MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.13 KB, 15 trang )
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN
KHOA CNHH & MT
HỌC PHẦN
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Sinh viên: Nguyễn Thị Hằng Ngân
Lớp: 116151
Giảng viên: Đặng Xuân Hiển
Hưng Yên, tháng 12, năm 2018
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 1
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
5.3.2 Đa thức nội suy Newton
Từ bảng số 1: Với các mức nội suy xi, v = , ở đây đưa thêm
mốc nội suy x thuộc [a,b] (bất kì) gần x0 tính:
f [x,x0] =
=> f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0]
(2)
Ta lại có:
f [x,x0,x1] =
Hay f [x, x0] = f [x0, x1] + (x – x1)(x,x0,x1)
(3)
Thay (3) vào (2) ta được:
f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] + (x – x0)(x – x1) f[x,x0,x1]
Lặp lại quá trình trên đối với tỷ hiệu cấp 3,4 ….cuối cùng ta
được:
f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] + (x – x0) (x – x1) f[x,x0,x1] +…
+ (x – x0)(x – x1) ... (x – xn-1) f[x0,x1,…xn] + … +
(x – x0)(x – x1) …(x – xn) f[x,x0,…xn]
(4)
Trong (4) nếu đặt:
Pn(x) = f(x0) + (x – x0) f[x0,x1]+… + (x – x0)(x – x1)…
(x – xn-1) f[x0,x1,…xn]
Và:
Rn(x) = f[x,x0,…xn]
Thì
f(x) = Pn(x) + Rn(x)
(5)
(6)
(7)
Nhận thấy: Pn(x) xác định theo (5) thì P n(x) là đa thức bậc n
sinh ra từ bảng số (1). Ở đây ta cần chỉ ra đa thức này cần thỏa
mãn điều kiện: yi= Pn(x) , i = thì Pn(x) là đa thức.
Thực vậy, từ (7) ta có:
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 2
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
yi = f(xi) = Pn(xi) + Rn(xi)
Do Rn(xi) = 0 (i = ) {theo (6)} nên ta có:
yi = f(xi) = Pn(xi), i =
Nhận xét: Biểu thức (5) là đa thức nội suy Newton (dạng tiến,
x phát từ x0)
Nếu các mốc nội suy được đánh theo thứ tự: xn, xn-1, xn-2,…x1,
x0 thì đa thức xuất phat từ xn có dạng:
Pn(x) = f(xn) + (x – xn) f[x1,xn-1] + (x – xn)(x – xn-1) f[x,xn-1,xn-2]
+…+ (x – xn)(x – xn-1)… (x – x1) f[xn,xn-1…x1,x0]
(8)
Nhận xét:
+) Biểu thức (8) là đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn
+) Cả hai đa thức (5) và (8) đều chung bảng tỷ hiệu ở trên
+) Trong thực hành, nếu cần tính giá trị nội suy của hàm
Y = f(x) tại điểm , nếu gần x0 thì áp dụng công thức (5), nếu
gần xn thì áp dụng công thức (8)
5.3.3 Đa thức nội suy có mốc cách đều
Nhận thấy:
+) Các đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Newton đều
có thể áp dụng được cho trường hợp này
+) Nếu các mốc nội suy cách đều, tức ta có khoảng cách
h = xi+1 – xi , với mọi i = đưa ra thuật toán thuận lợi hơn.
