PHÒNG GD&ĐT
----o0o---ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 20-20
Môn: Toán 7.
(Thời gian: 120phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1( 2 điểm) :
Cho 6 số nguyên dương aChứng minh rằng :

acm
1

a b c d m n 2

Câu 2 ( 1,5 điểm) :
Không dùng bảng số hay máy tính, hảy so sánh :
50  2 Với
50  2
Câu 3 ( 1,5 điểm ) :
Tìm x, y, z biết :

x
y z
  và xyz = 20
12 9 5

Câu 4 ( 2,5 điểm ) :
Cho đa thức f(x) = x2 + 4x – 5

a/ Số –5 có phải là nghiệm của đa thức f(x) không ?
b/ Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x).
Câu 5 ( 3,5 điểm ) :
Cho ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng
nhau.
a/ C/m rằng : ABC là tam giác vuông
b/ C/m : ABM là tam giác đều.


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN : TOÁN 7
Câu 1 : ta có : a<b = > 2a < a + b ; c<d => 2c < c + d
m < n = > 2m < m + n
Suy ra : 2(a + c + m) < ( a + b +c + d + m + n)
Do đó :

acm
1

a b c d m n 2

Câu 2 :
50  2  52  64 8
(1)
50  2  49  1 7  1 8 (2)
Từ (1) và (2) => 50  2 < 50  2

Câu 3 :
Ta đặt :


x
y z
  =k
12 9 5

Suy ra : x = 12k; y = 9k; z = 5k
Vì xyz = 20 nên 12k.9k.5k = 20
1
1
=> k =
27
3
1
1
1 5
Vậy x = 12 4; y 9. 3; z 5. 
3
3
3 3

 540 k3 = 20 => k3 =

Câu 4 :
a/ Thay –5 vào f(x) = x2 +4x – 5 ta có
f(-5) = (-5)2 + 4.(-5) – 5
= 25 – 20 –5 = 0
Vậy số –5 là nghiệm của đa thức f(x)
b/ f(x) = x2 + 4x –5 = x2 – x + 5x – 5
= x( x - 1) + 5(x – 1)
= (x – 1) (x + 5)

f(x) = 0 <=> (x – 1) (x + 5) = 0
 x  1 0

 x 1


<=> 
 x  5 0
 x  5
Vậy tập hợp các nghiệm của f(x) là S = 1;-5 

Câu 5 :
B
H
M

A

I

C


a/ Chứng minh : ABC là tam giác vuông :
Vẻ MI  AC ; ta có : MAI = MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra : ABH = AMH (g – c – g)
Suy ra : BH = MH =

1
1

BH = CM
2
2

Nên : góc C = 30 0 ; góc HAC = 60 0
 góc BAC =

60 0.3
90 0
2

Vậy ABC vuông tại A.
b/ Ta có :
Vì : góc C = 30 0 nên góc B = 60 0 ; AM = BM =

1
BC ( t/c đường trung tuyến – cạnh
2

huyền)
=> ABM cân, có một góc bằng 60 0
Vậy ABM là tam giác đều
tài nguyên giáo dục...


PHÒNG GD&ĐT
----o0o---ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 20-20

Môn: Toán 7.
(Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : Cho dãy số : 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 …
a) Tính tổng 2009 số hạng đầu của dãy
b) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho?.
Bài 2 :
(a  b) 2007 a 2007  b 2007
a c


a) Cho
. Chứng minh rằng :
.
(c  d ) 2007 c 2007  d 2007
b d

b) Tìm các số nguyên a và b thoả mãn :
(2a + 5b + 1)(2|a| +a2 + a + b) = 105.
Bài 3:
a. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn:
a  2b b  2c c  2a


.
5
7
9

Tìm tỉ lệ các đường cao tương ứng của tam giác.

b.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm: A(-1;2) ; B(4;1); C(-3;-1). Tính diện
tích tam giác ABC.
Bài 4 :
Cho tam giác ABC có AB > AC và góc A có số đo bằng á . đường thẳng đi qua
A vuông góc với phân giác trong của góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM =
BA + AC. Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC ?
Bài 5:
Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và các đường cao tương ứng là h a; hb;
2

2

h  hb  hc
hc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a
(a  b  c) 2

2

. Khi đó tam giác ABC là tam

giác gì?
---------------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu số
1-a(0,5đ)

1-b(1 đ)


2-a(0,5 đ)

Nội dung
Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: 1 -7+13 -19+25-31+37 …
=1+(-7+13)+(-19+25)+(-31+37)=1+(-7+13)-…(1004 cặp)
=1+6*1004
=6025
Số hạng thứ nhất: a1=1
Số hạng thứ hai: a2=-7=-(6+1)=(-1)1. (6+1)
Số hạng thứ ba: a3=13= 2.6+1=(-1)2.( 2.6+1)
Số hạng thứ tư: a4=-19=-(3.6+1)= (-1)3.( 3.6+1)
Số hạng thứ năm: a5=25=4.6+1= (-1)4.( 4.6+1)
………
Số hạng tổng quát là: an=(-1)n-1[(n-1).6+1].
2007

2007

2007

Điểm
(0,25đ)
(0,25đ)
0,25đ
0,25đ
0,5đ

2007

a c

a b
a
b
a
b
    2007  2007  2007
(1)
b d
c d
c
d
c
 d 2007

0,25đ

Mặt khác:
a b a b
a 2007 b 2007 (a  b) 2007
 
 2007  2007 
. (2)
c d c d
c
d
(c  d ) 2007

0,25đ

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.

