i
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp ngoài sự nỗ lực của bản
thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong
Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Hùng Vương.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo ThS. Nguyễn Huyền Trang –
Giảng viên Bộ môn Toán ứng dụng – Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Hùng
Vương. Cô đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá
trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời cô còn là người giúp tôi lĩnh hội
được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa
học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy giáo, cô
giáo trong Khoa Toán – Tin, tới gia đình, bạn bè là những người luôn sát cánh bên
tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng
như khi tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù, đã rất cố gắng xong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót.
Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để
khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Việt Trì, tháng…năm 2018
Sinh viên

ĐINH XUÂN HÙNG


ii
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ......................................................................................... 1
2. Ý nghĩa khoa học.................................................................................................... 2
3. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................... 2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 3
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .......................................................................... 3
CHƯƠNG 1 ................................................................................................................ 4
VAI TRÒ CỦA ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC ............... 4
HÌNH HỌC PHỔ THÔNG ........................................................................................ 4
1.1. Khái niệm đặc biệt hoá và tương tự .................................................................... 4
1.1.1. Đặc biệt hóa ...................................................................................................... 4
1.1.2. Tương tự ........................................................................................................... 7
1.2. Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong toán học. .......................................... 9
1.3. Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11.
.................................................................................................................................. 11
1.4. Thực trạng rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không
gian lớp 11 trường THPT Hương Cần - Thanh Sơn - Phú Thọ. .............................. 11
1.4.1. Mục đích và đối tượng điều tra. ..................................................................... 12
1.4.2. Đối tượng điều tra .......................................................................................... 12
1.4.3. Nội dung điều tra ........................................................................................... 12
1.4.4. Phương pháp điều tra ..................................................................................... 13
1.4.5. Phân tích kết quả điều tra ............................................................................... 14
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ......................................................................................... 18
CHƯƠNG 2 .............................................................................................................. 19
RÈN LUYỆN ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC ................ 19
CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11....................................................... 19
2.1. Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học khái niệm, định nghĩa toán
học. ........................................................................................................................... 19
2.1.1. Dạy học khái niệm toán học .......................................................................... 19


iii
2.2. Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học định lí toán học về hình học

không gian lớp 11. .....................................................................................................28
2.2.1. Dạy học định lí toán học .................................................................................28
2.3. Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào giải bài tập của một số chủ đề hình học
không gian lớp 11. .....................................................................................................33
2.3.1. Vị trí và vai trò của bài tập hình học không gian. ...........................................33
2.3.2. Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán .....................................................34
2.3.3. Vận dụng đặc biệt hóa và tương tự vào giải một số dạng bài tập chủ đề Hình
học không gian ..........................................................................................................36
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2..........................................................................................54
CHƯƠNG 3 ..............................................................................................................55
THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM ......................................................................................55
3.1. Một số biện pháp nhằm rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh lớp 11
...................................................................................................................................55
3.1.1. Rèn luyện phẩm chất đạo đức cho học sinh ....................................................55
3.1.2. Giúp học sinh nắm vững những kiến thức và kĩ năng cơ bản, đó là cơ sở cho
việc phát triển trí tuệ, hình thành các phương pháp ..................................................55
3.2. Thử nghiệm sư phạm..........................................................................................59
3.2.1. Mục tiêu thử nghiệm sư phạm ........................................................................59
3.2.2. Nội dung thử nghiệm sư phạm. .......................................................................59
3.2.3. Tổ chức dạy học thử nghiệm ...........................................................................59
3.2.4. Đánh giá kết quả thử nghiệm ..........................................................................61
3.2.5. Kết luận về thử nghiệm sư phạm ....................................................................63
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3..........................................................................................64
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...................................................................................65
1. Kết luận .................................................................................................................65
2. Kiến nghị ..............................................................................................................65
2.1. Đối với giáo viên ................................................................................................65
2.2. Đối với học sinh .................................................................................................66
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................67



iv

NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

HH

Hình học

NXB

Nhà xuất bản

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

KHGD

Khoa học giáo dục

TH


Trường hợp

THPT

Trung học phổ thông


v
DANH MỤC BẢNG, BIỂU
Bảng 1.1: Mức độ sử dụng một số phương pháp dạy học các chủ đề kiến thức hình
học không gian lớp 11 ( Đơn vị:%)...........................................................................14
Bảng 1.2: Quan niệm của giáo viên về tầm quan trọng của mỗi phương pháp dạy
học các chủ đề kiến thức hình học 11 ( Đơn vị:%) ...................................................15
Bảng 1.3: Đánh giá của giáo viên về số lượng các bài tập có nội dung nhằm phát
triển kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh trong SGK lớp11 ....................16
Bảng 1.4: Tầm quan trọng của việc rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh
lớp 11 ( Đơn vị: %) ...................................................................................................16
Bảng 1.5: Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn luyện và phát triển kỹ năng đặc
biệt hóa và tương tự cho học sinh. (Đơn vị: %) ........................................................17
Bảng 3.1: Kết quả trước khi thử nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 1) .......................60
Biểu đồ 3.1. Đánh giá kết quả trước khi thử nghiệm ................................................60
Bảng 3.2: Kết quả sau khi thử nghiệm ( Kết quả bài kiểm tra số 2) .........................62
Biểu đồ 3.2. Kết quả kiểm tra sau thi thử nghiệm.....................................................62



