c
Nờn

6


C = a 2 + b 2 + c 2 + abc ³ a 2 + b 2 + c 2 + ac + bc - c = C '
C ³ C '³


( a + b)

2

+ c + c ( a + b) - c =
2

2

( 3 - c)
2

2

2

+ c + c ( 3 - c) - c =
2

( c - 1) + 8
2

³ 4

ïìï a - 1 = b - 1
ïï
a =b
Min(C) = 4 Û ïí
Û a = b = c =1

ïï a + b + c = 3
ïï
ïî c = 1
Ví dụ 4. Cho các số không âm x, y , z thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
9
D = x 2 + y 2 + z 2 + xyz
2
Lời giải
1
Nếu x = y = z thi x + y + z = 1 Þ 3x = 1 Þ x =
3
1
Dự đoán điểm rơi x = y = z =
3
Theo nguyên tắc Dirichlet trong 3 số 1- 3 x;1- 3 y;1- 3 z có ít nhất hai số có tích không âm
giả sử 1- 3 x;1- 3 y nên ( 1- 3 x ) ( 1- 3 y ) ³ 0 Û 9 xy - 3 x - 3 y +1 ³ 0 Û 9 xyz ³ 3 xz + 3 yz - z
Nên
9
3 xz 3 yz z
D = x 2 + y 2 + z 2 + xyz ³ x 2 + y 2 + z 2 +
+
2
2
2
2
³

( x + y)

Mà


2

3z
z
( x + y) - + z 2 = D /
2
2
2
x + y = 1- z
/

+

Þ D³ D =

( 1- z )
2

2

+

3z
z 1- 2 z + z 2 3 z 3 z 2
z 1
+ + z2 - =
( 1- z ) + z 2 - =
2
2

2
2
2
2 2

ìï 1- 3 x = 0
ïï
1 ïï 1- 3 y = 0
1
Min(D) = Û í
Û x=y=z=
2 ïï x = y
3
ïï
ïî x + y + z = 1
Ví dụ 5. Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
E = 3( ab + bc + ca ) - abc
Lời giải
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 2
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 2) , ( b - 2) , ( c - 2) có tích không âm.Không mất
tính tổng quát, giả sử

7


( a - 2) ( b - 2) 0 ab - 2a - 2b + 4 0 abc 2ac + 2bc - 4c
E = 3( ab + bc + ca ) - abc Ê 3(ab + bc + ca ) - 2ac - 2bc + 4c = 3ab + ac + bc - 4c
2

3( a + b)

E = 3( ab + bc + ca ) - abc Ê
+ c ( a + b) + 4c
4
2

3( 6 - c )
E = ab + bc + ca - 2abc Ê
+ c ( 6 - c ) + 4c = 28 4

ổc
ỗ
ỗ
ỗ
ố2

2

ử
1ữ
ữ
ữ Ê 28
ứ

ỡù ( a - 2) ( b - 2) = 0
ùù
a =b =c =2
Max(E)=28 khi ùớ a = b
ùù
ùù c = 2
ợ

Vớ d 6. Cho a,b,c l cỏc s khụng õm v a + b +c =1
Tỡm giỏ tr ln nht ca : F = ab + bc + ca - 3abc
Li gii
1
D oỏn im ri a = b = c =
2
Theo nguyờn tc Dirichlet trong ba s 2a - 1; 2b - 1; 2c - 1 cú ớt nht 2 s cú tớch khụng õm.
1
Gi s 0 Ê c Ê b Ê a vỡ a + b + c = 1 nờn c <
2
2
a
1;
2
b
1
Gi s
cung du ta cú
( 2a - 1) ( 2b - 1) 0 4ab - 2a - 2b +1 0 4abc 2ac + 2bc - c
ac + bc c
2
4
2
ổac + bc c ử
ổ
ử
ổa + b ử
1
1
1 ổ

1ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
F Ê ab + bc + ca - 3ỗ
- ữ
=
ab
c
a
+
b
Ê
c
a
+
b
ữ
ữ
ữ= P
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ

