DAO ĐỘNG CƠ
A/ TÓM TẮT CÔNG THỨC
Đặc điểm

Con lắc lò xo

Con lắc đơn
s = S0cos(t + )
hoặc α = α0cos(t + )
với s = αl, S0 = α0l
v = s’ = -S0sin(t + )
= -lα0sin(t + )
v  2 gl (cos   cos  0 )

Phương trình dao
động

x = Acos( t + )

Vận tốc

v = x’ = -Asin(t + )
= Acos(t +  + /2)

Gia tốc

a = v’ = x” = -2Acos(t + )
= - 2x = 2Acos(t +  + )

a = v’ = -2S0cos(t + )
= -2lα0cos(t + )

= -2s = -2αl

2
 2f
T
k

m

2
 2f
T
g

l




Tần số góc và chu kỳ

T  2

m
k

T  2

Động năng


Eđ 

1 2
mv = Esin2(t + )
2

Thế năng

Et 

1 2
kx = Ecos2(t + )
2

Cơ năng

E  E đ  Et 

Lực kéo về
(lực phục hồi)

F = - kx = -m2x
(luôn hướng về vị trí cân bằng)

Liên hệ giữa v và x

x2 

Liên hệ giữa a và v


v2

v2

2



a2

Eđ 

 A2 ,

1 2
mv
2

Et = mgl(1 – cos )

1 2 1
kA  m 2 A2  Const
2
2

 A2 ,

l
g


x2
v2

1
2
A 2 v max
v2
a2

1
2
2
v max
a max

1
1
m 2 s 2  m 2 2 l 2
2
2
E  E đ  Et  mgl (1  cos  0 )

=

1
1
m 2 s02  mgl 02
2
2
mg

F 
s  mg
l
v2
v2
s02  s 2  2 ,  02   2 
gl



s02 

v2



a2

,  02 

v2 a2

gl g 2

2 4
2 4
Chuyển đổi công thức: 1) - cosα = cos(α - ) = cos(α + ) 3) sin α = cos(α - /2)
2) - sin α = cos(α + /2)
4) cos2α = 2cos2α -1 = 1 – 2sin2α


* Đối với con lắc lò xo thẳng đứng: Fđh  P  kl0  mg =>  
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP
I/ CON LẮC LÒ XO
1. Viết phương trình chuyển động.
x = Acos( t + )
v = x’ = -Asin(t + )
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

k

m

l 0
g
 T  2
l 0
g


Cách 1:
- Tìm  :


2
 2f ;  
T

a
v
k

;   max ;   max
A
m
A

(Đối với con lắc lò xo thẳng đứng:  
- Tìm A: A  x 
2

2

v2

; A 
2

v2



a2

; A

k

m

l 0
g

 T  2
)
l 0
g

v
a
2E
L
; A  ; A  max ; A  max2
k
2




 
- Tìm  : ĐK ban đầu: t = 0, x = x0, v = v0.
 x0  A cos 

v0  A sin 
2

2

4

Cách 2: Sử dụng máy tính (sử dụng khi biết x0 và v0)
- Tìm  :



2
 2f ;  
T

a
v
k
;   max ;   max
A
m
A

- ĐK ban đầu: t = 0, x = x0, v = v0.
 x0  A cos 

v0  A sin 

- Phương trình: x  x0 

v0



i

Ví dụ 1. Vật dao động điều hòa thực hiện 20 dao động trong 10s, khi qua vị trí cân bằng có
vận tốc 62,8 cm/s. Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ 2,5 3 cm và đang chuyển động về vị trí
cân bằng. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải :

2
- Chu kì: T = 10/20 = 0,5s   
 4 rad/s
-

T
v
62,8
Biên độ dao động: A  max 
 5cm

4
ĐK ban đầu: t = 0, x = 2,5 3 cm, v < 0.



2,5 3  5 cos 
  
 
6

v  A sin   0

v  0

Vậy phương trình dao động của vật: x = 5cos( 4 t + ) cm

 



6

6

Ví dụ 2. Vật nhỏ m =250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ, thẳng đứng k = 25N/m.
Từ VTCB người ta kích thích dao động bằng cách truyền cho m một vận tốc 40cm/s theo phư
ơng của trục lò xo. Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc m qua VTCB ngược chiều dươ
ng, hãy viết phương trình dao động.
Hướng dẫn giải :
k
 10 rad/s
m

-



-

Phương trình: x  x0 

v0



i =0-

40

i = -4i. Nhập: -4i . Kết quả: 4 

10
2

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


2. Thời gian ngắn nhất vật đị từ vị trí x1 đến vị trí x2. Quảng đường đi của vật. Tốc độ
trung bình của vật.
* Thời gian ngắn nhất vật đị từ vị trí x1 đến vị trí x2
- Xác định vị trí ban đầu, lúc t = 0  x0 =?, v0 = ?
- Xác định các vị trí x1 và x2 trên trục quỹ đạo.
x1

cos 1  A
- Tính các góc φ1, φ2 với 
cos   x 2
2

A

thỏa mãn (0 ≤ φ1, φ2 ≤ π)


N

- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:
  2  1 
t 



T


2

2
A
x2

O

M
1
x1

N'

* Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
Cách 1:
- Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t1 và t2:
 x1  A cos(t1   )
 x2  A cos(t 2   )
và 

v1  A sin(t1   )
v2  A sin(t 2   )
(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
- Phân tích: Δt = t2 – t1 = nT + T/2 + t0
(n  N; 0 ≤ t0 < T/2)
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: S = S1 + S2

- Quãng đường S1 là quãng đường đi được trong thời gian: nT + T/2
S1 = n.4A+ 2A
- Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 (0 ≤ t0 < T/2)
'

+ Xác định li độ x1' và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm: t1 + nT + T/2
+ Xác định li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2
'

+ Nếu v1' v2  0 ( v1 và v2 cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) thì :
S2 = |x2 - x1' |
'

+ Nếu v1' v2  0 ( v1 và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì :

v1' > 0, v2 < 0 : S2 = 2A - x1' - x2
'
 v1 < 0, v2 > 0 : S2 = 2A + x1' + x2


Cách 2: Sử dụng máy tính
t2

t2

t1

t1

Quãng đường: s   v dt   A sin(t   ) dt

* Vận tốc trung bình, quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất của vật
- Vận tốc trung bình của vật dao động: vtb =

S
.
t

- Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin:
Smax  2A sin


2

+ Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos:
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

M'

A x


Smin  2A(1  cos


)
2

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian t:
Smin
S

v tbmax  max và v tbmin 
t
t
* Xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm t và t’ = t + Δt
Cách 1:
- Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.
- Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(t + φ) cho x = x0
- Lấy nghiệm : t + φ =  với 0     ứng với x đang giảm (v < 0)
hoặc
t + φ = –  với 0     ứng với x đang tăng (v > 0)
- Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là:
 x  Acos(t  )
 x  Acos(t  )

hoặc 
 v  A sin(t  )
 v  A sin(t  )
Cách 2: Sử dụng máy tính
- Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.
- Li độ và vận tốc dao động của vật ở thời điểm t’ = t + t là:
x  A cos(cos 1 (

x0
x
)  .t ) ; v  A sin(cos 1 ( 0 )  .t )
A
A

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2t) cm. Thời điểm thứ nhất
vật đi qua vị trí cân bằng là :

A. 1 s.
4

B. 1 s
2

C. 1 s
6

D. 1 s
3

Hướng dẫn giải :
Cách 1: Vật qua VTCB: x = 0  2t = /2 + k2  t =

1
+ k với k  N
4

Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0  t = 1/4 (s)
Cách 2: Chu kỳ: T = 1s
Tại t = 0  x = A = 8cm. Vật đi từ vị trí A đến vị trí cân bằng  t = T/4 = 1 s.
4

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8cos10πt. Thời điểm vật đi qua vị trí
x = 4 lần thứ 2009 kể từ thời điểm bắt đầu dao động là :
A.

6025
(s).

30

B.

6205
(s)
30

Hướng dẫn giải :
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

C.

6250
(s)
30

D.