1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài

Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao độ và có tính thực tiễn
phổ dụng lớn. Toán học đang phát triển như vũ bão và ngày càng thâm nhập vào các
lĩnh vực khoa học, công nghệ và đời sống. Vì vậy việc dạy học môn toán ở trường
phổ thông phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn
toán.
Trong thư gửi bạn trẻ yêu toán tháng 10 năm 1967 thủ tướng Phạm Văn
Đồng đã chỉ rõ: “Trong các môn khoa học và kĩ thuật, Toán học giữ vị trí nổi bật.
Nó có tác dụng lớn đối với nhiều khoa học khác nhau như đối với kĩ thuật, đối với
sản xuất và chiến đấu. Nó là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc
rèn luyện phương pháp suy nghĩ; phương pháp suy luận, phương pháp học tập,
phương pháp giải quyết vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh, sáng tạo, nó
còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quí báu như: Cần cù, nhẫn nại, tự lực
cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lí. Dù bạn phục vụ
ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và các phương pháp toán học cũng
rất cần cho các bạn”.
Luật giáo dục nước ta qui định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt
Nam phát triển toàn diện có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề nghiệp,
trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi
dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng
và bảo vệ tổ quốc ”.
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con
người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân chuẩn
bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống loa động, tham gia bảo vệ tổ
quốc.
Do vậy việc dạy và học môn toán ở trường phổ thông càng có ý nghĩa quan
trọng. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay là hướng
vào tổ chức cho người học học tập trong hoạt động bằng hoạt động. Việc áp dụng
những phương pháp giáo dục hiện đại để phát huy năng lực tư duy sáng tạo, năng



2
lực giải quyết vấn đề cho học sinh, đặc biệt là đối với hoạt động bồi dưỡng học sinh
có năng khiếu toán cần phải được quan tâm trong suốt quá trình dạy học.
Nội dung hình học không gian là chủ đề thuộc chương trình toán lớp 11. Đây
là học phần khá mới lạ mà học sinh khó có thể tiếp cận ngay khi học vì nó đòi hỏi ta
phải có khả năng tưởng tượng không gian, suy nghĩ sáng tạo và tinh tế. Chính vì
vậy học sinh rất e ngại khi học phần hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó
trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Tuy nhiên kiến thức chủ đề này lại có rất
nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Hiện nay nội dung, phương pháp dạy học Toán ở trường THPT đã có những
đổi mới, đặc biệt là gắn người học vào những hoạt động cụ thể. Song việc vận dụng
phương pháp dạy học Toán vẫn chưa bắt kịp với xu thế đổi mới nội dung, việc
truyền thụ kiến thức cho học sinh còn gặp không ít khó khăn. Căn cứ vào chương
trình Hình học không gian ở trường THPT và yêu cầu đào tạo học sinh trong giai
đoạn hiện nay, xuất phát từ những khó khăn trong việc học tập các kiến thức về
hình học không gian của học sinh, cũng như vướng mắc của giáo viên trong việc
dạy học phần hình học không gian, với mong muốn được góp một phần nhỏ tháo gỡ
những khó khăn đó, nâng cao chất lượng dạy học hình học không gian cho học sinh
THPT, tôi chọn và nghiên cứu khóa luận “Rèn luyện khả năng đặc biệt hóa và
tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11”.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận được triển khai một cách thuận lợi sẽ là tài liệu hữu ích cho giáo
viên và học sinh tham khảo.
Học sinh THPT được trang bị khả năng đặc biệt hóa và tương tự thì các em sẽ
vận dụng tốt hơn trong việc giải toán ngoài ra các em còn có thể mở rộng bài toán và
có những sáng tạo toán học.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng hệ thống ví dụ và đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khả
năng đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học chủ đề hình học không gian cho học

sinh lớp 11.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Làm sáng tỏ các khái niệm: Đặc biệt hoá và tương tự.


3
+ Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập minh họa theo định hướng rèn luyện khả
đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh lớp 11.
+ Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện khả năng đặc biệt hoá và tương tự
cho học sinh lớp 11 khi học hình học không gian.
+ Thử nghiệm sư phạm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu luận: Nghiên cứu sách báo, tạp chí, các công trình
nghiên cứu có liên quan tới đề tài. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo ở
trường THPT.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng
dẫn, các giảng viên dạy môn phương pháp dạy học toán và giáo viên dạy toán
THPT có nhiều kinh nghiệm giảng dạy.
- Phương pháp thử nghiệm.
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Khả năng đặc biệt hóa và tương tự.
+ Phạm vi nghiên cứu: Phần hình học không gian lớp 11


4
CHƯƠNG 1
VAI TRÒ CỦA ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC
HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

