Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

ĐỀ THI (1)
Lý thuyết điều khiển I

TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

Thời gian làm bài: 90 phút

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1 (5 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở hình H1.

Bài 1 (5 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở hình H1.

L2 (ω )

L2 (ω )
u

y
G1

Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

ĐỀ THI (2)
Lý thuyết điều khiển I

TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

−20 dB dec

20

G2

0, 25

ω

u

0,1

y
G1

−20 dB dec

40

G2

1.

−40 dB dec


H1

H2

Biết rằng đối tượng điều khiển G 2 không trễ có đồ thị biên độ logarith thu được bằng thực nghiệm

1.

Với đối tượng G 2 tìm được ở câu trên và G1 là bộ điều khiển PI có hàm truyền như sau:

2.

khi được kích thích bởi u là hằng số ở đầu vào. Có bao nhiêu bộ tham số như vậy?

khi được kích thích bởi u là hằng số ở đầu vào. Có bao nhiêu bộ tham số như vậy?

Bài 2 (5 điểm): Cho đối tượng điều khiển (ĐT) có mô hình:

3.

Hãy kiểm tra tính ổn định và quan sát được của ĐT (biện luận theo a )

2.

Cho a = 1 , hãy thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán các điểm cực s1 = s 2 = s3 = −3 và bộ
quan sát trạng thái với các điểm cực s1/ = s 2/ = s3/ = −4 cho trước.

3.

Hãy xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi đầu ra

gồm bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được ở câu 2.

Chỉ được sử dụng vở ghi bài hoặc tài liệu chuẩn bị trước trong khuôn khổ một tờ A4

Với các dữ liệu cho ở câu 2. và kết quả tìm được ở đó, hãy xác định độ dự trữ ổn định tương ứng
của hệ kín.

Bài 2 (5 điểm): Cho đối tượng điều khiển (ĐT) có mô hình:
⎛ x1 ⎞
⎛ 3 0 0⎞
⎛a ⎞
dx ⎜
⎟
⎜
⎟
= 0 1 2 x + 1 u và y = x 2 + x 3 , trong đó x = ⎜ x 2 ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
dt ⎜⎜
⎜⎝ 0⎟⎠
⎜⎝ x ⎟⎠
⎝ 1 1 2⎟⎠
3

⎛ x1 ⎞
⎛ 3 0 1⎞
⎛ 0⎞
dx ⎜
= 0 1 1⎟ x + ⎜ 1⎟ u và y = x1 + ax 2 , trong đó x = ⎜ x 2 ⎟

⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
dt ⎜⎜
⎜⎝ 1⎟⎠
⎜⎝ x ⎟⎠
⎝ 0 2 2⎟⎠
3
1.

Với đối tượng G 2 tìm được ở câu trên và G1 là bộ điều khiển PI có hàm truyền như sau:

Hãy xác định các tham số TI , k p để hệ ổn định và có thời gian quá độ ngắn và sai lệch tĩnh bằng 0

Hãy xác định các tham số TI , k p để hệ ổn định và có thời gian quá độ ngắn và sai lệch tĩnh bằng 0
Với các dữ liệu cho ở câu 2. và kết quả tìm được ở đó, hãy xác định độ dự trữ ổn định tương ứng
của hệ kín.

Biết rằng đối tượng điều khiển G 2 không trễ có đồ thị biên độ logarith thu được bằng thực nghiệm

⎛
1 ⎞
G1 = k p ⎜ 1 +
⎝ TI s ⎟⎠

⎛
1 ⎞
G1 = k p ⎜ 1 +
⎝ TI s ⎟⎠


3.

H2

như ở hình H2. Hãy xác định hàm truyền G 2 và từ đó vẽ đồ thị Nyquist tương ứng của nó.

như ở hình H2. Hãy xác định hàm truyền G 2 và từ đó vẽ đồ thị Nyquist tương ứng của nó.
2.

ω

0, 2

−40 dB dec

H1

1

1.

Hãy kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của ĐT (biện luận theo a )

2.

Cho a = 1 , hãy thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán các điểm cực s1 = s 2 = s3 = −1 và bộ
quan sát trạng thái với các điểm cực s1/ = s 2/ = s3/ = −3 cho trước.

3.


Hãy xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi đầu ra
gồm bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được ở câu 2.

Chỉ được sử dụng vở ghi bài hoặc tài liệu chuẩn bị trước trong khuôn khổ một tờ A4


2. (2 điểm) Áp dụng phương pháp Ackermann ta có bộ điều khiển phản hồi trạng thái
R = ( 54 , 3 , 12)

Đáp án đề 1

Bài 1:
1. (1.5 điểm) G 2 =

k
với k = 10, T1 = 10 và T2 = 4 .
(1 + T1s )(1 + T2s )

và bộ quan sát trạng thái:


x = Ax + bu + L (y − cT x )

Đồ thị Nyquist của nó có dạng như ở hình bên với các tọa độ: Cắt trục thực khi ω = 0 tại k = 10
1
10 10
Cắt trục ảo khi ω = ω 0 =
tại I =
7
2 10


ImG 2

I=

k

k T1T2

Đổi vị trí T1 và T2 trong công thức trên sẽ có thêm:
T
1
kp = 2 =
và TI = T2 = 4
2kT1 50
tức là sẽ có 2 bộ tham số PI.

T1 + T2

ω0 =

G 2 ( jω )

1

H1

T1T2

3. (1.5 điểm) Hệ hở luôn có hàm truyền

1
T
Gh = /
với TI/ = I và TI = T1, T = T2 hoặc TI = T2 , T = T1
kk p
TI s (1 + Ts )

Im Gh

Đồ thị Nyquist của hệ hở cho ở hình bên. Nó cắt đường tròn đơn vị khi:

⇔

1
−TI/T ωc2

(TI/T )2 ωc4

⇔ ωc =

+

+

jωcTI/

(TI/ )2 ωc2

cũng được tìm nhờ Ackermann nhuwg cho đối tượng đối ngẫu.
ReG 2


2. (2 điểm) Áp dụng phương pháp tối ưu modun có:
T
1
k p = 1 = và TI = T1 = 10
2kT2 8

Gh ( jωc ) =

có
LT = ( −44.5 , 62.5 , 109)

=1

ReGh

Δ

ωc

2(TI/T ) 2

=

(

−1 + 1 + 4 T TI/
2T 2

)


2

Gh ( j ω )

Bài 1:

H2

k
với k = 100, T1 = 5 và T2 = 1 . Đồ thị Nyquist của nó ở hình H1,
(1 + T1s )(1 + T2s )

cắt trục thực khi ω = 0 tại k = 100 và cắt trục ảo khi ω = ω0 =
2. (2 điểm) Có 2 bộ tham số PI là k p =