6,025
(s)
30


Cách 1: x  4 



10t  3  k2


10t     k2
3




1 k

 t  30  5

t   1  k
30 5


M1

kN
kN



A

*

O

Vật qua lần thứ 2009 (lẻ) ứng với vị trí M1 ; v < 0 ta chọn nghiệm trên

M0

A x
M2

1
1004 6025
2009  1
với k 
+
=
s
 1004  t =
5
2
30
30

Cách 2:
- Lúc t = 0 : x0= 8cm, v0 = 0
- Vật qua x = 4 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x= 4 là 2 lần. Qua lần thứ
2009 thì phải quay 1004 vòng rồi đi từ M0 đến M1.

3

Góc quét   1004.2   t 


1
6025
 (1004  ).0, 2 
s.


6
30

Cách 3: Tại t = 0  x = A = 8cm.

3




1 T
6 6

Vật đi từ vị trí A đến vị trí x = 4cm =A/2
lần thứ
  1004.2
 2009
 t là:
 t = 1004T
(1004  +).0, 2=

6025
s.
30

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình : x = 12cos(50t - π/2)cm.
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = π/12(s), kể từ thời điểm gốc (t = 0) là:
A. 6cm.
B. 90cm.

C. 102cm.
D. 54cm.
Hướng dẫn giải : Ứng dụng mối liên hệ giữa CĐTĐ và DĐĐH
- Chu kỳ: T =

2
2

=
= s

50
25

x 0
Tại t = 0 :  0
 Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương
 v0  0

- Số chu kì dao động :
 t = 2T +

N=

t  t0
1
.25
=
=2+
12

T
12.

T
12

- Vậy quãng đường vật đi được tương ứng là: St = SnT + SΔt = 4A.2 + A/2 = 102cm.
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(πt - π/2)cm. Tính quãng đường
vật đi được trong 2,25s đầu tiên.
Hướng dẫn giải :
Cách 1:
- Chu kỳ: T =

2
= 2s


x 0
- Tại t1 = 0 :  0
 Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương
 v0  0

- Phân tích: Δt = t2 – t1 =2,25s = T +

T
8

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: S = 4A +
t2


2, 25

t1

0

Cách 2: Nhập máy tính: s   v dt 



2
A = 16 + 2 2 (cm)
2



4 sin(t  ) dt
2

8

Ví dụ 5: Vật dao động điều hòa theo phương trình : x = 10cos(4πt + )cm. Biết li độ của vật
tại thời điểm t là 4cm. Xác định li độ của vật tại thời điểm sau đó 0,25s.
Hướng dẫn giải :
- Biết tại thời điểm t vật có li độ x = 4cm.

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


4

10
2
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(
t +  ). Tại thời điểm t vật
T

- Li độ của vật ở thời điểm t’ = t + 0,25s là: x  10 cos(cos 1 ( )  4 .0,25)  4cm

có li độ 6cm. Sau đó 0,75T vật có li độ 8cm. Xác định A.
A. 10cm
B. 12cm
C. 15cm
Hướng dẫn giải :
2
6
- Tại thời điểm t: cos(
t + ) =
T

-

A

2
8
(t+0,75T) +  ) =
T
A
2
3

8
<=> cos(
t+  + ) =
T
2
A
2
8
<=> - sin(
t+  ) =
T
A
6
8
Từ (1) và (2): ( ) 2  ( ) 2  1 => A = 10cm
A
A

D. 16cm
(1)

Tại thời điểm t +0,75T: cos(

(2)

Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T. Tìm quãng đường nhỏ nhất
mà vật đi được trong

2
T.

3

Hướng dẫn giải :
2
3

- Phân tích: t  T 

T T
 .
2 6

T
luôn là 2A.
2
T
- Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong .
6
T 2 
+ Góc mà vật quét được là :   t.  .

6 T
3

- Quãng đường mà vật đi được trong

+ Áp dụng công thức tính Smin ta có: Smin  2A(1  cos
Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong



) = (2  3 ) A
2

2
T là : 2A + (2  3 ) A = (4  3 ) A
3

3. Chu kỳ dao động và năng lượng dao động.
* Chu kỳ dao động:
– Liên quan tới số lần dao động: T 

t
1 N
; f  
(N là số lần dao động trong thời gian Δt)
N
T t

– Liên quan tới sự thay đổi khối lượng m :

m1
T1  2
k


m2

T2  2 k




+ Nếu m = m1 + m2 thì T 2  T12  T22
+ Nếu m = m1 - m2 thì T 2  T12  T22
– Liên quan tới sự thay đổi độ cứng k của lò xo:

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

 2
2
T1  4

T 2  4 2
 2

m1
k
m2
k


+ Lò xo ghép nối tiếp :

1 1
1
 
k k1 k 2

+ Lò xo ghép song song : k = k1 + k2




T2 = T12 + T22



1
1
1
 2 2
2
T
T1 T2

* Năng lượng dao động:
1 2 1
kx = kA2cos2(ωt + φ)
2
2
1
1
1
- Động năng: Eđ = mv2 = mω2A2sin2(ωt + φ) = kA2sin2(ωt + φ) ; với k = mω2
2
2
2
1
1
- Cơ năng: E = Et + Eđ = k A2 = mω2A2.
2
2


- Thế năng: Et =

+ E t = E – Eđ ; E đ = E – Et
+ Thế năng và động năng của vật biến thiên tuần hoàn với cùng tần số góc ω’= 2ω,
tần số dao động f’ =2f và chu kì T’= T/2.
1 2 1 2
kA  kx
E đ E  Et 2
A2  x 2
2
+ Tỉ số giữa động năng và thế năng:



1 2
Et
Et
x2
kx
2

Chỳ ý: Khi tính năng lượng phải đổi khối lượng về kg, vận tốc về m/s, li độ về m (mét)
Ví dụ 1: Khi gắn quả nặng m1 vào 1 lò xo, nó dao động với chu kỳ T1= 1,2s. Khi gắn quả
nặng m2 vào lò xo đó, nó dao động với chu kỳ T2= 1,6s. Hỏi khi gắn đồng thời m1,m2 vào lò xo
đó thì nó dao động với chu kỳ T bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải :
Ta có: T 2  T12  T22 = 1,22 + 1,62 = 4  T = 2s
Ví dụ 2: Một vật có khối lượng m treo vào lò xo thẳng đứng. Vật dao động điều hoà với tần số
f1= 6 Hz. Khi treo thêm 1 gia trọng  m = 44 g thì tấn số dao động là f2 = 5 Hz. Tính khối

lượng m và độ cứng k của lò xo.
Hướng dẫn giải :
1 k
 2
 f1  2 m
Ta có: 
k
f 2  1
 2
2 m  m



f12 m  m

m
f 22

 m

m
f12
1
f 22

 100 g  k = 144N/m

Ví dụ 3: Hai lò xo R1, R2, có cùng độ dài. Một vật nặng M khối lượng m = 200g khi treo vào
lò xo R1 thì dao động với chu kỳ T1 = 0,3s, khi treo vào lò xo R2 thì dao động với chu kỳ T2 =
0,4s. Nối hai lò xo với nhau cả hai đầu để được một lò xo cùng độ dài, rồi treo vật nặng m vào

thì chu kỳ dao động của vật bằng bao nhiêu?
A. T = 0,12s
B. T = 0,24s
C. T = 0,36s
D. T = 0,48s
Hướng dẫn giải :
Hai lò xo ghép song song:

1
1
1
 2  2 T 
2
T
T1 T2

T1 .T2
T12  T22



0,3.0,4
0,32  0,4 2

 0,24s

Ví dụ 4: Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ 50g. Con lắc dao động điều hòa với phương
trình: x = Acost. Cứ sau khoảng thời gian 0,05s động năng lại bằng thế năng. Tính độ cứng
của lò xo.
Hướng dẫn giải : Trong một chu kỳ có 4 lần động năng bằng thế năng.

