Câu 6:

[2D3-5.13-4]

(THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hai đường tròn

và

cắt nhau tại hai điểm

. Gọi

sao cho

là một đường kính của đường tròn

là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần

được gạch chéo như hình vẽ). Quay
tích

,

quanh trục

ta được một khối tròn xoay. Tính thể

của khối tròn xoay được tạo thành.

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D
Chọn hệ tọa độ

với

,

,

.

Cạnh

.

Phương trình đường tròn

:

.

Kí hiệu


là hình phẳng giới hạn bởi các đường

Kí hiệu

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

Khi đó thể tích

cần tính chính bằng thể tích

xung quanh trục

trừ đi thể tích

, trục
, trục

,

Do đó

.
.

,

của khối tròn xoay thu được khi quay hình

.


Lại có

,

.
.

của khối tròn xoay thu được khi quay hình

xung quanh trục
Ta có

,


Câu 43: [2D3-5.13-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong đợt hội trại “Khi
tôi ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên
một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi
và dán lên khu vực hình chữ nhật
, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp.
Chi phí dán hoa văn là
đồng cho một
bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất
hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?

A.

đồng.

B.


đồng. C.
đồng.
Hướng dẫn giải

D.

đồng.

Chọn C
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó phương trình đường parabol có dạng:

Parabol cắt trục tung tại điểm

và cắt trục hoành tại

nên:

.
Do đó, phương trình parabol là
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và trục hoành là:
.
Gọi

với

.

.



Ta có

và

. Diện tích hình chữ nhật

là

.
Diện tích phần trang trí hoa văn là:
.

Xét hàm số

với

.

Ta có

.

Bảng biến thiên:

Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ nhất là bằng

, khi đó chi phí thấp nhất cho


việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là:

đồng.

Câu 26: [2D3-5.13-4] (SGD – HÀ TĨNH ) Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường
kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình
tròn đường kính

có diện tích là

tạo thành khi quay hình

A.

.

và

. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được

(phần tô đậm) xung quanh đường thẳng

B.

.

C.
Lời giải

.


.

D.

.


Chọn B

Gọi

,
,

,

,

lần lượt là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác

quanh

. Gọi

Ta có:
Vì

,


và đa giác

lần lượt là bán kính đường tròn lớn và nhỏ.

và
vuông tại

,

,

.
có

Khi đó

Giả sử nửa trên đường tròn lớn tâm

,

nên có phương trình:

Khi đó
Giả sử nửa trên đường tròn nhỏ tâm
Khi đó

.

.
,


nên có phương trình:

.

.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

Câu 5351:
[2D3-5.13-4] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP - 2017] Một khuôn viên dạng nửa hình
tròn có đường kính bằng
(m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một
cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên
nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng (m), phần còn lại của khuôn viên
(phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản.


.
Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là
đồng/m2. Hỏi cần bao
nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A.
C.

(đồng).
(đồng).

B.

D.
Lời giải

(đồng).
(đồng).

Chọn D

.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là.
.
Phương trình parabol

có đỉnh là gốc

do đó:

qua điểm

và nửa đường tròn.( phần tô màu).
.

Vậy phần diện tích trồng cỏ là
Vậy số tiền cần có là

. Mặt khác

.

Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

Ta có công thức

sẽ có dạng

.
(đồng).đồng.

Câu 5352:
[2D3-5.13-4] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU - 2017] Ông An muốn làm cửa rào sắt có
hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá
của rào sắt là
đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm
tròn đến hàng phần nghìn).


A.

đồng.

B.

đồng. C.
Lời giải

.
D.

đồng.

đồng.


Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

.
Trong đó

,

,

.

Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng
Do Parabol đi qua các điểm

,

, với
,

.

nên ta có hệ phương trình.

.

Khi đó phương trình Parabol là
Diện tích


.

của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số

trục hoành và hai đường thẳng

,

Ta có
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là.

.
.

,


(đồng).
Câu 5353:
[2D3-5.13-4] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2 - 2017] Để trang trí toà nhà người ta vẽ lên
tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là
là một cánh hoa hình
parabol mà đỉnh parabol
cách cạnh lục giác là
và nằm phía ngoài hình lục giác, đầu
mút của cạnh cũng là
giác).

điểm giới hạn của đường


A.

B.

.

.

đó. Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Xét 1 cánh hoa hình parabol như mô tả; đặt hệ trục như hình vẽ:

.
Khi đó ta được phương trình của parabol là

.

diện tích mỗi cánh hoa là:
Diện tích hình lục giác đều là
Vậy tổng diện tích của hình trang trí là


.
.
.

Câu 5365:
[2D3-5.13-4] [THPT Hà Huy Tập - 2017] Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều
dài
và chiều rộng là
người ta làm một con đường nằm trong sân (Như hình vẽ). Biết
rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục
lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là
. Kinh phí cho mỗi
làm đường
đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền
được làm tròn đến hàng nghìn).


.
A.

.

Chọn C
Xét hệ trục tọa độ

B.

.


đặt gốc tọa độ

C.
Lời giải

.

D.

vào tâm của hình Elip.

Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là

. Phần đồ thị của

nằm phía trên trục hoành có phương trình

.

Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là

. Phần đồ thị của

nằm phía trên trục hoành có phương trình
Gọi

là diện tích của

và đồ thị hàm số


.

và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành
. Gọi

là diện tích của

phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số
Gọi

.
Tính tích phân

.

Đặt

.
.

và bằng hai lần diện tích phần hình
.

là diện tích con đường. Khi đó.

Đổi cận

.



Khi đó

.

.
Do đó

.

Vậy tổng số tiền làm con đường đó là

(đồng).

Câu 5366:
[2D3-5.13-4] [Sở GD&ĐT Bình Phước - 2017] Một khối cầu có bán kính là
,
người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính
và cách tâm một khoảng
để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà
chiếc lu chứa được.
A.

.

B.

.

C.


.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Trên hệ trục tọa độ
của

, xét đường tròn

quay quanh trục

giới hạn bởi nửa trên trục
quanh trục

. Ta thấy nếu cho nửa trên trục

ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng
của

, trục

, hai đường thẳng

quay xung

ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có

.

Nửa trên trục

của

có phương trình

Thể tích vật thể tròn xoay khi cho

quay quanh

.
là:

.
Thể tích khối cầu là:
Thể tích cần tìm:

.
.

Câu 5367:
[2D3-5.13-4] [Cụm 1 HCM - 2017] Ông A muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng
và kích thước như hình vẽ bên. Biết đường cong phía trên là parabol, tứ giác
là hình chữ
nhật và giá thành là
đồng trên m2 thành phẩm. Hỏi ông A phải trả bao nhiêu tiền để
làm cánh cửa đó?



A.
C.

đồng.
đồng.

B.
D.
Lời giải

đồng.
đồng.

Chọn D
.

Gọi
Vì

.
đi qua điểm

và có đỉnh

nên.

.
Diện tích cánh cửa là
Số tiền ông A phải trả là


.
.

Câu 5369:
[2D3-5.13-4] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa - 2017] Một thùng rượu có bán
kính các đáy là
, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là
,
chiều cao thùng rượu là
(hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh
thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?


A.

lít.

B.

lít.

.
lít.

C.
Lời giải

D.


lít.

Chọn D

.
Đơn vị tính là
Gọi

.
qua

.

.

.
Câu 5370:
[2D3-5.13-4] [Sở GD&ĐT Bình Phước - 2017] Một khối cầu có bán kính là
,
người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính
và cách tâm một khoảng
để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà
chiếc lu chứa được.
A.

.

B.

.


C.

D.
.

.

Lời giải
Chọn D
Trên hệ trục tọa độ
của

, xét đường tròn

quay quanh trục

. Ta thấy nếu cho nửa trên trục

ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng


giới hạn bởi nửa trên trục
quanh trục

của

, trục

, hai đường thẳng


quay xung

ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có
.

