cac de thi dai hoc 1997-2002

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (629.96 KB, 83 trang )

Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Đại học bách khoa hà nội
Năm 1997
Câu 1: Cho hàm số
23)(
3
+==
mxxxfy
với m là tham số nhận mọi giá trị thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Xác định các giá trị của m để bất phơng trình:
3
1
)(
x
xf

đợc thoả mãn với mọi
1

x
.
Câu 2: Giải các bất phơng trình:
1)
1
2
3
1
3
2

xx
xx
2)
( ) ( )
0
43
1log1log
2
3
3
2
2
>

++
xx
xx
Câu 3: 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy, hãy viết phơng trình đờng tròn đi qua điểm
A( 2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy.
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đecac vuông góc Oxyz cho điểm M( 1; 2; -1) và đờng thẳng (d) có
phơng trình:
2

2
2
2
3
1

=

=
+
zyx
. Gọi N là điểm đối xứng của điểm M qua đờng thẳng (d). Tính độ dài
đoạn thẳng MN.
Câu 4: 1) Giải phơng trình lợng giác:
( )
xxxx 4sin
2
1
2cos.coscos1
=+

2) Cho tam giác ABC cóp 3 góc thoả mãn điều kiện A > B > C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1
sin
sin
sin
sin
)(

+

=
Cx
Bx
Cx
Ax
xf
. Từ đó suy ra phơng trình sau có và chỉ có một nghiệm:
CxBxAx sinsinsin
=+
Câu 5: Cho tích phân:

=
4
0

xdxxtgI
n
n
( n là số nguyên dơng bất kì ).
1) Tính I
n
khi n = 2.
2) Chứng minh rằng:
2
42

1
+

+
>
n
n
n
I

.
Năm 1998
Câu 1: Cho hàm số
mmxxxfy
++==
24
2)(
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f( x) > 0 với mọi x. Với các giá trị m tìm đợc ở trên, chứng minh
rằn hàm số:
( )
0)()(''')('')(')()(
4
>++++=

xfxfxfxfxfxF
với mọi x. (
( )
)(
4
xf
là kí hiệu đạo hàm
cấp 4 của hàm số f( x) tại điểm x).
Câu 2: 1) Giải phơng trình lợng giác:
( )
1cot
sincos2
2cot
1

=
+
gx
xx
xgtgx
2) Hai góc A, B của tam giác ABC thoả mãn điều kiện
1
22
=+
B
tg
A
tg
. Chứng minh rằng:

1
24
3
<
C
tg
.
Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đờng thẳng ( d) và một mặt phẳng (P)
có phơng trình:
0122:)(;3,2,21:)(
=+==+=
zyxPtztytxd
1) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng(P) bằng 1.
2) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I( 2; -1; 3) qua đờng thẳng ( d). Hãy xác định toạ độ điểm K.
Câu 4: 1) Giải bất phơng trình:
( )
3log
2
1
2log65log
3
1
3
1
2
3
+>++
xxxx
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1

2) Biện luận theo tham số a về số nghiệm của phơng trình:
11cos2sin2
22
++=++
aaxxxx
.
Câu 5: 1) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) có phơng trình:
54
2
+=
xxy
và hai tiếp
tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A( 1; 2) và B( 4; 5)
2) Tính tích phân:
( )

+=
2
0
44
cossin2cos

dxxxxI
Năm 1999
Câu 1: Cho hàm số
2)(
3
++==
axxxfy
, a là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi a = - 3.
2) Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số y = f( x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.
Câu 2: 1) Giải bất phơng trình:
431
+>+
xx
2) Giải phơng trình:
( )
( )
2
100lglg10lg
3.264
xxx
=
.
Câu 3: 1) Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC
đều và có hệ thức:
( )
3cotcotcot
sin
1
sin
1
sin
1
=++++
gCgBgA
CBA
2) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng

2
;0

thoả mãn phơng trình:
2
2
2cossin
n
nn
xx

=+
Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đờng thẳng ( d) và một mặt phẳng (P)
có phơng trình:
0322:)(;
2
3
2
1
1
1
:)(
=+

=

=
+
zyxP
zyx
d
1) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P). Tính góc giữa đờng thẳng ( d) và mặt
phẳng (P).
2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc ( d) của đờng thẳng ( d) trên mặt phẳng (P). Lấy điểm B nằm trên
đờng thẳng ( d) sao cho AB = a, với a là số dơng cho trớc. Xét tỉ số
BM
AMAB
+
với điểm M di động trên mặt
phẳng (P). Chứng tỏ rằng tồn tại một vị trí của M để tỉ số đó đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy.
Câu 5: Cho hàm số
xxxxg 5cos.2sin.sin)(
=
1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g( x)
2) Tính tích phân:

+
=
2
2
1
)(

dx
e
xg
I
x
Năm 2000
Câu 1: Cho hàm số
( )
113
23
+=
xmmxmxy
, m là tham số
1) Xác định các giá trị của m để hàm sốy = f( x) không có cực trị
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = 1
3) Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau:
( )
3
23
113
+
xxaxx
có nghiệm?
Câu 2: Giải các phơng trình sau:
1)
( )
gxtgx
x
xx

cot
2
1
2sin
cossin
44
+=
+
2)
( ) ( )
3
8
2
2
4
4log4log21log xxx
++=++
Câu 3: 1) Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện
0
+
ba
, chứng tỏ rằng:
3
33
22

+

+
baba
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
2) Trong mọi tam giác ABC những tam giác nào làm cho biểu thức sau:
333
333
2
cos
2
cos
2
cos
sinsinsin
CBA
CBA
++
++
đạt giá
trị lớn nhất?
Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 4 điểm S( 3; 1; -2), A( 5; 3; -1),
B( 2; 3; -4), C( 1; 2; 0).
1) Chứng minh rằng hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều và 3 mặt bên là các tam giác vuông cân.
2) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đờng thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc mặt cầu có tâm là
điểm D, bán kính
18
=

R
( điểm M không thuộc mặt phẳng ( ABC)). Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng
độ dài các đoạn thẳng MA, MB và MC. Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì ?
Câu 5: 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
xx
xg
cossin2
1
)(
+
=
2) Tính tích phân:
dx
e
e
I
x
x

+
=
2ln
0
2
1
Năm 2001
Câu 1: Cho hàm số
1
3
2

+
+
=
x
x
y
1) Khảo sát hàm số
2) Viết phơng trình đờng thẳng ( d) đi qua điểm

5
2
;2M
sao cho d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân
biệt A, B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Câu 2: Giải các phơng trình sau:
1)
221682
22
+=+++
xxxx
2) sin2x + 2tgx = 3
Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn bán kính bằng 1. Gọi m
a
, m
b

, m
c
lần lợt là các đờng
trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi
và chỉ khi:
3
sinsinsin
=++
cba
m
C
m
B
m
A
.
Câu 4: 1) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 4 điểm A( 1; 0; 0), B( 1; 1; 0),
C( 0; 1; 0), D( 0; 0; m) với m là tham số khác 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AC và BD khi m = 2.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD. Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác OHB
đạt giá trị lớn nhất.
2) Cho tam giác ABC có 3 đỉnh thuộc đồ thị ( C) của hàm số
x
y
1
=
. Chứng minh rằng trực tâm H của tam
giác ABC cũng thuộc( C).
Câu 5: 1) Giải hệ phơng trình:

=
=+
8025
9052
y
x
y
x
y
x
y
x
CA
CA
( ở đây
k
n
k
n
CA ,
lần lợt là chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của
n phần tử).
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có phơng trình:
2
4 xy
=

và
03
2
=+
yx
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Học viện công nghệ bu chính viễn thông
Năm 1998
Câu 1: Cho hàm số
1
1