T
4 2 m


4

 0,05  T  0,2s  k 

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

T2

 50 N / m


Ví dụ 5: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với tần số góc là 10rad/s. Biết rằng tại vị trí
động năng bằng thế năng vật có vận tốc là 0,6m/s. Xác định biên độ của con lắc.
1
2

1
2

Hướng dẫn giải : Eđ  Et  E  2 Eđ  m 2 A 2  mv 2  A  2

v



 0,06 2m  6 2cm


4. Con lắc lò xo treo thẳng đứng.
- Độ biến dạng của lò xo khi vật tại vị trí cân bằng:
Fđh  P  kl0  mg =>  

l 0
g
 T  2
l 0
g

k

m

- Chiều dài của lò xo:

Δl0

+ Chiều dài cực đại của lò xo : lmax = l0 + Δl0 + A.
+ Chiều dài cực tiểu của lò xo : lmin = l0 + Δl0 – A.
l max  l min  2 A

l max  l min  2(l 0  l 0 )  2l cb

+ Chiều dài ở li độ x : l = l0 + Δl0 + x (chiều dương hướng xuống)
- Lực đàn hồi của lò xo: F = k l0  x (chiều dương hướng xuống)
+ Lực cực đại tác dụng lên điểm treo là : Fmax = k(Δl0 + A)
0


khi l  A

0
+ Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo là : Fmin  
k (l 0  A) khi l 0  A

Ví dụ 1: Con lắc lò xo treo vào giá cố định, khối lượng vật nặng là m = 100g. Con lắc dao
động điều hoà theo phương trình x = cos(10 5 t)cm. Lấy g = 10 m/s2. Lực đàn hồi cực đại và
cực tiểu tác dụng lên giá treo có giá trị là:
A. Fmax = 1,5 N ; Fmin = 0,5 N
B. Fmax = 1,5 N; Fmin= 0 N
C. Fmax = 2 N ; Fmin = 0,5 N
D. Fmax= 1 N; Fmin= 0 N.
Hướng dẫn giải :
Fmax = k(Δl + A)

với

A  1cm  0,01m

g

l  2  0,02m


k  m2  50N / m

 Fmax = 50.0,03 = 1,5N

Vì Δl > A nên Fmin = k(Δl - A)  Fmin = 50.0,01 = 0,5N

Ví dụ 2: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình x = 2cos20t(cm).
Chiều dài tự nhiên của lò xo là l0 = 30cm, lấy g = 10m/s2. Chiều dài nhỏ nhất và lớn nhất của
lò xo trong quá trình dao động lần lượt là
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


A. 28,5cm và 33cm.
C. 30,5cm và 34,5cm.
Hướng dẫn giải :

B. 31cm và 36cm.
D. 32cm và 34cm.

A  2cm  0,02m

g
lmax = l0 + Δl + A.  l  2  0,025m


l0  0,3m

 lmax = 0,3 + 0,025 + 0,02 = 0,345m = 34,5cm

lmin = l0 + Δl – A = 0,3 + 0,025 - 0,02 = 0,305m = 30,5cm
Ví dụ 3: Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k = 100N/m. Một đầu treo vào
một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ vị trí cân bằng kéo vật
xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông cho vật dao động điều hòa. Lấy
g = 10m/s2, khoảng thời gian mà lò xo bị nén một chu kỳ là





A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
3 2

5 2

15 2

6 2

Hướng dẫn giải :
mg
m

 5cm

s ; l 0 
k
k 5 2

-


Ta có: T  2

-

Biên độ: A = 10cm

-

Lò xo bị nén khi vật chuyển động từ vị trí x  l0  5cm  
dương hướng xuống).

-

Thời gian mà lò xo bị nén một chu kỳ: t  2.

A
đến x = -A (chiều
2

T


s
6 15 2

Ví dụ 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo
phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm. Chọn
trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t =
0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và π2 = 10.
Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là

A.

2
s.
30

B.

7
s.
30

C.

1
s.
30

D.

4
s.
15

Hướng dẫn giải :
l 0
 l 0  0,04m  4cm
g
Vì l0  A nên Fmin = 0 ( x  l0 )


-

Ta có: T  2

-

Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 (x = 0, v>0) đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn
A
2

cực tiểu ( x  l0   ) : t 

T T 7T
7



s
2 12 12 30

5. Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.
Nếu : x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2) thì dao động tổng hợp là: x = x1 + x2 =
Acos(t + ) với A và  được xác định bởi :
A2 = A12 + A22 + 2 A1A2 cos (2 - 1)
A sin 1  A2 sin  2
tan = 1
A1 cos 1  A2 cos  2

+ Khi 2 - 1 = (2k+1) (hai dao động thành phần vuông pha): A = A12  A22
2


GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


+ Khi 2 - 1 = 2k (hai dao động thành phần cùng pha): A = A1 + A2
+ Khi 2 - 1 = (2k + 1) (hai dao động thành phần ngược pha): A = |A1 - A2|
+ Nếu độ lệch pha bất kỳ thì: | A1 - A2 |  A  A1 + A2
Sử dụng máy tính:
* Máy tính FX 570MS
π
4

Ví dụ: Tổng hợp hai dao động: x1  5cos(10t  ) cm và x 2  5cos(10t 

3π
) cm
4

π
2

Kết quả sẽ được là: x  5 2cos(10t  ) cm

* Máy tính FX 570ES
Ví dụ: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động cùng phương, cùng tần số với các phương
trình:
x1 = A1cos(2пf + b1)
x2 = A2cos(2пf + b2)

Lưu ý: Để tìm dao động thành phần ta thực hiện phép tính trừ.


VD: Dao động tổng hợp của 3 dao động là x = 6cos( 2 t - ), hai dao động thành phần là
6

x1= 2 3 cos( 2 t +



), x2=4cos( 2 t + ), tìm dao động thành phần còn lại?
3
6

6. Con lắc lò xo dao động tắt dần (chịu tác dụng của lực cản, ma sát)
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


- Khi chịu tác dụng của lực cản thì cơ năng không bảo toàn : Độ biến thiên cơ năng bằng công
của lực cản

 
E  E2  E1  FC s cos( FC s )

+ Lực cản đối với con lắc lò xo nằm ngang : FC  mg
+ Con lắc lò xo : Độ giảm biên độ sau N chu kì là: A0  A2 N 

4 NFC
k

* Số chu kì vật dao động được đến khi dừng lại (A2N = 0) là: N 
* Số lần vật đi qua VTCB cho đến lúc dừng lại là: n = 2N =


kA0
.
4 FC

kA0
.
2F

* Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là:
t  N .T 

k . A0
m
.2
4 FC
k

+ Con lắc đơn: Độ giảm biên độ sau N chu kì là  0 -  2N =

4NFc
mg

* Số chu kì vật dao động được đến khi dừng lại (α2N = 0) là: N =
* Số lần vật đi qua VTCB cho đến lúc dừng lại là: n = 2N =

mgα 0
.
4Fc


mgα 0
.
4Fc

* Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là:
mg 0
l
t  N .T 
.2
4 FC

g

An  An1
A
 1  n1
An
An
En  En1
E
 1  n1
- Phần trăm năng lượng giảm sau mỗi chu kỳ: E 
En
En
- Phần trăm biên độ giảm sau mỗi chu kỳ: A 

Ví dụ 1: Một con lắc dao động tắt dần. Sau mỗi chu kỳ biên độ giảm đều 1%. Sau 3 chu kỳ
dao động, năng lượng của con lắc mất đi bao nhiêu phần trăm?
A. 3%
B. 5,85%

C. 6%
D. 5,91%
Hướng dẫn giải :
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ: A 



An  An1
A
 1  n1  1%  0,01
An
An

An1
 0,99  An1  0,99 An
An

=> A3 = 0,99A2 , A2 = 0,99A1 , A1 = 0,99A0 ,
=> A3 = (0,99)3A0
- Độ giảm năng lượng sau 3 chu kỳ:

E0  E3
E3
A32
E 
 1
 1  2  1  (0,99) 6  0,0585  5,85%
E0
E0
A0

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo có k = 100N/m; m = 100g dao động tắt dần trên mặt phẳng nằm
ngang do ma sát, có hệ số ma sát là   0,1 . Ban đầu vật có li độ lớn nhất là 10cm. Tốc độ của
vật khi qua vị trí lò xo không biến dạng là
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


