Câu 1: [2H2-4-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho tam giác vuông cân ABC có

AB  AC  a 2 và hình chữ nhật MNPQ với MQ  2MN được xếp chồng lên
nhau sao cho M , N lần lượt là trung điểm của AB , AC (như hình vẽ). Tính thể
tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục AI , với I là trung
điểm PQ .

A. V 
V

11 a 3
.
6

B. V 

5 a 3
.
6

C. V 

11 a 3
.
8

D.

17 a 3
.
24

Lời giải
Chọn D

Ta có: BC  AB 2  AC 2  2a  MN  a , MQ  2a .
Gọi E , F lần lượt là trung điểm MN và BC . Ta có AF  a , EF 
.

a
3
 IF  a
2
2


2

1
1
3  a  17
Vậy, thể tích cần tìm V   . AF .FB 2   .IF .IQ 2   .a.a 2   . a.     a 3
3
3
2  2  24
.
Câu 2: [2H2-4-3] Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa
khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như
nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:
A. 65, 09% .
B. 47, 64% .

C. 82,55% .
D. 83,3% .
Lời giải
Chọn B
Gọi đường kính quả bóng bàn là d . Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là
d , d ,3d .
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là V1  d.d.3d  3d 3
4
d3 d3

Thể tích của ba quả bóng bàn: V2  3   r 3  4
.
3
8
2

Thể tích phần không gian còn trống: V3  V1  V2

d3



3
V 3d  2
2
Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: 3 

V1
3d 3
3

3

47, 64% .

Câu 3: [2H2-4-3] Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta
3
đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng
4
chiều cao của nó. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi
đó:
A. 9V1  8V2

B. 3V1  2V2

27V1  8V2
Lời giải
Chọn A

C. 16V1  9V2 .

D.


h
r1=

O

2
r2


O'

Gọi r1 là bán kính quả bóng, r2 là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén.
Theo giả thiết ta có h  2r1  r1  2h và OO 
2

r1 h
 .
2 4

2

3
h h
Ta có r22        h2 .
 2   4  16
3

4
4 h 1
Thể tích của quả bóng là V1   r13       h3
3
3 2 6
và thể tích của chén nước là V2  B.h   r22 h 

3
V 8
 h3  1  .
16

V2 9

Câu 4: [2H2-4-3] Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1 , đáy lớn CD  3 , cạnh bên
AD  2 quay quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo
thành.
4
7
A. V  3 .
B. V   .
C. V   .
D.
3
3
5
V .
3

Lời giải
Chọn C
Theo hình vẽ: AH  HD  1 .
Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể
tích khối trụ có bán kính r  AH  1 , chiều
cao CD  3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng
nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ).


1
2 7

Vậy V   . AH 2 .CD  2.  . AH 2 .HD    3     .

3
3 3


Câu 5: [2H2-4-3] Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam
giác ABC (M thuộc AB , N thuộc AC , P , Q thuộc BC ). Gọi S là phần mặt
phẳng chứa các điểm thuộc tam giác ABC nhưng không chứa các điểm thuộc hình
vuông MNPQ. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng
qua A vuông góc với BC là

810  467 3
.
24
54  31 3
.
12

A.

B.

4 3 3
.
96

C.

4 3 3
.
96


D.

Lời giải
Chọn A

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng AH bằng hiệu
thể tích khối nón khi quay tam giác ABC và thể tích khối trụ khi quay hình vuông
MNPQ quanh trục là đường thẳng AH .


Gọi độ dài cạnh hình vuông là x . Khi đó:



MN AN
CN
NP

 1
 1
BC AC
CA
AH

x
x
 1
 x  2 3 3
1

3
2

1 1
3
810  467 3
 x
 V   .  .
    .x 
.
3 2 2
24
2
2

2

Câu 6: [2H2-4-3] Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm , đường kính đáy là 6cm
, lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm . Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có
cùng đường kính là 2cm . Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng
cốc bao nhiêu cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số).
A. 4,81cm .
B. 4, 25cm .
C. 4, 26cm .
D. 3, 52cm
.
Lời giải
Chọn C

r 3

Vcoc nuoc   r 2 .h   .15.32  135 .

Thể tích V1 của cốc nước sau khi thả 5 viên bi :
4
290
V1   .10.32  5.  .13 
.
3
3

290 115

.
3
3
Gọi h1 là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc .

Thể tích của phần còn trống : V2  V  V1  135 

115
115
 h1 
 4, 26cm .
3
27
Câu 7: [2H2-4-3] Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc
quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng
nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan
chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều
h

cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số .
r

 32.h1 


A.

h
 3.
r

B.

h
 2.
r

C.

h 4
 .
r 3

D.

h 16
 .
r 3


Lời giải
Chọn: A

4
+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) Vc   r 3 .
3
1
+ Thể tích khối nón (phần ốc quế) VN   r 2h .
3
3
1
34
h

+ Theo đề: VN  VC   r 2h    r 3    3 .
4
3
43
r

Câu 8: [2H2-4-3] Cho hình thang ABCD có A  B  90 , AB  BC  a , AD  2a . Tính thể
tích khối tròn xoay sinh ra khi hình thang ABCD quay quanh CD .
A.

7 a 3
.
12

B.


7 2 a3
.
6
Lời giải

Chọn B

C.

7 2 a3
.
12

D.

7 a 3
.
6


Khối nón đỉnh D , trục CD có chiều cao CD  a 2 , bán kính đáy CA  a 2 nên

1
2 2 a3
2
có thể tích V1  CD. .CA 
.
3
3
Khối chóp cụt có trục CH 


a 2
a 2
, hai đáy có bán kính CA  a 2 và HB 
2
2

1
7 2 a3
2
2
nên thể tích khối chóp cụt là V2  CH . .  CA  HB  CA.HB  
3
12
1
2 a3
2
Khối chóp đỉnh C , trục CH có thể tích V3  CH . .HB 
3
12
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: V  V1  V2  V3 

7 2 a3
.
6

Câu 9: [2H2-4-3] Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước 1, 5 m  8 m. Tấm tôn thứ
nhất được chế tạo thành một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện
ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt
các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành một hình vuông) và có

chiều cao 1, 5 m; còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không đáy,
không nắp và cũng có chiều cao 1, 5 m. Gọi V1 , V2 theo thứ tự là thể tích của khối
V
hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ. Tính tỉ số 1 .
V2

A.

V1 
 .
V2 3

B.

V1 
 .
V2 4

C.

V1 
 .
V2 2

D.

V1
 .
V2


Lời giải
Chọn B
Thiết diện ngang của hình hộp chữ nhật là hình vuông  Hình hộp có đáy là hình
8
vuông cạnh là  2  m  , chiều cao là 1,5  m   V1  22.1,5  6  m3  .
4
Hình trụ có đáy là hình tròn có chu vi là 8  m   bán kính hình tròn đáy là
2

24
4
Thể tích khối trụ là V2   .   .1,5 
.

 

Vậy

V1
6 

 .
V2 24 4



4




.


Câu 10: [2H2-4-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC
vuông tại A có BC  2a , AC  a . Quay tam giác này quanh trục AB , ta được một
hình nón đỉnh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S 2 là diện tích
mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số
A.

S1 3
 .
S2 2

B.

S1
là:
S2

S1 2
 .
S2 3

C.

S1
1.
S2

D.


S1 1
 .
S2 2

Lời giải
Chọn C
B

C

A

Hình nón có : h  AB  BC 2  AB 2  a 3 Gọi x  m  là cạnh của tam giác đều,

20 

0  x   .
3 


l  BC  2a Suy ra cạnh hình vuông là

20  3 x
4

m .

Diện tích toàn phần của hình nón S1   Rl   R2   3a 2
Mặt cầu đường kính AB có bán kính R 


1
a 3
.
AB 
2
2
2

a 3
2
Diện tích mặt cầu S2  4 R  4 
  3 a .
2


2

Vậy

S1
1.
S2

Câu 11: [2H2-4-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC
vuông ở A có AB  2 AC . M là một điểm thay đổi trên cạnh BC . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB , AC . Gọi V và V  tương ứng là thể


tích của vật thể tròn xoay tạo bởi tam giác ABC và hình chữ nhật MHAK khi quay

V
quanh trục AB . Tỉ số
lớn nhất bằng
V
1
4
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
9
2
3
4
Lời giải
Chọn B

C
a

M

K

α

A


2a

x

H

B

Giả sử AC  a , AB  2a , BM  x . Ta có:
AC
2
1
BC  a 5 , sin  

, cos  
.
BC
5
5
2x
2x
x
MH  x sin  
, HB  x cos  
, AH  2a 
.
5
5
5
Khi quay tam giác ABC quanh trục AB ta được một khối nón có thể tích là :