a) Sai phân hữu hạn (hay có thể gọi hiệu hữu hạn)
Cho hàm y = f(x) trên [a,b]
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 3
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Tỷ hiệu ∆x = h (h > 0): số gia
Ta có:
+) ∆f(x) =f(x+h) – f(x) gọi là sai phân cấp I của f(x) tại x
+) Sai phân của sai phân cấp 1 gọi là sai phân cấp II
∆2f(x) = ∆(∆f(x)) = ∆[f(x+h) – f(x)
= f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)
+) Sai phân của sai phân cấp m-1 gọi là sai phân cấp m
∆mf(x) = ∆m-1f(x) ; m = 2, 3,…
Nhận xét:
Từ định nghĩa này, có thể xem ∆ như là toán tử độc lập, từ hàm
f(x) tương ứng, nghĩa là ∆ tác động lên f sao cho:
∆ = f(x) = f(x+h) – f(x)
b) Bảng sai phân hữu hạn
Giả sử hàm y = f(x) được cho dưới dạng bảng số:
yi = f(xi) ; i =
Các mốc nội suy xi = x0 + ih , i =
[h = ∆x = xi – xi-1 với mọi i =
Sai phân các cấp được xác định theo các công thức:
∆yi = yi+1 – yi ; i = , sai phân cấp I
∆yi = ∆(∆yi) = ∆yi+1 - ∆yi ; i = , sai phân cấp II
Tổng quát: Sai phân cấp
∆n yi = ∆(∆n-1 yi) = ∆n-1 yi+1 - ∆n-1yi
Công thức (6) được mô tả trong bảng tính sau:
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 4
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Nhận xét:
+) Để có sai phân cấp I cần 2 mốc nội suy
+) Để có sai phân cấp II cần 3 mốc nội suy
+) Để có sai phân cấp n cần n+1 mốc nội suy
c)Liên hệ giữa sai phân và tỷ hiệu
Ta có:
f[x0,x1] = = =
f[x0,x1,x2] = == ∆2y0
Ta có công thức tổng quát:
f[x0,x1,… xk] = . ∆k. y0 , k = 1, 2,… (7)
d) Đa thức nội suy Newton có mốc cách đều
Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0:
f(x) = Pn(x) f(x) + (x – x0) f[x0,x1] + (x – x0)(x – x1) f[x0,x1,x2]
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 5
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
+…+ (x – x0) (x – x1)…(x – xn-1) f[x0,x1,…xn]
Đặt x = x0+ ht thì
(8)
x – x0 = ht
x – x1 = (x – x0) + (x – x1) = ht – h = (t –
1)h
x – xk = (t – k)h , k = 0, 1, 2,…
Cùng với (7) thay vào (8) ta có:
f(x) Pn(x) = Pn(x0 + ht) = y0 + + + t(t – 1)
+…+ t(t – 1)… (t – nt)
(9)
Nhận xét:
+) Công thức (9) là công thức nội suy Newton có mốc cách
đều, hệ số của nó được sử dụng từ hàng đầu của bảng sai phân ở
phần trước
+) Tương tự ta cũng xây dựng được công thức nội suy
Newton có mốc cách đều xuất phát từ mốc xn
f(x) Pn(x) = f(xn) + (x – xn) f[xn,xn-1,…x0]
(10)
5.4 Nội suy bằng hàm Spline
Nhận xét:
+) Phương pháp nội suy bằng đa thức: phương trình không
quá phức tạp, song nhược điểm là khi số mốc nội suy tăng thì
bậc của đa thức nội suy cũng tăng làm phức tạp cho quá trình
tính toán
+) Phương pháp tiếp cận bằng hàm Spline
Xét một thuật toán: từ n + 1 mốc nội suy ta xây dựng 1 đa thức
bậc thấp hơn n trên từng khúc, mà khi nối chúng với nhau vẫn đạt
dộ trơn cao: còn gọi pp nội suy này là phép ghép trơn từng khúc.
5.4.1 Khái niệm về phép ghép trơn spline
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 6
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Xét một cách chia đoạn [a,b] như sau:
<
cho ở bảng số: yi = f(xi) ; i =
(1)
Xây dựng hàm ghép trơn (x) bậc m (m n) trên [a,b] đó sẽ cho
(xi) = yi , i =
Để đơn giản xét hàm Spline bậc 3 (m=3) thường được sử
dụng trong kỹ thuật tính toán
5.4.2 Hàm Spline bậc 3 (m=3)
Đặt = [xj-1; xj]
hj = xj – xj-1
mj = S”(xj), j = [với S”(xj) = j – x) + j]
Trên đoạn này, S(x) là đa thức bậc 3 nên S”(x) là đa thức bậc
nhất