A. 3,13m/s

B. 2,43m/s

C. 4,13m/s

D. 1,23m/s

Hướng dẫn giải :
1 2
kxmax
2

-

Vị trí ban đầu (vật có li độ lớn nhất: xmax=10cm): E1 = Et =

-

Vị trí lò xo không biến bạng (x = 0): E2 = Eđ =

-

Vật chị tác dụng của lực ma sát (Fms= μN = μmg) nên cơ năng không bảo toàn:


1 2
mv
2

E2  E1   Fms s
1 2 1 2
mv  kxmax  mg xmax
2
2
k 2
100 2
v
xmax  2g xmax 
.0,1  2.0,1.10.0,1  3,13m / s
m
0,1



Ví dụ 3 : Một con lắc đơn gồm vật có m = 200g và chiều dài l. Từ vị trí cân bằng kéo vật đến
vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 0 = 0,05rad rồi buông nhẹ. Trong quá
trình dao động vật chịu tác dụng của lực cản có độ lớn không đổi FC = 0,01N. Sau khi vật thực
hiện được một dao động thì góc lệch của dây treo so với phương thẳng đứng bằng bao nhiêu?
Lấy g = 10m/s2.
A. 0,01rad
B. 0,02rad
C. 0,03rad
D. 0,04rad
Hướng dẫn giải :

Ta có:  0 -  2N =

4NFc
4.1.0,01
 0,05   2 
  2  0,03rad
0,2.10
mg

II/ CON LẮC ĐƠN
1. Xác định chu kỳ, tần số của con lắc đơn.
- Tần số góc:  =

g

- Chu kỳ: T =

2



= 2

- Tần số: f =

1
1

T 2


g

g
1 N
t
– Liên quan tới số lần dao động: T 
; f  
(N là số dao động trong thời gian Δt)
N
T t
– Liên quan tới sự thay đổi chiều dài  :
 2
2 l1
T1  4 g


T 2  4 2 l 2
 2
g

+ Nếu  =  1 +  2 thì T 2  T12  T22
+ Nếu  =  1 -  2 thì T 2  T12  T22
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s. Nếu tăng chiều dài l của con lắc thêm 20,5cm thì
chu kỳ dao động mới của con lắc là 2,2s. Tìm chiều dài l và gia tốc trọng trường g.
Hướng dẫn giải :

l
T  2
g
T

l

 
 l  97,6cm và g = 9,632m/s2
Ta có : 
T
'
l

20
,
5
T '  2 l  20,5

g


GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


Ví dụ 2 : Hai con lắc đơn có hiệu chiều dài là 14cm. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc
thứ nhất thực hiện được 15 dao động thì con lắc thứ hai thực hiện được 20 dao động. Tính
chiều dài mỗi con lắc và chu kỳ T của mỗi con lắc. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s.
Hướng dẫn giải :
- Vì N2 > N1 nên T1 > T2 , l1 > l2 . Theo đề: l1 - l2 = 14cm
- Ta có:

T1 N 2 20 4
l
l 16



  1  1 
T2 N1 15 3
l2
l2 9

(1)
(2)

- Từ (1) và (2): l1 = 32cm, l2 = 18cm
2. Năng lượng, vận tốc và lực căng.
-

Vận tốc: v  2 gl (cos   cos  0 )

Q

 vmax  2 gl (1  cos  0 ) (khi α = 0)

-

-

Lực căng của dây treo: T  mg(3 cos   2 cos  0 )
 Tmax  mg(3  2 cos  0 ) (khi α = 0)
Tmin  mg cos  0 (khi α = α0)
1
2


Động năng: Eđ  mv 2 = mgℓ(cos - cos0)

0
ℓ

B

B’
O

1
1
Thế năng: Et = mgl(1 – cos ) = m 2 s 2  m 2 2l 2
2
2
1
1
Cơ năng: E  Eđ  Et  mgl(1  cos  0 )  m 2 s02  mgl 02
2
2

Công thức gần đúng: Khi α nhỏ: cos   1 



s
s0

2
2


Khi x << 1 : (1 ± x) ≈ 1 ± nx ; (1 ± mx) (1 ± x) ≈ 1 ± mx ± nx
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 100cm, kéo con lắc lệch khỏi VTCB một
góc α0 với cosα0 = 0,892 rồi buông ra cho nó dao động. Lấy g = 10m/s2.
a) Tính vmax
b) Vật có khối lượng m = 100g. Hãy tính lực căng dây khi dây treo hợp với phương thẳng
đứng góc α với cosα = 0,9
Hướng dẫn giải :
a) vmax  2 gl (1  cos  0 )  2.10.1(1  0,892)  2,16m / s
b) T  mg(3 cos   2 cos  0 )  0,1.10.(3.0,9  2.0,892)  0,916 N
Ví dụ 2 : Một con lắc đơn có m = 100g, dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 300. Lấy g =
10m/s2. Tính lực căng dây cực tiểu của con lắc trong quá trình dao động.
n

Hướng dẫn giải : Tmin  mg cos  0  0,1.10. cos 30 

3
N
2

Ví dụ 3 : Một con lắc đơn có khối lượng m = 100g, chiều dài l = 1m dao động với biên độ góc
 0  450 . Tính động năng và tốc độ của con lắc khi nó đi qua vị trí có góc lệch   30 0 , lấy g =
10m/s2.
Hướng dẫn giải :
-

Động năng: Eđ = mgℓ(cos - cos0) = 0,1.10.1.(cos 30  cos 45) 

-


Vận tốc: v 

2 Eđ
2 3 2
 .
 3,18m / s
m
0,1
2

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

3 2
2


Ví dụ 4 : Một con lắc đơn có l = 1m, dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s2 và góc lệch cực
đại là 90. Chọn gốc thế tại vị trí cân bằng. Xác định góc lệch và vận tốc con lắc mà tại đó động
năng bằng thế năng là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải :
2 0
1
1
 4,24 0
- Ta có: Eđ  Et  E  2 Et  mgl 02  2. mgl 2    
2
2
2
1
1

gl
10.1 9
. 0 
.
 0,35m / s
- Eđ  Et  E  2 Eđ  mgl 02  2. mv 2  v 
2
2
2
2 180
Ví dụ 5 : Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lượng 500g, treo vào một sợi dây mảnh,
dài 60cm. Khi con lắc đang ở vị trí cân bằng thì cung cấp cho nó một năng lượng 0,015J, khi
đó con lắc dao động điều hòa. Tính biên độ dao động của con lắc. Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải :
1
2E
2.0,015

 0,1(rad )
- Ta có: E  mgl 02   0 
2
mgl
0,5.10.0,6
3. Viết phương trình dao động của con lắc đơn
s = s0cos( t + ) (m)
hoặc α = α0cos( t + ) (rad)
( với s = α.l, s0 = α0.l )
v = s’ = - s0sin(t + )
-


g
2
 2f ,  
l
T
2
v
v2
Tìm s0 hay α0 : s02  s 2  2 ,  02   2 
gl


Tìm ω :  

Tìm φ: ĐK ban đầu (t = 0)  s = s0cos hoặc α = α0cos

Ví dụ 1 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s2, π2 =
10. Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α =
0,05 (rad) và vận tốc v = -5π (cm/s).
Hướng dẫn giải :
2
- 
  (rad / s) ; l = 1m=100cm
T

- s0  s 2 

v2

 (l ) 2 


v2

 (0,05.100) 2 

(5 ) 2

 5 2cm

2
2
2
- t = 0: α = 0,05 (rad)  s = 5cm và v = -15,7 (cm/s).
5  5 2 cos 

 

4
v  A sin   0


) cm
4
Ví dụ 2 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài
. Tại t = 0, từ vị trí cân
bằng truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g =
9,8m/s2, viết phương trình dao động của con lắc.
Hướng dẫn giải :
g
14

 7rad / s ; vmax  s0  s0 
 2cm
- 
l
7

Vậy phương trình dao động của vật: s = 5 2 cos(  t +

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


0  5 2 cos 

- t = 0  s = 0 và v > 0 : 

v  A sin   0

  


2


) cm
2
4. Con lắc đơn ảnh hưởng bởi nhiệt độ (l thay đổi).