2-b(1,5 đ)

Và 105 là số lẻ nên (2a + 5b + 1) và (2|a| +a2 + a + b) là số lẻ. Do
(2a + 5b + 1) lẻ suy ra b chẵn.
Mà a2+a=a(a+1) chẵn nên 2|a| lẻ. Suy ra a=0.
Với a=0. Ta có: (5b+1)(b+1)=105=21.5=(-21).(-5)
Do (5b+1; 5)= 1 nên
 5b  1 21
 5b  1  21
hoÆc
 b 4 .


 b  1 5
 b  1  5
 a 0
Thử lại 
thoả mãn yêu cầu bài toán.
 b 4

3-a(1,5 đ)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

a  2b b  2c c  2a a  b  c



5
7
9
7
a c
chỉ ra: 3b a a 3b c .

Gọi ba đường cao của tam giác lần lượt là ha; hb; hc. Có:
a.ha=b.hb=c.hc(=2.SABC).
 3bha bhb 3bhc
 3ha hb 3hc
h
hay: ha  b hc
3

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


3-b(1 đ)

Vẽ hình chính xác:
Dựng hình chữ nhật PQRC. Tính được:SPQRC, SPAC,

Tính được:SQAB, SRBC.
1
2

Từ đó tính được: SABC= SPQRC-(SPAC+ SQAB+SRBC)= 8 (đvdt)

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

Câu 4(2đ)

vẽ hình tương đối đúng
Trên tia BA lấy D sao cho AD=AC. Khi đó BD=BM Suy ra Tam
giác BDM cân, AM vuông góc với phân giác trong nên AM là
phân giác ngoài hay MA là phân giác góc M.
Vẽ thêm hình phụ phù hợp với bài:
Từ đó:
^ B ^ BAM ^ AMB 180 0


180 0  ^ B
 90 0 
180 0
2
4
2
 ...  ...  ^ B 60 0 
3

^B

^ C 180 0  (^ B ^ A) 180 0  (60 0 
^ C 120 0 


3

0,25đ

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

2
)
3

0,25đ
0,25đ

Câu 5(2 đ)

0,25đ
Vẽ hình; ghi GT-KL


Gọi ABC là tam giác với BC=a, CA=b, AB=c.
Qua C kẻ Cx song song với AB. Dựng điểm D sao cho Cx là 0,25đ

đường trung trực của AD. Theo định lý Pitago ta có:
AB 2  AD 2  BD 2 ( BC  CD ) 2
2

 c 2  4hc (a  b) 2

0,25đ

2

 4hc (a  b) 2  c 2

Tương tự ta có:
2

4ha (b  c ) 2  a 2
2

2

4hb (c  a )  b

0,25đ

2

Suy ra:
2
4( ha 2 + hb 2 + hc 2 )≤(a+b+c)
2


2

0,25đ

2

h  hb  hc
1
 .
Suy ra: a
2
4
(a  b  c)

0,25đ

Dấu “=” sảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều.
2

Kết luận:

2

ha  hb  hc
(a  b  c) 2

2

đạt GTLN bằng


0,25đ
1
khi tam giác ABC
4

đều.
tài nguyên giáo dục...


PHÒNG GD&ĐT
----o0o----

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 20-20
Môn: Toán 7.
(Thời gian: 120phút, không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: Tính
2

a)

A =

3

3


�3 � 2 � 1 � �3 � 1
5 �
2 �: � �
� ��
�5 �
� 4 � �4 � 2
2010

b)

B

=

2009

0
�4 �1 �
�1 82 �
7 �
2�  � 2 : 4 �
� �
� � �
11
25
22
�
�
�2 4 �

�
�

Bài 2 :
Tìm x biết
1 1
a ) 1  : x  4
b)
2x 1  x  4
5 5
Bài 3:
a) Tìm a , b , c Biết: 3a = 2b ; 4b = 5c và - a - b + c = - 52 .
3
2 x2  5x  3
x
b) Tính giá trị của biểu thức C =
tại
2
2x 1
Bài 4:
Bốn con Ngựa ăn hết một xe cỏ trong một ngày , một con Dê ăn hết một xe cỏ
trong sáu ngày , hai con Cừu trong 24 ngày ăn hết hai xe cỏ . Hỏi chỉ ba con (Ngựa ,
Dê và Cừu) ăn hết hai xe cỏ trong mấy ngày ?
Bài 5:
Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC . Đường thẳng vuông
góc với tia phân giác của góc A tại M cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F .
Chứng minh :
a) EH = HF
� �
�.

a) 2BME
ACB  B
b)
c)

FE 2
 AH 2  AE 2 .
4
BE = CF .