+
=
x
x
y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không
đổi.
3) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu
vi bé nhất.
Câu 2 : 1) Giải bất phơng trình:
01223
2
121
<
++
x

xx
2) Cho a, b, c là 3 số thực bất kì thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
333444
cbacba
++++
.
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
)cos(sin414cos4sin xxxx
+=
2) Hỏi với giá trị nào của tham số m thì bất phơng trình:
02)1(2
22
+++
mmxmx
đợc thoả mãn với mọi
giá trị
[ ]
1;0

x
?
Câu 4: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đờng tròn C bán kính a, chiều cao
ah
4
3
=
, và cho hình chóp đỉnh S, đáy
là một đa giác lồi ngoại tiếp C. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu ở bên trong hình chóp,
tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp ) . Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích nón , hãy
tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Câu 5: Tính tích phân:

+
2
0
2
3
cos1
cossin

dx
x
xx
Câu 6: Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn các đẳng thức sau về các số tổ hợp:
256
11
1
+
+
==
y
x
y
x
y
x
CCC
Năm 1999
Câu 1: Cho hàm số
23

23
+=
xxy
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm các điểm thuộc đồ thị ( C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( C).
Câu 2: 1) Tìm các giá trị m để phơng trình sau có nghiệm:
( )
xxmxxx
+=++
4512
2) Giải phơng trình:
34log2log
22
=+ x
x
Câu 3: 1) Giải phơng trình lợng giác:

+=

4
sin.2sin
4
3sin

xxx
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên tập R.
5cos.sin4sin2)(
2
++=
xxxxf
Câu 4: 1) Tính tích phân:

+
1
1
4
21
dx
x
x
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình lập phơng ABCD. A
1
B
1
C
1
D
1

mà
D( 0; 0; 0), A( a; 0; 0), C( 0; a; 0), D
1
( 0; 0; a). Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm của hình vuông
CC
1
DD
1
. Tìm bán kính của mặt cầu đi qua các điểm B, C
1
, M, N.
Câu 5: 1) Tính:
xx
xx
x
sin
sin
lim
+

2) Hai đờng cong đợc gọi là trực giao nhau tại giao điểm của chúng khi và chỉ khi tại đó hai tiếp tuyến tơng
ứng của hai đờng cong vuông góc với nhau. Chứng minh hai đờng cong sau đây trực giao nhau tại giao điểm
của chúng.
x
b
yayx
==
,
22

( a, b là các hằng số).
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Năm 2000
Câu 1: Cho hàm số
1
1
2
+

=
x
xx
y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = -x.
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
21212
=+
xxxx
2) Giải phơng trình:
( )
3log
2
1
log
2
1
65log
3

3
2
2
9
+

=+
x
x
xx
Câu 3: Biết rằng 3 góc A, B, C của tam giác thoả mãn hệ thức:
mCBA
=++
222
sinsinsin
. Chứng minh rằng
: Nếu m = 2 thì tam giác vuông, nếu m > 2 thì tam giác có 3 góc nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
2
,
12
1,
2
3
sin21
2

=+==
x

x
y
x
y
.
Câu 5: Trong không gian cho hai đờng thẳng
( ) ( )
1
9
2
3
1
7
:;
3
1
2
1
7
3
:
21

=

=

=

=

zyxzyx
1) Hãy lập phơng trình chính tắc của đờng thẳng
( )
3

đối xứng với
( )
3

qua
( )
3

, ( tức là điểm K bất kì
thuộc
( )
3

luôn có điểm K thuộc
( )
2

đối xứng với K qua
( )

1

và ngợc lại)
2) Xét mặt phẳng
( )
03:
=+++
zyx

.
a) Viết phơng trình hình chiếu của
( )
2

theo phơng
( )
1

lên mặt phẳng
( )

.
b) Tìm điểm M trên mặt phẳng
( )

để
2
1
MMMM
+

đạt giá trị nhỏ nhất, biết M
1
( 3; 1; 1) và M
2
( 7; 3; 9).
Năm 2001
Câu 1: Cho hàm số
xxy 3
3
=
1) Khảo sát hàm số
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đờng thẳng cho bởi phơng trình y = m( x + 1) + 2 luôn cắt đồ thị hàm số
tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá trị của m để đờng thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A, B, C
khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
5
3
231
+
=+
x
xx
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phơng trình sau đợc nghiệm đúng với mọi
0

x
:
( ) ( )
05353)12(2.
1

<++++
+
xx
x
aa
3) Giải phơng trình:
34cos333sincos43cos.sin4
33
=++
xxxxx
Câu 3: 1) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 thì:

++++
cbacba
cba
333
3
3
1
3
1
3
1

2) Tính diện tích hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đờng:

2,1,0,.
====
xxyexy
x
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có AB = a, AD = 2a, AA = a.
1) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và BC.
2) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số AM / MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng ( ABC).
3) Tính thể tích tứ diện ABDC.
Đại học dợc hà nội
Năm 1997
Câu 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
32
2
+
+
=
x
xx
y
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
2) Xác định các giá trị âm của a để hệ phơng trình:

=+

=+
22
22
xaxy
yayx
có nghiệm duy nhất.
Câu 2: 1) Tìm các giá trị của
( )

2;0

x
sao cho:
02cossincos
>
xxx
.
2) I, r tơng ứng là tâm và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. R, R
1
, R
2
, R
3
lần lợt là bán kính các đ-
ờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, BIC, CIA, AIB. Chứng minh:
2
321
2.. rRRRR
=
Câu 3: 1) Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:

a)
1212).1(2
22
=+
xxxxx
b)
1282.2.32.4
222
212
++>++
+
xxxx
xxx
2) Với các giá trị nào cuả m thì phơng trình:
01
2
=++
mxmx
có hai nghiệm thực phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn
1
11
21
>
xx
Câu 4: Cho Hypebol (H) có phơng trình:
1

2
2
2
2
=
b
y
a
x
1) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với (H)
và hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau.
2) M là điểm bất kì trên (H),
( )
1

,
( )
2

là hai đờng thẳng đi qua M và tơng ứng song song với hai đờng
tiệm cận của (H). Chứng minh rằng diện tích S của hình bình hành giới hạn bởi
( )
1

,
( )
2

và hai đờng tiệm
cận là một số không đổi.

Năm 1998
Câu 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số :
2
12
+
+
=
x
x
y
. Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (H), trục hoành và đờng thẳng x = 1.
2) Tìm những giá trị của t để phơng trình:
t
x
x
=
+
+
2sin
1sin2
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng
[ ]

;0
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
0
1
cos
3

4
cos
2
2
=

xtg
x
x
2) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh và A, B, C là các góc của tam giác ABC, S là diện tích tam giác. Chứng
minh:
S
cba
gCgBgA
4
cotcotcot
222
++
=++
Câu 3: 1) Với
2
0

<<
x
, chứng minh
1
2
3

sin2
222
+
>+
x
tgxx
2) Xác định giá trị của tham số m để phơng trình:
2
)1lg(
)lg(
=
+
x
mx
có nghiệm duy nhất.
Câu 4: 1) Lập phơng trình các tiếp tuyến chung của elip
1
68
22
=+
yx
và Parabol
xy 12
2
=
.
2) Cho A( 0; 1; 1) và hai đờng thẳng ( d
1
), ( d
2

):
( ) ( )

=+
=++
=
+
=

01
02
:;
11
2
3
1
:
21
x
zyx
d
zyx
d
. Lập phơng trình đờng thẳng
qua A, vuông góc với ( d
1
) và cắt ( d
2