1
2a 3
V   AC 2 . AB 
.
3
3
Khi quay hình chữ nhật MHAK quanh trục AB ta được một khối trụ có thể tích là :

x2 
2x 
2a 

.
5
5
V
3
3
 2 x2 
x3 .
Do đó,
3
V 5a
5 5a
3
3
x 3 trên đoạn 0; a 5  .
Xét hàm sô f  x   2 x 2 
3



5a
5 5a
V    .MH 2 . AH  

x  0
6
9
2
x , f  x  0  
Ta có : f   x   2 x 
.
3
 x  2 5a  0; 5 
5a
5 5a



3
 2a 5  4
f  0   0 , f a 5  0 , f 
  .
 3  9





 2a 5  4

Suy ra max f  x   f 
  .
0; 5 


 3  9
V
4
Vậy giá trị lớn nhất của tỉ số
bằng .
V
9


(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN)
AD
 a . Quay hình
Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AB  BC 
2
thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC . Tính thể tích V
của khối tròn xoay được tạo thành
7 a 3
5 a 3
4 a 3
A. V 
.
B. V 
.
C. V   a 3 .
D.

.

Câu 12: [2H2-4-3]

3

3

3

Lời giải
Chọn B

Gọi V1 là thể tích khối nón có đường sinh là CD , bán kính R  AB  a , chiều cao

ha
1 2
1 2
a3
V1   R h   a .a   .
3
3
3
Gọi V2 là thể tích khối trụ có đường sinh là AD  2a , bán kính R  AB  a , chiều
cao h  2a .
V2   R2h   .a 2 .2a  2a3 .
Thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành là : V  V2  V1  2a 3 

a 3 5a 3


3
3

.
Câu 13: [2H2-4-3] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Một cái bồn gồm hai nửa
hình cầu đường kính 18 dm , và một hình trụ có chiều cao 36 dm . Tính thể tích V
của cái bồn đó.


A. V  9216 dm 3 .

B. V 

1024
dm 3 .
9

C. V 

16
. dm 3 .
243

D.

V  3888 dm 3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Thể tích khối trụ: V1   .r 2 .h   .92.36  2916 dm 3 .

4
4
Thể tích khối cầu: V2  . .r 3  . .93  972 dm 3 .
3
3
Suy ra thể tích V  V1  V2  3888 dm 3 .

Câu 14: [2H2-4-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tam giác

2
. Quay tam giác ABC xung quanh
2
cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng:

ABC có ABC  45 , ACB  30 , AB 

A. V 

V



 3 1 3
2



 1 3
3


.

B. V 

.



 1 3
24

.

C. V 



 1 3
8

.

D.

Lời giải
Chọn B
B

A


H

C

 AC  1
AB
AC
BC

Ta có
.



sin 30 sin 45 sin105  BC  2 sin 5  1  3

12
2
Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A . Ta có AH.BC  AB.AC.sin105
1
 AH  .
2






 1 3
1

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là V   . AH 2 .BC 
.
3
24
Câu 15: [2H2-4-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trên bàn có một
cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy ; một
viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường
kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (
như hình vẽ ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước
còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu ( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).

A.

5
.
9

B.

2
.
3

C.

1
.
2

D.


4
.
9

Lời giải
Chọn A
Gọi bán kính đường tròn đáy của hình trụ là R .
Theo giả thiết và hình vẽ thì:
 Hình trụ có bán kính đường tròn đáy là R , chiều cao là 6R .
 Mặt cầu có bán kính là R .
 Hình nón có bán kính đường tròn đáy là R , chiều cao là 4R .
Thể tích lượng nước ban đầu V bằng thể tích khối trụ nên V   R 2 .6 R  6 R 3 .
Thể tích lượng nước tràn ra V1 bằng tổng thể tích khối nón và khối cầu nên
1
4
8 R 3
V1   R 2 .4 R   R 3 
.
3
3
3

8 R 3 10 R 3

.
3
3
10 R3
V

Do đó tỉ số thể tích của lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là: 2  3 3
V
6 R
5
 .
9

Thể tích lượng nước còn lại trong cốc là V2  V  V1  6 R 3 


Câu 16: [2H2-4-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình nón có thiết
diện qua trục là tam giác đều. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và
nội tiếp hình nón đã cho. Tính
A. 4 .

V1
.
V2

B. 2 .

C. 8 .

D. 16 .

Lời giải
Chọn C
S

M

I

A

O

B

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1 .
Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB .
Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB , khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón
cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón.