Vậy phương trình dao động của vật: s = 2cos(7t -

Gọi T1 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t1

T2 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t2
Chiều dài của con lắc phụ thuộc vào nhiệt độ: ℓ = ℓ0(1 + λt)
(λ là hệ số nở dài của sợi dây, ℓ0 là chiều dài của sợi dây ở nhiệt độ 0oC).
Ta có :

<=>

T2
1
 1   (t 2  t1 )
T1
2

- Nếu

:: chu kỳ tăng nên con lắc đơn chạy chậm đi.

- Nếu

: chu kỳ giảm nên con lắc đơn chạy nhanh hơn.

- Thời gian chạy nhanh (hay chậm) của con lắc trong 1s là:

- Khi đó thời gian chạy nhanh hay chậm trong 1 ngày (có 86400s) là 86400.ψ

Ví dụ : Một con lắc đơn chạy đúng giờ vào mùa hè khi nhiệt độ là 32 0C. Khi nhiệt độ vào mùa
đông là 170C thì nó sẽ chạy nhanh hay chậm? Nhanh hay chậm bao nhiêu giây trong 12 giờ,
biết hệ số nở dài của dây treo là λ = 2.10-5K-1, ℓ0 = 1m.
Hướng dẫn giải : Tóm tắt đề bài ta được : t1 = 32oC, t2 = 17oC; λ = 2.10-5K-1
Do


, nên chu kỳ giảm, khi đó con lắc chạy nhanh hơn.

Thời gian chạy nhanh, chậm trong 1s của con lắc là:

Trong 12h con lắc chạy nhanh:
5. Con lắc đơn ảnh hưởng bởi vị trí địa lí (g thay đổi).

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


Gọi T0 là chu kỳ con lắc đơn ở mặt đất (coi như h = 0)
Th là chu kỳ con lắc đơn ở độ cao h so với mặt đất
Coi như nhiệt độ ở độ cao h không thay đổi, nên chiều dài cũng không thay đổi.
g0
h
GM
 Rh
 
với: g 
  1
gh
R
( R  h) 2
 R 
T
- Do h > 0 nên h  1  Th  T0 => chu kỳ tăng nên con lắc ở độ cao h sẽ chạy chậm lại.
T0

- Ta có :


2

Th

T0

- Thời gian mà con lắc chạy chậm trong ∆t (s) là:  

Th  T0
T
h
.t  h  1.t  .t
T0
T0
R

Lưu ý: Trường hợp h là độ sâu so với mặt đất
Th

T0

g0
h
 1
gh
2R

-


Ta có:

-

Th
 1  Th  T0 => chu kỳ tăng nên con lắc ở độ sâu h sẽ chạy chậm lại.
T0

-

Thời gian mà con lắc chạy chậm trong ∆t (s) là:  

Th  T0
T
h
.t  h  1.t 
.t
T0
T0
2R

Ví dụ 1: Một con lắc đơn chạy đúng ở mặt đất. Khi đưa nó lên độ cao h =1,6 km thì trong một
ngày đêm nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính Trái đất là R = 6400 km.
Hướng dẫn giải :
Thời gian mà con lắc chạy chậm trong một ngày đêm là:


h
1,6
.t 

.86400  21,6s
R
6400

Ví dụ 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất. Đưa đồng hồ lên cao 320m so với
mặt đất thấy đồng hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm mỏ sâu h’ so với mặt đất lại thấy
đồng hồ chạy giống ở độ cao h. Coi nhiệt độ không thay đổi .
a) Xác định độ sâu của hầm mỏ?
b) Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán
kính R = 6400km.
Hướng dẫn giải :
a)

- Ở độ cao h:

Th
h
 1
T0
R

(1)

- Ở độ sâu h’:

- Theo đề: Th = Th’
(3)
Từ (1), (2) và (3): h'  2h  640m
b/ Thời gian đồng hồ chạy chậm sau 1 tuần (∆t = 7.24.3600 s) :



h'
0,64
.t 
.7.24.3600  30,24s
2R
2.6400

6. Con lắc đơn ảnh hưởng bởi nhiệt độ và vị trí địa lí.

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

Th '
h'
 1
T0
2R

(2)


Ví dụ: Một con lắc đồng hồ chạy đúng tại mặt đất có gia tốc g = 9,86 m/s 2 vàọ nhiệt độ là t1 =
300C. Đưa đồng hồ lên độ cao 640m so với mặt đất thì ta thấy rằng đồng hồ vẫn chạy đúng.
Giải thích hiện tượng và tính nhiệt độ tại độ cao đó, biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là λ
= 2.10-5K-1, và bán kính trái đất là R = 6400 km.
* Hướng dẫn giải:
- Giải thích hiện tượng :
+ Khi đưa con lắc đơn lên cao thì gia tốc trọng trường g giảm  con lắc chạy chậm.
+ Nhiệt độ giảm nên chiều dài của dây treo cũng giảm theo  con lắc chạy nhanh.
 Do đó đồng hồ vẫn chạy đúng.

- Tính nhiệt độ tại độ cao h = 640m
Ta có:

Khi chu kỳ không thay đổi nên T0 = Th

7. Con lắc đơn chịu tác dụng lực điện trường.




- Lực điện trường: F  qE



+ Nếu q > 0 thì: E  F


+ Nếu q < 0 thì: E  F

- Đô lớn: F  q E






- Trọng lực biểu kiến hay trọng lực hiệu dụng( P ' ): là lực tổng hợp của trọng lực P và lực F .
  
P'  P  F






qE



m
qE

+ Nếu F  P thì P'  P  F  g '  g 



 
 mg '  mg  F

+ Nếu F  P thì P'  P  F  g '  g 

m

 
 qE

+ Nếu F  P thì P' 2  P 2  F 2  g ' 2  g 2  

m




2

2

 
 qE
qE
  2g
+ Tổng quát: Nếu ( F , P)   thì P' 2  P 2  F 2  2 PF cos   g ' 2  g 2  
cos 

m
 m 

- Chu kỳ: T’ = 2

l
g'

- Góc lệch của con lắc so với phương ngang là β đuợc tính bởi: tan  

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

F qE

.
P mg



Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chiều dài ℓ = 1m, khối lượng m = 50 g được tích điện q = -2.10-5C
dao động tại nơi có g = 9,86m/s2. Đặt con lắc vào trong điện trường đều có độ lớn E = 25V/cm.
Tính chu kỳ dao động của con lắc khi:



a) E hướng xuống
b) E hướng lên
c) E hướng ngang
* Hướng dẫn giải:






a) Do E  , q < 0 nên F  P : g '  g 

qE
m

 9,86 

2.10 5.25.10 2
 8,86m / s 2
3
50.10

l
1

 2
 2,11s
g'
8,86



qE
b) Do E  , q < 0 nên F  P : g '  g 
 10,86m / s 2
m
l
1
Chu kỳ: T '  2
 2
 1,9s
g'
10,86

Chu kỳ: T '  2

2


 
 qE
  9,91m / s 2
c) Khi E  , ta có F  P : g '  g 2  

 m 


Chu kỳ: T '  2

l
1
 2
 1,996s
g'
9,91



Ví dụ 2: Một con lắc đơn có m = 5g, đặt trong điện trường đều E có phương ngang và độ lớn
E = 2.106 V/m. Khi vật chưa tích điện nó dao động với chu kỳ T, khi vật được tích điện tích q
thì nó dao động với chu kỳ T'. Lấy g = 10 m/s2, xác định độ lớn của điện tích q biết rằng
T '

3T
.
10

* Hướng dẫn giải :
3T
T'
3
g 9
10 g 100
 
   g'


m / s2
T
g
'
10
9
9
10
10

 
- Khi E có phương ngang thì ta có F  P :

- Từ giả thiết ta có: T ' 

