UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD&ĐT

NỘI DUNG
Bồi dưỡng môn Toán cho giáo viên tiểu học hè 2018
CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ HỌC
PHẦN THỨ NHẤT
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ
I. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1. Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. Khi viết một số tự nhiên ta
sử dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên
phải khác 0.
2. Có 10 số có 1 chữ số: (Từ số 0 đến số 9)
Có 90 số có 2 chữ số: (Từ số 10 đến số 99)
Có 900 số có 3 chữ số: (Từ số 100 đến 999)
…
3. Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. Không có số tự nhiên lớn nhất.
4. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên
ab a 10  b
abc a 100  b 10  c ab 10  c
abcd a 1000  b 100  c 10  d
abc 10  d ab 100  cd
Hoặc : ab = a0 + b
abc = a 00 + b0 + c
abcd = a 00 + b00 + c0 + d

= ab00 + cd
5. Quy tắc so sánh hai số tự nhiên :
a) Trong hai số tự nhiên, số nào có số chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn.
b) Nếu hai số có cùng số chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái
sang phải lớn hơn sẽ lớn hơn.

6. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0;2;4;6;8 là các số chẵn. Số chẵn có tận
cùng bằng 0;2;4;6;8.
7. Số tự nhiên có tận cùng bằng 1;3;5;7;9 là các số lẻ. Số lẻ có tận cùng
bằng 1;3;5;7;9.
8. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn ( kém)
nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp.
9. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn( kém)
nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp.
1


10. Hai số lẻ liên tiếp hơn ( kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn( kém) nhau
2 đơn vị là hai số lẻ liên tiếp.
11.Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ
số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
12. Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số
hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
13. Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
14. Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
15. Tích a x a không thể có tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8.
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH .
Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước.
*Ví dụ: Cho 4 chữ số 0; 3; 8 và 9
a) Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã
cho?
b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ
số đã cho.
Bài giải
a) Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng
đơn vị như sau:

Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thỏa mãn điều kiện đề bài ( vì
số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn).
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( đó là ba chữ số còn lại khác chữ số
hàng nghìn)
Có 2 cách chọn chữ số hàng chục ( đó là hai chữ số còn lại khác chữ số
hàng nghìn và hàng trăm)
Có một cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là chữ số còn lại khác hàng
nghìn, hàng trăm và hàng chục)
Vậy số các số viết được là:
3 x 3 x 2 x 1 = 18 ( số)
b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có
chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất ( trong 4 chữ số đã cho). Vậy chữ số hàng
nghìn của số phải tìm bằng 9.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ
số hàng trăm là 8.
Chữ số hàng chục là chữ số lớn nhất trong 2 chữ số còn lại. Vậy chữ số
hàng chục là 3.
Do đó số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho là:
9830
Tương tự phần trên ta nhận được số bé nhất thỏa mãn điều kiện của đề bài
là 3089.

2


Dạng 2: So sánh tổng hoặc điền dấu
Ví dụ: Cho A abc  ab  1997
B 1ab9  9ac  9b

Bài giải

Ta thấy: B 1009  ab0  900  a0  c  90  b
B (1009  900  90)  ( ab0  c )  ( a 0  b )
B 1999  abc  ab
Vì 1999 > 1997 nên abc  ab  1997 < 1999  abc  ab . Suy ra A < B

Dạng 3: Các bài toán giải bằng phân tích số.
Loại 1: Viết thêm một số chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số
tự nhiên.
Ví dụ: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái
số đó thì ta được một số lớn gấp 31 lần số cần tìm.
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a > 0; a và b đều nhỏ hơn 10)
Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ab ta được số mới là 21ab .
Theo bài ra ta có:
21ab = ab 31
2100 + ab = ab 31 (phân tích số 21ab = 2100 + ab )
2100 + ab = ab (30  1)
2100 + ab = ab 30 + ab (một số nhân một tổng)
2100 = ab 30 (Hai tổng bằng nhau cùng bớt ab )
ab = 2100 : 30 ( Tìm thừa số chưa biết)
ab = 70.
Thử lại: 2170 : 70 = 31 (đúng)
Vậy số phải tìm là: 70
Đáp số: 70.
Loại 2: Xóa bớt một số chữ số của một số tự nhiên.
Ví dụ: Cho một số có 3 chữ số, nếu ta xóa chữ số hàng trăm thì số đó giảm
đi 7 lần. Tìm số đó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc (a > 0; a; b và c đều nhỏ hơn 10)
Xóa đi chữ số hàng trăm ta được số: ab

