gioi han 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (87.02 KB, 3 trang )
DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
I. ĐỊNH NGHĨA
Dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu
( )
lim 0
n
u L− =
.Khi đó ta viết
( )
lim
n
u L=
hoặc
n
u L→
NHẬN XÉT
+
limc c=
+ Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. Ví dụ dãy: -1, 1, -1, 1, …
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ
Định lí 1
Giả sử limu
n
= L. Khi đó
a)
lim
n
u L
=
và
3
3
lim
n
u L
=
b) Nếu
0 0,lim lim
n n n
u n L u u L> ∀ ⇒ ≥ = =
Định lí 2
Giả sử
lim , lim
n n
u L v M
= =
và c là hằng số. Khi đó
lim (u
n
+ v
n
) = L + M lim (u
n
- v
n
) = L – M
lim (u
n
.v
n
) = L.M lim (c.u
n
) = c.L
lim
n
n
u
L
v M
=
nếu M ≠ 0
III. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
2
1
1 1 1
...
1
u
S u u q u q
q
= + + + =
−
với
1q
<
CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: chứng minh dãy số có giới hạn là một số thực
Ví dụ: chứng minh rằng a)
1
lim 1
2
n
n
−
=
+
b)
( )
1
lim 1 1
n
n
−
÷
− = −
÷
Giải
a) Ta có
1 3
lim lim 1
2 2
n
n n
−
= −
÷
+ +
Đặt
3
1
2
n
u
n
= −
÷
+
Vì lim(u
n
– 1) =
3
lim 0
2n
−
=
+
nên limu
n
=1
DẠNG 2: Tìm giới hạn của một dãy số
Ví dụ: tính các giới hạn sau:
a)
( )
1
lim 2
2
n
n
−
+
÷
÷
+
b)
2 1
lim
1
n
n
+
+
c)
2
2
3 4 1
lim
2 3 7
n n
n n
− + +
− +
d)
2
1 2 3 ...
lim
3
n
n
+ + + +
+
Giải
a)
( ) ( )
1 1
lim 2 lim2 lim 2
2 2
n n
n n
− −
+ = + =
÷
÷
+ +
b)
1
1
2
2
2 1
lim lim lim
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
÷
+
= =
+
+
+
÷
1
lim 2
2
2
1
1
lim 1
n
n
+
÷
= = =
+
÷
c)
2
2
2
2
4 1
3
3 4 1 3
lim lim
3 7
2 3 7 2
2
n n
n n
n n
n n
− + +
− + + −
= =
− +
− +
d)
( )
2
2 2 2
1
1 2 3 ... 1
2
lim lim lim
3 3 2 3 2
n
n
n n n
n n n n
+
+ + + + +
= = =
+ + +
DẠNG 3: Tính tổng của cấp số nhân, biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới
dạng phân số
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân:
2 3
1 1 1 1
, , ,..., ,...
2 2 2 2
n
Ví dụ 2: Biễu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng số thập phân
Giải
Ta có
2 3
7 7 7
0,777... ...
10 10 10
= + + +
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu
1
7
10
u =
, công bội
1
10
q =
Do đó
7
7
10
0,777...
1
9
1
10
= =
−
IV. BÀI TẬP
Bài 1: Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh
a)
sin 3
lim 1 1
4
n
n
− = −
÷
b)
1 1
lim
4 4
n
n
−
=
÷
c)
2
lim 1 1
5
n
+ =
÷
÷
÷
Bài 2: tìm các giới hạn sau:
a)
2 1
lim
1
n
n
+
+
b)
2
2
3 4 1
lim
2 3 7
n n
n n
− + +
− +
c)
3
3
4
lim
5 8
n
n n
+
+ +
d)
( ) ( )
( )
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
e)
2
1
lim
2
n
n
+
+
f)
( )
( )
3
2 1
lim
6 1
n n
n
+
+
f)
2
2
4
lim
3 2
n
n n
+
− +
Bài 3: tìm các giới hạn sau:
a)
2
1
lim
2 3
n
n
+
+
b)
2 1
lim
2 2
n
n
+
+ +
c)
1
lim
1
n
n
+
+
d)
2
lim
1
n
n n
−
+ +
e)
3
3
2
lim
2
n n
n
+ +
+
f)
3
3
2
1 1
lim
3 2
n
n
+ −
+ −
g)
3
2 3
2
1
lim
1 3
n n n n
n n
+ + +
+ +
Bài 4: tìm các giới hạn sau:
a)
1 4
lim
1 4
n
n
−
+
b)
1
2
3 4
lim
3 4
n n
n n
+
+
−
+
c)
3 4 5
lim
3 4 5
n n n
n n n
− +
+ −
d)
1
1
2 6 4
lim
3 6
n n n
n n
+
+
+ −
+
Bài 5: tìm các giới hạn sau:
1.
2
1 3 5 ... (2 1)
lim
3 4
n
n
+ + + + +
+
2.
2
1 2 3 ...
lim
3
n
n
+ + + +
−
3.
2 2 2 2
1 2 3 ...
lim
( 1)( 2)
n
n n n
+ + + +
+ +
4.
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)n n
+ + +
+
5.
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
+ + +
− +
Bài 6: Tính các tổng sau:
1.
1 1
1 ...
2 4
S
= + + +
2.
1 1 1
1 ...
3 9 27
S
= − + − +
3.
2 3
1 0,1 (0,1) (0,1) ....S
= + + + +
4.
2 3
1 0,3 (0,3) (0,3) ....S = + + + +