2

 qE
m
 q
g '  g  
g ' 2  g 2  1,21.10 8 C

m
E


2

2


Ví dụ 3: Một con lắc đơn có m = 2 g và một sợi dây mảnh có chiều dài ℓ được kích thích dao
động điều hòa. Trong khoảng thời gian Δt con lắc thực hiện được 40 dao động, khi tăng chiều
dài con lắc thêm 7,9 cm thì cũng trong khoảng thời gian như trên con lắc thực hiện được 39
dao động. Lấy g = 10m/s2
a) Ký hiệu chiều dài mới của con lắc là ℓ'. Tính ℓ, ℓ'.
b) Để con lắc có chiều dài ℓ' có cùng chu kỳ với con lắc có chiều dài ℓ, người ta truyền cho

vật một điện tích q = +0,5.10-8C rồi cho nó dao động điều hòa trong điện trường đều E có các
đường sức hướng thẳng đứng. Xác định chiều và độ lớn của véc tơ cường độ điện trường.
* Hướng dẫn giải:
T ' N 40
l'
l '  40 
a) Xét trong khoảng thời gian Δt, ta có :   
  
T N ' 39
l
l  39 

- Theo đề: l’ - l = 7,9cm (2)
- Từ (1) và (2): l = 152,1cm, l’ = 160cm
b) Khi chu kỳ con lắc là không đổi thì:

l
l'
gl '
  g'
 10,52m / s 2
g g'

l

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)

2

(1)




qE

m
 2,08.10 5 V / m
m
q





Phương trình trên chứng tỏ F  P và do q > 0 nên E  F => E  .

Vì E hướng thẳng đứng và g’ > g nên: g '  g 

 E  ( g ' g )

8. Con lắc đơn chịu tác dụng lực quán tính.









- Lực quán tính: F  ma
- Đô lớn: F  ma ( F luôn ngược hướng với a )

+ Chuyển động thẳng nhanh dần đều: F ngược chiều chuyển động

+ Chuyển động thẳng chậm dần đều: F cùng chiều chuyển động



- Trọng lực biểu kiến hay trọng lực hiệu dụng( P ' ): là lực tổng hợp của trọng lực P và lực F .


  
P'  P  F




 
 mg '  mg  F

+ Nếu F  P thì P'  P  F  g '  g  a



+ Nếu F  P thì P'  P  F  g '  g  a
 
+ Nếu F  P thì P'2  P 2  F 2  g '2  g 2  a 2
 
+ Tổng quát: Nếu ( F , P)   thì P'2  P 2  F 2  2PF cos   g '2  g 2  a 2  2 ga cos 
- Chu kỳ: T’ = 2

l
g'

- Góc lệch của con lắc so với phương ngang là β đuợc tính bởi: tan  

F a
 .
P g

Ví dụ 1: Một con lắc đơn đuợc treo vào trần một thang máy tại nơi có gia tốc g = 9,8 m/s2. Khi
thang máy đứng yên thì con lắc dao động với chu kỳ T = 2(s). Tìm chu kỳ dao động của con
lắc khi:
a) Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a = 1,14 m/s2
b) Thang máy đi lên đều.
c) Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc a = 0,86 m/s2
Hướng dẫn giải:


a) Thang máy đi lên nhanh dần đều nên F  P : g '  g  a  9,8  1,14  10,94m / s 2
Chu kỳ:

T'


T

g
9,8

 0,946  T '  1,89s
g'
10,94

b) Thang máy đi lên đều nên a = 0  F = 0  T’ = T =2s


c) Thang máy đi lên chậm dần đều nên F  P : g '  g  a  9,8  0,86  8,94m / s 2
Chu kỳ:

T'

T

g
9,8

 1,05  T '  2,1s
g'
8,94

Ví dụ 2: Con lắc đơn gồm dây mảnh dài ℓ = 1 m, có gắn quả cầu nhỏ m = 50 g được treo vào
trần một toa xe đang chuyển động nhanh dần đều trên đường nằm ngang với gia tốc a = 3 m/s2.
Lấy g =10 m/s2.

a) Xác định góc lệch của dây treo so với phương thẳng đứng khi con lắc cân bằng.
b) Tính chu kỳ dao động của con lắc.
Hướng dẫn giải:
a) Khi con lắc cân bằng: tan  

F a 3
 
 0,3    0,29rad
P g 10





b) Xe chuyển động nhanh dần đều trên đường nằm ngang nên F  P :
g '  g 2  a 2  109  10,44m / s 2

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


Chu kỳ: T '  2

l
1
 2
 1,94s
g'
10,44

9. Con lắc đơn chịu tác dụng lực đẩy Acsimet .

- Lực đẩy Acsimet: F  Vg (Lực đẩy Acsimet luôn có chiều hướng từ dưới lên)
(ρ: khối lượng riêng của chất lỏng hoặc chất khí; V: thể tích phần vật chìm trong chất lỏng
hoặc chất khí)



- Trọng lực biểu kiến hay trọng lực hiệu dụng( P ' ): là lực tổng hợp của trọng lực P và lực F .
  
P'  P  F


 
 mg '  mg  F


V
Vì F  P nên P'  P  F  g '  g (1 
)
m
l
- Chu kỳ: T’ = 2
g'

Ví dụ: Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s khi đặt trong chân không. Quả lắc làm bằng một hợp
kim khối lượng riêng D = 8,67g/cm3. Tính chu kỳ T' của con lắc khi đặt con lắc trong không
khí; sức cản của không khí xem như không đáng kể, quả lắc chịu tác dụng của sức đẩy
Archimède, khối lượng riêng của không khí là 1,3g/lít.
A. 2,00024s.
B. 2,00015s.
C. 1,99993s.

D. 1,99985s.
Hướng dẫn giải:
V

- Ta có: g '  g (1 
(với m = D.V)
)  g (1  )
m

- Chu kì:

T'

T

g

g'

D

1
1


D



1

 1,000075  T '  2,00015s
1,3
1
8,67.10 3

C/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
I/ TỰ LUẬN
1. Một vật dao động điều hoà, vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là 20πcm/s và gia tốc cực
đại của vật là 4m/s2. Lấy 2 = 10. Gốc toạ độ tại vị trí cân bằng của vật. Viết phương trình dao
động của vật trong các trường hợp:
- Gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm trên trục toạ độ.
- Gốc Thời gian là lúc vật ở vị trí biên âm.
- Gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x0 = - 5 cm theo chiều dương trên trục toạ độ.
- Gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x0 = + 5 3 cm theo chiều âm trên trục toạ độ.
- Gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x0 = - 5 2 cm theo chiều dương trên trục toạ
độ.
2. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng m = 100g và lò xo khối lượng
không đáng kể, có độ cứng k = 40N/m. Kéo vật theo phương thẳng đứng xuống phía dưới vị trí
cân bằng một đoạn 3cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hoà. Chọn gốc toạ độ O trùng với vị
trí cân bằng; trục Ox có phương thẳng đứng, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển động;
gốc thời gian là lúc thả vật. Lấy g =10m/s2.
a) Viết phương trình dao dộng của vật.
b) Tính vận tốc cực đại của vật và cơ năng dao động của con lắc.
c) Tính lực đàn hồi của lò xo tác dụng vào vật tại vị trí vật có li độ x = +2cm.
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


3. Một chất điểm dao động điều hòa với quỹ đạo thẳng dài 10cm, khi qua trung điểm của quỹ
đạo, chất điểm đạt vận tốc 157 cm/s.
a) Hãy viết phương trình chuyển động của chất điểm. Chọn gốc thời gian là lúc chất điểm

qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
b) Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi vật có li độ 2cm.
c) Xác định vị trí của vật mà thế năng bằng động năng.
4. Một con lắc lò xo có độ cứng k = 50N/m, một đầu gắn cố định, đầu còn lại treo vật có khối
lượng m. Khi vật cân bằng, thế năng đàn hồi của lò xo là 0,0625 J. Tính khối lượng m của vật,
lấy g = 10m/s2.
5. Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất
để vật đi từ vị trí có li độ:
a) x1 = A đến x2 =

A
2

A
đến x2 = -A
2
A
g) x1 = A đến x2 = 
2

d) x1 = 

A
đến x2 = 0
2
A 3
e) x1 = A đến x2 =
2

A

2
A 2
f) x1 = A đến x2 =
2

c) x1 = 0 đến x2 = 

b) x1 =


6. Một vật dao động điều hòa với phương trình x  2 cos(10t  )cm . Tính quãng đường vật đi
3

được trong 1,1s đầu tiên.


