Tập hợp điểm thỏa mãn với đẳng thức vecto
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.18 MB, 3 trang )
TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ
I. Lý thuyết
Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức vec tơ, có thể xảy ra các trường hợp sau:
(1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 = ⃗0 M là trung điểm AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 M là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
(2) 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ M thuộc tia AB
(3) 𝐴𝑀
K > 0; M thuộc tia AB
K > 0; M thuộc tia đối AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑅 M (A, R)
(4) |𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | M thuộc trung trực AB
(5) |𝐴𝑀
II. Áp dụng
Bài 1: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) |𝐴𝑀
𝑀𝐶 |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐶𝐵
|𝐴𝑀
M(A, B, C)
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) |𝐴𝐵
𝐴𝑀| = |𝐴𝐶
𝐴𝑀|
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: |𝐴𝐵
𝐴𝑀| = |𝐴𝐶
𝐴𝑀|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐶
|𝑀𝐵
M thuộc trung trực BC
Bài 2: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) |𝑀𝐴
𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴
𝑀𝐵 |
Gọi E là trung điểm AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có |𝑀𝐴
𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴
𝑀𝐵 |
⃗⃗⃗⃗⃗ | (E là trung điểm AB)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝐴
|2𝑀𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1 |𝐵𝐴
|𝑀𝐸
2
2
1
M(E; 2 𝐴𝐵)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) |𝑀𝐴
𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴
𝑀𝐶 |
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
1
Gọi E là trung điểm AB
F là trung điểm AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴
Ta có: |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |2𝑀𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (vì E là trung điểm AB; F là trung điểm AC)
|2𝑀𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝑀𝐸
M thuộc trung trực EF.
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) |𝑀𝐴
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 | = 2 |𝑀𝐴
𝑀𝐵 |
Gọi G là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶
E là trung điểm AB
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Ta có: |𝑀𝐴
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3 |2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (G là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶, E là trung điểm AB)
|3𝑀𝐺
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝑀𝐺
M là trung trực GE
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Bài 3: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |2𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
Gọi E là điểm thỏa mãn 2𝐸𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐸𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗0
2𝐸𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐸𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
−3𝐴𝐸
1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
1
E thuộc cạnh AB thỏa mãn AE = 3 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐹𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
Gọi F là điểm thỏa mãn 𝐹𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐴 + 2(𝐹𝐴
𝐴𝐵 ) = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
3𝐹𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
-3𝐴𝐹
2
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐹 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
2
F thuộc cạnh AB thỏa mãn AF = 3 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴
|2𝑀𝐴
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Ta có: |2𝑀𝐴
𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
|2(𝑀𝐸
𝐸𝐴) + (𝑀𝐸
𝐸𝐵 )| = |(𝑀𝐹
𝐹𝐴) + 2(𝑀𝐹
𝐹𝐵 )|
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐹𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (2𝐸𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ )| = |3𝑀𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐹𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ )|
|3𝑀𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗0| = |3𝑀𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗0|
|3𝑀𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |3𝑀𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑀𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|3𝑀𝐸
M thuộc trung trực EF
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶
Bài 4: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |𝑀𝐴
Giải:
⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶
* Gọi I là điểm thỏa mãn 𝐼𝐴
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐶
(𝐼𝐴
𝐼𝐶 ) + 2𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
(𝐼𝐴
𝐼𝐶 ) + 2(𝐼𝐵
𝐼𝐶 ) = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ + 2.2𝐼𝐹
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
2𝐼𝐸
⃗⃗⃗⃗ + 4𝐼𝐹
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
2𝐼𝐸
⃗⃗⃗⃗ + 2(𝐼𝐸
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐸
𝐸𝐹 ) = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ = −2𝐸𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐼𝐸
⃗⃗⃗⃗ = −2𝐸𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗
−3𝐸𝐼
2
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐼 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐹
2
I thuộc đoạn EF thỏa mãn EI = 3 𝐸𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶
* Ta có: |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
|(𝑀𝐼
𝐼𝐴) + 2(𝑀𝐼
𝐼𝐵 ) + 3(𝑀𝐼
𝐼𝐶 )| = 12
⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ )| = 12
⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐼𝐴
⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶
|6𝑀𝐼
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗0 | = 12
|6𝑀𝐼
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12
|6𝑀𝐼
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 2
|𝑀𝐼
M (I; 2)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
3
