- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
DE THI DE NGHI TOAN11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (76.45 KB, 4 trang )
TRƯỜNG THPT KRÔNG ANA
TỔ TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11
ĐỀ BÀI
Bài 1 (3,0 điểm)
(
)
Giải phương trình sau: 1 + 3 tan x + cot x = tan 2 x +
2
sin 2 x
Bài 2 (3,0 điểm)
Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp A = { 1; 2;3...20} , tính xác suất để
trong 3 số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài 3 (3,0 điểm)
u1 = 1
u1 u2
u
+ + ... + n ÷?
Cho dãy un xác định bởi :
un2 . Tìm nlim
→+∞ u
un +1
2 u3
un +1 = un +
2017
Bài 4
a (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = a 2 ,
SA ⊥ ( ABCD ) và SA = 2a , gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng ( SAC ) ⊥ ( SBM ) và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC.
b (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E là trung điểm cạnh BC .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt đường chéo AC tại G ( G không trùng với C ) . Biết
2 4
E (1, −1) , G , ÷ và điểm D thuộc đường thẳng d : x + y − 6 = 0 . Tìm tọa độ điểm C .
5 5
Câu 5 (4,0 điểm) Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
3(b + c) 4a + 3c 12(b − c)
+
+
.
2a
3b
2a + 3c
---------------------------------------Hết---------------------------------------
ĐÁP ÁN
Câu
(
)
Đáp án
2
Giải phương trình sau: 1 + 3 tan x + cot x = tan x +
Điều kiện sin 2 x ≠ 0
Biến đổi: 3 tan x + tan x + cot x = tan 2 x +
1(3đ)
Điểm
2
sin 2 x
0.5
2
sin 2 x
0.5
2
2
= tan 2 x +
sin 2 x
sin 2 x
2
⇔ tan x − 3 tan x = 0
⇔ tan x = 0 hoặc tan x = 3
Loại tan x = 0 do điền kiện
π
Vậy tan x = 3 ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ )
3
⇔ 3 tan x +
0.5
0.5
0.5
0.5
Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp , tính xác suất để
trong 3 số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.
Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ tập A là C203 = 1140 cách
2(3đ)
Số cách chọn 3 số liên tiếp là 18 cách
Số cách chọn ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp là 17*2+17*16 = 306 cách
0.5
0.5
1.0
Vậy xác suất cần tìm là
1.0
1140 − 18 − 306 816 68
=
= .
1140
1140 95
u1 = 1
u1 u2
u
+ + ... + n ÷?
Cho dãy un xác định bởi :
un2 . Tìm nlim
→+∞ u
un +1
2 u3
un +1 = un +
2017
un
un2
2017(un +1 − un )
1
1
=
=
= 2017( −
)
Ta có:
un +1 unun +1
unun +1
un un +1
3(3đ)
0.5
u u
u
1
Suy ra: 1 + 2 + ... + n ÷ = 2017 1 −
÷.
un +1
u 2 u3
un+1
Ngoải ra, ta có 1 = u1 < u2 < .... < un < un +1 nên ( un ) là dãy tăng..
Giả sử dãy ( un ) bị chặn , khi đó dãy ( un ) có giới hạn là a>0. Ta có: a = a +
un = +∞ .
suy ra a=0 (Mâu thuẫn). Hay xlim
→+∞
u1 u2
u
1
+ + ... + n ÷ = lim 2017 1 −
Vậy ( un ) nlim
÷ = 2017 .
→+∞ u
un +1 x →∞
2 u3
un+1
0.5
0.5
a2
2017
0.5
0.5
0.5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = a 2 ,
SA ⊥ ( ABCD ) và SA = 2a , gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng
( SAC ) ⊥ ( SBM ) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC.
(Vẽ hình)
+ Chứng minh rằng ( SAC ) ⊥ ( SBM )
·
·
·
·
Vì cot ABM
= tan BAC = 2 ⇒ ABM + BAC = 90°
Suy ra BM ⊥ AC
4a(4đ)
Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BM
Từ đó suy ra ( SAC ) ⊥ ( SBM )
+ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC
Kẻ CJ / / BM , gọi I = AC ∩ BM
2
2 SA. AC
4a
=
Ta có d ( BM , SC ) = d ( BM , ( SCJ ) ) = d ( I , ( SCJ ) ) = d ( A, ( SCJ ) ) =
3
3 SA2 + AC 2
21
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5*3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E là trung điểm cạnh
BC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt đường chéo AC tại G ( G không
2 4
5 5
trùng với C ) . Biết E (1, −1) , G , ÷ và điểm D thuộc đường thẳng d : x + y − 6 = 0 .
Tìm tọa độ điểm C .
Vì DE là đường kính của đường tròn (CDE ) nên DG ⊥ GE . Gọi D (t ,6 − t ) .
uuur uuur
Sử dụng EG.DG = 0 ta được t = 4 ⇒ D(4,2) .
4b(3đ)
uuu
r
uur
Gọi J = AC I DE thì DJ = 2 JE nên J (2,0)
Đường thẳng AC qua G và J là x + 2 y − 2 = 0
Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEC là đường tròn đường kính DE nên có phương trình
2
2
5
1 9
x− ÷ +y− ÷ =
2
2 2
Vì C là một giao điểm của AC với ( DEC ) nên C (4, −1)
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
3(b + c) 4a + 3c 12(b − c)
+
+
2a
3b
2a + 3c
3b + 3c
4a + 3c 12b − 12c
+ 2 ÷+
+ 1 ÷+
+ 8÷
2a
3b
2a + 3c
Ta có P + 11 =
1
4
1
= (4 a + 3b + 3c)
+
+
÷
2 a 3b 2 a + 4 c
5(4đ)
Sử dụng bất đẳng thức
0.5
0.5
1 1
4
+ ≥
a b a+b
0.5
4
4
P + 11 ≥ (4a + 3b + 3c)
+
÷
2a + 3b 2a + 3c
16
≥ (4a + 3b + 3c)
= 16
4a + 3b + 3c
1.0
Ta được
Vậy P ≥ 5
3
Vậy P nhỏ nhất bằng 5 , dấu bằng xảy ra chẳng hạn (a, b, c) = ,1,1÷
2
0.5
1.0