2
2 3
3
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là R  SI  SO  .
.

3
3 2
3
1
1 3
3
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là r  IO  SO  .
.

3
3 2

6
4
4 3
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là V1   R3 
.
3
27

4
3
Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là V2   r 3 
.
3
54
Vậy

V1
 8.
V2

Câu 17: [2H2-4-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hình vuông
ABCD cạnh a . Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN  2DN . Đường thẳng
qua N vuông góc với BN cắt BC tại K . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay tứ giác ANKB quanh trục BK bằng


7
B. V   a 3
6


4
A. V   a 3
3
3
V   a3
2

6
C. V   a 3
7

D.

Lời giải
Chọn B
K

D

K

C
a

N

A

a


N

I

I

A

B

Sau khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được khối tròn xoay gồm một khối
nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ).
Ta có IB  AN 

2
a.
3

Xét tam giác NKB vuông tại N , BK 



BN
cos NBK



BN BN 2 BI 2  IN 2



BI
BI
BI
BN

13a
.
6

Do đó KI  BK  BI 

3a
.
2

1
1
3
a 3
Thể tích khối nón là V1   NI 2 .KI   .a 2 . a 
.
3
3
2
2

2
2 a 3
Thể tích khối trụ là V2   .NI .BI   .a . a 
.

3
3
2

2

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là V  V1  V2 

7 a 3
.
6


Câu 18: [2H2-4-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình
vuông ABCD cạnh a . Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN  2DN . Đường
thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K . Thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK bằng
7
B. V   a 3
6

4
A. V   a 3
3
3
V   a3
2

6
C. V   a 3

7

D.

Lời giải
Chọn B
K

D

K

C
a

N

A

I

B

a

N

I

A


Sau khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được khối tròn xoay gồm một khối
nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ).
Ta có IB  AN 

2
a.
3

Xét tam giác NKB vuông tại N , BK 



BN
cos NBK



BN BN 2 BI 2  IN 2


BI
BI
BI
BN

13a
.
6


Do đó KI  BK  BI 

3a
.
2

1
1
3
a 3
Thể tích khối nón là V1   NI 2 .KI   .a 2 . a 
.
3
3
2
2


2
2 a 3
Thể tích khối trụ là V2   .NI 2 .BI   .a 2 . a 
.
3
3

7 a 3
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là V  V1  V2 
.
6


Câu 19: [2H2-4-3] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Ông An đặt
hàng cho một cơ sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao X để làm loại chai
nước có kích thước phần không gian bên trong của chai như hình vẽ, đáy dưới có
bán kính R  5 cm , bán kính cổ chai r  2 cm , AB  3 cm , BC  6 cm , CD  16 cm
. Tính thể tích V phần không gian bên trong của chai nước.

A. V  490 cm3

B. V  412 cm3

C. V  464 cm3

D.

V  494 cm3

Lời giải
Chọn A
Thể tích khối trụ bán kính đáy là R chiều cao CD là:

V1   R2 .CD  400 cm3 .
Thể tích khối nón cụt có chiều cao BC là:
V2 










1
1
BC  R 2   R 2 . r 2   r 2  .6  .25   .25. .4   .4  78 cm3 .
2
3

Thể tích khối trụ bán kính đáy là r chiều cao AB ( khối cổ chai) là:

V3   r 2 . AB  12 cm3 .
Thể tích phần không gian bên trong của chai nước là: V  V1  V2  V3  490 cm3 .
Câu 20: [2H2-4-3] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Một cái mũ bằng vải của
nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ dưới đây. Hãy tính tổng diện tích vải cần có
để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).


30cm
O
10cm

r

35cm

A. 750, 25 (cm 2 )

B. 700 (cm 2 )

C. 756, 25 (cm 2 )


D.

754, 25 (cm )
2

Lời giải
Chọn C
Ta có tổng diện tích vải cần để làm nên cái mũ là tổng diện tích xung quanh hình
trụ và diện tích hình tròn vành nón.
Ta có r 

15
15
cm  S xq  2πrh  2π. .30  450π  cm 2  .
2
2
2

 35  1225π
Diện tích vành nón là π   
cm2  .