).
Năm 1999
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 1: Cho hàm số
1
22
2
+
++
=
x
xx
y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Dùng đồ thị, giải thích tại sao phơng trình
)1(
1
22
2
+=
+
++
xm
x
xx
với tham số m > 1 có hai nghiệm phân biệt và tổng của chúng là một số không đổi.
2) Chứng minh có hai tiếp tuyến của ( C) đi qua điểm A( 1; 0) và vuông góc với nhau.
Câu 2: 1) Cho phơng trình:
( )
xxx 105,10sin6cos4sin

22
+=

. Tìm các nghiệm thuộc khoảng

2
;0

2) Tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
2
1coscoscos
=
++
++
cba
CcBbAa
( Với A, B, C là các góc của tam giác; a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tam giác này là tam giác đều
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
( )
12103
22
=+
xxxx
2) a) Giải bất phơng trình:
0

12
122
1

+

x
x
x
b) Tìm tập xác định của hàm số
12
122
lg)(
1

+
=

x
x
x
xf
Câu 4: 1) Hình tứ diện ABCD biết toạ độ các đỉnh A( 2; 3; 1), B( 4; 1; -2), C( 6; 3; 7), D( -5; -4; 8). Tính độ
dài đờng cao của hình tứ diện xuất phát từ A.
2) Trong mặt phẳng toạ độ cho hai đờng thẳng ( d
1
), ( d
2
) có phơng trình:

( ) ( ) ( )
( )
bayxbadyxbad
=+=+
22
21
:;1:
. Cho biết
14
22
+= ab
a) Xác định giao điểm của ( d
1
), ( d
2
)
b) Tìm tập hợp ( E) các giao điểm của ( d
1
), ( d
2
) khi a, b thay đổi.
Năm 2001
Câu 1: 1) Cho hàm số
1)2(3)1(3
23
++=
xaaxaxy
, trong đó a là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0.
b) Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho:

21

x
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
33
2
++=
x
m
xxy
có 3 điểm cực trị. Khi đó chứng
minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đờng cong
( )
2
13
=
xy
Câu 2: 1) Giải phơng trình lợng giác:
xgxgxtgxgxgxtg 3cot2cot3cot.cot.
2222
+=
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
( ) ( )
xxxxy 8cos4cos
2
1
4cos.2sin12
+=
Câu 3: 1) Giải bất phơng trình:
( )

06log.52log).1(
2
1
2
2
1
++++
xxxx
1) Xác định các giá trị của tham số a để hệ phơng trình sau đây có nghiệm ( x; y) với mọi giá trị của tham
số b:

=++
=+
24
55
)1(
1).1(
abyae
yxa
bx
2) Tính tích phân:

=
10
1
2

lg. xdxxI
Câu 4: Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đ-
ờng thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
1) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD khi SA = 2a.
2) M, N lần lợt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (
CDNCBM

,
) và đặt CM = m, CN = n. Tìm
một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng ( SMA) và ( SAN) tạo với nhau một góc 45
0
.
Đại học giao thông vận tải
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Năm 1997 ( Đề số 1)
Câu 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
22
2

+
=
x
xx
y
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số
2
1
cossin

2
+=
xxy
Câu 2: 1) Giải phơng trình lợng giác sau:
2)sin(5)cos(cot3
=
xtgxxgx
2) Tìm m để bất phơng trình:
( )( )
)352(321
2
++>+
xxmxx
thoả mãn

3;
2
1
x
Câu 3: 1) Tính đạo hàm của hàm số:

=
=
0;
cos1
0;1
)(
xvoi
x
x
xvoi
xf
2) Cho
xy 5sin
2
=
. Tìm
( )
n
y
Câu 4: 1) Trong hệ toạ độ Đêcac vuông óc Oxyz cho 3 điểm

3
1
;1;1,0;
2
1
;0,0;0;
2
1
IKH
.
a) Viết phơng trình giao tuyến của mặt phẳng ( HKI) với mặt phẳng x + z = 0 ở dạng chính tắc.
b) Tính cosin của góc phẳng tạo bởi mặt phẳng ( HKI) với mặt phẳng toạ độ Oxy.
2) Tính
( )
dx
x
x
x
x

+
+
+
9
1
0
5
2
3
14
1
12sin
5
Câu 5: 1) Tìm
x
x
x
1
coslim
0

1) Tìm m để hệ bất phơng trình:
( )
( )

<+

0
01
2
2
mxxm
x
vô nghiệm
Năm 1997 (Đề số 2)
Câu 1: Cho hàm số
2
52
2

=
x
xx
y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2) Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
014
=+
yx
3) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
m
x
xx
=

2
52
2
.
Câu 2: Cho bất phơng trình:
0124)1(
1
>+++
+
mm
xx
1) Giải bất phơng trình khi m = -1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phơng trình thoả mãn với mọi x
Câu 3: 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x
x
y
cos2
sin3

1
+
+=

2) Giải phơng trình:
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
Câu 4: 1) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC, biết toạ độ các đỉnh A( -1; 2), B( 5; 7), C( 4; -3).
2) Cho Hypebol
8
22
=
yx
. Viết phơng trình chính tắc của elip đi qua điểm A( 4; 6) và có tiêu điểm trùng
với tiêu điểm của Hypebol đã cho.
Câu 5: Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A,
lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuôn góc của A lên SB và SC.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
1) Chứng minh các điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu.
2) Tính bán kính của mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, góc
0
60
=
BAC
Năm 1998

Câu 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
33
2

+
=
x
xx
y
. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số :
2
33
2

+
=
x
xx
y
2) Tìm
xx
xx
x
+
++

243
sin121
lim

0
Câu 2: 1) Giải bất phơng trình:
( ) ( )
3
1
1
3
310310
+
+

<+
x
x
x
x
2) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
32
2
+=
mxxmx
Câu 3: 1) Giải phơng trình lợng giác:
)2cos2(sin2cot xxgxtgx
+=+
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1
1
4
cos

1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y
Câu 4: 1) Tính các tích phân sau:

=
+
+
=
2

2
4
2
3
7
0
3
1
sin10;
13
1
dxxIdx
x
x
I
x

2) Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có phơng trình:
02642
222
=++
zzyyxx
và song
song với mặt phẳng
011234
=++
zyx
Câu 5: 1) Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn là AB, góc nhọn ở đáy là 60
0
. Biết

babADaAB
>==
,,
,
hãy biểu diễn
BC
theo
ba,
. Tìm quan hệ giữa
a
và
b
để
BDAC

2) Giải phơng trình:
x
y
x
y
xx
cossin
5
46
2
=
Năm 1999
Câu 1: Cho hàm số
ax
xax

y
+
++
=
3)1(2
2
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a = 2.
2) Xác định a để đờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol
5
2
+=
xy
3) Tìm quỹ tích giao điểm của hai đờng tiệm cận đứng và xiên của đồ thị hàm số khi a thay đổi.
Câu 2: 1) Xác định m để phơng trình sau có nghiệm trong khoảng

4
;0

:

02cos.sin42cos.
2
=+
mxxxm
2) Tìm các giá trị của a để bất phơng trình sau:

0
1
log12
1
log12
1
log2
222
2
>

+
+

+
++

+

a
a
a
a
x
a
a
x

nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
Câu 3: 1) Giải phơng trình:

+=+
xgxgxx

6
cot.
3
cot
8
7
cossin
44

2) Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
mxx
=+
3 22
121
Câu 4: 1) Tính tích phân:

+

=
1
1
3
0
.
45
arctgxdxxdx
x
x
I

2) Cho lăng trụ đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn
0
60
=
BAD
. Biết
'AB
vuông góc với
BD
. Tính thể tích lăng trụ trên theo a.
Câu 5: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2.2cotcot
2244
+++=
btgatgbgagP
2) Trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P):
075121516
=+
zyx

Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
a) Lập phơng trình mặt cầu ( S) tâm gốc toạ độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (P).
b) Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu ( S).
c) Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P).
Năm 2000
Câu 1: 1) Cho hàm số
1
13
2

+
=
x
xx
y
. Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.
2) Một lớp học có 20 học sinh, tron đó có hai cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 ngời đi dự hội nghị hội
sinh viên của trờng sao cho trong 3 ngời có ít nhất một cán bộ lớp.
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
( )
xxxx 2cos3coscossin22
+=+
2) Với giá trị nào của a thì phơng trình:
xax cossin1
2
=+
có nghiệm duy nhất?
Câu 3: 1) Giải hệ phơng trình:

=+
=++
30
11
22
xyyx
yxxy
2) Tuỳ theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

RyxmyxyxA
++++=
,;)52()12(
22

Câu 4: 1) Cho hàm số:

+
>+
=

01
0)1(
)(
2
xkhiaxx
xkhiex
xf
x
. Tìm a để f( x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
2) Tính tích phân sau:

+
2

2
2
sin4
cos

dx
x
xx
3) Cho hình lập phơng ABCD.A BCD, các cạnh của nó có độ dài bằng 1. Trên các cạnh BB, CD, AD
lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho:
( )
10''
<<===
aaPDCNMB
. Chứng minh rằng:
a)
( )
'1. AAADABMN
++=

b)
'AC
vuông góc với mặt phẳng ( MNP).
Câu 5: Tìm m để bất phơng trình:
03cossin2
2

xmx

nghiệm đúng

2
;0

x
Năm 2001
Câu 1: 1) Khảo sát hàm số
x
x
y 4
3
3
+=
2) Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu chữ số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó
nhất thiết phải có mặt chữ số 4?
Câu 2: 1) Tìm giới hạn:
)1ln(
1
lim
2
3 22
0
2

x
xe
L
x
x
+
+
=

2) Tính tích phân:

+

=
2
0
3
)sin(cos
sin4cos5

dx
xx
xx
I
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
8
9
4
sin

4
sinsin
444
=

+

++

xxx
2) Trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy, Cho hình bình hành ABCD có số đo diện tích bằng 4. Biết toạ độ
các đỉnh A( 1; 0), B( 2; 0) và giao điểm I của hai đờng chéo AC và BD nằm trên đờng thẳng y = x. Hãy tìm
toạ độ các đỉnh C, D.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 4: 1) Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a, M là trung điểm của cạnh BC. Trên nửa đờng t
hẳng AA và MM vuông góc với mặt phẳng ( ABC) về cùng một phía, lấy tơng ứng các điểm N và I
( )
',' MMIAAN

sao cho 2 MI = NA = a. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh
rằng AH vuông góc với NI
2) Cho hình chóp đều SABC đỉnh S có các cạnh đáy đều bằng a, đờng cao hình chóp SH = h.
a) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (P) qua cạnh đáy BC và vuông góc với cạnh bên SA.
b) Nếu tỉ số
3
=
a
h
thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào?
Câu 5: 1) Tìm tất cả các giá trị của x, thoả mãn x < 1, nghiệm đúng bất phơng trình sau:
1)1(log
)(2
2
<+
+
mx
m
xx
với mọi giá trị của m:
40
<
m
2) Tìm a để hệ sau có nghiệm:

=+++

+
2)1(2
2
ayxyx
yx
Đại học kinh tế quốc dân
Năm 1997
Câu 1: Cho hàm số
22
)2( xy
=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A( 0; 4).
Câu 2: Giải hệ phơng trình:

=+
=+
222
11
yyx
yx
Câu 3: Tìm nghiệm của phơng trình:
27sin37cos
=
xx
thoả mãn điều kiện

7
6
5
2
<<
x
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
90723)(
23
++=
xxxxf
trên đoạn
[ ]
5;5

Câu 5: 1) Tính tích phân:

1
0
635
)1( dxxx
2) Cho hình chóp tam giác đều SABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng
62
. Điểm M, N là
trung điểm của cạnh AC, AB tơng ứng. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình
chóp đó.
Năm 1998
Câu 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

393
23
++=
xxxy
( C)
2) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của ( C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
16
1
8cos4cos2cos.cos
=
xxxx
2) Chứng minh rằng ABC là tam giác tù khi và chỉ khi
1coscoscos
222
>++
CBA
.
3) Giải hệ bất phơng trình:

>+
<++
01093
045
23
2

xxx
xx
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
5008.5
1
=

x
x
x
2) Cho phơng trình:
( )( )
axxxx
=++++
8181
a) Giải phơng trình khi a = 3.
b) Xác định tham số a để phơng trình có nghiệm.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 4: Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng:
( ) ( )

=+
=+

=

=

0532
02
:;
3
3
2
2
1
1
:
21
zyx
zyx
d
zyx
d
Câu 5: Cho miền D đợc giới hạn bởi hai đờng:
03;05
2
=+=+
yxyx
. . Tính thể tích khối tròn xoay đ-
ợc tạo nên do quay miền D quanh trục hoành.
Năm 1999
Câu 1: Cho hàm số
( )
2
1
2

+

=
x
x
y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
( )
m
x
x
=
+

2
1
2
Câu 2: 1) Giải bất phơng trình:
( )
0)3(log.7164
3
2
>+
xxx
2) Tìm tất cả các cặp số dơng ( x; y) thoả mãn hệ phơng trình:

=
=

+
13
3
5
4
yx
yx
x
y
xy
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
xxxx 4cos2cos3sinsin
2222
+=+
2) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức:
9
2
cot
2

cot
2
cot
222
=++
C
g
B
g
A
g
. Chứng minh
rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x
x
xxf sin
9
4)(
2
++=

trên khoảng
+<<
x0
Câu 5: 1) Tìm nguyên hàm của hàm số:
1212
1
)(
++

+=
xx
tgxxf
2) Cho Parabol
xy 4
2
=
. Một đờng thẳng bất kì đi qua tiêu điểm của Parabol đã cho và cắt Parabol đó tại hai
điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của Parabol là một đại l-
ợng không đổi.
Năm 2000
Câu 1: 1) Hãy xác định các khoảng tăng, giảm, các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số
x
xexf
3
)(

=
.
2) Hãy tìm phơng trình của tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
x
x
xy
1
)(
3
+
=
, biết rằng mỗi một
trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục toạ độ giới hạn một tam giác có diện tích bằng

2
1
.
Câu 2: 1) Giải bất phơng trình:
( )
01628
1
5
log)134(
2
5
2
++++
xx
x
x
xx
2) Giải phơng trình:
012315
=
xxx
Câu 3: Giải phơng trình:
xxx 2cos2sin81
4
3sin2
2
+=

+

Câu 4: 1) Cho tứ diện ABCD có các cạnh thoả mãn hệ thức:
222222
BCADBDACCDAB
+=+=+
. Chứng
minh rằng trong bốn mặt của tứ diện phải có ít nhất một mặt là tam giác có cả 3 góc đều nhọn.
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
x
x
xf
2
sin
2
)(
+=
trên đoạn

2
;

2

.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 5: 1) Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
xxf 2sin)(
4
=
2) Tìm tập hợp tất cả các điểm P trong không gian cách đều 3 điểm A( 1; 1; 1), B( -1; 2; 0), C( 2; -3; 2).
Năm 2001
Câu 1: 1) Vẽ đồ thị của hàm số
( )
2
2
22
41 xxxxy
+++=
2) Tìm toạ độ các giao điểm của các đờng tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1

