TIỂU LUẬN

Hình học giải
tích


MỤC LỤC
I. Chủ đề 1: Không gian vectơ
1. Phương trình đường thẳng
2. Vị trí tương đối của đường thẳng, chùm đường thẳng
3. Góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
4. Hệ tọa độ đêcac trong không gian, tọa độ của vecto và điểm.
II. Chủ đề 2: Đường bậc 2
1. Vấn đề 1: Phân loại đường bậc 2, các dạng đường chính tắc
2. Vấn đề 2: Viết phương trình đường cong bậc 2 (C) với những điều kiện cho trước
III: Tài liệu tham khảo


CHỦ ĐỀ 1: KHÔNG GIAN VECTO

I).

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.

1). Định nghĩa: Cho cácvectơ
 u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d khi vec tơ u nằm trên 1 đường thẳng song songhoặc
trùng với d. Mọi vectơ chỉ phương của d đều có dạng k.u, (k  0).
 n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng d khi vec tơ n nằm trên 1 đường thẳng vuông gócvới
và một vectơ chỉ phương u hoặc
d. Mọi vectơ pháp tuyến của d đều có dạng k.n, (k  0).

 Một đường thẳng d hoàn toàn được xác định khi biết M 0 d
một vectơ pháp tuyến n của d.
2). Phương trình tổng quát của đườngthẳng:
2
2
a). Định lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng d códạng AxByC0,
A B  0.
Chúý:d có vtpt n(A;B),vtcpu(B;A)u(B;A).
b). Hệ quả: Phương trình đường thẳng dqua M (x ;y )và có vtptn(A;B)
là:
0 0 0
2
2
A(x x ) B( y y )  0, A B  0.
0
0
3). Phương trình tham số- chính tắc của đường thẳng:
a). Phương trình tham số của đườngthẳng:
Phương trình tham số của đường thẳng d
M 0 (x0; y0 ) và có vtcp u  (a;b) là:
qua
x x0 at , a2 b2  0, t .

0
y y bt

b). Phương trình chính tắc của đường thẳng:
M 0 (x0; y0 ) và có vtcp u  (a;b) là:
Phưowng trình chính tắc của đường thẳng d qua
x x0 y y0 2 2


, a b  0.
a
b

II). VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM ĐƯỜNGTHẲNG.
1). Vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
2
2
2
2
Cho 2 đường thẳng d : A x B y C  0 (1), d : A x B y C  0 (2) ( A B  0, A B  0).
1

1

1

1

2

2

2

2

1


Giải hệ (1), (2) ta có kết quả sau:
-Hệ có duy nhất nghiệm A1B2 A2B1  0  d1 và d2 cắtnhau.
-Hệ vô nghiệm A1B2 A2B1  0 và B1C2 B2C1  0 d1 //d 2 .
-Hệ có vô số nghiệm A1B2 A2B1 B1C2 B2C1 C1A2 C2 A1  0 d1 d2. 2).
Chùm đường thẳng:

1

2

2


Hai hay nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I.
Nếu d1 : A1x B1 y C1  0, d2 : A2 x B2 y C2  0 cắt nhau tại I ( A1B2 A2B1) thì phương trình của
2

2

chùm đường thẳng tâm I là: m( A1 x B 1y C 1) n( A 2x B y2 C ) 2 0, m n  0.
III).
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT ĐƯỜNGTHẲNG.
1). Góc giữa 2 đường thẳng:
0
0
Cho 2 đường thẳng d : A x B y C  0 , d : A x B y C
 0 . Nếu gọi (0  90 ) là góc
1


giữa d1

1

1

1

2

2

2

2

A1 A2 B1B2
và d2 thì :cos

A2 B2 .1122A2 B2 .