Toán học ngày càng phát triển, mỗi ngày trôi qua đều ghi nhận được rất
nhiều những thành tựu, những công trình của toán học, do đó việc học toán rất được
chú trọng, ngày càng có nhiều phương pháp học, trong các cách dạy và học đó
chúng ta không thể không nhắc tới những phương pháp dạy học tích cực như: dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học dự án, dạy học hợp tác…Trong quá
trình vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào thực tiễn giảng dạy thì giáo
viên cần có những biện pháp rèn luyện cho học sinh phát triển khả năng tư duy sáng
tạo. Một trong những biến pháp đó là rèn luyện cho học sinh khả năng đặc biệt hóa
và tương tự.
1.1. Khái niệm đặc biệt hoá và tương tự
1.1.1. Đặc biệt hóa
Theo Nguyễn Văn Quang (2010), nhóm biện pháp rèn luyện cho học sinh
khả năng đặc biệt hóa, tương tự nói về chiến thuật giải một số bài toán cụ thể. Trong
quá trình tiếp cận, phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khi giải bài tập,
sáng tạo trong toán học là một loạt các suy diễn và quy nạp kế tiếp nhau: suy diễn
đưa đến những sự kiện cụ thể, riêng biệt. Sau đó so sánh, đối chiếu các sự kiện lại
với nhau để phát hiện ra các sự kiện chung rồi khái quát hóa lên thành một lý thuyết
tổng quát. Biện pháp này yêu cầu HS biết vận dụng thao tác đặc biệt hóa trong quá
trình dạy học giải bài tập toán. Tức là giải bài toán cho một trường hợp đặc biệt, rồi
dùng phương pháp giải bài toán trong trường hợp đặc biệt này để giải cho các
trường hợp khác hoặc cho trường hợp tổng quát.
Theo G.Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối
tượng đã cho sang một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”.([10],tr.22)
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tứ giác sang
nghiên cứu hình chữ nhật và tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển sang nghiên cứu hình
vuông. Trong hai bước chuyển nói trên đặc biệt hóa được thực hiện theo hai hướng
khác nhau. Trong bước chuyển thứ nhất, từ tứ giác đến hình chữ nhật chúng ta có sự
hạn chế, cụ thể là yêu cầu các cạnh đối diện song song bằng nhau và các góc phải



5
bằng nhau. Trong bước chuyển thứ hai, chúng ta thay đổi đối tượng cụ thể, đặc biệt
hơn: Bốn cạnh bằng nhau và bốn góc đều vuông.
Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn
bằng sơ đồ sau:

Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ cái tổng
quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hóa từ cái riêng
đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái riêng
lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái riêng
lẻ chưa biết

Sơ đồ 1: Những dạng đặc biệt hóa thường gặp.
Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái
niệm, kết luận tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ cụ thể. Đặc biệt hóa
thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các bài tập,...
Ví dụ 1.1. Ta có định lý sau đây: Trong tam giác vuông ABC với BC  a ,
AB  c , CA  b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

a
b
c



 2R
sin  sin  sinC
Từ đó ta dự đoán hệ thức trên đối với tam giác thường là:

a
b
c


 2R
sin  sin  sinC

(*)

Trước khi chứng minh dự đoán trên ta thử các trường hợp đặc biệt khi tam
giác ABC là tam giác đều, tam giác cân. Khi thấy đúng ta mới tiến hành chứng
minh.
Chứng minh
Xét đường tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC. Kéo dài AO cắt
đường tròn (O, R) tại A. Ta có :


6

ACB  ADC (Hai góc nội tiếp cùng chắn bởi một dây cung AB).

 sinC  sinD 


AB
c

AD 2 R

B

C

O
A
D

Tương tự ta cũng chứng minh được:

a
b

 2 R.
sinA sinB

Do đó trong mọi tam giác bất kì ta có:

a
b
c


 2 R.
sin  sin  sinC


Kết quả này chính là định lí sin trong tam giác.
Ví dụ 1.2. Gọi 2 đường tròn là (O1 , R1 ) và (O2 , R2 ) và điểm M nằm ngoài hai
đường tròn trên. Gọi T1 , T2 lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M tới

(O1 , R1 ) và (O2 , R2 ) . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: MT12  MT22  k 2 .Ta hãy xét
một trường hợp đặc biệt hơn của bài toán:
Khi ( O1 ) và ( O2 ) suy biến thành các điểm K 2  R12  R 22 k 2  O1O22 quỹ
tích những điểm có tổng bình phương khoảng cách đến hai điểm O1 , O2 bằng một
số không đổi là đường tròn tâm I, với I là trung điểm O1 , O2 .
Từ đó ta dự đoán rằng quỹ tích phải tìm cũng là đường tròn tâm I. Dự đoán
đó gợi cho ta hướng biến đổi:

MT12  MO12  R12
MT2 2  MO2 2  R2 2

M

T1
T2

O1

O2


7
Do đó:

MT12  MT2 2  k 2  MO12  R12  MO2 2  R2 2  k 2

 MO12  MO2 2  R12  R2 2  k 2
Vậy dự đoán của chúng ta là đúng. Qũy tích cần tìm là đường tròn tâm I, bán
kính R 