+
=
x
x
y
với trục hoành, biết rằng
các tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng y = x + 2001
Câu 2: 1) Giải bất phơng trình:

( )
)1(4)43.(5
>++
xxx
2) Giải phơng trình:
( )
3cos4cos28316643
=+
xx
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
4)21236(log)4129(log
2
32
2
73
=+++++
++
xxxx
xx
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng Parabol
2
4 xxy
=
và các đờng tiếp tuyến với Parabol này,
biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua điểm

6;
2
5
M
.
Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, độ dài các cạnh AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng
2a
1) Tính thể tích hình chóp SABCD theo a.
2) Gọi M, N tơng ứng là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho
3
a
AK
=
. Hãy
tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng MN và SK.
Câu 5: 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy hãy lập phơng trình các cạnh của tam giác ABCnếu cho B( -4; 5) và
hai đờng cao hạ từ hai đỉnh còn lại của tam giác có phơng trình:
0435
=+
yx
và
01383
=++
yx
2) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và
trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.
Học viện kĩ thuật quân sự
Năm 1997

Câu 1: 1) Cho hàm số
mx
mmxmmx
y

+++
=
22
)1(
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. Từ đồ thị vẽ suy ra đồ thị:
1
2
2
+
+
=
x
x
y
b) Tìm x
0
để với
0

m
tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ x
0
song song một đờng thẳng cố định .
Tìm hệ số góc của đờng thẳng cố định ấy.
2) Tính

gxdx
x
xx
I cot
sin
sinsin
2
3
3
3 3

=

Câu 2: Cho phơng trình :
3
4
)1(2)1(21 mxxxxmxx
=++
1) Giải phơng trình với m = -1
2) Tìm m để phơng trình có một nghiệm duy nhất.
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
xx 3sincos2
3
=
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
2) Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và
cba

lll ,,
là độ dài đờng phân giác trong tơng ứng với các đỉnh A,
B, C. Chứng minh rằng:
33)(
1
)(
1
)(
1
+++++
cbcaba
ll
a
ll
b
ll
c
Câu 4: Tam giác ABC có A( 1; 2; 5) và phơng trình hai trung tuyến là:
1
2
4
2
1
4
;
1
1
2
6
2

3

=

=

=

=

zyxzyx
1) Viết phơng trình chính tắc các cạnh của tam giác.
2) Viết phơng trình chính tắc của đờng phân giác trong của góc A
Câu 5: Cho
qpxf
x
x
xx
xx
+
+

+
++
+
=

12
12
3
222
222
9)(
Tìm giá trị của p và q để giá trị lớn nhất của
( )
xfy
=
trên đoạn
[ ]
1;1

là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất
ấy.
Năm 1998
Câu 1: 1) Cho hàm số
axxxf
=
3
)(
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a = 3. Gọi đồ thị này là ( G). Viết phơng trình của Parabol đi qua các
điểm
( ) ( )
0;3,0;3 BA

và tiếp xúc với ( G).
b) Với những giá trị nào của x thì tồn tại
xt

sao cho f( x) = f(t).
2) Tính:

+++
=
1
1
2
11 xx
dx
I
Câu 2: Cho hệ phơng trình:

=++
+=++
3
)(
22
22
bxyyx
ayxyxayx
1) Giải hệ phơng trình khi a = b = 1.
2) Xác định tất cả các giá trị của a và b để hệ phơng trình có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3: 1) Giải phơng trình:

04cossin32sin32cos
=+
xxxx
2) Cho a, b, c là độ dài các cạnh và r là bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng:
2222
4
1111
rcba
++
.
Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc cho 4 điểm A( 4; 1; 4), B( 3; 3; 1), C( 1; 5; 5),
D( 1; 1; 1) .
1) Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng ( ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
2) Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD.
Câu 5: Giải bất phơng trình:
( )
2log2log
12
++

xxx
Năm 1999
Câu 1: 1) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
1
2
+++=
xxxy
2) Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị hàm số
2
2

2

+
=
x
xx
y
qua đờng thẳng y = 2.
3) Tìm
n
n
S

lim
biết
n
n
n
S
n
)!3(
)!4(
ln
=
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
253294123
2
++=+
xxxxx
2) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

0)(log)1(log
2
722722
=+
+
xmxmx
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
xxxxx 2coscoscos2sinsin2
33
+=
2) Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là
( )
rRp 332
+=+
trong đó p là nửa chu vi; R là bán
kính đờng tròn ngoại tiếp và r là bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 4: Cho mặt phẳng (P) có phơng trình tham số:

++=
++=
+=
vuz
vuy
vux

21
1
1
và hai điểm
( ) ( )
3;1;2,1;2;1 BA
1) Viết phơng trình của mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
2) Viết phơng trình chính tắc của đờng giao tuyến giữa (P) và (Q). Tìm toạ độ điểm K đối xứng với A qua
mặt phẳng (P).
Câu 5: Một lô hàng có 30 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm, đợc chia ngẫu nhiên thành 3 phần bằng nhau,
mỗi phần 10 sản phẩm.
1) Tìm xác suất để có ít nhất một phần có đúng một phế phẩm
2) Tìm xác suất để mỗi phần đều có một phế phẩm.
Năm 2000
Câu 1: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
54
2
+
++
=
x
xx
y
. Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đờng
thẳng
063
=++
xy
là nhỏ nhất.

2) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng:
3
,
6
,
cos
1
,
sin
1
22

===
xx
xx
y
.
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
0)1(12
2
=+
xxxxxx
2) Tìm a để bất phơng trình:
3
2
<+
axx
có nghiệm âm ( a là tham số)
Câu 3: Cho phơng trình:
( )

tgxxmx
+=
1.cos2cos
2
( m là tham số)
1) Giải phơng trình với m = 1.
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm trong đoạn

3
;0

.
Câu 4: Cho hai đờng thẳng
( ) ( )
1
10
1
6
2
8
:;
2
4
1
2

1
:
21

=

=
++
=

=
zyx
d
zyx
d
1) Viết phơng trình đờng thẳng ( d) song song với Ox và cắt ( d
1
) tại M, cắt ( d
2
) tại N. Tìm toạ độ M, N.
2) A là điểm trên ( d
1
), B là điểm trên ( d
2
), AB vuông góc với cả ( d
1
) và ( d
2

). Viết phơng trình mặt cầu đ-
ờng kính AB.
Câu 5: Tìm m để hệ:

+=+
+=++
1
2
22
mxyyx
myxxy
có nghiệm duy nhất.
Năm 2001
Câu 1: Cho hàm số
1
1)2(
2
+
+++
=
x
mxmx
y
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A, B sao cho:
035;035
=+=+
BBAA

yxyx
. Tìm m để hai
điểm A, B đó đối xứng với nhau qua đờng thẳng ( d) có phơng trình: x + 5y + 9 = 0.
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
( )
62223
++=+
xxx
2) Tìm m để phơng trình:
( )
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
=+
xmxx
có nghiệm thuộc khoảng
( )
+
;32
.
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
( )
xxxg cos232sin22cot3
22
+=+

2) Tam giác ABC có AB = AC = b, BC = a. Biết đờng tròn nội tiếp tam giác đi qua trung điểm E của đờng
cao AH. Chứng minh 3a = 2b. Tính bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác theo a.
Câu 4: 1) Tam giác ABC cân, cạnh đáy ( BC) có phơng trình: x + 3y + 1 = 0. cạnh bên ( AB) có phơng trình:
x y + 5 = 0. Đờng thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm M( -4; 1). Tìm toạ độ đỉnh C.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho điểm A( 4; 0; 0), B( x
0
; y
0
; 0) với x
0
, y
0
>
0 sao cho OB = 8 và góc AOB = 60
0
.
a) Xác định điểm C trên Oz để thể tích OABC = 8.
b) Gọi G là trọng điểm tam giác OAB và điểm M trên AC có AM = x. Tìm x để OM vuông góc với GM.
Câu 5 : 1) Tính tích phân:

+

=
b
dx
xa
xa
I

0
22
2
)(
(a , b là các tham số dơng cho trớc )
2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi , 5 khá , 8 trung bình . Hỏi có bao nhiêu cách chia số học sinh đó
thành 2 tổ . mỗi tổ 8 ngời sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Đại học luật hà nội
Năm 1998
Câu 1: 1) Cho hàm số
2
5
6
2
9
23
++=
xxxy
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2) Tìm

gx
x

x
cot
2sin
2
lim
0
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
4347347
coscos
=

+

+
xx
2) Giải bất phơng trình:
xxx
>+
112
24

Câu 3: 1) Giải phơng trình lợng giác:
0
cos
1
cos222cos2sin
=

+
x
xxxtgx
2) Cho A, B, C là 3 góc trong một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
)cos(cos2cos3 CBAM
++=
Câu 4: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
2
2; xyxy
==

2) Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x y + 2 = 0 sao cho tam giác ABC vuông tại C, biết A( 1; -2), B( -3; 3).
Câu 5: 1) Cho hình thang cân ABCD có đáy AD, BC, góc BAD = 30
0
. Biết
bADaAB
==
,

. Hãy biểu diễn
các vectơ
BDACCDBC ,,,
theo các vectơ
ba,
.
2) Chứng minh rằng:

2
;0

x
đều có:
6
cos
1
sin
1
cotsincos
>+++++
xx
gxtgxxx
Năm 1999
Câu 1: Cho hàm số

2
12)4(2
2

++
=
x
mxmx
y
1) Tìm m để đồ thị của hàm số nhận điểm ( 2; 1) làm tâm đối xứng.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = -3 và viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị đó, biết nó
song song với đờng thẳng y = x + 4
Câu 2: 1) Giải bất phơng trình:
( )
3log53loglog
2
4
2
2
1
2
2
>+
xxx
2) Biết rằng hệ phơng trình:

=
=+++

bxy
byxyxa )(
22
có nghiệm với mọi giá trị của b. Chứng minh rằng a = 0.
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
)1(sin5)2cos3(sin4
=
xxx
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
xxy
2020
cossin
+=
Câu 4: 1) Chứng minh rằng:
( )

>=
+
+
+
tga
e
ga
e
tga
xx
dx
x
xdx
1

cot
1
22
01
)1(1
2) Trong hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P):
3
=++
zyx
và mặt cầu ( C):
12
222
=++
zyx
. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( C) theo giao tuyến đờng tròn. Tìm tâm và bán kính của đờng
tròn đó.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 5: 1) Cho A, B, C là 3 góc trong một tam giác. Chứng minh rằng nếu
2
cot,
2
cot,
2
cot
c
g
B
g
A

g
lập
thành một cấp số cộng thì
3
2
cot.
2
cot
=
C
g
A
g
.
2) Trong hệ toạ độ Đêcac Oxyz cho điểm A( -1; 2; 3) và các mặt phẳng
( )
02:
=
xP
và
( )
01:
=
zyQ
.
Viết phơng trình mặt phẳng ( R) đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Đại học mỏ địa chất
Năm 1997
Câu 1: Cho hàm số
53)2(

23
+++=
mxxxmy
. Trong đó m là tham số thực
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có cực đại và cực tiểu.
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
1
sin5
5sin
=
x
x
2) Giả sử a, b, c lần lợt là 3 cạnh đối diện với 3 góc A, B, C của tam giác ABC, thoả mãn điều kiện:
2
sin
2
1
2
cos
2
cos2
A
a
cbCB
+
+=
. Tính góc A của tam giác ABC.
Câu 3: 1) Giải hệ phơng trình:

=+
=
yyxx
xyxy
10)(
3)(2
22
22
2) Giải bất phơng trình:
2212
>+
xxx
Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho các điểm A( 1; 4; 5), B( 0; 3; 1),
C( 2; -1; 0) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
015233
=
zyx
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng điều kiên cần và đủ để điểm m nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phơng khoảng
cách đến các điểm A, B, C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P).
Xác định toạ độ của điểm M đó.
Câu 5: Tính:

+
++
=

1
0
2
2
1
dx
x
arctgxxx
I
Năm 1998
Câu 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
xxxy 96
23
+=
2) Xác định tất cả các giá trị của tham số thực m để đờng thẳng có phơng trình y = mx cắt đồ thị của hàm số
tại 3 điểm phân biệt: O( 0; 0), A và B. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn
nằm trên một đờng thẳng song song với Oy.
Câu 2: 1) Giải hệ phơng trình:

=+
=+
35
30
33
22
yx

xyyx
2) Cho bất phơng trình:
0323).1(29
>+
mm
xx
, trong đó m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của
m để bất phơng trình luôn luôn đúng với mọi số thực x.
Câu 3: Cho phơng trình:
1cossin
=+
xmx
, trong đó m là tham số thực.
a) Giải phơng trình khi
3
=
m
.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để mọi nghiệm của phơng trình đều là nghiệm của phơng trình:
2
cossin mxxm
=+
.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 4: 1) Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy ngời ta cho một parabol và một đờng thẳng có ph-
ơng trình tơng ứng
04634,64
2
=++=

yxxy
. Xác định điểm M trên Parabol sao cho khoảng cách từ đó
đến đờng thẳng đã cho là ngắn nhất. Tính khoảng cách đó.
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz ta xét đờng thẳng có phơng trình:
( )

+
=

=
2
1
3
4
4
zyx
và mặt phẳng có phơng trình:
( )
083:
=++
zyxP
. Viết phơng trình chính tắc của
hình chiếu vuông góc của đờng thẳng
( )

lên mặt phẳng (P)
Câu 5: Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, D là miền đợc giới hạn bởi các đờng có phơng
trình:
x

y
x
yxy
27
;
27
;
2
2
===
. Tính diện tích của D.
Năm 1999
Câu 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
3 xxy
=
.
2) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đờng cong ( C) có phơng trình:
( )
1232:
24
++=
xxxyC
và
đờng thẳng
)(

có phơng trình:
12
=

xy
a) Chứng minh đờng thẳng
)(

không cắt đờng cong ( C) .
b) Tìm trên đờng cong ( C) điểm A có khoảng cách đến
)(

là nhỏ nhất.
Câu 2: 1) Giải hệ phơng trình:

=+++
+=++
1log)4224(log)1(log
)3(log12log)(log
4
2

44
44
22
4
y
x
xyyxy
yxxyx
2) Giải bất phơng trình:
21
)293(
2
2
2
+<
+
x
x
x
Câu 3: 1) Giải phơng trình:
)cos.sin2(cos3sin2sin.
22
xxxxxtgx
+=
2) Giả sử A, B, C là 3 góc trong của một tam giác. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
CBA
M
2cos2
1
2cos2

1
2cos2
1

+
+
+
+
=
Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( C), đờng thẳng
( )

và mặt phẳng (Q) lần
lợt có phơng trình:
( )
( )
( )
07225:
032
0823
:
067642:
222
=++

=+
=+

=++
zyxQ
yx
zyx
zyxzyxC
1) Viết phơng trình tất cả các mặt phẳng chứa
( )

và tiếp xúc với mặt cầu ( C).
2) Viết phơng trình của hình chiếu vuông góc của đờng thẳng
( )

lên mặt phẳng (Q).
Câu 5: Cho f( x) là hàm số thực, xác định, liên tục trên đoạn

2
;0

có f( 0) > 0 và
1)(
2
0
<

dxxf
. Chứng
minh rằng phơng trình f( x) = sinx có ít nhất một nghiệm trên đoạn

2
;0

.
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Năm 2000
Câu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3
13
+