Hệ quả : d1 d2 A1A2 B1B2  0.
2). Khoảng cách từ một điểm đến một đườngthẳng:
a). Công thức: Khoảng cáchtừ M (x0; y0 ) đến d : Ax By C  0 là:
Ax0 By0 C 2 2
d(M,d)
, A B 0.
A2 B2
b). Hệ quả: Nếu d1 : A1x B1 y C1  0 , d2 : A2 x B2 y C2  0 cắt nhau tại I ( A1B2 A2B1)
phương trình các phân giác tạo bởi d1 và d2là:


thì

A1x B1 y C1 A2 x B2 y C2

A2 B
2
A2 B
2
11
22
IV). HỆ TỌA ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀĐIỂM:
■ Hệ tọa độ đêcac vuông góc trong khônggian:
Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ trục tọa độ Oxyz với Ox là
trục hoành , Oy là trục tung và Oz là trục cao.trên Ox, Oy, Oz lần lượt có các vectơ đơn vị
i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0), k  (0; 0;1)
- Tọa độ của véctơ: u (x; y; z) u xi y j zk
- Tọa độ củađiểm: M  (x; y; z) OM  (x; y; z)
x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ của M hay OM
● Các kết quả:trong hệ Oxyz
A  xA;y A ;zA vàBxB;yB;zB
cho

và a x1; y1; z1 và

b x2; y2; z2 . Ta có:

●
●


abx1x2;y1y2;z1z2
k a  kx1;ky1;kz1

●Tích vô hướng: a.b x1.x2 y1.y2 z1.z2

Chủ đề 2: ĐƯỜNG BẬC 2.
Vấn đề 1: Phân loại đường bậc 2, các dạng phương trình chính tắc.
Cho (C): ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0. Hãy xác định (C) thuộc loại đường nào?.
* Phương pháp 1:
và  a b d
Đặt ac b

2

b
d

c
e

e.
f


 0
 0

 0
Elip (thực, ảo)
Parabol


 0

Hypebol

 0
2 đường thẳng ảo cắt nhau tại điểm thực.
2 đường thẳng (thực, ảo) song song nhau.
2 đường thẳng thực trùng nhau.
2 đường thẳng rhực cắt nhau.

Ví dụ 1:Xác định các đường bậc 2 sau thuộc loại gì:
2
2
2
2
1).x  6xy y 6x  2 y 1  0
4).x  4xy  4 y 2x  2 y 1  0
2

2

2).3x 2xy3y 4x4y40
2

2

3).x  4xy  3y 2x  2 y  0
Giải:
2

2
1).x  6xy y 6x  2 y 1  0 .
Ta có: a = 1, b = 3, c = 1, d = 3, e = 1, f = 1.
1 3 3

ac b2 = -8 <0,

3

2

2

2

2

5).9x  6xy y 6x  2 y  0
6).4x  4xy y 4x  2 y 1  0

1  16 0.

1

Vậy (C ) làhypebol.

3 1 1
2

2


2).3x  2xy  3y 4x  4 y  4  0 .
3 1 2

ac b2 =9 > 0,

1
2

2

3

2 64 0.

2

4

Vậy (C ) là elip.

2

3).x  4xy  3y 2x  2 y  0 .
1 2

1

ac b2 = -1 <0,


3

1  0 . Vậy (C) là 2 đường thẳng thực cắt nhau.

1

0

2
1

2

2

4).x 4xy4y 2x2y10.
1 2

1

ac b =0.

1 1  0 . Vậy (C) là parabol.

2

2

4


1 1

1
2

2

5).9x  6xy y 6x  2 y  0 .
9 3 3

ac b2 =0.

3
3

2

1

1 0.

1

0

Vậy (C) là 2 đường thẳng song song hoặc trùngnhau.

2

6).4x  4xy y 4x  2 y 1  0 .

4 2 2

ac b2 =0.

2
2

*Dạng1:

1

1 0.

1

1

Vậy (C) là 2 đường thẳng song song hoặc trùngnhau.

Chứng minh (C) là một cặpđườngthẳng:

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0.(1)

Cách giải:Ta xem (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y. Do đó:
2
2
(1) cy  2(bx e) y ax  2dx f  0 .
2

2


Tính  '  (bx e) c(ax  2dx f ) .
Nếu  '  0 : (C ) xác định một cặp đường thẳng.
 '  0 : (C ) không định một cặp đường thẳng.