Theo bài ra ta có:
abc bc 7
a 00  bc bc 7 ( Phân tích số abc = a 00  bc )
a 00  bc bc (6  1)
3


a 00  bc bc 6  bc ( Một số nhân với một tổng)
a 00 bc 6 ( Hai tổng bằng nhau cùng bớt đi bc ) (1)

Ta thấy a < 6 và a chia hết cho 3. Vậy a = 3 ( a khác 0)
Thay a = 3 vào (1) ta có:
300 bc 6
bc 300 : 6
bc 50

Thử lại: 350 : 50 = 7
Số phải tìm là: 350
Đáp số: 350
Loại 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó.
Ví dụ: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số
của nó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a > 0; a và b đều nhỏ hơn 10)
Theo bài ra ta có:
ab 5 ( a  b )
a 10  b 5 ( a  b )
( Phân tích số ab a 10  b )
a 10  b 5 a  5 b
( Một số nhân với một tổng)

a (5  5)  b a 5  b (1  4)
a 5  a 5  b a 5  b  b 4 ( Một số nhân với một tổng)
a 5 b 4 ( Hai tổng bằng nhau cùng bớt đi a 5  b )
Ta thấy tích ( b 4 ) chia hết cho 5 suy ra b phải chia hết cho 5. Vậy b = 0

hoặc b = 5
Nếu b = 0 thì a = 0 ( loại)
Nếu b = 5 thì a = 5 x 4 : 5 = 4
Thử lại: ( 4 + 5) x 5 = 45
Số cần tìm là 45
Đáp số: 45
Loại 4: Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó.
Ví dụ: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số
của nó được thương là 28 và dư 1.
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a > 0; a và b đều nhỏ hơn 10), hiệu các chữ số của
nó bằng c ( c > 0)
Theo bài ra ta có:
ab c 28  1

Ta thấy c < 4 vì nếu c lớn hơn hoặc bằng 4 thì ab nhỏ nhất là: 4 x 28 +
1= 113 ( vô lí)
Suy ra: c = 1; c = 2 hoặc c = 3
4


Nếu c = 1 thì ab = 1 x 28 + 1 = 29. Thử lại: 29 : ( 9 – 2) = 4 (dư 1)
(loại)
Nếu c = 2 thì ab = 2 x 28 + 1 = 57. Thử lại: 57 : ( 7 – 5) = 28 (dư 1)
(thỏa mãn)

Nếu c = 3 thì ab = 3 x 28 + 1 = 85. Thử lại: 85 : ( 8 – 5) = 28 (dư 1)
(thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là: 85 và 57
Đáp số: 85 và 57
Loại 5: Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó.
Ví dụ: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ
số của nó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc (0< a < 10; b và c đều nhỏ hơn 10)
Theo bài ra ta có:
abc 5 a b c
Vì 5 a b c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5. Suy ra c = 5 hoặc c = 0,

nhưng c không thể bằng 0 nên c = 5.
Số phải tìm có dạng ab5 . Thay vào ta có:
ab5 25 a b (1)
Ta thấy 25 a b chia hết cho 25 nên ab5 chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc
b = 7. Mặt khác, ab5 là số lẻ cho nên a; b phải là số lẻ. Suy ra b = 7
Thay b = 7 vào (1) ta có:
a 75 a 25 7
a 100  75 a 175 ( Phân tích số a 75 a 100  75 )
a 100  75 a (100  75)
a 100  75 a 100  a 75
75 a 75 ( Hai tổng bằng nhau cùng bớt đi a 100 )
a 75 : 75 ( Tìm thừa số chưa biết)
a 1

Ta có abc = 175
Thử lại: 5 x 1 x 7 x 5 = 175
Vậy số cần tìm là: 175

Đáp số: 175
Dạng 3: Những bài toán về xét các chữ số tận cùng của số
Ví dụ 1: Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả
sau:
a) ( 1991 + 1992 + ... +1999) – ( 11 + 12 + ... + 19 )
b) ( 1981 + 1982 + ... + 1989 ) x ( 1991 + 1992 + ... + 1999 )
c) 21 x 23 x 25 x 27 – 11 x 13 x 15 x 17
Bài giải
5