Ta lần lượt cho x = xj-1 và x = xj để xác định j và j
+ Khi x = xj-1 thì mj-1 =jhj => j =
+ Khi x = xj thì mj = jhj => j =
Vậy S”(x) = (xj – x) + (x – xj-1) , j =
(3)
Tích phân (3) 2 lần:
S(x) = (xj – x)3 + (x – xj-1)3 + j(xj – x)+ j(x – xj -1) (4)
S(xi) = yi
Để xác định j và j ta cho x = xj-1 và x = xj
+ Khi x = xj thì
S(xj) = j3 – j hj mà S(xj) = yj
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 7
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Vậy j = (yj – hj2)
+ Khi x = xj-1 thì
j
= (yj-1 – hj2)
Thay vào (4) ta được trên đoạn j = [xj-1, xj] , j =
S(x) = (xj – x)3 + (x – xj -1)3 + (yj-1 – hj2)(xj – x)
+ (yj – hj2) (x – xj -1) ; x = [xj-1, xj]
(5)
Bây giờ sử dụng điều kiện ghép đơn ở các điểm (điểm nội suy)
của khúc (các điểm xj, j = ) để xác định hệ số mj (j = )
Từ (5) ta có:
S’(x) = (xj – x)2 + (x – xj -1)2 – (yj-1 – hj2),
với mọi x = [xj-1, xj], j =
Buộc tại điểm x = xj thì S’(xj+0) = S’(xj-0)
S’(xj-0) sử dụng S(x) trên [xj-1, xj]
S’(xj+0) sử dụng S(x) trên [xj, xj+1]
S’(xj-0) = hj - (yj-1 – hj2) + (yj – hj2)
= h j + hj +
Từ S’(xj-0) = S’(xj+0), j = ta thu được hệ (n – 1) phương trình
với n+1 ẩn (m0, m1,… mn)
Chia 2 vế của (6) cho ta có:
mj-1 + 2mj + mj+1 =
(*)
Đặt
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 8
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Phương trình (*) ta viết lại như sau:
j
mj-1 + 2mj + j mj+1 = dj , j =
Nhận xét: Hệ (8) gồm n – 1 phương trình, và n + 1 ẩn: 2
phương trình còn thiếu sẽ được bổ sung từ điều kiện biên tại a
và b hay từ điều kiện x0 = a và xn = b
(1) Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp II tại x = a và x = b, tức
f”(a) = và f”(b) = dn . Khi đó ta buộc hàm nội suy Spline
phải thỏa mãn điều kiện:
m0 = S”(a) = f”(a) = d0
mn = S”(b) = f”(b) = dn
Vậy để thêm 2 điều kiện biên này, ta có hệ phương trình:
(2) Nếu hàm f(x) có đạo hàm cấp I tại biên x0 = a, xn = b
Như vậy:
(10)
Từ đẳng thức S’(x), khi x = x0 + 0 ta được:
= - h1 - (y0 - h12) + (y1 - h12)
= - h 1 - h1 +
Mà ta có: = . Từ đó ta có
2m0 + m1 = ( – )
Đặt vế phải của đẳng thức cuối cùng là d0 ta được:
2m0 + m1 = d0
(11)
Hoàn toàn tương tự tại xn = b
Từ ( = (xn) ta suy ra:
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 9
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
mn-1 + 2mn = dn
với
dn = ((xn) -
(12)
Vậy trong trường hợp này ta được hệ:
, j=
(13)
Từ (9) và (13) cả 2 trường hợp ta có thể viết ở dạng tổng quát
như sau:
, j=
(14)
Trong đó: < 2 ; < 2
Hệ (14) là hệ phương trình có ma trận hệ số đặc trưng dạng 3
đường chéo và có đường chéo chính trội nên có thể được giải
bằng phương pháp truy đuổi.
Từ (14) giải hệ này ta thu được nghiệm (j = ). Thay vào (14)
ta được hàm spline bậc 3 trên đoạn [xj-1, xj]
Trong trường hợp các mốc nội suy cách đều nhau (x j, j = )
thì:
h = xj – xj-1 ; với mọi x = thì:
= =
Hệ (14) được viết như sau:
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 10
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
, j=
Bài tập: Lập hàm spline bậc III để xấp xỉ làm sinx trên đoạn
đã cho với các mốc nội suy x0 = 0; x1 = =
6. Ứng dụng phương pháp số để tính đạo hàm và tích
phân
6.1 Tính đạo hàm nhờ công thức nội suy Lagrange
Từ bảng số yi = f(xi) , i =
(1)
Từ sai số của đa thức nội suy: R(x) = f(x) = P(x)
thì sai số của đạo hàm: r(x) = f(x) = P’(x) = R’(x)
(2)
(3)
Đối với đạo hàm cấp cao ta cũng có công thức tương tự.