4
 2
1225π 3025

π  756, 25π  cm 2  . [2H2-4-3]
4
4

(Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Có một khối cầu bằng gỗ bán kính
1
R  10cm . Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng R đối xứng nhau
2
qua tâm khối cầu, một người thợ khoan xuyên tâm khối cầu. Người thợ đã khoan bỏ
đi phần hình trụ có trục của nó trùng với trục hình cầu; mặt cắt của hình trụ vuông
1
góc với trục hình trụ là một hình tròn có bán kính bằng R . Tính thể tích V của
2
phần còn lại của khối cầu (làm tròn đến số thập phân thứ ba).
A. V  2828, 441cm3 . B. V  2774,570cm3 . C. V  2811, 293cm3 . D.

Câu 21: Vậy diện tích vải cần dùng là 450π 

V  2720, 699cm3 .

Lời giải
Chọn D


4
Thế tích khối cẩu ban đầu là V1   R 3 .
3

Ta có MH  R 2 

R2
3

R , suy ra chiều cao trụ là 2MH  R 3 .

4
2
2

3
R
Thể tích khối trụ bị khoan đi là V2     . 3R 
 R3 .
4
2
R

 R

Thể tích hai chỏm cầu V3  2

2

 x 2  dx .

3
R
2

Khi cho R  10cm ta có V  V1  V2  V3  2720,699cm3 .
Câu 22: [2H2-4-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình
nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
hình nón theo h .
A. x 


h
.
2

B. x 

h
.
3

C. x 

2h
.
3

.
Lời giải
Chọn B

S

O'

r'

r

O
Theo định lí Ta-Let ta có:


SO
h  x r

 , 0  x  h .
SO  x
h
r

 h  x  r 
 r2
2

Thể tích hình trụ là: V   r x  
.x  2 x  h  x  .
2
h
h
2

2

D. x 

h
3


 hx hx



x

hx hx
4h 3
2
2
.
 4.
.
.x  4 
 
2
2
3
27




3

Xét M  x   x  h  x 

Dấu "  " xảy ra khi

2

hx
h

xx .
2
3

Câu 23: [2H2-4-3] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón

 N  có bán kính đáy r  20(cm) , chiều cao h  60(cm) và một hình trụ T  nội tiếp
hình nón  N  (hình trụ T  có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên
mặt xung quanh của hình nón). Tính thể tích V của hình trụ T  có diện tích xung
quanh lớn nhất?
32000
 (cm3 ).
9

A. V  3000 (cm3 ).

B. V 

C. V  3600 (cm3 ).

D. V  4000 (cm3 ).
Lời giải

Chọn A
S

K'

A K


H'
I'
I

H B

Gọi độ dài bán kính hình trụ là x cm  0  x  20  , chiều cao của hình trụ là h ' .
Ta có:

h SI  I K 
SI  II  I K 
60  h x
h  h x








.
h SI
AI
SI
AI
60
h
20
r


 60  h  3x  h  60  3x .
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
2
S  2 x.h  2 x  60  3x  2  60 x  3x 2   2 100  3  x  10    200 .

Diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất khi x  10 .
Khi đó thể tích khối trụ là: V   x 2 .h   .10 2.30  3000 .


Câu 24: [2H2-4-3] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một
hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R , chứa được 10 quả bóng sao cho các quả bóng
tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng va
quả dưới cùng tiếp xúc với hai nắp hộp. Tính phần thể tích khối trụ mà thể tích của
các quả bóng bàn không chiếm chỗ.
A. 0 .

C.

B.

40 R 3
.
3

20 R 3
.
3

D.  R 3 .

Lời giải

Chọn B
Ta có: h  20R
Suy ra thể tích khối trụ V1  20 R.R 3 .  20 R 3
4 3
40 R3
Thể tích 10 quả bóng V2  R  .10 
3
3

Thể tích bóng không chiếm chỗ là V3  20 R 3 

40 3
20 R 3
R
.
3
3

Câu 25: [2H2-4-3] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một người
dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là 3 cm để múc nước đổ vào trong một
thùng hình trụ chiều cao 3cm và bán kính đáy bằng 12 cm. Hỏi người ấy sau bao
nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)
A. 10 lần.
B. 20 lần.
C. 24 lần.
D. 12 lần.
Hướng dẫn giải
Chọn C

Thể tích hình trụ là S   .R 2 .h   .12 2.3  432. cm 3 .
1 4
2
Thể tích mỗi lần múc là S1  . . .R 3  . .27  18 cm 3 .
2 3
3

Số lần múc để đầy thùng nước là n 

432
 24 lần.
18

Câu 26: [2H2-4-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Một hình
thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1 , đáy lớn CD  3 , cạnh bên BC  AD  2 .
Cho hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối tròn xoay có thể tích là:


A. V  3 .

B. V  8  .

7
3

C. V   .

3

D. V  2 .


Lời giải
Chọn C
E

A

B

D

F

C

Gọi E , F là hai điểm sao cho CDEF là hình chữ nhật và E , A , B , F thẳng
hàng.
Ta có EA  AB  BF  1 , AD  BC  2 , CD  3 , DE  CF  1 .
Gọi V là thể tích cần tìm, V1 là thể tích khối trụ có được khi cho hình chữ nhật

CDEF quay quanh EF , V2 là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác
AED quay quanh AE , V3 là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác BFC

quay quanh BF .
1
1
1
1
7
V  V1  V2  V3   DE 2 .CD   DE 2 . AE   CF 2 .BF  3       .

3
3
3
3
3

Câu 27: [2H2-4-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình
cầu có đường kính 1,8 m và một hình trụ có chiều cao bằng 3, 6 m (như hình vẽ minh
hoạ). Thể tích của bồn chứa gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. 12, 21 m3 .
.

C. 24, 43 m3 .

B. 3, 05 m3 .

D. 9,16 m3

Lời giải
Chọn A
Thể tích bồn chứa bằng thể tích khối trụ có bán kính R  0,9 m và khối trụ có
R  0,9 m , chiều cao h  3, 6 m .
4
4
3
2
Hay V   R 3   R 2 h    0,9     0,9  3, 6  12, 21 m3 .
3
3



Câu 28: [2H2-4-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Bên trong một khối trụ có
một khối cầu nội tiếp khối trụ như hình vẽ bên. Gọi V1 là thể tích của khối trụ và
V2 là thể tích của khối cầu. Tính tỷ số

A.

V1 3
 .
V2 2

B.

V1
?
V2

V1 4
 .
V2 3

C.

V1
 2.
V2

D.


V1
3
V2

Lời giải
Chọn A
Ta giả sử bán kính của mặt cầu là R  1 , khi đó bán kính trụ cũng là R  1 và chiều
cao trụ h  2 .
V 3
4
4
Ta có: V1   R 2 h  2 ; V2   R 3    1  .
3
3
V2 2

Câu 29: [2H2-4-3] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Bạn An có
một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm .
Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc
(không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được
viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?


A

B

S

A.


64
cm
39

B.

5 39
cm
13

C.

32
cm
39

D.

10 39
cm
13
Lời giải
Chọn D
Gọi  P  là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón.
Khi đó  P  cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn. Viên kẹo có
đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác
SAB .
Nửa chu vi tam giác SAB là p  13 .
Diện tích tam giác SAB là S 


1
1
AB.d  S , AB   .10. 82  52  5 39 .
2
2

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB : r 

2r 

S 5 39
, do đó đường kinh

p
13

10 39
.
13

Câu 30: [2H2-4-3] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Viện Hải
dương học dự định làm một bể cá bằng kính phục vụ khách tham quan (như hình
vẽ), biết rằng mặt cắt dành cho lối đi là nửa hình tròn


Tổng diện tích mặt kính của bể cá gần nhất với số nào sau đây?
A. 872m2

B. 914m2


C. 984m2

D. 949m2

Lời giải
Chọn D
Diện tích mặt kính bằng
S  25.10  2.25.6  2.10.6   .42   .4.25  934cm2 .

Câu 31: [2H2-4-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình thang cân ABCD
có đáy nhỏ AB  1 , đáy lớn CD  3 , cạnh bên AD  2 quay quanh đường thẳng
AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
A. V  3 .

7
C. V   .
3

4
B. V   .
3

.
Lời giải
Chọn C

Theo hình vẽ: AH  HD  1 .

5

D. V  
3


Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể
tích khối trụ có bán kính r  AH  1 , chiều
cao CD  3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng
nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ).

1
2 7

Vậy V   . AH 2 .CD  2.  . AH 2 .HD    3     .
3
3 3

Câu 32: [2H2-4-3] Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong
hình cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất.
A. r 

R 6
3

B. r 

2R
3

C. r 


2R
3

D. r 

2R
3

Lời giải
Chọn A

Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc tính h và
r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O, R) thay
đổi về V   r 2 h đạt giá trị lớn nhất
Ta có: AC 2  AB2  BC 2  4R2  4r 2  h2


1 
 1

V    R2  h 2  h     h 3  R2 h 
4 

 4

 3

2R
V '     h 2  R2   h  
3

 4


 0  h  2R 