- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
GH day GH ham toán cao cấp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (487.16 KB, 46 trang )
Chương 1: Giới hạn dãy số
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa :
lim un a 0, N R : n N xn a
n
Tức là: phần lớn các phần tử của dãy “tụ tập” xung
quanh a thì ta nói dãy HỘI TỤ về a
2. Tính chất cơ bản cần nhớ:
Dãy hội tụ thì bị chặn:
lim un a A, B : A un B, n
n
Dãy có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất:
lim un a & lim un b a b
n
n
Chương 1: Giới hạn dãy số
Tóm tắt lý thuyết
3. Dãy VCB : lim n 0 n : gọi là dãy VCB.
n
un a un a n ,n : VCB
n : VCB& n : VCB n n : VCB
n : VCB & un M n n .un : VCB
4. Dãy VCL : lim An An : gọi là dãy VCL.
n
Chương 1: Giới hạn dãy số
Tóm tắt lý thuyết
5. Định lý kẹp:
un vn wn
a
6. Định lý HT bị chặn :
Dãy tăng un un 1, n và bị chặn trên M : un M , n
hoặc gỉam un un 1, n và bị chặn dưới m : un m, n
thì hội tụ
Chương 1: Giới hạn dãy số
Tóm tắt lý thuyết
7. Dãy con: lim un a lim un a, un
k
k
n
nk
n
un : lim un
n
lim un
n
a2 a1
unk : lim unk a1
k
k
l
l
8. Số e:
n
1 1 e 1 1
n
n
n 1
n
1
, n lim 1 e 2,718..
n
n
Chương 1: Giới hạn dãy số
Tóm tắt lý thuyết
9. Một số giới hạn cơ bản:
1
ln p n
1. lim 0, 0
5. lim 0, p, 0
n n
n n
1
n p
2. lim n 0
6. lim n 1, p
n e
n
np
3. lim n 0, p
n e
7. lim
n
n
a 1, a 0
1
8. lim qn 0,| q | 1
4. lim 0, 0
n
n ln n
n
9. lim 1 e , a
n
n
Chương 1: Giới hạn dãy số
II. Các Ví dụ
VD1: Tính các giới hạn sau
2. lim
1. lim
n
n
n 1
3
n2 3 n2 2
n 1
2
3
n n 2 3 n 1
3. lim
n
3
n2 1 n4 n
3
VD2: Tính các giới hạn sau
1. lim
n
n
n 3.3n 5n
2n 1 1 3n 1
n
2. lim
n 2n
1
n 1 n 1
3
Chương 1: Giới hạn dãy số
II. Các Ví dụ
VD3: Tính các giới hạn sau
2n 1
1. lim
n 2n 1
n
1
3. lim
n n 1
n 1
n 2
2. lim 2
n n 1
2
n2
n 1 n 1
n
2n 2 2n 2
4. lim
n 2n 1 n 4
1
3
VD4: Tính các giới hạn sau
1. lim
n
n.sin n
n 1
1
2
n
2. lim 3
3
... 3
n n 1 n 2
n n
Chương 1: Giới hạn dãy số
II. Các Ví dụ
VD3: Tính các giới hạn sau
2n 1
1. lim
n 2n 1
n
1
3. lim
n n 1
n 1
n 2
2. lim 2
n n 1
2
n2
n 1 n 1
n
2n 2 2n 2
4. lim
n 2n 1 n 4
1
3
VD4: Tính các giới hạn sau
1. lim
n
n.sin n
n 1
1
2
n
2. lim 3
3
... 3
n n 1 n 2
n n
Chương 1: Giới hạn dãy số
III. Bài tập: Tính lim un với:
n
1.un
2.un
3n 1 5n
6.un
3n 5n 1
2
2n
7.un
2n
3
3.un n 3.3n 7n n 3 1
n 1
1
n3 n 1 n 2 1
1
n
1
n
5.un
1
n
1
3
n
sin n 2 ln n 1
2 2 n 3n 2
n
4.un
ln n 2 n.sin n 2 1
n
8.un n
1
n2 1 n
n5 1 5n
n 2 2n
3n
n 2 n
9.un
n
n
2
3
Chương 1: Giới hạn dãy số
III. Bài tập: Tính lim un với:
10.un
ln n
20
n
8
3n 1
5n 20 13n 4
11.un
3
n ln n 3n 3 1
2
n 2
1
1
1
12.un 1 2 1 2 ... 1 2
2 3 n
13.un n
3
n 1 n
Chương 1: Giới hạn dãy số
III. Bài tập: Tính lim un với:
n
14.un
1 2 3 4 ... 2n 1 2n
n2 1
1
1
1
15.un
...