1
2 K 2  O1O2 2 với K 2  R12  R 22 k 2  O1O22 .
2

Việc xét trường hợp đặc biệt: ( O1 ),( O2 ) là các đường tròn – điểm, không
những giúp chúng ta dự đoán đúng quỹ tích, tìm được lời giải bài toán mà còn trả
lời được câu hỏi đặt ra ở đầu bài. Qũy tích tổng bình phương là quỹ tích đặc biệt
hóa của quỹ tích này.
1.1.2. Tương tự
Theo G.Pôlya: “Hai hệ thống là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong
các mối quan hệ rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng”.([10], tr.23).
Trong “Lôgic học” D.Gorki viết: “Tương tự là phép suy luận trong đó từ chỗ
hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng
này giống nhau ở các đối tượng khác”.
Nếu đối tượng A có các dấu hiệu a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu
hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính chất có thể
biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:
A có tính chất a, b, c, d.
B có tính chất a, b, c.
Tương tự ta thấy: B cũng có tính chất d.
Giống như khái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lí nên những
kết luận rút ra từ tương tự thường có tính chất giả thuyết, dự đoán song những giả
thuyết, dự đoán rút ra từ tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh.
Việc Ơ-le(1707-1783) phát minh ra tổng của chuỗi các nghịch đảo của các
bình phương 1 


1 1 1
1
  
… là một ví dụ.
4 9 16 25

I-a-cop Bec-nu-li, nhà toán học Thụy Sĩ (1654-1750), người cùng thời với
Niu- tơn và Lep- nit, đã phát minh ra tổng của nhiều chuỗi vô hạn, nhưng ông đã
không tìm được tổng của chuỗi nói trên. Ông viết: “Cho tới nay tôi đã cố gắng


8
nhiều nhưng vẫn không tìm ra. Ai tìm được và cho tôi biết thì tôi xin cảm ơn vô
cùng”.
Ơ-le đã chú ý tới bài toán đó. Ông thấy nhiều biểu thức của tổng cần tìm,
nhưng không biểu thức nào là ông vừa lòng. Ông dùng một trong những biểu thức
đó để tính tổng trên chính xác đến 7 chữ số (1,644934). Nhưng đó chỉ là giá trị gần
đúng mà mục đích của ông là tìm giá trị đúng. Sau đó bằng tương tự ông đã đi đến
một giả thuyết cực kỳ táo bạo: Đi từ phương trình bậc hữu hạn (Phương trình đại
số) đến phương trình vô hạn, bằng cách ứng dụng vào trường hợp vô hạn qui tắc
được thiết lập cho trường hợp hữu hạn.
Từ đó không những ông tìm được tổng của chuỗi nói trên mà còn tìm ra
tổng của nhiều chuỗi vô hạn khác: Chuỗi số nghịch đảo của lũy thừa bậc bốn, chuỗi
nổi tiếng của Lep-nit,…
Ơ-le biết rõ rằng kết luận của mình rất táo bạo. Mười năm về sau ông viết:
“Đây là một phương pháp mới và chưa được dùng vào mục đích như vậy”.
Chính ông đã bị một số ý kiến phản đối, trong đó có một số ý kiến của bạn
ông đưa ra, khi họ đã chấn tĩnh lại sau những phút khâm phục và kinh ngạc đầu tiên.
Theo ([1],tr.12,13) phép suy luận tương tự trong toán học thường được đề
cập trên các khía cạnh sau đây:

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh
của chúng giống nhau.
- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau trong hai vấn
đề nào đó, hoặc giữa các phần tử của chúng có quan hệ giống nhau.
- Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính
của hai hình tương tự.
Chẳng hạn, trong hình học phẳng ta có bài toán sau “Cho tam giác ABC có
O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC.
Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng”. Ta có bài toán tương tự trong không gian
“Cho tứ diện trực tâm ABCD có O, G, H lần lượt là tâm hình cầu ngoại tiếp, trọng
tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng”.
Ví dụ 1.3. Sau khi giải bài toán cơ bản: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là
trọng tâm hai tam giác ABC, A’B’C’ thì 3GG '  AA '  BB '  CC ' .


9
Giáo viên có thể đặt câu hỏi “ Nếu G trùng với G’ thì sao ?” qua đó hướng cho
học sinh tìm lời giải và có nhận xét là nếu hai tam giác có cùng trọng tâm thì
“ AA '  BB '  CC '  O ” (1). Như vậy, từ đó dễ dàng chứng minh hai tam giác có
cùng trọng tâm ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (1) là được. Khi đó có thể hướng
dẫn cho học sinh làm các bài toán sau:
Bài toán 1.3a (Bài toán tương tự): Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần
lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác
MPE và NQR có cùng trọng tâm.
Bài toán 1.3b (Bài toán tương tự): Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có
chung đỉnh A. Chứng minh rằng hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm.
Cũng giống như cách chứng minh tương tự như trên ví dụ 1.3, ở bài 1 ta coi
G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác MPE và NQR, để chứng minh được
bài toán ta cần chứng minh MN  PQ  ER  O . Đối với bài toán 2 nếu vẫn coi G
và G’ là trọng tâm của hai tam giác BC’D và B’CD’ thì để chứng minh được G