a) Chữ số tận cùng của tổng ( 1991 + 1992 + ... +1999) và ( 11 + 12 + ... +
19 ) đều bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 và bằng 5. Cho nên
hiệu trên có tận cùng bằng 0
b) Chữ số tận cùng của tổng ( 1981 + 1982 + ... + 1989 ) và ( 1991 + 1992
+ ... + 1999 ) đều bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 và bằng 5.
Cho nên tích trên có tận cùng bằng 5.
c) Chữ số tận cùng của tích 21 x 23 x 25 x 27 và 11 x 13 x 15 x 17
đều bằng chữ số tận cùng của tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 và bằng 5. Cho nên hiệu trên
có tận cùng bằng 0
Ví dụ 2: Không làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai? Giải
thích tại sao?
a) 136 x 136 – 42 = 1960
b) ab ab  8557 0
Bài giải
a) Kết quả sai, vì tích của 136 x 136 có tận cùng bằng 6 mà số trừ có tận
cùng bằng 2 nên hiệu không thể có tận cùng bằng 0.
b) Kết quả sai, vì tích của một số tự nhiên nhân với chính nó chỉ có thể có
tận cùng là một trong các chữ số 0;1;4;5;6 hoặc 9. Mà số trừ 8557 có tận cùng là
7. Do đó hiệu ab ab  8557 không thể bằng 0 được.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 4.
a) Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho.
b) Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ
5 chữ số đã cho.
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái
số đó ta được một số lớn gấp 31 lần số phải tìm.
Bài 3: Tìm số có 2 chữ số, biết rằng số đó lớn gấp 6 lần tổng các chữ số
của nó.
Bài 4: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số
hàng chục trừ đi chữ số hàng đơn vị.
Bài 5: Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải
số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị.
Bài 6: Cho số có 4 chữ số. Nếu xóa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số
đó giàm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó.
Bài 7 : Tìm số có 3 chữ số, biết chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng
chục, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị.

6


PHẦN THỨ HAI
CÁC PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ NHIÊN; PHÂN SỐ; SỐ THẬP PHÂN
NỘI DUNG 1: SỐ TỰ NHIÊN
I.

Những kiến thức cơ bản về số tự nhiên.

1. Để viết các số tự nhiên, người ta dùng mười kí hiệu (chữ số) là: 0,1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Các chữ số điều nhỏ hơn 10.
3. Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất (nằm ở gốc tia số) .
4. Không có số tự nhiên lớn nhất.
5. Các số lẻ có chữ số hàng đơn vị là : 1,3,5,7,9.
6. Các số chắn có số hàng đơn vị là : 0,2,4,6,8.
7. Hai số tự nhiên liên tiếp (liền nhau) hơn (hoặc kém nhau 1 đơn vị).
8. Hai số lẻ liên tiếp hơn (hoặc kém) 2 đơn vị.
9. Hai số chẵn liên tiếp hơn (hoặc kém) 2 đơn vị.
10. Có mười số có một chữ số là : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
11. Có 90 số có hai chữ số là các số từ 10 đến 99.
12. Có 900 số có ba chữ số là các số từ 100 đến 999.
13. Có 9000 số có bốn chữ số là các số từ 1000 đến 9999.
14. Có 900 000 000 số có chín chữ số là các số từ 100 000 000 đến
999 999 999.
15. Các số nhỏ nhất có : hai, ba, bốn,…chín chữ số là 10, 100, 1000,…
100 000 000.
16. Các số lớn nhất có : hai, ba, bốn,…chín chữ số là : 99, 999, 9999,…
999 999 999.
17. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp, cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại
đến một số chẵn …vì vậy, nếu :
a. Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng
số lượng các số chẵn.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng
số lượng các số lẻ.
b. Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều
hơn số lượng các số chẵn 1 số.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số
chẵn nhiều hơn số lượng các số lẻ 1 số.
18. a) Trong một dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số
trong dãy số chính bằng giá trị số cuối cùng của dãy số ấy.