=
x
x
y

Câu 2: Cho phơng trình:
0)36(51172
234
=+++

kxkxxx
, trong đó x là ẩn, k là tham số thực.
1) Chứng minh rằng phơng trình có một nghiệm không phụ thuộc tham số k.
2) Biện luận theo tham số k về số nghiệm của phơng trình
Câu 3: Giải phơng trình:
xxtggxx
2
cos4)2(cot2sin
=+
Câu 4: Cho tam giác ABC có
0
900
<<
CBA
. Chứng minh:
2
cos
12cos43cos2

+
C
CC
Câu 5: Giải và biện luận theo tham số thực a, hệ phơng trình:

=
=++

+
24.2
1
2
xyyxa
ayx
, trong đó ( x, y) là ẩn
Câu 6: Giải bất phơng trình:
( )( )
241
>+
xxx
Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho tam giác ABC có C( 3; 2; 3), đờng cao AH
nằm trên đờng thẳng ( d
1
) có phơng trình:
( )
2
3
1
3
1
2
:
1

=

=

zyx
d
và đờng phân giác trong BM của góc B
nằm trên đờng thẳng ( d
2
) có phơng trình:
( )
1
3
2
4
1
1
:
1

=

=

zyx
d
. Tính độ dài các cạnh của tam giác
ABC.
Câu 8: Tính:

+=
3

6
22
2cot

dxxgxtgI
Năm 2001
Câu 1: Cho hàm số
)(8
8
2
mx
xx
y
+

=
, trong đó m là tham số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên
[
)
+
;1
.
Câu 2: 1) Tìm tích các nghiệm của phơng trình sau:
0.36
5 7
)3(log
6

=
xx
x

2) Giải hệ phơng trình:

=+
=+

06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
xyx
3) Giải phơng trình sau:
22
4324 xxxx
+=+
Câu 3: 1) Giải phơng trình sau:
0)cot.2cot1(

sin
2
cos
1
48
24
=+
gxxg
xx
2) Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà chỉ 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phơng trình:
0)62sin
2
1
sin7).(1cos4(
2
=
xxx
Câu 4: 1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy, hãy viết phơng trình đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC, biết phơng trình đờng thẳng AB là: y x 2 = 0, phơng trình đờng thẳng BC là:
5y x + 2 = 0 và phơng trình đờng thẳng AC là y + x 8 = 0.
2) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy, cho 3 điểm A( 10; 5), B( 15; -5), D( -20; 0) là
3 đỉnh của một hình thang cân ABCD. Tìm toạ độ điểm C, biết rằng AB // CD
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
Câu 5: Tính:

+
+
=

4
4
66
16
cossin

dx
xx
I
x
Đáp án
đại học bách khoa hà nội
Năm 1997
Câu 1: a) Học sinh tự giải
b) Bất phơng trình:

( )
( ) ( )
( )
13
12
11231
1
231
1
)(
4
36
346

3
3
3

+

+
+
xm
x
xx
xxmxxx
x
mxxx
x
xf
Xét
4
2
4
36
1212
)(
x
x
x
x
xx
xF
+=

+
=
. Ta có:
10
42
2)('
52
>+=
x
xx
xxF
nên F( x) đồng biến trong
khoảng
[
)
[
)
2)1()(min,;1
;1
==+
+
FxF
Do đó
[
)
3
2
323)(min)1(3)(
;1

+
mmmxFxmxF
Câu 2: 1) Giải bất phơng trình:
( )
1
3
1
3
1
2
2

xx
xx
*) TXĐ:

0

2
02
2
x
x
xx
*)
( ) ( )
212331
2
1
2
2
xxxx
xx
xx

- Với
( )
1122:2
2
=
xxxxx
luôn đúng.
- Với
( ) ( )
012321221122:0
2

2
22
+=+
xxxxxxxxxxx
vô nghiệm.
Đáp số:
2

x
.
2) Giải phơng trình:
( )
30
43
)1(log)1(log
2
3
3
2
2
>

++
xx
xx
*) TXĐ:

>

>+
4
1
043
01
2
x
x
xx
x
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
*)
( ) ( )

>
>+
>

+

>

+
>

++
>

++

043
0)1(log
0
43
)1(log
0
43
)1(log
.8log9log0
43
)1(log.2log3)1(log2
0
43
)1(log3)1(log2
3
2
2
2
2
2
2

33
2
232
2
32
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xx

Hoặc

>
>+

<
<+
043
11

043
0)1(log
2
2
2
xx
x
xx
x
hoặc
01;4
043
110
2
<<>

<
<+<
xx
xx
x
Câu 3: 1) Viết phơng trình đờng tròn đi qua A( 2; -1) và tiếp xúc với Ox, Oy.
Gọi I( x
0
; y
0
) là tâm đờng tròn. Giả sử đờng tròn tiếp xúc với Ox tại B
( )

0;
0
xB

và tiếp xúc với Oy tại C
( )
0
;0 yC

.
Ta có
( ) ( )

=
=++
==
00
2
0
2
0
2
0
4)1(2
yx
xyx

ICIBIA
- Nếu x
0
= y
0
thì (4)
( )
052)1(2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+=++
xxxxx
vô nghiệm
- Nếu x
0
= - y
0
thì (4)
( )
056)1(2
0
2
0

2
0
2
0
2
0
=+=++
xxxxx

*) x
0
= 1 = - y
0

Phơng trình đờng tròn là:
( )
1)1(1
2
2
=++
yx
*) x
0
= 5 = - y
0

Phơng trình đờng tròn là:
( )

1)5(5
2
2
=++
yx
2) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Đờng thẳng ( d) có phơng trình tham số:
Rttztytx
+=+==
,22,22,13
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên ( d)
( ) ( )
32;2;2322;22;13
+=++
tttMHtttH
Vectơ chỉ phơng của (d) là
( )
2;2;3
=
u
( )
133;0;20017
0)32(2)2)(2()23(30.
====
=+++=
MHMHtt
tttuMHuMH
Vậy
1322

==
MHMN
Câu 4: 1) Giải phơng trình:
( )
xxxx 4sin
2
1
2coscoscos1
=+
*) ĐK:
0cos

x
*) Phơng trình tơng đơng với:
( )
xxxxx 2cos.2sin2coscoscos1
=+
1)

kxkxx
+=+==
4
2
2
202cos
Đối chiếu với điều kiện
nkx 20cos

=
, vậy
( )
Znnx
+=

2
4
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
2)
( )
( )
( )
( )

=+

=+

=+
0coscos121cos2
02sin
2sincoscos121
02sin
2sincoscos1
2
2
2
xxx
x
xxx
x
xxx
Vô nhiệm.
Vậy hệ phơng trình là:

nx 2
4
+=
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
sin
sin
sin
sin
)(

+

=
Cx
Bx
Cx
Ax
xf
Vì A, B, C là 3 góc của tam giác nên bất đẳng thức A > B > C
CBAcba sinsinsin
>>>>
*) TXĐ của f( x) là
AxCx sin;sin
<
*)
0
sin
sin
)sin(2
sinsin
sin
sin
)sin(2
sinsin
)('
22
>

+

=
Bx
Cx
Cx
CB
Ax
Cx
Cx
CA
xf
Ta có bảng biến thiên :
*) Phơng trình:
CxBxAx sinsinsin
=
có tập xác định là:
Ax sin

nên tơng đơng với:
0)(01
sin
sin

sin
sin
==

xf
Cx
Bx
Cx
Ax
Với điều kiện
Ax sin

. Từ bảng biếnthiên f( x) suy ra phơng trình có nghiệm duy nhất.
Câu 5: 1)
32
2ln
2
1
432cos
cos
42
1
1
cos
1
.