trùng G’ ta cũng cần chỉ ra BB '  C ' C  DD'  O .
1.2. Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong toán học.
Các phương pháp đặc biệt hóa, tương tự có ý nghĩa rất quan trọng trong
sáng tạo toán học. Đây là những phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc
của nhiều phát hiện mới trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp.
Đặc biệt hóa và tương tự có thể vận dụng để giải bài toán đã cho, để mở rộng, đào
sâu và hệ thống hóa kiến thức.
G.pôlya khẳng định: “ Đặc biệt hóa, tương tự thường hợp tác với nhau trong
việc giải quyết những vấn đề toán học” và “Các phép đặc biệt hóa và tương tự
thường kết hợp với nhau một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm lời giải của
bài toán”([10],tr.25,28)
Khi giải một bài toán, một phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toán
phải giải về một bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn, sao cho nếu giải được bài toán
này thì sẽ giải được bài toán đã cho (Nhờ áp dụng kết quả hoặc phương pháp giải
của bài toán đơn giản đó). Đặc biệt hóa và tương tự có nhiều tác dụng về mặt này.
Nhiều khi việc giải toán tương tự trong trường hợp đặc biệt chưa giúp chúng
ta giải được bài toán đã cho. Điều đó vẫn cứ tốt, vì như vậy chúng ta đã giải một


10
phần của bài toán. Đối với một bài toán khó việc giải một được một phần của bài
toán cũng rất có giá trị.
Trong lịch sử toán học, có nhiều bài toán mà hàng chục năm, có khi hàng
trăm năm, công sức của bao nhiêu thế hệ các nhà toán học cũng chỉ mới giải được
bài toán trong một số trường hợp đặc biệt. Chẳng hạn: Trước khi phát biểu định
nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng, có thể cho học sinh giải quyết bài toán
sau: “Chứng minh rằng một đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm
trong mặt phẳng (P) và nếu d không nằm trong (P) thì đường thẳng d và mặt phẳng
(P) không có điểm chung”. Sau đó đi đến định nghĩa “ Đường thẳng d song song
với mặt phẳng (P) nếu d song song với một đường thẳng nằm trong (P) và d không

nằm trong mặt phẳng (P)”.
Đặc biệt hóa, tương tự còn là con đường giúp học sinh hình thành các tri thức
lí thuyết khác nhau như khái niệm, tính chất,...
Trong toán học, cũng như trong các môn khoa học khác, cũng cần có thí
nghiệm, có mò mẫm để dự đoán các kết quả, quy luật trước khi chứng minh chúng.
Trong không gian, đối với loại toán tìm kiếm – toán quỹ tích, tìm một điểm, một
hình có tính chất nào đó, tìm biểu thức tổng quát của một đại lượng nào đó,…thì cái
khó khăn đầu tiên, nhiều khi là khó khăn chủ yếu đó là dự đoán được hình phải tìm,
dự đoán được kết quả phải chứng minh. Trong những trường hợp này phải biết mò
mẫm, thường là bằng cách xét một số trường hợp đặc điểm của bài toán, so sánh để
tìm thấy sự tương tự của các trường hợp đó, rồi tổng quát hóa và đề ra dự đoán, sau
đó nếu cần lại đặc biệt hóa để kiểm tra dự đoán.
Khi giải các bài toán quỹ tích thì trừ những trường hợp thật đơn giản, còn
bao giờ cũng phải tìm cách dự đoán hình dạng, vị trí của quỹ tích. Để dự đoán quỹ
tích ta thường xét một vị trí đặc biệt của điểm (Đường thuộc quỹ tích. Thông
thường việc tìm quỹ tích khó hơn việc chứng minh quỹ tích là hình gì).
Trong “Tập luyện cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán
học”, tác giả Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Chẳng hạn trong một kì thi học sinh giỏi, có
một câu về quỹ tích không ai làm được vì đầu bài chỉ ra: “ Tìm quỹ tích của…” mà
không cho biết rõ quỹ tích đó là hình gì, nhất là ở bậc học phổ thông, quỹ tích nếu
không là đoạn thẳng thì đường tròn, cung tròn”.


