20.TÍNH NHANH
Bài 1:
Tính nhanh
999999999:81-123456789:10+11111111,1
Giải
999999999:81-123456789:10+11111111,1
= 12345679 – 12345678,9 + 11111111,1
= 0,1 + 11111111,1
= 11111111,2

(9 chữ số 9 và 9 chữ số 1)

Bài 2:

Giải
a).
2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 =
2/9 x 6 = 4/3
b).
(1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)x……x(1-2/99)=
3 x 5 x 7 x ……… x 97 = 3/99
5 x 7 x 9 x ……….x 99
c).
Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/1024
Nhân A với 2:
Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512
Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512+1/1024)
A = 1 – 1/1024 = 1023/1024
Cách 2:
(1-1/2)+(1/2-1/4)+………+(1/512-1/1024) =
1 – 1/1024 = 1023/1024

Bài 3:
Tính tổng: 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.............+ 99x100
Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 99x100
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 99x100x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 99x100x(101-98)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 99x100x101 98x99x100.
A x 3 = 99x100x101
A = 99x100x101 : 3


A = 333300
Bài 4:
Tính nhanh.
8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
Giải
8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
= (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x ... x (49x51) / 50x50)
= 2x4x3x5x4x6x...x49x51 / 3x3x4x4x5x5x...x50x50 (giản ước tử và mẫu)
= (2x51) / (3x50)
= 17/25
Bài 5:
Tính nhanh:
A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100
Giải
1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3)
1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4)
1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5)
……………………………

1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5 + …….. + 1/98x99 –
1/99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900)
= ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900
A = 4949/19800
Hoặc :
Nhân A với 2 ta được:
A = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/98x99x100
= (1/1x2 – 1/2x3) + (1/2x3 – 1/3x4) + (1/3x4 – 1/4x5) + …….. + (1/98x99 –
1/99x100)
= 1/1x2 – 1/99x100 = 1/2 – 1/9900 = 9898/19800
Vậy:
A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100
= 9898/19800 : 2
A = 4949/19800
Bài 6:
Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102
Giải
A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102
Nhân A với 4 ta được:
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + ... + 100x101x102x(103 - 99)
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + ... + 100x101x102x103
- 99x100x1001x102
Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103
A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650


Bài 7:

Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + 6 x 34 + 102)
Tính nhanh:
11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] = 11x34 – 10x34 = 34
Bài 8:
Tính nhanh:
2x3+3x4+4x5+5x6+....+29x30
Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 29x30
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 29x30x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 29x30x(31-28)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 29x30x31 –
28x29x30.
A x 3 = 29x30x31
A = 29x30x31 : 3
A = 8990
Bài 9:
So sánh A và B biết:
A= 163% X 167%
B= 165% X 165%
Giải
Nhân A và B với 10000
A x 10000 = 163 x 167 = 165 x 163 + 165 + 161 = 165 x 164 + 161
B x 10000 = 165 x 165 = 165 x 164 + 165
Do 161 < 165 nên A x 10000 < B x 10000
Hay: A < B
Bài 10:
Tính tổng : A = 1 + 4 + 9 + 16 + .....+ 100
Giải
A = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 100

A = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 10x10
A = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 10x(11-1)
A = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 10x11 – 10
A = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 10x11) – (1+2+3+ … + 10)
A = (10x11x12) : 3 – (1+2+3+ …. +10)
A = 440 – 55
A = 385
Bài 11:
Tính nhanh: B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
Giải
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)
= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100
= (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)
= (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)


= 343400 – 5050
B = 338350
Bài 12:
Tính tổng : A = 4 + 16 + 36 + 64 +.....+ 10000
Giải
A:4 = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 2500
A:4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 50x50
A:4 = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 50x(51-1)
A:4 = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 50x51 – 50
A:4 = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 50x51) – (1+2+3+ … + 50)
A:4 = (50x51x52) : 3 – (1+2+3+ …. +50)
A:4 = 46 852 – 1275 = 45 577
A = 45 577 x 4