22
4
0
4
0
2
4
0
4
0
4
0
4
0
4
0
2
4
0
2
2

=+==
=

==

x
xd
xtgxdxxtgx
xdxxdtgxdx
x
xxdxxtgI
2) Xét

=
4
0)(

xxtgxxf
có
01
cos
1

)('
2
=
x
xf
F( x) đồng biến trong
2
4
0
2
4
0
4
0
42
1
.
2
1
.0)0()(
4
;0
+
+

+
=
+
=>==

n
nnn
n
n
x
n
dxxxxdxxtgIxtgxfxf

( đpcm)
Năm 1998
Câu 1: 1) Bạn đọc tự giải
2) Tìm m để
xmmxxxf
>++=
,02)(
24

- Cần:
00)0(0)(
>>>
mfxxf
- Đủ:
xmmxxxfm
>++=>
,02)(0
24
Đáp số: m > 0.
Chứng minh khi m > 0 thì F( x) > 0 với mọi x: Tính đạo hàm từ cấp 1 đến cấp 4 của f( x), ta đợc:
( )
0,0)33(8)542(2245)122(4)(
22
2
234
>>+++++++=+++++=
mxxxxxmxxmxmxxxF
Câu 2: 1) Giải phơng trình:
( )
1
1cot
)sin(cos2
2cot
1

=
+
gx

xx
xgtgx
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
- Tập xác định:

+
1cot
0sin).2cot.(2sin.cos
gx
xxgtgxxx
( )

+=
+=
==
=

=
+

TXDkx
TXDkx
xxxx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x

2
4
2
4
2
2
cossin2cos.sin2
sin2
cos
2sin.cos
1
sin
cos

)sin(cos2
2sin
2cos
cos
sin
1
1
Đáp số:

kx 2
4
+=
2) Ta có:
1
22
1
22
22
1
2
cot
2222
<=
+

=
+
=
+

=
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
BA
g
C
tg
BAC

Mặt khác:
4
3
4
1
1
22
1
24
1
222

1
2
22
22
===
+

B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
Đẳng thức xảy ra
ABC
B
tg
A

tg
==
2
1
22
đều.
Câu 3: 1) Tìm điểm
( ) ( ) ( )
3,2,21: ttMdMdM
+
Khoảng cách từ M đến (P) là:
3
1
)2(12
13.2)2()21(2
222
tttt
h

=
++
++
=
Vậy
2,4311
21
==== ttth
Với
( )
12;2;94

11
=
Mt
Với
( )
6;4;32
22
=
Mt
2) Xác định tọa độ điểm K: Gọi H là giao điểm của ( d) với IK. Vì
( ) ( ) ( )
33;3;123;2;21
+=+
tttIHtttHdH
, đờng thẳng ( d) có vectơ chỉ phơng
( )
3;1;2
=
u
.
( )
3;1;31014140)33(3)3(1)12(20. HtttttuIHdIH
===++=
K đối xứng với I qua ( d)

H là trung điểm IK

K có toạ độ thoả mãn:
( )
3;3;4

2
,
2
,
2
K
zz
z
yy
y
xx
x
KI
H
KI
H
KI
H

+
=
+
=
+
=
.
Câu 4: 1)
( )
*)3(log
2

1
2log65log
3
1
3
1
2
3
+>++
xxxx
- TXĐ:
3
03
02
065
2
>

>+
>
>+
x
x
x
xx
Ôn thi ĐH 2008- 2009

Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
( )
1019
3
2
)3)(2(
3
2
log)3(log)2(log)3)(2(log
)3(log
2
1
)2(log
2
1
)65(log
2
1
*
2
3333
33
2
2
>>
+

>
+

=+>
+>+
xx
x
x
xx
x
x
xxxx
xxxx
2) Biện luận số nghiệm phơng trình:
11cos.2sin.2
22
++=++
aaxxxx
- TXĐ:
[ ]

2
;
2
2;2

x

- Vế phải =
2111111
=++++=++
aaaaaa
Dấu = xảy ra
( )( )
11011
+
aaa
Vế trái =
2cossin.22cos.2sin.2
222222
=+++++
xxxxxxxx
( Bunhiacỗpxki)
Nếu
1
>
a
thì vế phải > 2, vế trái

2
Phơng trình vô nghiệm
Nếu
1

a
thì vế phải = 2, vế trái
2
, do đó phơng trình:

tgx
x
x
x
x
x
x
VT
VP
=
+

+
=

=
=

2
222
2
2
cos
2
sin

2
2
2
( Chú ý
rằng x = 0 không là nghiệm)
Xét
[ ]

+

=
2
;
2
2;2,
2
2
)(
2
2

xtgx
x
x

xf
+ Khi
><
xxfx 0)(02
Phơng trình f( x) = 0 vô nghiệm.
+ Khi
20

x
. Ta có;
<
+

+

=<=>= 0
cos
1
2
2
.)2(
4
)(',02)2(,01)0(
2
2
2
22
x
x
x

x
x
xftgff
Phơng
trình f( x) = 0 có nghiệm duy nhất trong
[ ]
2;0
.
Tóm lại : Nếu
1
>
a
thì phơng trình vô nghiệm
Nếu
1

a
thì phơng trình có nghiệm duy nhất.
Cách khác: Vẽ đồ thị hai hàm số
2
2
2
2
x
x
y
+

=
và y = tgx thấy trong

[ ]
2;2

, hai đồ thị cắt nhau tại một
điểm duy nhất

phơng trình có một nghiệm duy nhất trong
[ ]
2;2

Câu 5: 1) Tính diện tích hình phẳng: Tiếp tuyến của Parabol (P)
54
2
+=
xxy
kẻ tại hai điểm A( 1; 2) và
B( 4; 5) lần lợt có phơng trình
42
+=
xy
và
114
=
xy
. Hai tiếp tuyến ấy cắt nhau tại C có hoành độ
2
5
=
C
x

. Ta có:
21
SSS
+=
với:
[ ]
( )
[ ]
( )
8
9
4)114(54
8
9
1)42(54
4
2
5
2
4
2
5
2
2
2
5
1
2
2
5

1
2
1
==+=
==++=

dxxdxxxxS
dxxdxxxxS
Vậy:
8
9
=
S
( Đvdt)
Ôn thi ĐH 2008- 2009
Giáo viên : Lê Thị Thanh Tr ờng THPT Đông Sơn 1
2) Tính tích phân:
( )
xtdtt
xdxdxxxdxxxxI
2sin0
2
1
1
2
1
)2(sin2sin
2
1

1
2
1
)2sin
2
1
1.(2cos)cos.(sin2cos
0
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
44
==

=

==+=

Năm 1999
Câu 1: 1) Học sinh tự giải
2) Hoành độ giao điểm với trục hoành là nghiệm phơng trình
x
xaaxx
2
02
23
==++
. đồ thị hàm số
y = f( x) cắt Ox tại đúng 1 điểm

đờng thẳng y = a và đồ thị
x
xxgy
2
)(
2
==
có một điểm chung
duy nhất.
Ta có:

2
2
2
)1(22
2)('
x
x
x
xxg

=+=
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là: a > - 3.
Câu 2: 1)
341431
>++++>+
xxxx
ĐK:
1

x
, hàm số
41)(
+++=
xxxf
đồng biến trong khoảng
[
)
+
;1