n2 1
n2 2
n2 n
n
n
16.un
cos
n 1
2
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
I. Các hàm sơ cấp cơ bản:
Hàm số mũ: y = ax
MXĐ: (-∞,+∞),
Điều kiện : a>0, a≠1
MGT: (0,+∞)
Khi 0
lim a 0, lim a
x
x
x
x
lim a , lim a 0
x
x
x
x
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
I. Các hàm sơ cấp cơ bản:
Hàm logarit: y=logax , a>0, a ≠1
a>1: Hàm đồng biến
0
lim log a x
x 0
lim log a x
x
x 0
lim log a x
x
y log a x x a y
log a ( a x ) x, x; a loga x x, x 0
log a ( x. y ) log a x log a y
x
log a log a x log a y
y
log a ( x r ) r log a x, r R
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
I. Các hàm sơ cấp cơ bản:
Hàm lũy thừa : y=xa MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a
a = -1: MXĐ: R*=R\{0},
MGT: R*. Ta còn gọi đây là
đường Hyperbol
a=1/2: MXĐ [0,+∞),
MGT [0,+∞)
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
I. Các hàm sơ cấp cơ bản:
Hàm lượng giác y = sinx
Hàm y = cosx
Hàm ngược: y=arccosx,
MXĐ: [-1,1], MGT: [0,π]
Hàm ngược y=arcsinx
MXĐ: [-1.1], MGT: ,
2 2
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
I. Các hàm sơ cấp cơ bản:
Hàm y = tanx
Hàm ngược y=arctanx,
MXĐ: R, MGT: ,
2 2
Hàm y = cotx
Hàm ngược y=arccotx
MXĐ: R, MGT: (0,π)
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
II. Hàm hợp – Hàm ngược – Hàm hyperbol:
Hàm hợp : Cho 2 hàm g : X Y , f : Y Z
Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h f
g
Được xác định như sau : h : X Z , h( x) f ( g ( x))
Lưu ý : Nói chung 2 hàm
f g, g f
không bằng nhau
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
II. Hàm hợp – Hàm ngược – Hàm hyperbol:
Hàm ngược : Cho hàm 1-1 f : X Y , f ( x) y
hàm ngược của hàm, đựơc kí hiệu là y = f -1(x),
f
1
:Y X
sao cho
f 1 ( y ) x y f ( x)
Như vậy : f(f -1(y))=y và f -1(f(x))=x
Ta có: MXĐ của hàm f -1 là MGT của hàm f và MGT
của hàm f -1 là MXĐ của hàm f
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
II. Hàm hợp – Hàm ngược – Hàm hyperbol:
Định nghĩa
e e
sinh( x)
2
x
x
e x e x
cosh( x)
2
sinh( x)
tanh( x)
cosh( x)
cosh( x)
coth( x)
sinh( x)
Công thức liên hệ
1/ ch2x – sh2x = 1
2/ sh(2x)=2shx.chx,
ch(2x) = ch2x + sh2x
3/ ch(x+y) = chx.chy + shx.shy
4/ ch(x-y) = chx.chy - shx.shy
5/ sh(x+y) = shx.chy + shy.chx
6/ sh(x-y) = shx.chy - shy.chx
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
II. Hàm hợp – Hàm ngược – Hàm hyperbol:
Ví dụ: Tìm MXĐ của các hàm sau
1. y arcsin
x 1 2
2
2 x
2. y ln 1 2
x
Ví dụ: Cho 2 hàm sau f x x 2 x 1, g x arctan x
Tìm f g , g f , f f , g g
Ví dụ: Tìm hàm ngược của các hàm sau
1. y x 3 1
2. y sinh x
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
III. Giới hạn và liên tục:
Giới hạn hàm số (ngôn ngữ ε – δ) :
Cho hàm f(x) và x0 là 1 điểm tụ của MXĐ Df của hàm
lim f ( x) a 0 0
x x0
x D f , x x0 | f ( x) a | .
Chú ý: Hàm f(x) có thể không xác định tại x0
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
III. Giới hạn và liên tục:
Giới hạn hàm số (ngôn ngữ dãy):
Cho x0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x)
n
(
x
)
D
,
x
x
,
x
xo
lim f ( x) a
n
f
n
0 n
x x0
n
f ( xn )
a
Chú ý: Ta thường dùng định nghĩa bằng ngôn ngữ
dãy để chứng minh giới hạn hàm không tồn tại
bằng cách chỉ ra 2 dãy
( xn ),( xn' ) x0 với tương ứng f ( xn ), f ( xn' )
có 2 giới hạn khác nhau
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
III. Giới hạn và liên tục:
Tính chất của giới hạn hàm
Cho : lim f ( x) a, lim g ( x) b
x x0
x x0
1) lim ( f ) a, R
x x0
2) lim ( f g ) a b
x x0
f a
4) lim , b 0
3) lim ( f g ) a b
x x0 g
x x0
b
5) x V ( x0 ), f ( x) g ( x) a b
f ( x) g ( x) h( x)
g ( x) a (Định lý kẹp)
6) lim f lim h a xlim
x0
x x0
x x0
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
III. Giới hạn và liên tục:
x
1
1
1
1 e lim 1 e lim 1 x x e
Số e : xlim
x
x 0
x
x
x
lim v ( x )
Giới hạn dạng u(x)v(x) : lim u ( x)v ( x ) lim u ( x) xx0
x x0
x x0
Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→∞
1) xlim
x
,
0
4)
lim
1
e
x
x
x
2) lim ln x , 0
x
x
3) xlim
a
,
a
1
5) lim sin x không tồn tại
x
Chương 2: Giới hạn và Liên tục
III. Giới hạn và liên tục:
Gh cơ bản thường gặp khi x→0
1)
2)
3)
4)
5)
sin x
lim
1
x 0
x
ex 1
lim
1
x 0
x
1 cos x 1
lim
2
x 0
x
2
ln(1 x)
lim
1
x 0
x
(1 x) 1
lim
x 0
x
arctan x
6) lim
1
x 0
x
arcsin x
7) lim
1
x 0
x
tan x
8) lim
1
x 0
x
9) lim 1 x
1/ x
x 0
e
shx
10) lim
1
x 0 x
chx 1 1
11) lim
2
x 0
2
x