11
1.3. Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học hình học không gian
lớp 11.
Trong quá trình tìm hiểu tác giả nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn
hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì
thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp
không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng

bài tập hình học không gian.
Hình học không gian là một phần rất quan trọng trong nội dung thi THPT
Quốc gia, nếu học sinh không nắm chắc kiến thức thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng
khi làm bài tập trong về hình học không gian trong đề thi THPT Quốc gia.
Qua thời gian tìm hiểu kiến thức về Hình học không gian, tôi cũng đúc kết
được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó
mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên.
Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen
với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra
những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ
những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng
dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Đặc biệt hóa và tương tự có vai trò nhất định trong việc học và giải quyết các
vấn đề về hình học không gian, nếu hiểu và áp dụng tốt các kiến thức của đặc biệt
hóa và tương tự vào việc học hình học không gian lớp 11, các em sẽ có một nền
tảng kiến thức về hình học không gian khá chắc chắn, tự tin khi làm các bài tập,
mang lại hiệu quả trong việc học hình học lớp 11.
1.4. Thực trạng rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học
không gian lớp 11 trường THPT Hương Cần - Thanh Sơn - Phú Thọ.
Tại trường THPT Hương Cần, phần hình học không gian lớp 11 là một lượng
kiến thức tuy không lớn nhưng lại là phần kiến thức khó, đòi hỏi tính tư duy, trừu
tượng cao, các thầy cô khi giảng dạy phần kiến thức này chưa chú trọng rèn luyện
cho các em đặc biệt hóa và tương tự, bên cạnh đó các em cũng rất e ngại lượng kiến


12
thức này, chỉ học về các dạng và các cách giải các dạng bài tập đó, học theo kiểu
thầy đọc trò chép mà chưa chú trọng đến việc sáng tạo, tìm ra lời giải nhanh, chính
xác.
1.4.1. Mục đích và đối tượng điều tra.

Bước đầu tìm hiểu thực trạng việc dạy học theo chủ đề hình học không gian
và việc rèn luyện các kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học hình học không
gian cho học sinh lớp 11 của trường THPT Hương Cần – Thanh Sơn – Phú Thọ.
1.4.2. Đối tượng điều tra
Giáo viên đang giảng dạy trực tiếp và học sinh lớp 11 trường THPT Hương
Cần – Thanh Sơn – Phú Thọ.
1.4.3. Nội dung điều tra
 Đối với giáo viên tôi tiến hành điều tra các vấn đề sau:
- Các phương pháp dạy học được giáo viên sử dụng khi giảng dạy phần hình
học không gian cho học sinh lớp 11.
- Mức độ sử dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong quá trình
giảng dạy hình học.
- Nhận thức của giáo viên về tầm quan trọng của mỗi phương pháp dạy học
trong dạy học hình học không gian lớp 11.
- Đánh giá của giáo viên về số lượng có nội dung hình học trong SGK toán
11 giúp học sinh rèn luyện khả năng đặc biệt hóa và tương tự.
- Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự của
học sinh lớp 11 khi học hình học không gian.
 Nội dung phiếu điều tra xem trong phần phụ lục.
* Ý định sư phạm của các câu hỏi trong phiếu điều tra.
Câu 1: Điều tra các phương pháp dạy học trong quá trình dạy học.
Câu 2: Điều tra mức độ sử dụng các phương pháp đã nêu ở câu 1.


13
Câu 3: Điều tra về số lượng các bài tập hình học trong SGK lớp 11 có nội
dung đặc biệt hóa và tương tự.
Câu 4: Điều tra tầm quan trọng của đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học
phần hình học không gian lớp 11.
Câu 5: Điều tra mức độ rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh trong

phần hình học không gian lớp 11.
 Đối với học sinh: Thông qua bài kiểm tra số 1 chúng tôi điều tra mức độ sử
dụng các kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự của học sinh lớp 11.
* Ý định sư phạm của đề kiểm tra.
Câu 1: Kiểm tra kiến thức về hình chóp tứ giác, hình chóp đều. Kiểm tra kiến
thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, kĩ năng
vẽ hình, đọc bài tập hình học, khả năng vận dụng đặc biệt hóa và tương tự để giải
bài tập về.
Câu 2: Kiểm tra kiến thức về hình lăng trụ, kiến thức về khoảng cách giữa
hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, cách vẽ và cách xác định về
đường vuông góc chung đó.
Thang điểm:
 Phần trắc nghiệm : 4 điểm.
 Phần tự luận: 6 điểm.
1.4.4. Phương pháp điều tra
 Phương pháp điều tra bằng phiếu trưng cầu ý kiến.
 Phương pháp quan sát.
 Phương pháp phỏng vấn.
 Phương pháp thống kê toán học.


14
1.4.5. Phân tích kết quả điều tra
Sau khi nghiên cứu lí luận có liên quan đến đề tài, tôi tiến hành sử dụng các
phương pháp như: Phương pháp quan sát, phương pháp điều tra bằng trao đổi, đàm
thoại….đối với một số giáo viên và học sinh trường THPT Hương Cần về việc
giảng dạy và rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không gian
cho học sinh lớp 11.
Tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra cho 12 giáo viên dạy môn toán và 32

phiếu điều tra cho học sinh, sau đó thu lại và toàn bộ số phiếu phát ra, sử dụng
phương pháp thống kê và đưa ra kết quả như sau:
Bảng 1.1: Mức độ sử dụng một số phương pháp dạy học các chủ đề kiến thức
hình học không gian lớp 11 ( Đơn vị:%)
Mức độ sử dụng
STT