ĐÁP ÁN
(Hướng dẫn chấm này gồm hai trang)
tài nguyên giáo dục...
Câu
ý
Nội dung
3

1
(1,5đ)

a
(0,75)

3

1
�9 � �3 � 1
�9 4 � 1

A  32  � �: � �  32  � � �  9  27 
2
�4 � �4 � 2
�4 3 � 2
35

2

0, 5
0,25

2009

2010

8
b
�4 7 � �1 2 �


�
=�
�  11  0
� �
(0,75)
11 11 � �2 2 26 �
�
1
6
1

26
1
a
: x  4 
� :x
�
x
5
5
5
26
(0,5) 5
... � 2 x  1  4  x (1)
2
* Với 2x – 1 �0 từ (1) ta có 2x – 1 = x + 4
(1,5 đ)
� x = 5 thoả mãn điều kiện 2x – 1 �0
b
(1,0)
* Với 2x – 1 < 0 thì từ (1) ta có 1 – 2x = x + 4 � x =
- 1 thoả mãn điều kiện 2x – 1 < 0
Đáp số : x1 = 5 ; x2 = -1

a b
a
b
Giải : Từ 3a = 2b �  �  .

a
(0,75)


2 3 10 15
b c
b
c
Từ 4b = 5c �  � 
5 4 15 12
a
b
c
cab
52
�
 


4
10 15 12 12  10  15 13
� a = 40 ; b = 60 ; c = 48

Biểu thức

3
(1,5đ)

Điểm

3

2 x  5x  3

2x 1
3
3
� x1  
Vì x 
2
2
2

C =

tại
;

0,75
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

x
x2 

3
2


3
2

0,25

Thay x1= -3/2 vào biểu thức C ta được
2

b
(0,75)

� 3�
� 3�
2�
 � 3
� � 5 �
�
15
� 2�
� 2� �
�
�

C=
4
� 3�
2�
� � 1
� 2�


0,25

Thay x2 = 3/2 vào biểu thức C ta được
2

�3 �
�3 �
2�
� � 5 �
� � 3
�2 �
�2 �  �
�
�
0
C=
�3 �
2�
� � 1
�2 �

Vậy khi x1 = -3/2 thì C = -15/4
khi x2 = 3/2 thì C = 0

0,25


Vì bốn con ngựa cùng ăn hết xe cỏ trong 1 ngày ,
do đó một con ngựa ăn hết một xe cỏ trong 4 ngày .
Một con dê ăn hết một xe cỏ trong 6 ngày .

Hai con cừu ăn hết hai xe cỏ trong 24 ngày nên một
con cừu ăn hết một xe cỏ trong 12 ngày .

4
(2đ)

1
(xe cỏ )
4
1
một con dê ăn hết (xe cỏ )
6
1
Một con cừu ăn hết
(xe cỏ )
12
1 1 1 1
Cả ba con ăn hết :    (xe cỏ
4 6 12 2

0,5

Trong một ngày : một con ngựa ăn hết

.
(0,5)
a
(0,75)

0,5


0,5

Cả ba con ăn hết 1 xe cỏ trong 2 ngày nên ăn hết 2 xe cỏ
0,5
trong 4 ngày
Vẽ hình đúng
0,5
A
C/m được AEH  AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm)
0,75

�F
�
Từ AEH  AFH Suy ra E
1
�
�
�
Xét CMF có �
ACB là góc ngoài suy ra
E CMF  ACB  F
b
� là góc ngoài suy ra BME
�
� �
1
BME có E
1
M  E1  B

B
(0,75)
C
�  BME
�  (�
�)  ( E
�B
�)
ACB  F
vậy CMF
1
H
� �
� (đpcm).
5
hay 2BME
ACB  B
D
( 3,5đ)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông FAFH :
c
FE 2
 AH 2  AE 2 (đpcm)
(0,5)
ta có HF2 + HA2 = AF2 hay

0,75

0,5


4

d
(1,0)

�F
�
C/m AHE  AHF ( g  c  g ) Suy ra AE = AF và E
1
Từ C vẽ CD // AB ( D � EF )
C/m được BME  CMD( g  c  g ) � BE  CD (1)
�  CDF
�
và có E
(cặp góc đồng vị)
1

� F
�
do do đó CDF

�

CDF cân � CF = CD ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra BE = CF

0,25
0,25
0,25

0,25