ữ
ỗ 2
ỗ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
4
2
2
2
2
2ữ

abc

2

ổ
ử
1- c ử
1 ổ
1
ữ

ữ
ỗ
F Ê P =ỗ
c
c
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ 2 ố
ữ
ỗ
ỗ2
ố 2 ứ
ứ
2
1 ổ
1
ổ
1
1- c ử
ữ
ỗ
cỗ
Do > c 0; nờn ỗ
Ê
1;
ữ
ỗ
ỗ

ữ
ỗ
2 ố2
2
ố 2 ứ

ùỡù ộ2a - 1 = 0
ùù ờ
ùờ
ở2a - 1 = 0
1 ùù
Max (F) = ớ c = 0

4 ùù
ùù a + b + c = 1
ùù
ùợ a = b

2
ử
ổ
ử 1
1- c ử
1 ổ
1
ữ
ỗ
cữ

0

ữ
Suy ra P = ỗ
- cỗ
- cữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ữÊ 4
ỗ
ỗ
ứ
ố 2 ứ 2 ố2 ứ

1
ùỡù
ùớ a = b = 2
ùù
ùợ c = 0

Do vai tro a,b,c nh nhau nờn Max (F) =

1
1
khi cú 2 s bng
mt s bng 0
4
2


B. Bi tp ỏp dng
I. p dng nguyờn tc DIRICHLET gii bi toỏn chng minh bt ng thc

8


Bài tập 1. Cho các số thực dương a, b, c.
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + abc + 4 ³ 2(ab + bc + ca )
Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 2
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 2) , ( b - 2) , ( c - 2) có tích không âm.
. Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 2) ( b - 2) ³ 0 thì
c ( a - 2) ( b - 2) ³ 0 Û abc ³ 2bc + 2ca - 4c .
Ta có
a 2 + b2 + c 2 + abc + 4 ³ a 2 + b 2 + c 2 + 4 + 2bc + 2ac - 4c
= ( a 2 + b 2 ) +( c 2 + 4) + 2bc + 2ac - 4c
Û a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +1 ³ ( a 2 + b 2 ) +( c 2 + 4) + 2bc + 2ac - 4c
Û a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +1 ³ 2ab + 4c + 2bc + 2ac - 4c = 2(ab + bc + ca )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.
Bài tập 2. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

( a 2 + 4) (b 2 + 4)(c 2 + 4) ³

36( ab + bc + ca )

Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 2
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 2 - 2; b 2 - 2; c 2 - 2 có ít nhất 2 số có tích không âm.
sử 2 số a 2 - 2; b 2 - 2 nên
(a 2 - 2)(b 2 - 2) ³ 0 Û a 2b 2 - 4a 2 - 4b 2 +16 ³ 0 Û a 2b 2 + 4a 2 + 4b 2 + 4 ³ 6a 2 + 6b 2 +12

Û ( a 2 + 4) ( b 2 + 4) ³ 6 ( a 2 + b 2 + 2) Û ( a 2 + 4) ( b 2 + 4) ( c 2 + 4) ³ 6 ( a 2 + b 2 + 2) ( 2 + 2 + c 2 )
Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy
Dãy 1 a , b , 2

dãy 2 :

2 ,

2 , c

ta có

6 ( a 2 + b 2 + 2) ( 2 + 2 + c 2 ) ³ 12 ( a + b + c ) ³ 36(ab + bc + ca ) nên
2

( a 2 + 4) (b 2 + 4)(c 2 + 4) ³

36(ab + bc + ca )

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2
Bài tập 3 . Cho các số thực dương a , b , c Chứng minh rằng
a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ³ (a +1)(b +1)(c +1)

Hướng dẫn

9


a 2 + b2 + c 2 + 2abc + 3 ³ (a +1)(b +1)(c +1)
Û a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ³ ( ab + a + b +1) (c +1)