Chẳng hạn dãy số : 1, 2, 3, 4,…7 892 653 có 7 892 653 số tự nhiên .
b) Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số lớn hơn 1 thì số lượng các
số trong dãy số bằng hiệu giũa số cuối cùng với số đầu tiên của dãy số cộng với
1 (hoặc bằng hiệu giữa số cuối cùng với số liền trước số đầu tiên).
7


VD: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 15 đến 75 có số lượng số tự nhiên là:
75 – 15 + 1 = 61 số (hoặc 75 – 14 = 61 số).
Chú ý : Cụm từ : “ Số lượng các số” đôi khi người ta nói ngắn gọn là : “Số
các số”.
19. Có thể dùng các chữ cái để viết các số tự nhiên.
VD: Để biểu thị cho một số có ba chữ số nào đó người ta viết số đó là abc và
đọc là a trăm, b chục, c đơn vị, trong đó b, c thay cho các chữ số từ 0 đến 9,
riêng a từ 1 đến 9. Số này phân tích như sau :
hoặc
abc = a  100 + b 10 + c
abc = a 00 + b0 + c
II.

Các phép tính với số tự nhiên.

A. Phép cộng:
1. Nếu ta thêm hay bớt bao nhiêu đơn vị ở một số hạng thì tổng cũng tăng thêm
hay bớt đi bấy nhiêu đơn vị.
(a – n) + (b - n) =( a + b) – (n 2)
(a + n) + (b + n)= (a + b) + (n  2)
2. Trong một tổng gồm hai số hạng, nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn
vị và bớt ở số kia bấy nhiêu đơn vị thi tổng không thay đổi .
(a + n) + ( b – n) = a + b

3. Tổng không đổi nếu ta đổi chỗ các số hạng .
a+b=b+a
4. Khi cộng một tổng hai số với số thứ ba ta có thể lấy số thứ nhất cộng với tổng
của số thứ hai và số thứ ba .
(a+b)+c=a+(b+c)
5. Muốn cộng một số với một hiệu, ta cộng số đó với số bị trừ rồi số trừ đi số trừ
a + (b - c) = (a+ b) - c
Vận dụng để tính nhẩm :
127 + 68 = 127 + (70 – 2) = (127 + 70) - 2 = 197 – 2 = 195
6. Tổng của hai số có một chữ số nếu bằng một số có hai chữ số thì chữ số hàng
chục của tổng là 1.
7. Tổng của hai số có hai chữ số mà là số có 3 chữ số thì chữ số hàng trăm của
tổng là 1.
**+ ** =
thì a = 1
8. Tổng của hai số chẵn là số chẵn .
VD : 4 + 6 = 10 12 + 16 = 28
9. Tổng các số chẵn là số chẵn .
VD : 4 + 6 + 9 +8 = 18
10. Tổng của hai số lẻ là số chẵn . VD : 7 + 5 = 12
11. Tổng của một số chẵn các số lẻ là số chẵn
VD : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.Trong đó :
- Các số hạng đều là số lẻ;
- Số lượng số hạng là số chẵn (6 số) ;
- Tổng số là số chẵn (36)
8


12.Tổng của một số lẻ với một số chẵn là số lẻ .
VD : 6 + 9 = 15

13. Tổng của một số lẻ các số lẻ là số lẻ.
VD: 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13=49.
Trong đó : - Các số hạng đều là số lẻ
- Số lượng số hạng là số lẻ (7 số)
- Tổng số là số lẻ (49)
14. Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ
nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n – 1) lần số hạng được gấp
lên đó.
15. Nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ
nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (1 -

1
) số hạng bị giảm đi đó.
n

B. Phép trừ
1. a – ( b + c) = (a – c) – b = (a – c) – b
2. Khi cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở cả số bị trừ và số trừ một số đơn vị như
nhau thì hiệu không thay đổi:
(a + n) – (b + n) = a – b
(a – n) – (b – n) = a – b
3. Hiệu của một số có hai chữ số với số có một chữ số mà là số có một chữ số thì
hàng chục của số bị trừ phải bằng 1.
ab – c = d thì a = 1
Hiệu của một số có 3 chữ số với số có 2 chữ số mà là số có 1 chữ số thì hàng
trăm của số bị trừ phải là, chữ số hàng chục của số trừ phải là 9.
abc – de = g thì a = 1 ; d = 9 .
4. Muốn trừ một số với một hiệu, ta cộng số đó với số trừ rồi trừ đi số bị trừ.
VD : 65 – (93 – 45) = 65 + 45 – 93
Vận dụng để tính nhẩm :