Suy ra hệ có độ dự trữ ổn định Δ là:
−π = −Δ + arcGh ( jωc ) ⇔ Δ = π + arcGh ( jωc ) = π − arctan

Đáp án đề 2
Hoàn toàn tương tự như ở đề 1 nhưng với các tham số khác như sau:
1. (1.5 điểm) G 2 =

−1 = 0

− (TI/ ) 2 + (TI/ )4 + 4(TI/T ) 2

3. (1.5 điểm) Hệ cho ban đầu có hàm truyền là:
⎛ s 2 − 3s
2

s −1 ⎞⎛ 0⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ s 2 − 3s + 4
1
−1
T
G (s ) = c (sI − A) b =
1 , 1 , 0) ⎜ 0
s 2 − 5s + 6
s − 3 ⎟⎜1⎟ =
2(
⎜
⎟ ⎜ ⎟ s (s − 3)2
s (s − 3)
⎜ 0
2(s − 3) s 2 − 4s + 3 ⎟ ⎝ 1 ⎠
⎝
⎠
Bộ điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách không làm thay đổi điểm không, nên hệ kín sẽ có
hàm truyền là:
(s 2 − 3s + 4)(s + 4)3 s 2 − 3s + 4
=
Gkin (s ) =
(s + 3)3 (s + 4)3
(s + 3)3

ωcTI/
1
= π − arctan
T ωc

TI/T ωc2

Thay số TI = T1, T = T2 được Δ = 2.2370
Tương tự với TI = T2 , T = T1 cũng có: Δ = 2.2370 .

Bài 2:
⎛3 0 1⎞
⎛ 0⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
1. (1.5 điểm) Ký hiệu A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , b = ⎜ 1 ⎟ và cT = (1 , a , 0 ) thì:
⎜ 0 2 2⎟
⎜1⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠

det(sI − A) = s 3 − 6s 2 + 9s = s (s − 3) 2 không phải là đa thức Hurwitz nên hệ không ổn định và có:
⎛ cT ⎞
⎛ cT ⎞
0 ⎞
a
⎛1
⎜
⎟
⎜ T ⎟
det ⎜ c A ⎟ = det ⎜ 3
a
a + 1 ⎟ = −2(a 2 + 1) ≠ 0, ∀a ⇔ rank ⎜ cT A ⎟ = 3, ∀a

⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ T 2⎟
⎜⎝ 9 3a + 2 4a + 2⎟⎠
⎜⎝ c A ⎟⎠
⎜ cT A2 ⎟
⎝
⎠
nên hệ luôn quan sát được.

1
50 5
tại I =
3
5

1
1
, TI = 5 và k p =
, TI = 1
40
1000

3. (1.5 điểm) Hệ có độ dự trữ ổn định cho cả 2 trương hợp là: Δ = 2.2370

Bài 2:

(


)

1. (1.5 điểm) Hệ có det(sI − A) = s (s − 3) 2 và det b , Ab , A2b = −2a 2 (a + 3) nên không ổn đinh và

điều khiển được khi a ≠ 0 và a ≠ −3 .
2. (2 điểm) Bộ điều khiển phản hồi trạng thái là R = ( −1.75 , 10.75 , 21.25) và bộ quan sát trạng thái:


x = Ax + bu + L (y − cT x ) có LT = ( 54 , 3 , 12) .
3. (1.5 điểm) Hệ kín có hàm truyền là:
(s 2 − 3s + 4)(s + 3)3 s 2 − 3s + 4
Gkin (s ) =
=
(s + 1)3 (s + 3)3
(s + 1)3


Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

ĐỀ THI (1)
Lý thuyết điều khiển I

TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

ImG ( j )

G7

G9

G1

G8
G2

y

25

G7
u

  0.5

G3

G1

G5

G4

H1

H2

Hãy xác định hàm truyền tương đương G (s ) của hệ.


2.

Biết rằng G1  G 4  0, G 2  G5  G7  1 , G6 , G10 là hai khâu quán tính bậc nhất, G8 là bộ điều
khiển PID có các tham số hàm truyền như sau:

G2

y

ReG ( j )

  0, 25

G3

 x1 
 1 1 2
 1
dx 
 0 2 2 x   0 u , y  2x1  x 2 trong đó x   x 2  .
 

 
dt 
 1
 x 
 1 3 1
3

1.


Hãy kiểm tra tính ổn định, điều khiển được và quan sát được của đối tượng.

2.

Hãy tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán các điểm cực s1  1, s 2  2, s3  3 .

3.

Hãy xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi trạng
thái tìm được.

Chỉ được sử dụng vở ghi bài hoặc tài liệu chuẩn bị trước trong khuôn khổ một tờ A4

H2

2.

Biết rằng G1  G 4  0, G 2  G5  G8  1 , G7 , G10 là hai khâu quán tính bậc nhất, G9 là bộ điều
khiển PID có các tham số hàm truyền như sau:

G7  G10 



1
1
, G9  k p  1 
 TDs 
1  Ts

T
s
I



và G3 , G 6 cùng có đồ thị Nyquist cho ở hình H2. Hãy xác định các tham số T , k p , TI , TD để hệ
ổn định và có độ quá điều chỉnh nhỏ. Có bao nhiêu bộ tham số như vậy?

ổn định và có độ quá điều chỉnh nhỏ. Có bao nhiêu bộ tham số như vậy?

Bài 2 (4 điểm): Cho đối tượng điều khiển có mô hình:

G4

Hãy xác định hàm truyền tương đương G (s ) của hệ.



1
1
 TDs 
, G8  k p  1 
1  Ts
 TI s


Với các dữ liệu cho ở câu 2. và kết quả tìm được ở đó, hãy xác định độ dự trữ ổn định tương ứng
của hệ kín.


G6

1.

và G3 , G9 cùng có đồ thị Nyquist cho ở hình H2. Hãy xác định các tham số T , k p , TI , TD để hệ
3.

100 16

G9

G5

1.

G 6  G10 

ImG ( j )

G8
G10

ReG ( j )

4

G10

H1


Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1 (6 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở hình H1.

Bài 1 (6 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở hình H1.

u

TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

Thời gian làm bài: 90 phút

G6

Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

ĐỀ THI (2)
Lý thuyết điều khiển I

3.

Với các dữ liệu cho ở câu 2. và kết quả tìm được ở đó, hãy xác định độ dự trữ ổn định tương ứng
của hệ kín.