Tên phương pháp dạy học

Thường

Bình

Hiếm

xuyên

thường

khi

Không
sử
dụng

1

PPDH trực quan

85,5


14,5

0

0

2

PPDH gợi mở - vấn đáp

70

30

0

0

3

PPDH thực hành luyện tập

100

0

0

0


4

PPDH giảng dạy minh họa

61,3

38,7

0

0

50

50

0

0

0

30

70

0

5

6

PPDH phát hiện và giải quyết
vấn đề
PPDH khác

Ở bảng số liệu 1.1 cho thấy các phương pháp dạy học Hình học không gian
lớp 11 rất đa dạng, phong phú. Mức độ sử dụng các phương pháp dạy học được nêu
ra là khá cao, đối với phương pháp thực hành luyện tập 100% và phương pháp trực
quan 85,5%, phương pháp gợi mở - vấn đáp là 70%, để giảng dạy và nâng cao khả
năng rèn luyện tư duy hình học cho học sinh, ngoài ra có sử dụng một số phương
pháp khác như giảng dạy minh họa 61,3%. Đặc biệt phương pháp phát hiện và giải
quyết vấn đề có được sử dụng, song chỉ ở mức độ 50% chứng tỏ phương pháp này
chưa được giáo viên thực sự chú trọng. Mặc dù, đây là một trong những phương


15
pháp giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ
động trong việc lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được nhiều mục đích
khác. Song trong quá trình dạy học các chủ đề kiến thức hình học của giáo viên
chưa tổ chức được nhiều tình huống có vấn đề, chưa phát huy hết khả năng sáng
tạo, tưởng tượng hình học không gian của học sinh, điều này làm ảnh hưởng đến
chất lượng học tập của học sinh.
Bảng 1.2: Quan niệm của giáo viên về tầm quan trọng của mỗi phương pháp
dạy học các chủ đề kiến thức hình học 11 ( Đơn vị:%)
Mức độ sử dụng

STT

Tên phương pháp dạy học


Quan

Bình

trọng

thường

Không
quan
trọng

1

PPDH trực quan

83

17

0

2

PPDH gợi mở- vấn đáp

66,4

33,6


0

3

PPDH thực hành luyện tập

100

0

0

4

PPDH giảng dạy minh họa

50

50

0

45

55

0

0


60

40

5
6

PPDH phát hiện và giải quyết
vấn đề
PPDH khác

Bảng số liệu 1.2 đã phản ánh được quan niệm của giáo viên về tầm quan
trọng của các phương pháp dạy học trong việc truyền thụ các tri thức cho học sinh.
Cho thấy giáo viên coi trọng việc luyện tập tri thức cho học sinh thông qua các bài
tập nhiều hơn là sử dụng các phương pháp khác, vì vậy chưa đi sâu vào khai thác
các nội dung kiến thức, chưa phát huy hết khả năng của học sinh trong việc phát
hiện và giải quyết vấn đề.


16
Bảng 1.3: Đánh giá của giáo viên về số lượng các bài tập có nội dung nhằm
phát triển kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh trong SGK lớp11
Số lượng bài tập có nội dung
STT

giúp học sinh rèn luyện kĩ năng
đặc biệt hóa và tương tự

Số lượng ý


Tỷ lệ

kiến

(%)

1

Nhiều

3

25

2

Tương đối nhiều

3

25

3

Chưa nhiều

5

41,6


4

Không có ý kiến

1

8,4

Bảng 1.3 cho thấy giáo viên đánh giá hệ thống bài tập có nội dung hình học
nhằm phát triển kĩ năng đặc biệt hóa trong sách giáo khoa lớp 11 nhiều chiếm
khoảng 25% số giáo viên điều tra. Khoảng 41,6% giáo viên cho rằng lượng bài tập
trong sách giáo khoa giúp học sinh phát triển khả năng đặc biệt hóa và tương tự là
chưa nhiều và 25% giáo viên cho rằng số bài tập này tương đối nhiều. Từ thực tế đó
đòi hỏi giáo viên cần đưa thêm một số hệ thống bài tập hoặc các hoạt động bổ trợ
kiến thức nhằm rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh ngoài chương trình
sách giáo khoa.
Bảng 1.4: Tầm quan trọng của việc rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học
sinh lớp 11 ( Đơn vị: %)
Tầm quan trọng của việc rèn
STT

luyện đặc biệt hóa và tương tự
cho học sinh lớp 11

Số lượng ý
kiến

Tỷ lệ (%)


1

Rất cần thiết

12

100

2

Không cần thiết

0

0

3

Ý kiến khác

0

0

Qua bảng 1.4 cho thấy 100% giáo viên đều tán thành ý kiến cho rằng việc
rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh lớp 11 là cần thiết. Chứng tỏ, giáo
viên đã nhận thức được tầm quan trọng của việc rèn luyện và phát triển các kỹ năng
đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh. Qua đó, giáo viên cần quan tâm bồi dưỡng