7. Một vật dao động điều hòa với phương trình x  4 cos(t  ) cm.
2

a) Tính quãng đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên.
b) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 =

13
s.
3

8. Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T. Tìm:
T
;
4

T
b) Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong ;
4

T 2T
;
6 3
5T
.
6
3T
c) Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật đi được trong
.
4

a) Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong

d) Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ trung bình lớn nhất của vật trong

T
.
3

9. Một vật dao động điều hoà, vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là 62,8cm/s và gia tốc
cực đại của vật là 4m/s2. Lấy 2 = 10.
a) Hãy xác định biên độ, chu kỳ và tần số dao động của vật.
b) Tìm thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x1 = - 5 2 cm cùng
chiều dương

10. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x  10 cos(4t  ) cm.

8

a) Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,25s
b) Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,125s
c) Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s
11. Một chất điểm có khối lượng m = 100g dao động điều hòa trên trục toạ độ nằm ngang Ox
với biên độ 5cm và tần số 5Hz.
a) Viết phương trình dao động của chất điểm. Chọn gốc toạ độ O tại vị trí cân bằng. Biết
rằng tại thời điểm ban đầu vận tốc của chất điểm v0 = + 25 cm/s.
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


b) Xác định vị trí, vận tốc, gia tốc của chất điểm và lực gây ra dao động ở thời điểm t =
0,5s. Ở thời điểm đó vật đang chuyển động theo chiều nào, tính chất chuyển động là
nhanh dần hay chậm dần?
c) Ở những thời điểm nào thì chất điểm có li độ x = 2,5 2 cm.
d) Tính tốc độ trung bình của chất điểm trong thời gian nó đi từ biên trái sang biên phải.
12. Một chất điểm dao động điều hoà trên trục toạ độ Ox với chu kỳ T = 1s. Nếu chọn gốc toạ
độ O là vị trí cân bằng thì sau khi chất điểm bắt đầu dao động được 2,5s, nó ở toạ độ x = 5 2 cm, đi theo chiều âm của trục Ox và vận tốc đạt giá trị 10 2 cm/s.Viết phương trình dao
động của chất điểm.
13. Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng m = 200g gắn với một lò xo có khối
lượng không đáng kể, độ cứng k = 80 N/m. Cho con lắc dao động điều hoà với biên độ A = 4
cm.
a) Tính chu kì dao động và cơ năng của con lắc.
b) Tính động năng của vật khi vật có li độ x = 3 cm.
14. Một con lắc lò xo gồm lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k= 2500N/m và một
hòn bi có khối lượng m = 500g . Hệ dao động điều hoà với biên độ 8cm .
a) Tính thế năng và động năng khi con lắc qua vị trí cân bằng .
b)Tính thế năng và động năng khi con lắc có li độ x= - 4cm .
c) Xác định vận tốc của hòn bi tại đó thế năng gấp 3 lần động năng.

15. Một con lắc lò xo nằm ngang, vât nặng có khối lượng m= 100g dao động điều hoà với

phương trình x  2cos(2 t  )cm .
2

a) Tính thế năng và động năng cực đại của con lắc .
b) Tính động năng của con lắc tại thời điểm t= 1/4 s.
16. Khi một vật khối lượng m gắn vào đầu một lò xo có độ cứng k treo thẳng đứng thì lò xo
giãn ra một đoạn l0 =25cm. Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống theo phương thẳng đứng một
đoạn 20cm rồi buông nhẹ để vật dao động điều hòa.
a) Viết phương trình dao động của vật. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng
theo chiều dương. Lấy g =10m/s2.
b) Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo. Biết vật có khối lượng 400g.
c) Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo là bao nhiêu? Biết chiều dài tự nhiên của lò xo
là 40cm.

ĐS: a. x  20cos(2 t  ) cm; b.7,2 N và 0,8 N; c. 85 cm và 45 cm.
2

17. Một con lắc lò xo được treo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nặng có khối
lượng m = 100g. Kéo vật theo phương thẳng đứng xuống dưới vị trí cân bằng một đoạn 1cm
rồi truyền cho nó một vận tốc ban đầu 10π (cm/s) theo phương thẳng đứng từ trên xuống. Chọn
trục toạ độ thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian
là lúc truyền vận tốc, lấy g = 10m/s2 = π2
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Tính lực hồi phục và lực tác dụng lên điểm treo khi vật ở vị trí có li độ x = -1cm; x =
1cm.
c) Tính lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất của lò xo tác dụng lên vật trong quá trình dao
động.
d) Tìm tốc độ của vật tại vị trí mà động năng bằng 3 lần thế năng.

e) Ở những vị trí nào thì thế năng đàn hồi của lò xo bằng 2 lần động năng của vật.

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)



ĐS : a) x  2 cos(10t  )cm ; b) Fhp=1N; Fđh = 0, Fđh = 2N; c) Fmin=0, Fmax=1+ 2
4

(N) ; d) v  5 6cm / s ; e) x  

2 3
cm .
3

18. Một vật nhỏ có khối lượng m = 100g thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng
phương, cùng tần số góc ω = 20rad/s. Biết biên độ của các dao động thành phần là A1 = 2cm,
A2 = 3cm; độ lệch pha giữa hai dao động đó là π/3. Tìm biên độ và năng lượng dao động của
vật.
19. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li
5

độ x  3 cos(t  )(cm) . Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1  5 cos(t  )(cm) .
6

6

Tìm phương trình li độ của dao động thứ hai.
5
ĐS: x2  8 cos(t  )(cm)

6

20. Tìm dao động tổng hợp của hai DĐĐH cùng phương sau:

x1  5cos 2 t (cm), x2  5 3 cos(2 t  )(cm)
2


 x  10cos(2 t  )(cm)
ĐS:
3

21. Tìm dao động tổng hợp của bốn DĐĐH cùng phương sau




x1  8 6 cos(20t  )(cm), x2  6 3 cos(20t  )(cm)
4
2
x3  4 3 cos(20t )(cm), x4  10 3 cos(20t 


ĐS: x  4 6 cos(20t  )(cm)



2

)(cm)


4

22. Con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động trên
mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ= 0,01, lấy g = 10m/s2. Sau mỗi lần
vật chuyển động qua VTCB biên độ dao động giảm một lượng là bao nhiêu?
23. Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ
được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và
vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động
tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là bao
nhiêu? ĐS: vmax = 0,4 2 m/s (Vận tốc cực đại tại vị trí lực đàn hồi = lực ma sát => x =2cm )
24. Một vật khối lượng m = 100g gắn với một lò xo có độ cứng 100 N/m, dao động trên mặt
phẳng ngang với biên độ ban đầu 10cm. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2, π2 = 10. Biết hệ
số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là μ = 0,1. Vật dao động tắt dần với chu kì không đổi.
a) Tìm tổng chiều dài quãng đường s mà vật đi được cho tới lúc dừng lại.
b) Tìm thời gian từ lúc dao động cho đến lúc dừng lại.
25. Hai con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ là 2s và 2,5s. Tính chu kỳ của con lắc đơn có
chiều dài bằng hiệu chiều dài 2 con lắc trên. ĐS: T = 1,5s
26. Một con lắc có độ dài bằng ℓ1 dao động với chu kì T1 = 1,5s. Một con lắc khác có độ dài ℓ2
dao động với chu kì T2 = 2s. Tìm chu kì của con lắc có độ dài bằng ℓ1 + ℓ2; ℓ2 - ℓ1.
ĐS: T = 2,5(s); T’ = 4  2, 25  1,75 (s).
27. Tại một nơi trên mặt đất, con lắc đơn có chiều dài ℓ đang dao động điều hoà với chu kì 2 s.
Khi tăng chiều dài của con lắc thêm 21cm thì chu kì dao động điều hoà của nó là 2,2 s. Tính
chiều dài ℓ của con lắc. ĐS: l = 100cm
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