Bài 2 (4 điểm): Cho đối tượng điều khiển có mô hình:
 x1 
 1 0 1
 1

dx 
 0 2 1 x   0 u , y  x1  2x 2 trong đó x   x 2  .
 

 
dt 
 1
 x 
 0 1 1
3

1.

Hãy kiểm tra tính ổn định, điều khiển được và quan sát được của đối tượng.

2.

Hãy tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán các điểm cực s1  s 2  s3  1 .

3.

Hãy xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi trạng
thái tìm được.

Chỉ được sử dụng vở ghi bài hoặc tài liệu chuẩn bị trước trong khuôn khổ một tờ A4


Đáp án đề 1
Đáp án đề 2


Bài 1:
1 (1.5 điểm). Tuyến thẳng: P1  G1G 2G3 , Vòng lặp: L1  G3G7G8
L2  G1G10G5
P2  G6G8G3
P3  G1G9G8G3
L3  G1G 2G3G 4G5

với L1, L2 không dính.

Bài 1:
1 (1.5 điểm). Tuyến thẳng: P1  G1G 2G3

. Vòng lặp: L1  G3G8G9

P2  G7G9G3

L2  G3G 4G5

P3  G1G10G9G3

L3  G1G 2G3G 4G5

L4  G1G9G8G3G 4G5

Tất cả vòng lặp đều dính tới P1, P3 nhưng L2 không dính P2 . Vậy   1   Li  L1L2
1   3  1,  2  1  L2
G

P11  P2  2  P3 3



2 (2.5 điểm). Ký hiệu G3 

L4  G1G10G9G3G 4G6

và

Tất cả vòng lặp đều dính tới P1, P2 , P3 . Vậy   1   Li

2 (2.5 điểm). Ký hiệu G3 
G6

1 TT
T1  1
1 2  0,5





(
T
T
)
4

  kTT
T2  4
1 2
1

2
 k (T  T )  16
k  5
1
2



G8

G3

G7

1 TT
T1  2
1 2  0, 25







kTT
(
T
T
)
16

T2  8

1 2
1
2
k  10
k (T  T )  100
1
2


Vậy, khi chọn a  4 thì: TI  T1  4T2  34, TD 

Đổi chỗ T1,T2 thì còn có: TI  T2  4T1  8, TD 

4TT
T
1
1 2
 2, k p  I 2 
T2  4T1
5
8kT1

Đổi chỗ T1,T2 thì còn có: TI  T2  4T1  16, TD 

TI s 2 (1  T2s )

1


Tần số cắt đường tròn đơn vị là c 
TBT2

1
4T22

với TB  4T2 .
1

. Vậy độ dự trữ ổn định là:
2T2

    arcGh ( jc )  arctan(cTB )  arctan(cT2 )  arctan(2)  arctan(0.5)  35,87 .

Tần số cắt đường tròn đơn vị là c 

4TT
T
1
1 2
 4, k p  I 2 
T2  4T1
20
8kT1

k pk (1  TBs )
TI s 2 (1  T2s )

1


TBT2

G3

1
4T22

với TB  4T2 .


1
. Vậy độ dự trữ ổn định là:
2T2

    arcGh ( jc )  arctan(cTB )  arctan(cT2 )  arctan(2)  arctan(0.5)  35,87 .

Bài 2:

Bài 2:
det(sI  A)  s 3  4s 2  3s  6
 1 1 2
 1


1. (1 điểm) Với A   0 2 2 , b   0 , cT   2 , 1 , 0 có:  Rank(b , Ab , A2b )  3


 

 1 3 1

 1
T
T 2
 Rank(c , A c , (A ) c )  3
Vậy hệ là không ổn định, điều khiển được và quan sát được.
2. (2 điểm) R  (0 , 17 , 10) .
T

1

3 (1 điểm) Đối tượng ban đầu có hàm truyền: G  c (sI  A) b 

3s 2  2s  5

.
s 3  4s 2  3s  6
Bộ điều khiển phản hồi trạng thái không làm thay đổi điểm không nên hệ kín có hàm truyền:
Gkin

3 (2 điểm) Hệ hở có hàm truyền là: Gh 

G9

4TT
32
T
17
1 2

, kp  I 2 

T1  4T2 17
2560
8kT2

4TT
16
T
3
1 2
 , kp  I 2 
T1  4T2 15
8kT2 128

k pk (1  TBs )

P11  P2  2  P3 3


k
thì:
s (1  T1s )(1  T2s )

Vậy, khi chọn a  4 thì: TI  T1  4T2  15, TD 

3 (2 điểm) Hệ hở có hàm truyền là: Gh 

và G 

1   2   3  1


k
thì:
s (1  T1s )(1  T2s )

và đều dính nhau

3s 2  2s  5

.
(s  1)(s  2)(s  3)

det(sI  A)  s 3  4s 2  4s  1
 1 0 1
 1

T
1. (1 điểm) Với A   0 2 1 , b   0 , c  1 , 2 , 0 có:  Rank(b , Ab , A2b )  3


 

 0 1 1
 1
T
T 2
 Rank(c , A c , (A ) c )  3
Vậy hệ là không ổn định, điều khiển được và quan sát được.
2. (2 điểm) R  (4 , 24 , 11) .
3 (1 điểm) Đối tượng ban đầu có hàm truyền: G  cT (sI  A) 1b 


s 2  2s  1

.
s  4s 2  3s  6
Bộ điều khiển phản hồi trạng thái không làm thay đổi điểm không nên hệ kín có hàm truyền:

Gkin 

s 2  2s  1
(s  1)3

.

3


Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

ĐỀ THI (1)
Lý thuyết điều khiển I

TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

Thời gian làm bài: 90 phút

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1 (5 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở hình H1.


Bài 1 (5 điểm): Cho hệ có sơ đồ khối ở hình H1.

L2 (ω )

L2 (ω )
u

y
G1

Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

ĐỀ THI (2)
Lý thuyết điều khiển I

TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

−20 dB dec

20

G2

0, 25

ω


u

0,1

y
G1

−20 dB dec

40

G2

1.

−40 dB dec

H1

H2

Biết rằng đối tượng điều khiển G 2 không trễ có đồ thị biên độ logarith thu được bằng thực nghiệm

1.

Với đối tượng G 2 tìm được ở câu trên và G1 là bộ điều khiển PI có hàm truyền như sau:

2.

khi được kích thích bởi u là hằng số ở đầu vào. Có bao nhiêu bộ tham số như vậy?


khi được kích thích bởi u là hằng số ở đầu vào. Có bao nhiêu bộ tham số như vậy?

Bài 2 (5 điểm): Cho đối tượng điều khiển (ĐT) có mô hình:

3.