17
cho học sinh năng lực học tập, đồng thời chủ động tạo ra các hoạt động phát triển
nhận thức cho học sinh.
Bảng 1.5: Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn luyện và phát triển kỹ năng
đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh. (Đơn vị: %)
Mức độ rèn luyện và phát triển
STT

kỹ năng đặc biệt hóa và tương
tự cho học sinh

Số lượng ý
kiến

Tỷ lệ (%)

1

Thường xuyên

10

83,3

2

Thỉnh thoảng

2


16,7

3

Hiếm khi

0

0

4

Không bao giờ

0

0

Bảng số liệu 1.5 cho thấy có 83,3% giáo viên thường xuyên dạy học các chủ
đề hình học cho học sinh theo hướng rèn luyện kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự,
16,7% giáo viên còn lại chỉ thỉnh thoảng cho học sinh tham gia các hoạt động rèn
luyện về đặc biệt hóa và tương tự. Như vậy, ngoài việc nhận thức tầm quan trọng
của việc rèn luyện các kỹ năng, năng lực học tập cho học sinh, giáo viên cần thường
xuyên tạo ra các hoạt động để học sinh tự rèn luyện và phát triển tư duy. Học sinh
không chỉ dừng lại ở mức độ nắm vững các kiến thức, mà còn sáng tạo, chủ động
trong việc tìm hiểu các kiến thức liên quan và thực hiện các hoạt động ở mức độ
cao.
Qua kết quả đạt được ở cả hai lớp thử nghiệm và lớp đối chứng sau khi tiến
hành kiểm tra (Kết quả cụ thể có trong phần thử nghiệm ở chương 3) cho thấy: Đa
số học sinh ở cả hai lớp chưa chú trọng đến các yếu tố đặc biệt hóa và tương tự khi

làm bài kiểm tra, số lượng đạt điểm giỏi thấp, điểm trung bình và điểm yếu còn
nhiều, đa số học sinh đạt điểm khá.
Từ những thực trạng này đòi hỏi giáo viên cần có phương pháp dạy học hiệu
quả, cần rèn luyện cho học sinh khả năng đặc biệt hóa và tương tự nhiều hơn.


18
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Chương 1 của đề tài đã bao gồm những vấn đề then chốt về lí luận của đặc
biệt hóa và tương tự. Đây là những kiến thức rất quan trọng cho giáo viên lựa chọn
con đường dạy học toán ở THPT có hiệu quả, nâng cao chất lượng đào tạo và khả
năng phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ của học sinh trong dạy học
Toán nói chung, dạy học hình học không gian nói riêng. Bên cạnh đó, trên cơ sở
điều tra thực tiễn, đề tài đã bước đầu điều tra được tình hình học tập các chủ đề
kiến thức Hình học không gian của học sinh 11. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học
theo xu hướng đổi mới và thực trạng việc vận dụng các phương pháp dạy học
truyền thống và phương pháp dạy học đổi mới trong quá trình giảng dạy Hình học
không gian của giáo viên trường THPT Hương Cần - Thanh Sơn - Phú thọ. Đây là
những vấn đề hết sức cần thiết, đặt nền móng cho việc lựa chọn các nội dung,
phương pháp dạy học các chủ đề kiến thức hình học không gian.
Đặc biệt hóa và tương tự có quan hệ mật thiết với nhau trở thành một phương
pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc phong phú của nhiều phát minh trong toán học
sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp.
Đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp học sinh mò mẫm, dự
đoán để tìm ra lời giải của bài toán, hoặc mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến
thức. Từ những kiến thức, bài toán đã có chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa,
đặc biệt hóa và tương tự để hình thành những tri thức mới. Trên cơ sở đó chúng ta
sẽ đào sâu và hiểu kĩ các khái niệm, định lí,xác lập mối liên hệ và sự thống nhất
giữa những tri thức mà chúng ta thu nhận được góp phần mở rộng vốn kiến thức của
mình.



19
CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
2.1. Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học khái niệm, định nghĩa
toán học.
2.1.1. Dạy học khái niệm toán học
Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ môn khoa học nào ở
nhà trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc
cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của
học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng kiến thức đã
học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ,
đồng thời cũng góp phần hình thành thế giới quan cho học sinh. Việc dạy học khái
niệm toán học về hình học không gian ở lớp 11 phải làm cho học sinh dần đạt được
các yêu cầu sau:
a/ Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
b/ Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho
trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó không, đồng thời biết thể hiện khái
niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.
c/ Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
d/ Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong những tình
huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tiễn.
e/ Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với
những khái niệm khác trong hệ thống khái niệm.
2.1.2.. Các con đường hình thành khái niệm Toán học
Hình thành khái niệm toán học là quá trình bao gồm tiếp cận khái niệm và
vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề khác nhau trong khoa học và đời
sống. Trong đó, tiếp cận khái niệm là khâu đầu tiên và được hiểu là quá trình hoạt

động và tư duy dẫn đến sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh,
nhờ mô tả, giải thích hay chỉ thông qua trực giác ở mức độ nhận biết một đối tượng
hoặc một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không được gọi là con đường
hình thành khái niệm. Trong dạy học, có ba con đường tiếp cận khái niệm chủ yếu
là: