de toan chinh thuc 2018-2019 Trường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (124.94 KB, 4 trang )
PHÒNG GD&ĐT
TRƯỜNG TH THCS TT
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán
Ngày thi: 25/10/2018
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm) Rút gọn biểu thøc sau:
(
)
x x −1 x x + 1 2 x − 2 x + 1
x− x − x+ x :
x −1
P=
( x > 0 , x)
2
2
Câu 2. (4 điểm) Cho phương trình: x − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 (I)
a. Giải phương trình (I) khi m = −2 .
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Trong đó có một nghiệm bằng
1, tìm nghiệm còn lại.
Câu 3. (3 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Hãy chứng minh:
Câu 4. (3 điểm) Năm trước một xe đạp giá 160 đôla, một mũ bảo hiểm giá 40 đôla.
Năm nay giá xe đạp tăng 5%, giá mũ bảo hiểm tăng 10%. Vậy tổng giá xe đạp và mũ
tăng bao nhiêu phần trăm?
Câu 5. (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax
và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và
By lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp.
b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao ?
c. Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB). Gọi K là giao của MH và EB. So sánh MK và KH.
____________________________________
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Nội dung đáp án
(
Điểm
)
x x −1 x x + 1 2 x − 2 x + 1
x− x − x+ x :
x −1
P=
3
3
x − 13
x + 13 2( x − 1) 2
÷:
−
÷
x ( x − 1)
÷ x − 1 ÷
x
(
x
+
1)
=
1
( x − 1)( x + x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) 2( x − 1) 2
−
÷
÷
2
÷:
2 ÷
x ( x − 1)
x ( x + 1)
x
−
1
=
1
x + x + 1 x − x + 1 2( x − 1) 2
−
÷
÷: ( x − 1)( x + 1) ÷
÷
x
x
=
1
x + x + 1 − x + x − 1 2( x − 1)
÷
÷
÷:
x
x +1 ÷
=
1
2 x 2( x − 1)
÷
÷
÷:
x
x +1 ÷
=
=
1
x +1
x −1
a. Khi m = - 2 phương trình (I) trở thành: x + 6 x + 2 = 0
'
'2
2
Ta có ∆ = b − ac = 3 − 1.2 = 7 phương trình có 2 nghiệm phân
biệt
2
x1 =
2
−3 + 7
= −3 + 7;
1
x2 =
−3 − 7
= −3 − 7
1
'
b. Vì phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt nên ∆ > 0 hay
3
2
( m − 1) − 1. ( m2 − 2 ) > 0 ⇔ −2m + 3 > 0 ⇔ m <
2
Phương trình (I) có một nghiệm bằng 1 nên ta có:
12 − 2 ( m − 1) 1 + m 2 − 2 = 0
⇔ ( m − 1) = 0 ⇔ m = 1
2
⇔ m 2 − 2m + 1 = 0
1
1
0,5
1
(thỏa mãn)
x2 =
c m 2 − 2 12 − 2
=
=
= −1
a
1
1
Khi đó nghiệm còn lại là
Vậy với m = 1 thì phương trình (I ) có hai nghiệm 1 và -1
0,5
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có:
a < b + c ⇔ aa < a (b + c) ⇔ a 2 < ab + ac (1)
0,5
Tương tự có
0,5
0,5
b < a + c ⇔ bb < b(a + c) ⇔ b 2 < ba + bc (2)
c < a + b ⇔ cc < c(a + b) ⇔ c 2 < ac + bc (3)
3
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
1
a 2 + b 2 + c 2 < ab + ac + ab + bc + ac + bc
⇔ a 2 + b 2 + c 2 < 2( ab + bc + ca )
4
5
0,5
=>đpcm
Giá xe đạp năm nay tăng 5% nên giá một xe đạp tăng so với
năm trước là: 160 x 5/100 = 8 đôla.
Tương tự giá mũ bảo hiểm là: 40 x 10/100 = 4 đôla.
Tổng số tiền xe đạp điện và mũ bảo hiểm tăng so với năm trước
là: 12 đô la.
Như vậy tổng giá xe đạp điện và mũ bảo hiểm tăng so với năm
trước là: 12/200 x100 = 6%.
Nửa (O), đường kính
AB, Ax và By là tiếp
GT
KL
tuyến; M ∈ »AB , tiếp
tuyến tại M cắt Ax, By
tại E và F; AM x OE =
P, BM x OF = Q; MH
⊥ AB ( H ∈ AB); MH
x EB = K
1
1
1
F
M
E
Q
K
P
A
O
H
a. CM: AEMO là tứ giác nội tiếp
b. Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ?
c. So sánh MK và KH
Chứng minh
a. AE, ME là tiếp tuyến của (O) nên AE ⊥ AO, ME ⊥ OM
·
·
EAO
+ EMO
= 1800 ⇒ AEMO là tứ giác nội tiếp.
b. Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có:
EA = EM ⇒ ΔAEM cân
EP là tia phân giác của ·AEM
1
1
B
·
= 900
⇒ EP là đường cao ΔAEM ⇒ EP ⊥ AM hay MPO
0
·
Tương tự FQ là đường cao ΔMFB ⇒ QF ⊥ MB hay MQO = 90
0
·
Lại có ·AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AMB = 90
Vậy tứ giác MPOQ là hình chữ nhật .
0,5
0,5
0,5
0,5
c. Theo gt có MH ⊥ AB, BF ⊥ AB ⇒ MH//BF
EM EF
=
∆ EFB ⇒ MK FB
⇒ ∆EMK
mà FB = MF
EM EF
=
⇒ MK MF (1)
0,5
Tương tự có MH ⊥ AB, AE ⊥ AB ⇒ MH//AE
⇒ ∆BKH
EA AB
=
∆BEA ⇒ KH HB
mà EA = EM
EM AB
=
⇒ KH HB
0,5
EF AB
EM EF
=
=
Mặt khác có AE//HM//BF ⇒ MF HB ( Ta let) ⇒ KH MF (2)
0,5
EM EM
=
Từ (1) và (2) ⇒ MK KH ⇒ MK = KH.
0,5