A = 182 380
Bài 13:
Tính M = 1 + 9 + 25 + 49 +...+ 9801
Giải
Cộng 2 vế với: 4+16+36+….+10000
M + (4+16+36+….+10000) = 1+4+9+16+25+….+9801+10000
= 1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 100x100
= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)
= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100
= (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)
= (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)
= 343400 – 5050
= 338350
M + (4+16+36+….+10000) = 338350
Ta thầy : 4+16+36+….+10000
= 4x(1 + 4 + 9 + …….. + 2500)
= 4x(1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 50x50)
= 4x(1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 50 x (51 – 1))
= 4x(1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 50 x 51 – 50 )
= 4x[(1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 50 x 51) – (1 + 2 + 3 + ................ + 50)]
= 4x[(50 x 51 x 52) : 3 - (50 x 51 : 2)]
= 171700
Vậy: M + 171700 = 338350
M = 338350 – 171700
M = 166 650
Bài 14:
Tính nhanh: (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... +
1/99x100)
Giải
Xét mẫu số: 1/(2x3) + 1/(3x4) + …… + 1/(99x100)

= 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
= (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)


= (1 + 1/3 + ............ + 1/99)+(1/2+1/4+1/6+….+1/100) – (1/2+1/4+1/6+ .......... +
1/100)x2
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + ....... +1/50 )
= 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
(Đơn giản số trừ)
Vậy: (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100)
=
(1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100)
=1
Bài 15:
Tính nhanh: 1/(1 x2) + 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + ................. + 1/ (2013 x 2014)
Giải
Ta thấy:
1/(1x2) = 1 – 1/2
1/(2x3) = 1/2 – 1/3
1/(3x4) = 1/3 – 1/4
……………
Nên: 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014 =
1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014 =
1 – 1/2014 = 2013/2014
Bài 16
Tính A= 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/2013x2014x2015
Giải
Nhân 2 vế với 2:
Ax2 = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/2013x2014x2015
= 1/1x2-1/2x3 +1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + ...+1/2013x2014 - 1/2014x2015

= 1/1x2 - 1/2014x2015 = 4056194 / 8116420
A = 4056194 / 8116420 : 2
A = 2028097 / 8116420
Mở rộng: Mẫu số có tích 4 số tự nhiên liên tiếp như trường hợp sau ta 2 vế với 3. Chú ý
là: 3 = 4-1 = 5-2 = 6-2 = ………
A = 1/1x2x3x4 + 1/ 2x3x4x5 + 1/3x4x5x6 + … + 1/27x28x29x30
A x 3 = 3/1x2x3x4 + 3/2x3x4x5 + 3/3x4x5x6 + .......... + 3/27x28x29x30
A x 3 = 1/1x2x3 - 1/2x3x4 + 1/2x3x4 - 1/3x4x5 + 1/3x4x5 - 1/4x5x6 + ........+
1/27x28x29 - 1/28x29x30
A x 3 = 1/1x2x3 - 1/28x29x30 = 1/6 - 1/24360 = 146154 / 146160
A = 48718 / 146160
Bài 17:
Tính: S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000
Giải
S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000
S = 1x2 +(3x4-2x3)+(5x6-4x5)+(7x8-6x7)+……..+(1999x2000 – 1998x1999)
= 2 + 3x(4-2) + 5x(6-4) + 7x(8-6) + ……… + 1999 x (2000-1998)
= 2 + 3x2 + 5x2 + 7x2 + ……… + 1999x2
= 2 x (1+3+5+7+…..+ 1999)
S = 2 x 1000000 = 2 000 000


Bài 18:
Tính nhanh
8/9 x15/16 x24/25 x 35/36 x ........x 99/100
Giải
Ta thấy:
8/9 = (2x4)/(3x3) ; 15/16 = (3x5)/(4x4) ; 24/25 = (4x6)/(5x5) ; …. ; 99/100 = (9x11)/
(10x10)
Nên có thể viết lại :

(2x4x3x5x4x6 x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11) / (3x3x4x4x5x5x6x6x7x7x8x8x9x9x10x10)
(2 x 11) / (3 x 10) = 22/30 = 11/15
Bài 19:
Tính nhanh:
1x4+2x5+3x6+...+99x102
Giải
1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 1x (2+2) + 2x(3+2) + 3x(4+2) + …. + 99x(100+2) =
(1x2+2x3+3x4+ …+99x100) + (2+4+6+…+198) =
Ta thấy: 1x2+2x3+3x4+…+99x100 nhân với 3 thì được
1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+…+99x100x(101-98) =
1x2x3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+….+99x100x101-98x99x100 =
99x100x101 = 999900
Vậy : 1x2+2x3+3x4+…+99x100 = 999900 : 3 = 333300
Còn 2+4+6+…+198 có (198-2) :2+1= 99 (số hạng)
Tổng bằng : (198+2)x99 :2 = 9900
Kết quả :
1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 333 300 + 9 900 = 343 200
Bài 20:
Tính nhanh
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
Giải
Cách 1:
A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2:
Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
1+2+4=3+4
Tổng 4 số hạng đầu là:
1+2+4+8=7+8

Tổng 5 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 3:
Nhận xét từ TỔNG 3 số hạng đầu về sau ta được:


1+2+4
= 3+4
1+2+4+8
= 7+8
1+2+4+8+16 = 15+16
………………………
Vậy A = (8192-1)+8192 = 16383

PHẦN BỔ SUNG
Bài 21:
Tính tổng:
5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81
Giải
S = 5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81
S = 5/27 + 5/54 + 1/18 + 1/27 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 1/81
S = 5/27 + 5/54 + 5/90 + 5/135 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 5/405
S = 5/(9x3) + 5/(9x6) + 5/(9x10) + 5/(9x15) + 5/(9x21) + 5/(9x28) + 5/(9x36) + 5/
(9x45)
S = 10/(9x6) + 10/(9x12) + 10/(9x20) + 10/(9x30) + 10/(9x42) + 10/(9x56) + 10/(9x72)
+ 10/(9x90)
S = 10/9 x (1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90)

S = 10/9 x (1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + 1/5x6 + 1/6x7 + 1/7x8 + 1/8x9 + 1/9x10)
S = 10/9 x (1/2 -13 + 1/3-1/4 + 1/4-1/55 + 1/5-1/6 + 1/6-1/7 + 1/7-1/8 + 1/8-1/9 + 1/91/10)
S = 10/9 x (1/2 - 1/10) = 10/9 x 4/10
S = 4/9
Bài 22:
Tính A=

1× 2 × 3 + 2 × 4 × 6 + 3 × 6 × 9
2 × 3 ×12 + 4 × 6 × 24 + 6 × 9 × 36

Giải
1× 2 × 3 + 2 × 4 × 6 + 3 × 6 × 9
=
2 × 3 ×12 + 4 × 6 × 24 + 6 × 9 × 36
1× 2 × 3 + 2 × (1× 2 × 3) + 3 × (1× 2 × 3)
=
2 × 3 ×12 + 2 × (2 × 3 ×12) + 3 × (2 × 3 ×12)
(1× 2 × 3) × (1 + 2 + 3)
=
(2 × 3 ×12) × (1 + 2 + 3)
1× 2 × 3
1
=
2 × 3 ×12 12

A=

1
12



Bài 23:
Tìm A biết:
(1-1/3)x(1-1/6)x(1-1/10)x(1-1/15)x....x(1-1/780)xA=1
Giải
(1-1/3) x (1-1/6) x (1-1/10) x (1-1/15)x ...x (1-1/780) =
2/3x 5/6x x 9/10 x...x 779/780 =
4/6 x 10/12 x 18/20 x ...x 1558/1560 =
4x10 x 18 x...x 1558/6x 12 x 20 x ...x 1560 =
(1x4)x(2x5)x(3x6)x ... (37x40)x (38 x 41) / (2x3)x(3x4)x(4x5)x … x(39x40) =
Giản ước ta còn
41/3x39 = 41/117
Ta được:
41/117 x A = 1
A = 1 : 41/117
A = 117/41
Bài 24:
Tính:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + ... + 2009