Û a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ³ abc + ab + bc + ca + a + b + c +1
Û 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc + 4 ³ 2 ( ab + bc + ca ) + 2 ( a + b + c ) (*)
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích không âm..
Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 0
Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Þ abc ³ bc + ac - c .
2
2
2
2
2
2
Nên 2 ( a + b + c ) + 2abc + 4 ³ 2 ( a + b + c ) + 2 ( bc + ca - c ) + 4 (1)
2
2
2
Ta chứng minh 2 ( a + b + c ) + 2 ( bc + ca - c ) + 4 ³ 2 ( ab + bc + ca ) + 2 ( a + b + c )

Ta có
2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2 ( bc + ca - c ) + 4
= ( a 2 + b 2 ) +( a 2 +1) +( b 2 +1) + 2 ( c 2 +1) + 2 ( bc + ca - c )

( a 2 + b2 ) +( a 2 +1) +( b2 +1) + 2 ( c 2 +1) + 2 ( bc + ca - c)
³ 2ab + 2a + 2b + 4c + 2bc + 2ac - 2c
Û 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2 ( bc + ca - c ) + 4 ³ 2 ( ab + bc + ca ) + 2 ( a + b + c ) (2)
Từ (1) &(2) suy ra BĐT (*) được chứng minh hay a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ³ (a +1)(b +1)(c +1)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Bài tập 4.
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
æ 1 ö

æ 1 ö
æ 1 ö
æ 1 ÷
ö æ 1
÷
÷
ç
ç
ç
ç
a + - 1÷
b
+
1
+
b
+
1
c
+
1
+ç
c+ ÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç

ç
֍
÷ è
֏
ç
ç c ø
ç a ÷
ç a
è b ø
è c ø
ø è

öæ 1
ç
1÷
a+ ÷
ç
֏
ç b
ø

ö
1÷
÷
÷³ 3
ø

Hướng dẫn
1
1

1
Đặt x = a + , y = b + , z = c + thì BĐT được viết lại thành
b
c
a

( x - 1) ( y - 1) +( y - 1) ( z - 1) +( z - 1) ( x - 1) ³ 3
Û xy - x - y +1 + yz - y - z +1 + xz - x - z +1 ³ 3
Û xy + yz + zx ³ 2 ( x + y + z )
Dự đoán điểm rơi x = y = z = 2
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( x - 2) , ( y - 2) , ( z - 2) có tích không âm. Không mất
tính tổng quát, giả sử ( x - 2) ( y - 2) ³ 0
Þ xy + 4 ³ 2 x + 2 y Þ 2 ( x + y + z ) £ 2 z + xy + 4 Û 2 z + xy + 4 ³ 2 ( x + y + z ) (1)

10


Ta phải chứng minh xy + yz + zx ³ 2 z + xy + 4
æ 1ö
æ 1÷
öæ 1 ÷
ö
1
1 1 1
ç
ç
xyz = ç
a+ ÷
b+ ÷
c+ ÷

= abc +
+ a +b +c + + +
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è b øè c øè a ø
abc
a b c
Û xyz = abc +

1
+ x + y + z ³ 2 + x + y + z ³ 2 + 2 xy + z
abc

Û z ( xy - 1) ³ 2

(

)

(

xy - 1 Þ z


)

xy - 1 ³ 2 Û z xy ³ 2 + z

xy + yz + zx = xy + z ( x + y ) ³ xy + 2 z xy = xy + 2 ( z + 2) = 2 z + xy + 4
Û xy + yz + zx ³ 2 z + xy + 4
Từ ( 1) và ( 2) ta suy ra
xy + yz + zx ³ 2 ( x + y + z ) hay ( x - 1) ( y - 1) +( y - 1) ( z - 1) +( z - 1) ( x - 1) ³ 3
æ 1
a+ suy ra ç
ç
ç
è b

öæ 1
çb + 1÷
÷
֍
ç
ø
è c

ö æ 1
ç
1÷
b+ ÷
ç
÷+è
ç c

ø

öæ 1
ç
1÷
c+ ÷
ç
֏
ç a
ø

ö æ 1
1÷
+ç
c+ ÷
ç
÷
ç a
ø è

öæ 1
ç
1÷
a+ ÷
ç
֏
ç b
ø

ö

1÷
÷
÷³ 3
ø

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2 , hay a = b = c = 1.
Bài tập 5. Cho 3 số thực a,b,c . Chứng minh rằng
a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2c 2 + 2 ³ 2(ab + bc + ca )
Hướng dẫn
2

2

2

Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 2 - 1; b 2 - 1; c 2 - 1 có ít nhất 2 số có tích không âm.
giả sử 2 số a 2 - 1; b 2 - 1 nên

c 2 ( a 2 - 1) (b 2 - 1) ³ 0 Þ a 2b 2 c 2 + c 2 ³ b 2 c 2 + c 2 a 2

Thay vào ta có
a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2 c 2 + 2 ³ a 2 + b 2 + 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
Û a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2 c 2 + 2 ³ ( a 2 + b 2 ) +( 1 + b 2c 2 ) +( 1 + a 2c 2 ) ³ 2(ab + bc + ca )
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = ±1
Bài tập 6. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

( a + b + ab) ( b + c + cb) ( a + c + ca ) ³ 27abc
Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( bc - a ) , ( ac - b) , ( ab - c ) có tích không âm.
2
2
2
. Không mất tính tổng quát, giả sử ( ac - b) ( cb - a ) ³ 0 Û ab - a c - bc + abc

( b + c + cb) ( a + c + ca ) = ( 3 - a + cb) ( 3 - b + ca )
= 9 - 3b - 3ca - 3a + ab - a 2 c + 3bc - b 2c + abc 2 = P
P = 3(3 - b - a + ac + cb) + (ab- a 2 c - b 2c + abc 2 )
P ³ 3( 3 - b - a + ab + ac ) = 3( c + cb + ac )

11


Ta chng minh

(

p dng Bunhicopsky ta cú ( c + ac + bc ) ( ab + b + a )

abc + abc + abc

)

2

= 9abc nờn

( a + b + ab) ( b + c + cb) ( a + c + ca ) 27abc
ùỡ a + b + c = 3

ị a = b = c =1
Du = xy ra khi ùớ
ùùợ ab = bc = ca = a = b = c
Bi tp 7. Cho cỏc s thc dng a,b,c .Chng minh rng
16 ( a 2 +1) ( b 2 +1) ( c 2 +1) 5 ( a + b + c +1)

2

Hng dn
D oỏn im ri a = b = c =

1
2

ổ2 1 ử
ổ2 1 ử
ổ2 1 ử
ữ
ỗ
ỗ
a - ữ
;
b
;
c - ữ
Theo nguyờn lớ Dirichlet thỡ 2 trong 3 s ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ỗ
ữố
ữố
ữ cú tớch khụng õm. Gi s
ỗ
ỗ
ỗ
ố
4ứ
4ứ
4ứ
ổ2 1 ử
ổ2 1 ử
1
1
1
ỗ
a - ữ
;ỗ
b - ữ
0 a 2b 2 - a 2 - b 2 + 0
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ

ố
4ứ ố
4ứ
4
4
16
5
15
a 2b 2 + a 2 + b 2 +1 ( a 2 + b 2 ) +
4
16
5
15 16
( a 2 +1) ( b2 +1) 4 ( a 2 + b2 ) + 16 5 ( a 2 +1) ( b2 +1) ( c 2 +1)
( 4a 2 + 4b 2 + 3) ( c 2 +1)
2
2
2
Ta chng minh ( 4a + 4b + 3) ( c +1) ( a + b + c +1) .
2

p dng BT Bunhiacopsky ta cú
ổ

ử

1 1
1
2
( 4a 2 + 4b2 + 3) ( c 2 +1) = ( 4a 2 + 4b 2 +1 + 2) ỗỗỗố4 + 4 + c 2 + 2 ứữ

ữ
ữ ( a + b + c +1)
2
2
2
Vy 16 ( a +1) ( b +1) ( c +1) 5 ( a + b + c +1) Du= xy ra khi a = b = c =
2

Bi tp 8 . Cho cỏc s thc khụng õm bt kỡ a, b, c. Chng minh rng:
1
abc + 2 +
[(a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 ] a + b + c
2
Hng dn
D oỏn im ri a = b = c = 1
Theo nguyờn lớ Dirichlet thỡ 2 trong 3 s ( a - 1) , ( b - 1) , (c - 1) cú tớch khụng õm.

12

1
2


. Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Û ab ³ a + b - 1 Û abc ³ ac + bc - c .
1
abc + 2 +
[(a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 ]
2
1
³ ac + bc - c + 2 +

[(a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 ]
2
1
³ a +b +c Û
[(a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 ] ³ (a + b - 2)(1- c)
2
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
(a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 ³
³

( a + b - 2) 2
+ (c - 1) 2 ³
2

2 (a + b - 2)(1- c)

2(a + b - 2)(1- c)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
II. Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải bài toán tìm cực trị đại số.
Bài tập 1. Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: G = 2(ab + bc + ca ) - abc
Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Xét ba số a - 1, b - 1, c - 1 Theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất 2 số có tích không âm.
Giả sử 2 số là a - 1, b - 1 Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Û ab - a - b +1 ³ 0 Û - abc £ c - c(a + b)
Nên
G = 2(ab + bc + ca ) - abc £ 2ab + 2bc + 2ca + c - c (a + b) = 2ab + c (b + a ) + c = Q
( a + b) 2
(3 - c ) 2

- c 2 + 2c + 9 10 - (c - 1) 2
G£ Q£
+ c (a + b) + c =
+ c (3 - c ) + c =
=
£5
2
2
2
2
ìï a - 1 = b - 1
ïï
ï a =b
Max(G) = 5 Û ïí
Û a = b = c =1
ïï c = 1
ïï
ïî a + b + c = 3
Bài tập 2. Cho các số a, b, c ³ 0 sao cho a 2 + b2 + c 2 + abc = 4 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = ab + bc + ca - abc
Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Þ c ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Þ abc ³ bc + ca - c .
Nên ab + bc + ca - abc £ ab + c
Mà

13



4 = a 2 + b 2 + c 2 + abc ³ 2ab + c 2 + abc Þ 4 - c 2 ³ ab ( c + 2)
Þ 2 - c ³ ab Þ ab + c £ 2
Từ hai BĐT trên ta suy ra Max(H)=2 khi a = b = c = 1.
Bài tập 3.Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

a2
b2
c2
+
+
a 2 - 2a + 4 b 2 - 2b + 4 c 2 - 2c + 4

Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử ( b - 1) ( c - 1) ³ 0
2

2

Nên b 2 + c 2 £ b2 + c 2 + 2 ( b - 1) ( c - 1) = 1 +( b + c - 1) = 1 +( 2 - a )
Ta có
2
2
2
( b + c)
( 3 - a)
( 3 - a)
b2

c2
+
³
³
=
b 2 - 2b + 4 c 2 - 2c + 4 b 2 + c 2 - 2(b + c) + 8 1 +( 2 - a ) 2 - 2(3 - a) + 8 a 2 - 2a + 7
Ta chứng minh
2
( 3 - a)
a2
2
M³ 2
+ 2
³ 1 Û ( a - 1) ( a 2 - 4a + 8) ³ 0 đúng với mọi a
a - 2a + 7 a - 2a + 4
Vậy Min(M)=1 khi a = b = c = 1
Bài tập 4 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 .
3
3
3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = a + b + c + 8 ( ab + bc + ca )
Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 0 Û ab ³ 2 - c
3

N = a 3 + b3 + c 3 + 8 ( ab + bc + ca ) = ( a + b) + c 3 - 3ab(a + b) + 8 ( ab + bc + ca )
3


N £ ( 3 - c ) + c - 3( 2 - c ) ( 3 - c ) + 8

( 3 - c)

