bài tập ppdh hình học (1)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (93.57 KB, 3 trang )
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a. Các
điểm M, N lần lượt nằm trên AD’, DB sao cho AM = DN = x (0 < x < a)
a) Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố
định.
b) Chứng minh rằng khi x= thì MN // A’C.
Giải:
a) Sử dụng định lí Ta-lét
Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp(A’D’CB) (có (P) vì AD // A’D’).
Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp(A’D’CB. Giả sử (Q) cắt DB tại N’.
Theo định lí Ta-lét ta có:
(*)
Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên:
AD′=DB=a
Từ (*), ta có AM = DN’
⇒ DN’ = DN
⇒ N’ ≡ N
⇒ MN ⊂ (Q)
Mà (Q) // (A’D’CB) suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB)
Sử dụng định lí Ta-lét đảo.
Từ giả thiết ta có: =
Suy ra AD, MN và D’B luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo). Vậy MN luôn
song song với một mặt phẳng (P), mà (P) song song với AD và D’B. Có thể chọn mặt phẳng
này chính là mp(A’D’CB).
b) Gọi O là giao điểm của DB và AC. Ta có:
DN = x = =
⇒DN= DO
Suy ra N là trọng tâm tam giác ADC
Chứng minh tương tự, ta có M là trọng tâm tam giác A’AD. Vậy CN và A’M cắt nhau tại I là
trung điểm của AD. Ta có:
⇒MN//A′C
Ví dụ 2:
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Một mặt phẳng IJ cắt
các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M.
a) Cho trước điểm M, nêu cách dựng điểm N.
b) Gọi K là giao điểm của MN và IJ. Chứng minh rằng K là trung điểm của MN.
Giải:
a) Trường hợp M không phải là trung điểm của BC
Nối M với I cắt AC tại E. Nối E với J cắt AD tại N, N chính là điểm cần tìm
Trường hợp M là trung điểm của BC.
Khi đó IM // AC và (IJM) // AC. Vậy mp(IJM) cắt mp(ACD) theo giao tuyến JN // AC.
b) Vì == nên qua IJ, AD, BC có ba mặt phẳng song song (định lí Ta-lét đảo).
Ba mặt phẳng này cắt hai đường thẳng AB và NM tại các điểm I, A, B và K, N, M. Vì I là
trung điểm của AB nên K là trung điểm của MN (định lí Ta-lét).