Hãy kiểm tra tính ổn định và quan sát được của ĐT (biện luận theo a )

2.

Cho a = 1 , hãy thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán các điểm cực s1 = s 2 = s3 = −3 và bộ
quan sát trạng thái với các điểm cực s1/ = s 2/ = s3/ = −4 cho trước.

3.

Hãy xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi đầu ra
gồm bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được ở câu 2.

Chỉ được sử dụng vở ghi bài hoặc tài liệu chuẩn bị trước trong khuôn khổ một tờ A4

Với các dữ liệu cho ở câu 2. và kết quả tìm được ở đó, hãy xác định độ dự trữ ổn định tương ứng
của hệ kín.

Bài 2 (5 điểm): Cho đối tượng điều khiển (ĐT) có mô hình:
⎛ x1 ⎞
⎛ 3 0 0⎞
⎛a ⎞
dx ⎜
⎟

⎜
⎟
= 0 1 2 x + 1 u và y = x 2 + x 3 , trong đó x = ⎜ x 2 ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
dt ⎜⎜
⎜⎝ 0⎟⎠
⎜⎝ x ⎟⎠
⎝ 1 1 2⎟⎠
3

⎛ x1 ⎞
⎛ 3 0 1⎞
⎛ 0⎞
dx ⎜
= 0 1 1⎟ x + ⎜ 1⎟ u và y = x1 + ax 2 , trong đó x = ⎜ x 2 ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
dt ⎜⎜
⎜⎝ 1⎟⎠
⎜⎝ x ⎟⎠
⎝ 0 2 2⎟⎠
3
1.

Với đối tượng G 2 tìm được ở câu trên và G1 là bộ điều khiển PI có hàm truyền như sau:

Hãy xác định các tham số TI , k p để hệ ổn định và có thời gian quá độ ngắn và sai lệch tĩnh bằng 0


Hãy xác định các tham số TI , k p để hệ ổn định và có thời gian quá độ ngắn và sai lệch tĩnh bằng 0
Với các dữ liệu cho ở câu 2. và kết quả tìm được ở đó, hãy xác định độ dự trữ ổn định tương ứng
của hệ kín.

Biết rằng đối tượng điều khiển G 2 không trễ có đồ thị biên độ logarith thu được bằng thực nghiệm

⎛
1 ⎞
G1 = k p ⎜ 1 +
⎝ TI s ⎟⎠

⎛
1 ⎞
G1 = k p ⎜ 1 +
⎝ TI s ⎟⎠

3.

H2

như ở hình H2. Hãy xác định hàm truyền G 2 và từ đó vẽ đồ thị Nyquist tương ứng của nó.

như ở hình H2. Hãy xác định hàm truyền G 2 và từ đó vẽ đồ thị Nyquist tương ứng của nó.
2.

ω

0, 2


−40 dB dec

H1

1

1.

Hãy kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của ĐT (biện luận theo a )

2.

Cho a = 1 , hãy thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán các điểm cực s1 = s 2 = s3 = −1 và bộ
quan sát trạng thái với các điểm cực s1/ = s 2/ = s3/ = −3 cho trước.

3.

Hãy xác định hàm truyền hệ kín thu được, gồm đối tượng đã cho và bộ điều khiển phản hồi đầu ra
gồm bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được ở câu 2.

Chỉ được sử dụng vở ghi bài hoặc tài liệu chuẩn bị trước trong khuôn khổ một tờ A4


2. (2 điểm) Áp dụng phương pháp Ackermann ta có bộ điều khiển phản hồi trạng thái
R = ( 54 , 3 , 12)

Đáp án đề 1

Bài 1:
1. (1.5 điểm) G 2 =


k
với k = 10, T1 = 10 và T2 = 4 .
(1 + T1s )(1 + T2s )

và bộ quan sát trạng thái:


x = Ax + bu + L (y − cT x )

Đồ thị Nyquist của nó có dạng như ở hình bên với các tọa độ: Cắt trục thực khi ω = 0 tại k = 10
1
10 10
Cắt trục ảo khi ω = ω 0 =
tại I =
7
2 10

ImG 2

I=

k

k T1T2

Đổi vị trí T1 và T2 trong công thức trên sẽ có thêm:
T
1
kp = 2 =

và TI = T2 = 4
2kT1 50
tức là sẽ có 2 bộ tham số PI.

T1 + T2

ω0 =

G 2 ( jω )

1

H1

T1T2

3. (1.5 điểm) Hệ hở luôn có hàm truyền
1
T
Gh = /
với TI/ = I và TI = T1, T = T2 hoặc TI = T2 , T = T1
kk p
TI s (1 + Ts )

Im Gh

Đồ thị Nyquist của hệ hở cho ở hình bên. Nó cắt đường tròn đơn vị khi:

⇔


1
−TI/T ωc2

(TI/T )2 ωc4

⇔ ωc =

+

+

jωcTI/

(TI/ )2 ωc2

cũng được tìm nhờ Ackermann nhuwg cho đối tượng đối ngẫu.
ReG 2

2. (2 điểm) Áp dụng phương pháp tối ưu modun có:
T
1
k p = 1 = và TI = T1 = 10
2kT2 8

Gh ( jωc ) =

có
LT = ( −44.5 , 62.5 , 109)

=1


ReGh

Δ

ωc

2(TI/T ) 2

=

(

−1 + 1 + 4 T TI/
2T 2

)

2

Gh ( j ω )

Bài 1:

H2

k
với k = 100, T1 = 5 và T2 = 1 . Đồ thị Nyquist của nó ở hình H1,
(1 + T1s )(1 + T2s )


cắt trục thực khi ω = 0 tại k = 100 và cắt trục ảo khi ω = ω0 =
2. (2 điểm) Có 2 bộ tham số PI là k p =

Suy ra hệ có độ dự trữ ổn định Δ là:
−π = −Δ + arcGh ( jωc ) ⇔ Δ = π + arcGh ( jωc ) = π − arctan

Đáp án đề 2
Hoàn toàn tương tự như ở đề 1 nhưng với các tham số khác như sau:
1. (1.5 điểm) G 2 =

−1 = 0

− (TI/ ) 2 + (TI/ )4 + 4(TI/T ) 2

3. (1.5 điểm) Hệ cho ban đầu có hàm truyền là:
⎛ s 2 − 3s
2
s −1 ⎞⎛ 0⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ s 2 − 3s + 4
1
−1
T
G (s ) = c (sI − A) b =
1 , 1 , 0) ⎜ 0
s 2 − 5s + 6
s − 3 ⎟⎜1⎟ =
2(
⎜
⎟ ⎜ ⎟ s (s − 3)2

s (s − 3)
⎜ 0
2(s − 3) s 2 − 4s + 3 ⎟ ⎝ 1 ⎠
⎝
⎠
Bộ điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách không làm thay đổi điểm không, nên hệ kín sẽ có
hàm truyền là:
(s 2 − 3s + 4)(s + 4)3 s 2 − 3s + 4
=
Gkin (s ) =
(s + 3)3 (s + 4)3
(s + 3)3

ωcTI/
1
= π − arctan
T ωc
TI/T ωc2

Thay số TI = T1, T = T2 được Δ = 2.2370
Tương tự với TI = T2 , T = T1 cũng có: Δ = 2.2370 .

Bài 2:
⎛3 0 1⎞
⎛ 0⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
1. (1.5 điểm) Ký hiệu A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , b = ⎜ 1 ⎟ và cT = (1 , a , 0 ) thì:
⎜ 0 2 2⎟

⎜1⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠

det(sI − A) = s 3 − 6s 2 + 9s = s (s − 3) 2 không phải là đa thức Hurwitz nên hệ không ổn định và có:
⎛ cT ⎞
⎛ cT ⎞
0 ⎞
a
⎛1
⎜
⎟
⎜ T ⎟
det ⎜ c A ⎟ = det ⎜ 3
a
a + 1 ⎟ = −2(a 2 + 1) ≠ 0, ∀a ⇔ rank ⎜ cT A ⎟ = 3, ∀a
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ T 2⎟
⎜⎝ 9 3a + 2 4a + 2⎟⎠
⎜⎝ c A ⎟⎠
⎜ cT A2 ⎟
⎝
⎠
nên hệ luôn quan sát được.

1

50 5
tại I =
3
5

1
1
, TI = 5 và k p =
, TI = 1
40
1000

3. (1.5 điểm) Hệ có độ dự trữ ổn định cho cả 2 trương hợp là: Δ = 2.2370

Bài 2:

(

)

1. (1.5 điểm) Hệ có det(sI − A) = s (s − 3) 2 và det b , Ab , A2b = −2a 2 (a + 3) nên không ổn đinh và

điều khiển được khi a ≠ 0 và a ≠ −3 .
2. (2 điểm) Bộ điều khiển phản hồi trạng thái là R = ( −1.75 , 10.75 , 21.25) và bộ quan sát trạng thái:


x = Ax + bu + L (y − cT x ) có LT = ( 54 , 3 , 12) .
3. (1.5 điểm) Hệ kín có hàm truyền là:
(s 2 − 3s + 4)(s + 3)3 s 2 − 3s + 4
Gkin (s ) =

=
(s + 1)3 (s + 3)3
(s + 1)3


TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

ĐỀ THI HỌC PHẦN
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG (EE3359)

Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN

Số đề: 01
Thời gian làm bài: 90 phút

1.

Xét đối tượng ĐT có hàm truyền G  s  

s 1  T2 s 

; k  0,5; T2  2 và được điều khiển bằng bộ
2

a.




Xét đối tượng ĐT có hàm truyền G  s  

R2  s 

R1  s 

a.

Nếu có R1  s   k1 , R2  s   k2 . Sử dụng tiêu chuẩn Nyquist để xác định k1 giúp

c.

Nếu R1  s  là bộ điều khiển PID và R2  s  là khâu quán tính bậc nhất. Hãy xác

2.

a)

2.

b)
c)
d)

Hãy kiểm tra tính ổn định, tính điều khiển được và biện luận về tính quan sát được của đối
tượng.
Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái với điểm cực bội mới là 2 ;

Cho a  1 , hãy tìm bộ quan sát trạng thái sao cho tốc độ hội tụ của sai lệch quan sát sai khác
so với e2t một hằng số;
Thực hiện cấu trúc điều khiển khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách gồm bộ điều khiển
phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng thái như nêu ở trên cho đối tượng điều khiển đã cho.
Xác định hàm truyền hệ kín? Hệ kín có điều khiển được hay không? Giải thích?

Nếu có R1  s   k1 , R2  s   k2 . Sử dụng tiêu chuẩn Nyquist để xác định k1 giúp

b.

Kiểm tra kết quả k1 nói trên dựa vào tiêu chuẩn Routh;

c.

Nếu R1  s  là bộ điều khiển PID và R2  s  là khâu quán tính bậc nhất. Hãy xác

Cho đối tượng điều khiển có tín hiệu vào là u(t), tín hiệu ra là y(t) mô tả bởi:
2 0 1
1 
dx 

 
 0 1 2  x   0  u , y  x1  ax2
dt 

1 
0 2 2
 

a)

b)
c)
d)

Hãy kiểm tra tính ổn định, tính điều khiển được và biện luận về tính quan sát được của
đối tượng.
Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái với điểm cực bội mới là 2 ;
Cho a  1 , hãy tìm bộ quan sát trạng thái sao cho tốc độ hội tụ của sai lệch quan sát sai
khác so với e2t một hằng số;
Thực hiện cấu trúc điều khiển khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách gồm bộ điều
khiển phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng thái như nêu ở trên cho đối tượng điều
khiển đã cho. Xác định hàm truyền hệ kín? Hệ kín có điều khiển được hay không? Giải
thích?

Ghi chú: Được
Ghi chú: Được

sử dụng tài liệu là 2 tờ A4.



R1  s 

dự trữ ổn định tương ứng.

Cho đối tượng điều khiển có tín hiệu vào là u(t), tín hiệu ra là y(t) mô tả bởi:
 1 0 1
1 
dx 


 
  0 2 1  x   1  u , y  a x1  x3
dt 

0
 0 1 1
 

; k  10; T2  1 và được điều khiển

định tham số của R1  s  , R2  s  để hệ ổn định, độ quá điều chỉnh nhỏ. Xác định độ

định tham số của R1  s  , R2  s  để hệ ổn định, độ quá điều chỉnh nhỏ. Xác định độ
dự trữ ổn định tương ứng.

2

thống H1 có dạng bước nhảy 1  t  ;

thống H1 có dạng bước nhảy 1  t  ;
Kiểm tra kết quả k1 nói trên dựa vào tiêu chuẩn Routh;

k
s 1  T2 s 

hệ ổn định và tìm k2 giúp hệ có sai lệch tĩnh bằng 0 khi kích thích đầu vào hệ

hệ ổn định và tìm k2 giúp hệ có sai lệch tĩnh bằng 0 khi kích thích đầu vào hệ

b.


Số đề: 02

bằng bộ điều khiển có hàm truyền R1  s  , R2  s  như ở hình H1.