2

+ 8c ( 3 - c ) = N '
4
N £ N ' = 27 - 27c + 9c 2 - c 3 + c 3 - 18 + 6c + 9c - 3c 2 +18 - 12c + 2c 2 + 24c - 8c 2 = 27
N £ 27
3

ìï ( a - 1) ( b - 1) = 0
ïï
Û
Û a = b = c =1
Max(N)=27 ïí a + b + c = 3
ïï
ïï a = b
î
Bài tập 5 . Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = ab + bc + ca - 2abc

14


Hướng dẫn
Dự đoán điểm rơi a = b = c =

1

3

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số ( 3a - 1) , ( 3b - 1) , ( 3c - 1) có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử

( 3a - 1) ( 3b - 1) ³ 0 Û 9ab - 3a - 3b +1 ³ 0 Û 9abc ³ 3ac + 3bc - c
2ac 2bc 2c
2ac 2bc 2c
+
Þ ab + bc + ca - 2abc £ ab + bc + ca +
3
3
9
3
3
9

Û 2abc ³

2

1
2c ( a + b)
1
2c
Û ab + bc + ca - 2abc £ ab + c ( a + b) + £
+ c ( a + b) +
3
9
4

3
9

( 1- c )

2

1
2c
+ c ( 1- c ) +
4
3
9
1 2 1
1
1æ
1 1ö 7
ç
Û ab + bc + ca - 2abc £ c + c + =c 2 - 2c + ÷
÷
ç
÷+ 27
è
12
18
4
12 ç
3 9ø
Û ab + bc + ca - 2abc £


2

7
1æ
1ö
7
ç
= c- ÷
£
÷
ç
÷
ç
27 12 è 3 ø 27
7
1
Max ( Q ) =
khi a = b = c =
27
3
Bài tập 6 Cho a,b,c dương , abc = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=

1

( 1+ a)

2

+


1

( 1 + b)

2

+

1

( 1+ c)

2

Hướng dẫn
1
1
1
1
2
1
2
P=
+
+
³
+
=
+

2
2
2
2
2
( 1 + a) ( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + a ) ( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + a ) bc + b + c +1
Theo nguyên tắc Dirihlet trong ba số a - 1; b - 1; c - 1 có ít nhất 2 số có tích không âm . Giả sử

( b - 1) ( c - 1) ³ 0 Û bc - b - c +1 ³ 0 Û b + c £ bc +1
P³
=

1

( 1+ a)
1

( 1+ a)

Ta có

2

2

+

+

2

1
2
1
abc
³
+
=
+
2
2
bc + b + c +1 ( 1 + a )
2(bc +1) ( 1 + a )
bc + abc

a
a 2 + a +1
=
1+ a
(a +1) 2

a 2 + a +1 a 2 + 2a +1- (a +1) +1
1
1
=
= 1+
2
2
(a +1)
(a +1)
a +1 ( a +1) 2

2

æ 1ö
1
1
1
3 3
Đặt
= x Þ 1+
= x 2 - x +1 = ç
x- ÷
+ ³
÷
ç
2
÷
ç
è 2ø 4 4
a +1
a +1 ( a +1)

15


1
dấu “=” khi x = Þ a = 1
2
ìï 1
1
ïï

=
ïï b +1 c +1
3 ïï
Nên Min(P) = Û í ( b - 1) ( c - 1) = 0 Û a = b = c = 1
4 ïï
ïï abc = 1
ïï
ïî a = 1
Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và học hỏi
thêm từ đồng nghiệp biên tập lại làm tài liệu giảng dạy . Tuy nhiên phần nội dung và cách trình
bày các lời giải không tránh khỏi sai sót. Tôi kính mong các thầy giáo cô giáo và các bạn đồng
nghiệp cho nhận xét quý báu để tôi bổ xung và sửa chữa để nâng cao thêm chất lượng của chuyên
đề này , để chuyên đề có tác dụng và hiệu quả hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn!

16