Bằng đa thức nội suy Lagrange
f(x) = P(x) = yj
(4)
ta suy ra: f’(x) = P’(x) = yj
(5)
tương tự ta suy ra: f’’(x) = f’’’(x),…
Xét trường hợp các mốc xi , i = cách đều:
Do P(x) = yj = yi
Trong đó: = ; x – x0 = th
hay = hn+1 t(t – 1)(t – 2)… (t – n) = hn+1
và (xi) = (xi – x0)(xi – x1)… (xi – xi-1)(xi – xi+1)…
(xi – xn)
= hn i(i – 1 )(i – 2)… 2.1 (-1)(-2)…[-(n – 1)]
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 11
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
= hn (-1)n-1 i!(n – 1)! thì
P(x) = yi
Hay P(x) = P(xo+ht) = P(t) = yi (6)
Vậy f’(x) = P’(x) = P’(x0 + ht) = P’t(t)
Xét một số trường hợp riêng:
(1) Trường hợp khi n = 2 (có 3 điểm x0, x1, x2)
Từ (6) ta có:
P2(x) = (t – 1)(t – 2) y0 – t(t – 2) y1 + t(t – 1) y2
f’(x) = P’(x) = = [ (2t – 3) y0 – (2t – 2) y1
+ (2t – 1) y2 ]
(7)
Đặc biệt nếu đạo hàm tính tại mốc nội suy, từ (7) ta có thể
viết:
(+) x = x0 --> t = 0
f’(x0) = P2’(x0) = [- y0 + 2y1 - y2 ] = [-y0 + 4y1 – y2 ]
(+) x = x1 --> t = 1
f’(x1) = P2’(x1) = [- y0 + y2 ] = [-y0 + y2 ]
(+) x = x2 --> t = 2
f’(x2) = P2’(x2) = [y0 + 4y1 + 3y2 ]
Bằng khai triển taylor ta dễ dàng nhận thấy sai số trong
công thức (7) đạt xấp xỉ Q(h2)
Hoàn toàn tương tự ta suy ra giá trị của f’ tại các mốc x0, x1,
x2, x3 như sau:
(9)
Đạt sai số Q(h3)
Nhận xét: Nếu các mốc nội suy càng nhiều thì sai số đạt
được càng cao, tính càng phức tạp.
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 12
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
6.2 Tính gần đúng tích phân xác định nhờ đa thức nội suy
Lagrange
Giả sử biết giá trị: yi = f(xi) , i =
(1)
Trong đó: a x0 < x1 < x2 < … < xn b
Cần tính gần đúng giá trị của tích phân
I= =
(2)
Thay vào các giá trị của bảng số (1). Ta xây dựng đa thức
nội suy Lagrange L(x):
L(x) = yi
(3)
Trong đó:
= , đồng thời L(xi) = yi , i =
I = = + Rn(x)
(4)
Trong đó: Rn(x) là sai số
Từ đó và từ (4), nếu bỏ qua sai số ta được phép viết:
I=
Với
(5)
Ai = dx
(6)
Nhận xét:
+) Công thức (5) là công thức gần đúng tính tích phân xác
định I (còn gọi là công thức cầu phương)
+) Bằng đa thức nội suy khác, suy ra ra được các công thức
cầu phương khác
6.3 Công thức Newton – Côtet; Công thức hình thang; Công
thức Simson để tính gần đúng tích phân xác định
Cần tính:
I= =
(7)
Chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau có h = bởi các
điểm chia x0a, xnb, xi = x0 + ih (i = )
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 13
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Đồng thời tại các điểm xi ta có bảng số:
yi = f(xi) , i =
với Ai là một số không đổi nào đó
Vấn đề: Ta đi tìm biểu thức hiện của Ai trong công thức (9)
Nếu sử dụng công thức nội suy Lagrange:
Ai = dx
Do các mốc xi cách đều nhau, với các bước h = và
xi = xo + ht thì:
Ai = d(x0 + ht)
Hay
Ai = h dt
(i = )
Hay
Ai = (b – a)Hi
Với
Hi = dt
(10)
(i = ) (11)
Vì h = Hi gọi là hệ số Côtet
Vậy I = (b – a)
(12)
Trong đó: yi = f(xi) = f(a + ih) ; i =
Từ (11) ta dễ dàng kiểm tra lại rằng:
= 1 và Hi = Hn-i
Nghĩa là hệ số Côtet đối xứng nhau qua mốc trung gian.
Nhận xét: Công thức (12) là công thức Newton-Cotet với
các hệ số Hi tính theo (n)
Ta xét trường hợp riêng.
a) Trong (12) xét khi n = 1
Ta có:
H0 = - dt =
H1 = - dt =
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 14
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Vậy
I=
(y0 + y1)
(13)
Nhận xét: Công thức (13) gọi là coogn thức hình thang
b) Trường hợp trong (12) khi n = 2
H0 = dt =
H1 = - dt =
H1 = dt =
Do h = nên theo công thức (12) ta được:
I = (y0 + 4y1 + y2)
(14)
Nhận xét: Công thức (14) gọi là công thức Simson hay
công thức Parabol
c) Trường hợp (12) khi n = 3
[ta có 4 mốc: x0, x1, x2, x3]
h=
Theo công thức (11) (12) ta được:
I = (y0 + 3y1 + 3y2 + y3)
Nhận xét:
+) Khi n càng lớn thì công thức càng phức tạp, do vậy
trong kỹ thuật thường sử dụng công thức (13) (14)
+) Hoàn toàn tương tự, ta có thể xác định được các công
thức Cotet với n = 4,5
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
Page 15