Ví dụ 2:Lấy lại ví dụ (5), (6). Xác định cụ thể cặp đường thẳng đó song song hay trùng nhau.
2
2
1).9x 6xyy 6x2y0.
(1)
2

2

2).4x 4xyy 4x2y10
(2)
Giải:
1). Xem (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y, ta có:
2
2
(1)y 2(13x)y9x 6x0.
y3x
. Đây là cặp đường thẳng song song.
2
2
'(13x) 9x 6x1

y3x2
2). Xem (2) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y, ta có:

2
2
(2)y 2(12x)y4x 4x10.
y  2x 1
2
2
 '  (1 2x)  4x  4x 1  0 
. Đây là cặp đường thẳng trùng nhau.

y2x1
Dạng2: Cho (C ): ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0.
Giả sử 1 trong 6 số a, b, c, d, e, f là một tham số chưa biết. Yêu cầu hãy xác định tham
số đó để (C) xác định một cặp đường thẳng.
a b d
Cách giải: Để (C) xác định một cặp đường thẳng thì b c e e = 0.
d
f
Tính  rồi tìm tham số đó. Kết luận theo yêu cầu đề bài.


Dạng3
Các cách xác định phương trình chính tắc của 1 đường cong (C) bất kì: ax2+ 2bxy+ cy2+ 2dx+ 2ey+ f= 0.(
Cách 1: Áp dụng trong hệ tọa độ trực chuẩn (Đề các): Dùng phép quay và phép tịnh tiến như đã đề cập ở trên đ
Cách 2: (Dùng trong hệ tọa độ Afin).
Trong hệ tọa độ Afin, ta có thể đem (*) về dạng không chứa số hạng xy bằng phép biến đổi trục tọa độ.



Vấn đề 2: Viết phương trình đường cong bậc hai (C) với những điều kiện cho
trước.

Dạng1: Lập phương trình (C) đi qua 5 điểm cho trước.
Phương pháp:
+ (C) qua 5 điểm suy ra tọa độ 5 điểm thỏa mãn (C).
+ Thay tọa độ 5 điểm đó vào (C) ta được hệ gồm 5 phương trình 6 ẩn a, b, c, d, e, f.
+ Bằng cách chọn giá trị cụ thể của 1 trong 6 ẩn trên, ta có thể tìm được các ẩn còn lại.
+ Thế các hệ số vào (C) và kết luận.
Ví dụ:Viết phương trình (C) qua 5 điểm: (0;0), (0; 2), (1; 0), (2; 1), (1;3).
Giải:
(C): ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0.
Thay lần lượt tọa độ các điểm trên vào (C), ta được hệ
f  0

f  0
f  0


4c  4e  0
c e
c e



a  2d  0
 a 2d
 a 2d
4a4bc4d2e0
4d4be0
e 2b




d 3 b
a6b9c2d6e0
 6b3e0

2
Chọn b  2 d  3, e 4, a  6, c  4, f  0.
2

2

2

2

Vậy (C): 6x  4xy  4 y  6x  8 y  0 hay 3x  2xy  2 y  3x  4 y  0
Dạng2: (C) qua 3 điểm (có tọa độ cho trước) và có tâm (có tọa độ cho trước).
Phương pháp:
+ Với 3 điểm cho trước, ta được 3 phương trình với ẩn số a, b, c, d, e, f..
F (x
; y 0)  0
x0
+ Tâm là nghiệm của hệ 
. Thu được 2 phương trình với ẩn số a, b, c, d, e, f.
Fy(x0 ;y0)0
+ Vậy ta có 5 phương trình 6 ẩn. Cách giải tương tự như đã nêu ở phần trên.
Ví dụ:Tìm phương trình tổng quát của đường cong bậc hai có tâm là (2; 3) đi qua các điểm (0; 0),
(0; 1), (1; 0).
Giải:Ta có hệ sau:


f  0
f  0


c  2e 
0
a  2d  0
2a3bd0


b d



5

b
e

2



a 2d

 c 2e

3ce0
2b


2

Chọn e  2 b d  5, a 10, c 4.

2

Vậy (C): 10x 10xy  4 y 10x  4 y  0.
2

2

Hay: 5x  5xy  2 y  5x  2 y  0.
Dạng3: (C) qua 3 điểm và cắt mỗi đường thẳng d1, d2 cho trước tại một điểm duy nhất.
Phương pháp:
+ (C) qua 3 điểm cho ta 3 phương trình.
P1  0
+ d1 cắt (C) tại 1 điểm duy nhất 
Q1 0
+ d2 cắt (C) tại 1 điểm duy nhất 

P2  0

Q2  0
+ Có 5 phương trình. Cách giải tương tự như đã nêu ở phần trên.
Ví dụ:Viết phương trình (C) qua 3 điểm (0; 0), (0; 2), (2; 4) và chỉ cắt mỗi đường
tại 1 điểm duy nhất.
d1:3x2y10,d2:2xy50
2
2
Giải:(C): F(x; y): ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f = 0.

