Đa thức nội suy newton
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (139.54 KB, 4 trang )
Đa thức nội suy Newton.
Đa thức nội suy Newton.
Bởi:
Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên
Đa thức nội suy Newton.
Sai phân
Cách xây dựng đa thức nội suy Lagrange khá đơn giản về mặt ý tưởng. Tuy nhiên
nhược điểm của nó là mỗi lần bổ sung thêm một số điểm quan sát mới ta lại phải
tính lại từ đầu. Người ta tìm cách xây dựng một đa thức nội suy sao cho khi bổ sung
các điểm quan sát thì ta không phải tính lại phần đa thức đã có. Thí dụ từ các điểm
quan sát (x0,y0), (x1,y1),..., (xk,yk) ta tính được đa thức pk(x). Khi bổ sung thêm các
điểm (xk+1,yk+1),..., (xn,yn) thì đa thức nội suy tương ứng với mẫu quan sát (x0,y0),...,
(xn,yn) sẽ có dạng pn(x) = pk(x) + u(x).
Để thực hiện và trình bày điều này một cách rõ ràng, sáng sủa, trước hết ta cần đến khái
niệm sai phân như sau:
Định nghĩa:
Cho f(x) là hàm của x và h = Δx là một hằng số không đổi biểu thị cho khoảng thay đổi
trên biến x và được gọi là số gia của x. Khi đó số gia tương ứng trên f(x):
Δf(x) = f(x+Δx) - f(x) (3.7)
được gọi là sai phân tiến cấp một tại điểm x của f(x) tương ứng với h. Gia số được tính
bởi
Δf(x) = f(x) - f(x-Δx) (3.8)
được gọi là sai phân lùi cấp một tại điểm x của f(x) tương ứng với h.
Vì sai phân tiến g(x) của một hàm lại là một hàm của x do đó ta lại có thể định nghĩa
sai phân tiến của g(x). Khi đó ta gọi sai phân tiến cấp một của g(x) là sai phân tiến cấp
2 của f(x), và cứ như vậy ta có thể định nghĩa sai phân tiến cấp k của một hàm f(x).
Với sai phân lùi ta cũng có lập luận và định nghĩa tương tự.
1/4
Đa thức nội suy Newton.
Sai phân tiến
Giả sử các điểm x0, x1, ... xn thoả mãn điều kiện xi+1 - xi = h
yi = f(xi), i = 0, 1, ...
Ta có thể thấy rằng sai phân tiến
Tổng quát ta có thể chứng minh rằng
Bảng các sai phân tiến
2/4
Đa thức nội suy Newton.
Sai phân lùi
Với sai phân lùi ta có
Tổng quát ta có thể chứng minh rằng
Bảng các sai phân lùi:
3/4
Đa thức nội suy Newton.
4/4