28. Trong cùng một khoảng thời gian con lắcó chiều dài ℓ1 thực hiện 8 dao động, con lắc có
chiều dài l 2 thực hiện 10 dao động, biết hiệu chiều dài hai con lắc bằng 9cm. Tìm chiều dài mỗi
con lắc. ĐS: l1 = 25cm, l2 = 16cm

29. Một con lắc đơn có độ dài ℓ, trong khoảng thời gian t thực hiện được 6 dao động. Người
ta giảm bớt độ dài của nó đi 16cm, cũng trong khoảng thời gian t như trước nó thực hiện
được 10 dao động. Tính chiều dài ban đầu của con lắc. ĐS: l = 25cm
30. Tại một nơi có hai con lắc đơn đang dao động với các biên độ nhỏ. Trong cùng một khoảng
thời gian, người ta thấy con lắc thứ nhất thực hiện được 4 dao động, con lắc thứ hai thực hiện
được 5 dao động. Tổng chiều dài của hai con lắc là 164cm. Tính chiều dài của mỗi con lắc.
ĐS: l1 = 100cm, l2 = 64cm
31. Trong 2 phút con lắc đơn có chiều dài ℓ thực hiện được 120 dao động. Nếu chiều dài của
con lắc chỉ bằng

1
chiều dài ban đầu thì chu kỳ của con lắc bây giờ là bao nhiêu? ĐS: T = 0,5s
4

32. Hai con lắc đơn chiều dài ℓ1, ℓ2 (ℓ1 > ℓ2) và có chu kì dao động tương ứng là T1; T2. Tại nơi
có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài ℓ1 + ℓ2 ,
dao động chu với kì 1,8s và con lắc đơn có chiều dài ℓ1 - ℓ2 dao động với chu kì 0,9 (s). Tính
T1, T2, ℓ1, ℓ2. ĐS: T1 = 1,42s, T2 = 1,1s; l1 = 50,1cm, l2 = 30,1cm.
33. Con lắc đơn dao động với biên độ nhỏ,chu kỳ dao động T=2s. Lấy  2 =10m/s2. Biên độ
góc  0 =0,1 rad
a) Tính chiều dài con lắc.
b) Viết PTDĐ của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc vật có biên độ góc +  0 .
c) Tính thời gian để con lắc đi từ vị trí có tọa độ  1 =0,05rad đến vị trí  0
34. Một con lắc đơn có m = 200g, g = 9,86 m/s2. Nó dao động với phương trình:

  0,05 cos(2t  ) rad
6

a) Tìm chiều dài và năng lượng dao động của con lắc.
b) Tại t = 0 vật có li độ và vận tốc bằng bao nhiêu?


c) Tính vận tốc của con lắc khi nó ở vị trí   0 .
3

d) Tìm thời gian nhỏ nhất để con lắc đi từ vị trí có động năng cực đại đến vị trí mà động
năng bằng 3 lần thế năng.
35. Một con lắc đơn có chiều dài l =50cm. Vật nặng 100g , khi con lắc đang ở vị trí cân bằng
thì người ta truyền cho một vận tốc v = 5 m/s . Bỏ qua ma sát với không khí. Cho g = 10m/s2
a) Tìm cơ năng của vật
b) Xác định vị trí cao nhất mà vật đạt được
c) Tính vận tốc và lực căng dây khi vật qua vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng
môt góc 300
d) Tính tỉ số giữa lực căng dây lớn nhất và nhỏ nhất tác dụng lên dây treo.
36. Một con lắc đơn gồm dây mảnh dài l có gắn vật nặng nhỏ khối lượng m. Kéo con lắc ra
khỏi VTCB một góc  0 = 0,1rad rồi thả cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g.
Trong quá trình dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn không đổi luôn tiếp xúc
với quỹ đạo của con lắc. Con lắc thực hiện bao nhiêu dao động thì dừng hẳn, cho biết F c =
mg.10-3 (N).
37. Một con lắc đơn có chiều dài l  0,5 m , quả cầu nhỏ có khối lượng m  100 g  . Cho nó
dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g  9,8 m / s 2  với biên độ góc  0  0,14 rad  . Trong
quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi
FC  0,002 N  thì nó sẽ dao động tắt dần. Tính độ giảm biên độ góc của con lắc sau mỗi chu
kì và khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn. Lấy   3,1416 .
GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)


38. Một con lắc đơn có chiều dài l  0,992 m , quả cầu nhỏ có khối lượng m  25 g  . Cho nó
dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g  9,8 m / s 2  với biên độ góc  0  4 0 trong môi
trường có lực cản tác dụng. Biết con lắc đơn chỉ dao động được   50 s  thì ngừng hẳn. Lấy
  3,1416 . Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.

39. Một con lắc đơn gồm vật nhỏ m = 200g và dây treo có chiều dài l. Từ vị trí cân bằng kéo
vật đến vị trí mà dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc  0 = 0,05rad rồi buông nhẹ.
Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của cản có độ lớn không đổi
FC  0,01 N  . Sau khi thực hiện được một dao động thì góc lệch của dây treo so với phương
thẳng đứng bằng bao nhiêu? ĐS: 0,03rad
40. Vật m = 1kg dao động điều hòa dưới tác dụng của lực F = -5cos(10t) (N). Vận tốc của vật
khi qua vị trí cân bằng là bao nhiêu? ĐS: 50cm/s (F = -kx = -mω2Acos(ωt + φ))
41. Một con lắc đơn đếm giây có chu kỳ bằng 2s ở nhiệt độ 00C và ở nơi có gia tốc trọng
trường là 9,81m/s2, biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là 1,8.10-5K-1. Độ dài của con lắc ở
00C và chu kỳ của con lắc ở cùng vị trí nhưng ở nhiệt độ 300C là bao nhiêu?
42. Một con lắc đơn dao động với chu kỳ 2(s) ở 200C. Tính chu kỳ dao động của con lắc ở
300C. Cho biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là λ = 2.10-5K-1.
43. Con lắc toán học dài 1m ở 200C dao động nhỏ ở nơi g =  2 m/s2
a) Tính chu kì dao động.
b) Tăng nhiệt độ lên 400C, chu kì của con lắc tăng hay giảm bao nhiêu? Biết hệ số nở dài
của dây treo con lắc là   2.105 K 1 .
ĐS: a) 2s; b) Tăng 4.10-4s.
44. Một con lắc đồng có chu kì dao động T1 = 1s tại nơi có gia tốc trọng trường g =  2 (m/s2),
nhiệt độ t1 = 200C.
a) Tìm chiều dài dây treo con lắc ở 200C.
b) Tính chu kì dao động của con lắc tại nơi đó ở nhiệt độ 300C. Cho hệ số nở dài của dây
treo con lắc là   4.105 K 1 .
ĐS: a) l1 = 0,25m = 25cm; b) T2 = 1,0002s.
45. Con lắc đơn dao động trên mặt đất với chu kỳ 2(s). Nếu đưa con lắc lên cao 320m thì chu
kỳ của nó tăng hay giảm bao nhiêu, giả sử nhiệt độ không đổi. Bán kính trái đất là R =
6400km.
46. Mặt Trăng có khối lượng bằng

1
1

khối lượng Trái Đất và có bán kính bằng
bán kính
81
3, 7

Trái Đất. Coi nhiệt độ ở Mặt Trăng được giữ như trên Trái Đất.
a) Chu kì dao động của một con lắc đơn thay đổi nhuư thế nào khi đưa con lắc từ Trái Đất
lên Mặt Trăng?
b) Để chu kì của con lắc trên Mặt Trăng vẫn như khi ở Trái Đất thì cần phải thay đổi
chiều dài con lắc như thế nào?
ĐS: a) TMT = 2,43. TTĐ; b)

l
 83,1% .
l

47. Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với
mặt đất thì chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái
đất R = 6400 km.
48. Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s. Đưa con lắc xuống giếng
sâu 100m so với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu
đồng chất bán kính R = 6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên
mặt đất.

GV Nguyễn Thanh Tùng – Sóc Trăng (ĐT: 0944166901)