72 – 42 = 72 – (50 – 8) = 72 +8 – 50 = 80 – 50 = 30
5. Hiệu của hai số chẵn là số chẵn: chẵn – chẵn = chẵn
6. Hiệu của hai số lẻ là số chẵn : lẻ - lẻ = chẵn
7. Hiệu của một số lẻ và số chẵn là số lẻ :
Lẻ - chẵn = lẻ
chẵn – lẻ = lẻ
8. Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi
(n – 1) lần số trừ, (n > 1).
9. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n
đơn vị.
C. Phép nhân.
1. Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
a  b = b a
2. Khi nhân một số với tích của số thứ hai và số thứ ba ta có thể lấy tích của số
thứ nhất và số hai nhân với số thứ ba.
a  (b  c) = (a  b)  c
3. Khi nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của
tổng, rồi cộng kết quả với nhau.
a  ( b + c) = a  b + a  c
9


4. Khi nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số
trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau.
a  (b – c) = a  b – a  c
5. Tích số gấp thừa số thứ nhất một số lần bằng thừa số thứ hai.
6. Tích số gấp thừa số thứ hai một số lần bằng thừa số thứ nhất.
VD : 2  3 = 6 (6 gấp 2 ba lần, 6 gấp 3 hai lần).
7. Lấy tích số chia cho thừa số thứ nhất thì kết quả bằng thừa số thứ hai. Lấy
tích số chia cho thừa số thứ hai thì kết quả bằng thừa số thứ nhất.

8. Tích các số lẻ là số lẻ.
9. Tích một số lẻ với số chẵn là số chẵn.
10. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.
11. Tích một số có hàng đơn vị là 5 với số chẵn thì có hàng đơn vị là 0
12. Tích một số có hàng đơn vị là 5 với số lẻ thì có hàng đơn vị là 5.
13. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số
có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
14. Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5
thì tích có tận cùng là 5.
15. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số
khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.
16. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ
nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa
số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần .
(n > 0).
17. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số
được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m  n) lần. Ngược lại nếu trong một
tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi
(m  n) lần, (m và n khác 0).
18. Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm n đơn vị, thừa số còn lại giữ
nguyên thì tích được tăng thêm n lần thừa số còn lại. Ngược lại nếu một thừa số
được giảm đi n đơn vị, thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được giảm đi n lần
thừa số còn lại.
19.Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm n đơn vị, thừa số còn lại giữ
nguyên thì tích được tăng thêm n lần thừa số còn lại. Ngược lại nếu một thừa số
được giảm đi n đơn vị, thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được giảm đi n lần
thừa số còn lại.
a b = c
(a + n)  b = c + n  b
(a – n)  b = c – n  b

D. Phép chia.
1. Thương của hai số lẻ là số lẻ.
2. Thương của một số chẵn với một số lẻ là số chẵn.
3. Số lẻ không chia hết cho số chẵn.
4. Khi chia một số cho một tích hai thừa số,ta có thể chia số đó cho một thừa số,
rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
VD :
24 : (3  2) = 24 : 3 : 2 = 24 : 2 : 3
10


5. Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số
đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia .
VD: (9 15) : 3 = 9  (15 : 3) = (9 : 3)  15
6. Một tổng chia hết cho một số khi mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho số
đó.
7. Một hiệu chia hết cho một số nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho số đó.
8. Một tích chia hết cho một số nếu trong tích đó có ít nhất một thừa số chia hết
cho số đó.
9. Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia.
10. Số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị.
11. Số bị chia bằng thương nhân với số chia rồi cộng với dư. Nói cách khác số bị
chia trừ đi số dư thì chia hết cho số chia và cũng chia hết cho thương.
Suy ra :
- Trong một phép chia có số dư lớn nhất thì nếu thêm một đơn vị vào thì số dư
sẽ bằng số chia nên chia cho số chia được thêm một lần nữa. Khi đó phép chia là
phép chia không dư, số thương tăng thêm 1 đơn vị nữa và số bị chia cũng tăng
thêm 1 đơn vị.
- Trong phép chia, nếu ta cùng tăng (hoặc cùng giảm) số bị chia và số chia lên
cùng một số lần thì thương không thay đổi.