Giải

1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + ... + 2009
1
1
1
1
+
+
+...+
=
(1+2)x2:2 (1+3)x3:2 (1+4)x4:2
(1+2009)x2009:2
2
2
2
2
+
+
+...+
=
2x3 3x4 4x5
2009x2010

2x(

1
1
1
1
+
+
+...+
) =
2x3 3x4 4x5
2009x2010

1 1 1 1 1 1
1
1
2x( - + - + - +...+
) =
2 3 3 4 4 5
2009 2010
1 1
1004 1004
2x( ) = 2x
=
2 2010
2010 1005
Bài 25:
Tính nhanh.
A = 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + 1/36 + 1/45
Giải

Nhân A với 1/2. Ta được:
A/2 = 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90
= 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(9x10)
= 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + …+ 1/9 – 1/10


= 1/2 – 1/10 = 4/10
A = 4/10 x 2 = 4/5
Bài 26:
Tính nhanh :

A=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1x6x6 2x9x8 3x12x10
98x297x200

Giải
Ta có thể viết lại :
1
1
1
1
+

+
+ ... +
A=
1x(2x3)x(3x2) 2x(3x3)x(4x2) 3x(4x3)x(5x2)
98x(99x3)x(100x2)
A=

1
1
1
1
1
x(
+
+
+ ... +
)
6 1x2x3 2x3x4 3x4x5
98x99x100

A x 12 =

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1x2x3 2x3x4 3x4x5

98x99x100

A x 12 = (

A x 12 =

A=

1
1
1
1
1
1
1
1
−
)+(
−
)+(
−
) + ... + (
−
)
1x2 2x3
2x3 3x4
3x4 4x5
98x99 99x100

1

1
4949
−
=
1x2 99x100
9900

4949
4949
=
9900x12 118800

Bài 27:
So sánh A và B. Biết:
A = 1 x 2 + 2 x 4 + 3 x 6 + 4 x 8 +5 x 10 / 3 x 4 + 6 x 8 + 9 x 12 + 12 x 16 + 15 x 20
B = 11111 / 66665
Giải
A = 1x2 + 1x2x2x2 + 1x2x3x3 + 1x2x4x4 + 1x2x5x5 / 3x4 + 3x4x2x2 + 3x4x3x3 +
3x4x4x4 + 3x4x5x5
A = 1x2 x (4+9+16+25) / 3x4 x (4+9+16+25) = 1/6
A = 11111/66666
Vậy
ABài 28:
Tính:

6+16+30+48+...+19600+19998
Giải
B = 6 + 16 + 30 + 48 +...+ 19600 + 19998
Chia cả 2 vế cho 2 ta được

B/2 = 3 + 8 + 15 + 24 + ......... + 98000+ 9999


B/2= 1x3+2x4+3x5+4x6+…….+98x100+99x101
B/2= 100/6.[(100-1)x(2x100+1)] = 328350
Suy ra: B =328350x2=656700

Bài 29:
Tính: 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950
Giải
C=1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950
Nhân cả 2 vế với 2 ta được
2xC= 1x2 + 2x3 + 2x6 +2x10 + ……… 2x4851+2x4950
2xC=2+6+12+20+…………..+9702+9900
2xC = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 = 333300
Suy ra:
A= 333300:2 = 166650
Bài 30:
Tính: D = 2 + 5 + 9 + 14 + ....+ 4949 + 5049
Giải
Nhân cả 2 vế với 2 ta được
2xD=1x4+ 2x5+ 3x6+ 4x7+……..+98x101+99x102
2xD = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
2xD = 1x2+1x2+2x3+2x2+3x4+3x2+...+99x100+99x2
2xD= (1x2+2x3+3x4+...+99x100)+2(1+2+3+...+99)
2xD =
333300
+
9900
= 343200

Suy ra : D= 343200 :2 =171600
Bài 31:
Tính: S = 2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2
Giải
Sx2 = 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2
Sx2 – S = (2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2) – (2 + 2x2 + 2x2x2 +
2x2x2x2 + 2x2x2x2x2)
S = 2x2x2x2x2x2 – 2