f  0

(C) qua 3 điểm nên ta có hệ 4c  4e  0
(1)
a4bd2e0

Xét d1

qua A(1; 2): d1 : x  1 2t
y23t
Fx(1;2)2(a2bd),Fy (1;2)2(b2ce).
2

d  (C) có phương trình: (4a 12b  9c)t [4(a  2b d )  6(b  2c e)]t F (1; 2)  0.
Để d1

4a 12b  9c  0.
cắt (C) tại 1 điểm  
4(a2bd)6(b2ce)0.

Tương tự, xét d2

qua B(-2; -1): d2

(2)

x 2 t
: y 12t

Fx(2;1)2(2abd),Fy(2;1)2(2bce).

Để d1

P  0 a  4b  4c  0.
cắt (C) tại 1 điểm 


Q0

(1), (2), (3) ta có hệ:
f0

4c  4e  0
a  4b d  2e  0

4a 12b  9c  0.


4a6b2d4c4e0
f 0
a  4b  4c  0
4(a2bd)6(b2ce)0

4a  6b  2d  4c  4e  0

(3)



a  4b  4c
16b 16c 12b  9c  0


4(a  2b d )  6(b  2c e)  0

4a  6b  2d  4c  4e  0



c e
a  4b d  2e  0


f  0

c e
8b d  2e  0

 a 12b
c  4b

4(a2bd)6(b2ce)0

4a  6b  2d  4c  4e  0
2

Chọnb1c4,e4,d0,a12,f

 0.

2


Vậy (C): 12x  2xy  4 y  8 y  0.
Ví dụ:Lập phương trình (C) chỉ cắt mỗi trục tọa độ tại gốc O và đi qua 2 điểm (2; -1), (-2; 2).
Giải:
(C) qua O: ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey = 0.
ax22bxycy22dx2ey0
(C)Ox:
ax2  2dx  0(*)
y

0

 y 0
a  0
(C) cắt Ox tại 1 điểm tương đương (*) có nghiệm duy nhất  
d  0
2
2
ax 2bxycy 2dx2ey 0
(C)Oy:
cy2  2ey  0(**)
x

0

 y 0
c  0
(C) cắt Oy tại 1 điểm tương đương (**) có nghiệm duy nhất  
e 0
Suy ra (C): 2bxy + 2dx + 2ey = 0 hay bxy + dx + ey = 0. (***)



(C) đi qua 2 điểm (2; -1), (-2; 2) nên tọa độ nó thỏa (***):
2b2de0 4bd

Cho b  1 d  4, e  6.
2b2de0
e 6b


xy  4x  6 y  0.
Vậy (C) cần tìm có phương
trình:

Ví dụ:Tìm phương trình (C):
a).Qua(1; -1) và nhậnd1:2x3y50,d2:5x3y80

làm tiệm cận.

b). Tiếp xúc 4x y  5 0 và nhậnd1:x10,d2:2xy10
làm tiệm cận.
Giải :
a). Áp dụng công thức đã trình bày ở trên, phương trình (C) có dạng:
(2x3y5)(5x3y8)k0.
(1)
(C) qua (1; -1) suy ra k 36.
2
2
(2)
Suy ra (C) : 10x  21xy  9 y  41x  39 y  4  0.
b). Phươngtrình(C)códạng(x1)(2xy1)k0.

Lại có 4x y  5  0
(3) là tiếp tuyến của (C).
Nên hệ (2), (3) có nghiệm
(x1)(2xy1)k0

(2x4x51)(x1)k0

y4x5
2

2

2

 6(x 1) k  0  6x  6 k  0 x 

6 k
6

có nghiệm kép.

có nghiệm kép


6 k

 0 k  6.
6
2
Vậy phương trình (C): (x 1)(2x y 1)  6  0  2x xy x y  5  0.



Tài liệu tam khảo:
- Bài giảng của TS. Nguyễn Hà Thanh.
- Toán cao cấp - Đại số và hình học giải tích, Nguyễn Đình Trí (Chủ
biên) - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh – NXBGD -2008.
- Bài tập Hình học giải tích, Lê Minh Châu - Phan Bá Ngọc - Trần Bình –
NXBGD
– 1963.