Nửa trên trục

của

có phương trình

Thể tích vật thể tròn xoay khi cho

.

quay quanh

là:

.
Thể tích khối cầu là:

.

Thể tích cần tìm:

.

Câu 5371:

[2D3-5.13-4] [BTN 166 - 2017] Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt
chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol
( hình vẽ ). Biết chuông cao
, và bán kính của miệng chuông là
. Tính thể tích chuông?

.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

Chọn A

.

.


Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba điểm

phương trình

nên có

. Thể tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng
quay quanh trục

Ta có

Do đó.

.

Câu 5372:
[2D3-5.13-4] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) - 2017] Một chiếc đồng hồ cát như
hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện
thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban
đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao

của mực cát bằng

chiều cao

của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi
cm3/ phút.
Khi chiều cao của cát còn
thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi
(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi
chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu
? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).


.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Xét thiết diện chứa trục của đồng hồ cát, ta có parabol đi qua các điểm
nên có hàm số là

như hình vẽ.

,

,



.
Thể tích phần cát ban đầu bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi ta quay nhánh bên phải của
parabol trên quanh trục
và bằng lượng cát đã chảy trong 30 phút.
Ta có:

.

Vậy chiều cao của hình trụ bên ngoài bằng:

cm.

Câu 5373:

[2D3-5.13-4] [208-BTN - 2017] Một bồn nước được thiết kế với chiều cao
, ngang
, dài
, bề mặt cong đều nhau với mặt cắt ngang là một hình parabol như hình vẽ bên
dưới. Bồn chứa được tối đa bao nhiêu lít nước.

.
A.

(lít).

B.

(lít).

C.


(lít).

D.

(lít).

Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục như hình vẽ. Ta thấy Parabol đi qua các điểm
,

nên có phương trình

. Diện tích phần mặt cắt tính như sau:

,


.
.
Do đó thể tích của bồn.
.
Câu 5374:
[2D3-5.13-4] [Sở GD và ĐT Long An - 2017] Ông An xây dựng một sân bóng đá mini
hình chữ nhật có chiều rộng 30m và chiều dài
. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ
nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ.

.

là một parabol có đỉnh .
và phần còn lại được trồng cỏ

- Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong
- Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá
nghìn đồng/
nhân tạo với giá
nghìn đồng/ .
Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?
A.
triệu đồng.
B.
triệu đồng.
C.
triệu đồng.
D.
Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ,
.

triệu đồng.


.
Khi đó, đường cong

là hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol


và đường thẳng

.

Phương trình hoành độ giao điểm

.

Diện tích phần tô màu là:

.

Mặt khác diện tích sân bóng đá mini hình chữ nhật là
Phần không tô màu có diện tích là:

.
.

Số tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng:
.

Câu 5375:
[2D3-5.13-4] [Sở GD và ĐT Long An - 2017] Một hình cầu có bán kính
người ta
cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt
xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích
mà chiếc lu chứa được
biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu
.


.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B


.
Trong hệ trục tọa độ
trên trục hoành của
khác ta tạo hình phẳng
đường thẳng

, xét đường tròn

có phương trình


quay quanh trục hoành tạo ra mặt cầu tâm

. Khi đó nửa phần
bán kính bằng

giới hạn bởi nửa phần trên trục hoành của
; sau đó quay

quanh trục

, trục

. Mặt
và các

ta được khối tròn xoay chính là

chiếc lu trong đề bài.
Ta có
Thể tích

nửa phần trên trục hoành của

là

.

của chiếc lu được tính bởi công thức:
.


Câu 5376:
[2D3-5.13-4] [THPT Chuyên Quang Trung - 2017] Trong chương trình nông thôn mới,
tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ
cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục
như hình vẽ.

.


Ta có.
Gọi

là Parabol đi qua hai điểm

.

Nên ta có hệ phương trình sau:


Gọi

là Parabol đi qua hai điểm

Nên ta có hệ phương trình sau:

Ta có thể tích của bê tông là:

.

.

.

.