điều khiển có hàm truyền R1  s  , R2  s  như ở hình H1.

R2  s 

Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

Thời gian làm bài: 90 phút

1.

k

ĐỀ THI HỌC PHẦN
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG (EE3359)

sử dụng tài liệu là 2 tờ A4.


Đáp án:
Chữ ký của giảng viên
phụ trách học phần

ĐỀ THI CHO LỚP KSTN-CĐT-K60
Lý thuyết điều khiển tuyến tính


TRƯỜNG ĐHBK HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN
Bộ môn ĐKTĐ

Ngày 2.6.2018. Thời gian làm bài: 90 phút
Được sử dụng tài liệu

1a: (1 điểm) Xác định hàm truyền tương đương nhờ công thức Mason:
Tuyến thẳng: P1 = G1G 2G3 và các vòng lặp: L1 = −G 2G3G5

Bài 1: Xét hệ SISO có sơ đồ khối cho ở hình H1.

G7

G8

G1

G2

G3

G4

H1

G5

ω


0.5

y

0.1

2

-40dB/dec

H2

-60dB/dec

a) Xác định hàm truyền tương đương của hệ.
b) Ứng với G 4 = G 6 = G8 = 0, G5 = 1 , G1 là khâu quán tính bậc nhất, G 2 là bộ điều khiển PID:
G1 =

L3 = G3G8

∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 ) , ∆1 = ∆ 2 = ∆3 = 1 . Suy ra G =

-20dB/dec

G6

L2 = −G1G 2G3G5G 4

P3 = G 6G7G3


Tất cả các vòng lặp đều dính nhau và đều dính tới P1, P2 , P3 . Vậy có:

L3,7 (ω )

u

P2 = G6G 2G3

k/
K
, G 2 = K p + I + K Ds
1 + Ts
s
/

và G3 ,G7 có đường đồ thị Bode cho ở hình H2. Hãy xác định các tham số k ,T , K p , K I , K D

theo phương pháp tối ưu đối xứng ứng với a = 4 để hệ ổn định, có độ dự trữ ổn định lớn nhất
và có độ quá điều chỉnh nhỏ. Có bao nhiêu bộ tham số nhhư vậy?.
c) Hãy so sánh độ dự trữ ổn định của hệ ứng với các bộ tham số đó.

Bài 2: Xét đối tượng tuyến tính hai vào, một ra, mô tả bởi:
 2 0 1
1 0
 x1 
u 
dx 




 
=  0 1 1 x +  0 0  u trong đó x =  x 2  và u =  1 
dt 
 u2 

1 1
x 
 0 2 1


 3

y = x1 + x 3
a) Hãy xác định ma trận hàm truyền, tính ổn định, điều khiển được và quan sát được của hệ.
b) Hãy xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái R làm đối tượng ổn định với các điểm cực mới
là s1 = s 2 = s3 = −1 . Có bao nhiêu bộ điều khiển như vậy và tại sao?
c) Hãy xác định bộ quan sát trạng thái ứng với các điểm cực cho trước s1/ = s 2/ = s 3/ = −2
d) Xác định ma trận hàm truyền hệ phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách gồm đối tượng đã cho, bộ
điều khiển phản hồi trạng thái thu được ở câu b) và bộ quan sát trạng thái thu được ở câu c). Hệ
kín đó có điều khiển được hoàn toàn và quan sát được hoàn toàn không, tại sao?

P1∆1 + P2 ∆ 2 + P3∆3
.
∆

1b: (2 điểm) Với các dữ kiện đã cho thì sơ đồ hệ đã cho có dạng như ở hình H3, trong đó:
k
có k = 2, T1 = 10, T2 = 2 .
G3 =

s (1 + T1s )(1 + T2s )

Áp dụng tối ưu đối xứng với a = 4 ta có hai lới giải khác nhau (vì có T1 ≠ T2 ):
TI = T2 + 4T1 = 42

2
k p = TI (8kT1 ) = 21 800

TD = (4TT
1 2 ) TI = 40 21 tức là
T = 4T = 40
1

k / = 1


k / = 1

T = 40

K p = k p = 21 800

K I = k p TI = 1 1600
K = k T = 1 20
p D
 D

u

k / = 1


T = 8

K p = k p = 9 32

K I = k p TI = 1 64
K = k T = 5 4
p D
 D

G2

G3

y

H3

và
TI = T1 + 4T2 = 18

2
k p = TI (8kT2 ) =9 32

TD = (4TT
1 2 ) TI = 40 9 tức là
T = 4T = 8
2

k / = 1



G1

Lh (ω )
-40dB/dec

1 TB
H4

lga

ωc

1 T2

-20dB/dec

ω

-40dB/dec

1c: (2 điểm) Độ dự trữ ổn định của hệ không phụ thuộc G1 . Ở trường hợp tổng quát với đối tượng tích
phân quán tính bậc 2 G3 và PID G 2 thì hệ hở có hàm truyền:
k (1 + TAs )(1 + TBs )


1
k
k

Gh = G 2G3 = k p 1 +
+ TDs  ⋅
= p
⋅
T
s
s
(1
+
T
s
)(1
+
T
s
)
T
s
s
(1
+
T
s
I
I
1
2
1 )(1 + T2s )



trong đó TA + TB = TI , TATB = TITD . Vậy khi chọn TA = T1 thì:

Gh =

k pk (1 + TBs )
TI s 2 (1 + T2s )

.

Suy ra, tại giao điểm của Lh (ω ) với trục hoành, tức là khi Gh ( jωc ) = 1 (hình H4), có:

ωc =

1
TBT2

⇒ ϕc = arcGh ( jωc ) = arctan(ωcTB ) − π − arctan(ωcT2 )

tức là hệ có độ dự trữ ổn định:


∆ϕ = −π − ϕc = arctan(ωcT2 ) − arctan(4ωcT2 ) , vì TB = aT2 = 4T2
= arctan(1 2) − arctan(2) ≈ −37
và giá trị này đúng với cả hai lời giải về tham số PID có từ câu b).
−1

2a: (1.5 điểm) Với G = cT (sI − A) B = (G1 , G 2 ) , trong đó
 2 0 1
1 0
1

0




 
 
A =  0 1 1 , B =  0 0  = (b1 , b 2 ) , b1 =  0  , b 2 =  0  , cT = (1 , 0 , 1)
 0 2 1
1 1
1
1




 
 
sẽ có
2

2

2s − 4s
s − 2s + 1
, G2 = 3
s 3 − 4s 2 + 3s + 2
s − 4s 2 + 3s + 2
và do đó hệ không ổn định (đa thức mẫu số không Hurwitz). Ngoài ra, vì có:
G1 =


 cT 
1 0 3 1 7 3
1 0 1






rank B , AB , A2B = rank  0 0 1 1 2 2  = 3 và rank  cT A  = rank  2 2 2  = 3


1 1 1 1 3 3
 4 6 6
 cT A2 






nên hệ là điều khiển được và quan sát được.

(

)

2b: (1.5 điểm) Xuất phát từ tính điều khiển được của hệ chỉ với một đầu vào u 2 :


 0 1 3


rank b 2 , Ab 2 , A2b 2 = rank  0 1 2  = 3
1 1 3


ta có bộ điều khiển:

(

)

 0T   0 0 0 
R = =
có R / = (r1 , r2 , r3 ) ,
 R /   r1 r2 r3 
 

trong đó R / là bộ điều khiển gán điểm cực s1 = s 2 = s3 = −1 cho hệ một đầu vào:
xɺ = Ax + b 2u 2
 0T   0 0 0 
.
Áp dụng Ackermann ta được R / = ( 27 , − 6 , 7 ) . Vậy R =   = 
 R /   27 −6 7 
 

Vì ở trường hợp tổng quát phương trình cân bằng các hệ số của:

det (sI − (A − BR ) = (s + 1)3

sẽ có 3 phương trình cho 6 ẩn số (phần tử của ma trận R ) nên ta cũng sẽ có vô số bộ điều khiển.
2c: (1 điểm) Áp dụng Ackermann để gán điểm cực s1/ = s 2/ = s3/ = −2 cho hệ đối ngẫu:

zɺ = AT z + cv
ta được LT = ( −12.5 , 14.5 , 22.5 ) . Vậy bộ quan sát của hệ là:

 2 0 1
1 0
 −12.5 
⌢
⌢
⌢ 
⌢
⌢ 



xɺ = Ax + Bu + L y − cT x =  0 1 1 x +  0 0  u +  14.5  (y − (1 , 0 , 1)x ) .
 0 2 1
1 1
 22.5 







(


)

2d: (1 điểm) Vì bộ điều khiển không làm thay đổi điểm không của hệ nên ta có ngay ma trận hàm

(

)

truyền của hệ kín G kin = G1kin , G 2kin với:

G1kin =

(2s 2 − 4s )(s + 2) 2
3

(s + 1) (s + 2)

2

=

2s 2 − 4s
(s + 1)

3

, G 2kin =

(s 2 − 2s + 1)(s + 2)2
3


(s + 1) (s + 2)

2

=

s 2 − 2s + 1
(s + 1)3

.

Hệ không điều khiển được hoàn toàn vì không điều khiển đến được điểm trạng thái:
x 
⌢
 ⌢  có x ≠ x .
x 

⌢
Hệ cũng không quan sát được hoàn toàn vì chỉ có được x → x sau khoảng thời gian vô hạn.


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

--------------

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 2 NĂM 2017 (ĐỀ SỐ 01)
MÔN THI: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Bài 1 (5đ):

a) (1.5 điểm)
i. (0.5đ) Ta có đa thức đặc tính của hàm truyền hệ kín được xác định như sau:
A  s   T22 s3  2T2 s2  s  k1 k  4s3  4s2  s  0.5k1
ii. (0.5đ) Bảng Routh được xác định như sau:
4
1
4
0.5k1

4  2k1
4
0.5k1
và kết luận: 0  k1  2
iii. (0.5 đ)
Do hệ ổn định nên tồn tại giới hạn


k k G  s 
Lim  u  t   y  t    Lim s U  s   Y  s    Lim sU  s   1  2 1
;
 1  k G  s  
t 
s 0
s 0
1


Lại có u  t   1  t  và LimG  s    nên Lim  u  t   y  t    1  k2
s 0


t 

Từ đó dẫn đến để sai lệch tĩnh bằng 0 thì k2  1 ;
b) (2 điểm)
k
i. (1 điểm) Đối tượng có hàm truyền G  s  
2
s 1  T2 s 
Áp dụng các công thức của phương pháp tối ưu đối xứng (ứng với a  4 ):
TI  T1  4T2 , kp 

TI
8 kT22

, TD 

4T1T2
, T  4T2 với k  0.5, T1  T2  2 dẫn
TI

5
8

đến TI  10, kp  , TD  1.6, T  8
ii. (1 điểm) Độ dự trữ ổn định của hệ kín không phụ thuộc R2  s . Khi đối tượng
là tích phân quán tính bậc 2:
G( s) 

k
s(1  T1 s)(1  T2 s)


thì mục đích của phương pháp tối ưu đối xứng luôn là tạo ra hệ hở có hàm
truyền:


1
k
Gh  s   R1  s  G  s   kp  1 
 TD s  
TI s

 s(1  T1 s)(1  T2 s)
kp (1  TA s)(1  TB s)
kp k(1  TB s)
k



TI s
s(1  T1 s)(1  T2 s) TI s2 (1  T2 s)

nếu chọn TA  T1 trong đó TA  TB  TI , TATB  TI TD , TB  4T2  T2 , tức là
để hệ hở có đồ thị Bode như ở hình dưới.
Suy ra, tại giao điểm của đồ thị Nyquist Gh ( j ) với đường tròn đơn vị có:


c 

1
TBT2


.

Áp dụng vào bài toán cụ thể đã cho với TB  8, T1  T2  2 được c 
độ dự trữ ổn định  của hệ là:
     c    arcGh ( jc )  arctan(cT2 )  arctan(cTB )

1
. Vậy
4

1
  arctan    arctan(2)
2

Lh ( )
lg a

c

Chọn a  4
1 T2



1 TB

c) (1.5 đ)
i. (0.5 đ) Sử dụng kết quả Kích thích vào hệ thống là Tín hiệu điều hòa thì đáp
ứng sẽ hội tụ đến cũng 1 giá trị điều hòa phụ thuộc Gk ( j ) ;

ii. (0.5 đ) Nếu sử dụng R1  s  là bộ điều khiển PI thì không đảm bảo Gk ( j )  1;
iii. (0.5 đ) Sử dụng

R1  s 

là bộ điều khiển

R1  s 

a
 a  0
s2   2

Bài 2
a) (1 điểm) Ký hiệu
1 0 1
1 
 a
 dx
 Ax  Bu



 
 
A   0 2 1  , B   0  , c   0    dt
 y  cT x
 0 1 1
1 
1




 
 

i.

(0.5đ)
Đa thức đặc tính của ma trận A sẽ là:
det  sI  A    s  1 s2  3s  1 có ít nhất 1 nghiệm nằm bên phải trục ảo là 1



ii.



nên hệ không ổn định;
(0.5đ) Do Rank B, AB, A2 B  3  Hệ điều khiển được





b) (1 đ)
i.

ii.


 cT   a
0
1 

 

T
1
a 1 
(0.5 đ) Lại có N   c A    a
 T 2 
 c A   a a  3 2a  2 





(0.5 đ) det  N   a a2  a  1



Để hệ quan sát được thì det  N   0  a  0;
c) (2 điểm)

1  5
2


i.


(1đ) Bộ điều khiển phản hồi trạng thái là u    Rx với R   r1 r2 r3  cần





xác định để A  brT nhận các giá trị riêng nằm trong ( 2,0) và lựa chọn tất

ii.

cả các giá trị riêng (ví dụ là -1) thu được (theo Ackermann)
 r1 r2 r3   0 0 1 M 1 R  A    4, 24,11
(1đ) Thiết kế khâu Quan sát
i. (0.5đ) Khâu quan sát có nhiệm vụ tìm x là nghiệm của phương trình vi
phân





dx
 Ax  bu  L y  c T x .
dt





ii. (0.5 điểm) Xác định L để A  LcT nhận các giá trị riêng là (ví dụ là
3 để nhanh hơn e2t . Theo công thức Ackermann:


0 
T
L   L  A  N 0   28,77, 15 
1 
1

d)

(1đ) Vẽ. Hệ kín không điều khiển được do luôn có x hội tụ về x


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

--------------

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 2 NĂM 2016 (ĐỀ SỐ 02)
MÔN THI: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Bài 1 (5đ):
a) (1.5 điểm)
i. (0.5đ) Ta có đa thức đặc tính của hàm truyền hệ kín được xác định như sau:
A  s   T2 s3  2T2 s2  s  k1 k  s3  2s2  s  10k1
ii. (0.5đ) Bảng Routh được xác định như sau:
1
1
2
10k1

2  10k1

2
10k1
và kết luận: 0  k1  0.2
iii.
(0.5 đ)
Do hệ ổn định nên tồn tại giới hạn


k k G  s 
Lim  u  t   y  t    Lim s U  s   Y  s    Lim sU  s   1  2 1
;
 1  k G  s  
t 
s 0
s 0
1


Lại có u  t   1  t  và LimG  s    nên Lim  u  t   y  t    1  k2
s 0

t 

Từ đó dẫn đến để sai lệch tĩnh bằng 0 thì k2  1 ;
b) (2 điểm)
i.

(1 điểm) Đối tượng có hàm truyền G  s  

k

s 1  T2 s 

2

Áp dụng các công thức của phương pháp tối ưu đối xứng (ứng với a  4 ):
TI  T1  4T2 , kp 

đến TI  5, kp 

TI
8 kT22

, TD 

4T1T2
, T  4T2 với k  10, T1  T2  1 dẫn
TI

1
, TD  0.8, T  4
16

ii. (1 điểm) Độ dự trữ ổn định của hệ kín không phụ thuộc R2  s . Khi đối tượng
là tích phân quán tính bậc 2:
G( s) 

k
s(1  T1 s)(1  T2 s)

thì mục đích của phương pháp tối ưu đối xứng luôn là tạo ra hệ hở có hàm

truyền:


1
k
Gh  s   R1  s  G  s   kp  1 
 TD s  
TI s

 s(1  T1 s)(1  T2 s)
kp (1  TA s)(1  TB s)
kp k(1  TB s)
k



TI s
s(1  T1 s)(1  T2 s) TI s2 (1  T2 s)


nếu chọn TA  T1 trong đó TA  TB  TI , TATB  TI TD , TB  4T2  T2 , tức là
để hệ hở có đồ thị Bode như ở hình dưới.
Lh ( )
lg a

c

Chọn a  4
1 T2




1 TB

Suy ra, tại giao điểm của đồ thị Nyquist Gh ( j ) với đường tròn đơn vị có:
c 

1
TBT2

.

Áp dụng vào bài toán cụ thể đã cho với TB  4, T1  T2  1 được c 
độ dự trữ ổn định  của hệ là:
     c    arcGh ( jc )  arctan(cT2 )  arctan(cTB )

1
. Vậy
2

1
  arctan    arctan(2)
2

c. (1.5 đ)
i. (0.5 đ) Sử dụng kết quả Kích thích vào hệ thống là Tín hiệu điều hòa thì đáp
ứng sẽ hội tụ đến cũng 1 giá trị điều hòa phụ thuộc Gk ( j ) ;
ii. (0.5 đ) Nếu sử dụng R1  s  là bộ điều khiển PI thì không đảm bảo Gk ( j )  1;
iii. (0.5 đ) Sử dụng


R1  s 

là bộ điều khiển

R1  s 

a
 a  0
s2   2

Bài 2
a) (1 điểm) Ký hiệu
2 0 1
1 
1
 dx
 Ax  Bu



 
 
A   0 1 2  , B   0  , c   a    dt
 y  cT x
0 2 2
1 
0




 
 

i.

(0.5đ)
Đa thức đặc tính của ma trận A sẽ là:
det  sI  A    s  2 s2  3s  2 có ít nhất 1 nghiệm nằm bên phải trục ảo là 2



ii.



nên hệ không ổn định;
(0.5đ) Do Rank B, AB, A2 B  3  Hệ điều khiển được





b) (1 đ)
i.

ii.

 cT   1
a
0 


 

T
a
1  2a   det  N   8 a2  9 a  2
(0.5 đ) Lại có N   c A    2
 T 2 
 c A   4 2  5 a 4  6 a 



(0.5 đ) Để hệ quan sát được thì det  N   0  a 

c) (2 điểm)

9  17
16


i.

(1đ) Bộ điều khiển phản hồi trạng thái là u    Rx với R   r1 r2 r3  cần





xác định để A  brT nhận các giá trị riêng nằm trong ( 2,0) và lựa chọn tất


ii.

cả các giá trị riêng (ví dụ là -1) thu được (theo Ackermann)
 r1 r2 r3   0 0 1 M 1 R  A    9, 16,17
(1đ) Thiết kế khâu Quan sát
i. (0.5đ) Khâu quan sát có nhiệm vụ tìm x là nghiệm của phương trình vi
phân





dx
 Ax  bu  L y  c T x .
dt





ii. (0.5 điểm) Xác định L để A  LcT nhận các giá trị riêng là (ví dụ là
3 để nhanh hơn e2t . Theo công thức Ackermann:

0 
T
L   L  A  N 0    11.1579; 25.1579; 30.0526
1 
d. (1đ) Vẽ. Hệ kín không điều khiển được do luôn có x hội tụ về x
1