VD: 36 : 4 = 9
(36 : 2) : (4 : 2) = 9
(36  2) : (4  2) = 9
- Trong phép chia, nếu ta cùng tăng (hoặc cùng giảm) số bị chia và số chia cùng
một số lần thì thương số không thay đổi còn số dư cũng tăng lên (hoặc giảm bấy
nhiêu lần).
VD:
38 : 5 = 7 dư 3
(38  2) : (5  2) = 7 dư 6 mà 6 = 3  2
- Trong phép chia không dư, nếu ta gấp (hoặc giảm) số bị chia bao nhiêu lần và
giữ nguyên số chia thì thương cũng gấp lên (hoặc giảm) đi bấy nhiêu lần.
VD:
18 : 6 = 3
(18  3) : 6 = 9 mà 9 : 3 = 3
- Trong phép chia không dư, nếu ta giữ nguyên số bị chia và gấp (hoặc giảm) số
chia bao nhiêu lần mà số bị chia vẫn chia hết cho số chia mới thì thương sẽ
giảm đi (hoặc tăng lên) bấy nhiêu lần.
VD :
24 : 4 = 6
24 : (4  3) = 2 mà 6 : 2 = 3.
II.Tính giá trị của biểu thức
A. Kiến thức cần ghi nhớ.
1. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có
phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang
phải.
Ví dụ: 542 + 123 – 79 = 665 – 79
= 586

482 2 : 4 = 964 : 4
= 241

11


2. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính +, -, x, : thì ta thực hiện
các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng, trừ sau.
Ví dụ: 27 : 3 – 4  2 = 9 - 8
=1
3. Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn
trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau
Ví dụ: 25  (63 : 3 + 24  5) = 25  (21 + 120)
= 25  141 = 3525
24 : (4 : 4) = 24 mà 24 : 6 = 4
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1 : Tính (bằng cách thuận tiện nếu có thể):
a) 2015 14 + 2015  85 + 2015 – 2 = 2015  14 + 2015 85 + 2015  1 – 2
= 2015 (14 + 85 + 1) – 2
= 2015  100 – 2
= 201500 – 2
= 201498
b) 120 : 4+ 120 : 5 + 120 : 3 = 30 + 24 + 40
= 94

c) 17 : 2 + 13: 2 + 160 : 8 2 = (17 + 13) : 2 + 20  2
= 30 : 2 + 40
= 15 + 40
= 55
d) 1,2 : 0,03 + 2 (5,2 : 0,1 – 3,3 : 0,11) = 40 + 2  (52 – 30)
= 40 + 2  22
= 40 + 44 = 84
Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

a) 578  243 + 75  11 – 4756 = 140 454 + 825 – 4756
= 141 279 – 4756
= 136 523
b) 9458 + 4376  242 – 82  11 = 9458 + 1 058 992 – 902
= 1068450 - 902
= 1067548
c) 275  84 + 275  16 – 37  124 = 275  (84 + 16) – 37  124
= 275 100 – 37  124
= 27500 – 4588
= 22912
d) 753  284 + 94  11 – 475 = 213 852 + 1034 – 475
= 214 886 – 475
= 214 411.

Bài 3:
a/ Tính bằng cách hợp lí nhất:
2011 + 2011 + 2011 + 2011 + 2011 - 2011 �5 = 2011 �5 - 2011 �5
= 2011 �(5 - 5)
= 2011 �0
=0
12


b/ Tính giá trị biểu thức:
160 �250 �(175 - 7 �25)+ 85240 : 40 = 160 �250 �(175 - 175) + 2131
= 160 �250 �0 + 2131
= 0 + 2131
= 2131
NỘI DUNG 2 : PHÂN SỐ
Phần I. Phân số và một số tính chất cơ bản

1. Mỗi phân số có tử số và mẫu số. Tử số là số tự nhiên viết trên vạch ngang.
Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới vạch ngang.

14
5
40
;
;
15
8
100
Đọc : Mười bốn phần mười lăm;
Năm phần tám;
Bốn mươi phần một trăm.
2. Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành
một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.
8:4=

8
;
4

5:6=

5
6

…..

- Mọi số tự nhiên có thể viết thành phân số có tử số là số tự nhiên đó và mẫu số

bằng 1.
8
9
...
8  ; 9  ; 70 
1
1
...
3. So sánh phân số với 1
- Phân số có tử số bé hơn mẫu số, phân số đó bé hơn 1.
8
1
18

- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số, phân số đó lớn hơn 1.
7
1
5
- Phân số có tử số bằng mẫu số, phân số đó bằng 1.

67
1
67
4. Phân số bằng nhau
Nếu nhân (hoặc chia) cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số
tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
2 2 3 6

 ;
5 5 3 15


24 24 : 8 3


16 16 : 8 2

18 18 : ... ...

 ;
60 60 :... ...

18 18 ... ...

 ;
60 60 ... ...

4. Rút gọn phân số
13


Có thể rút gọn phân số bằng cách chia cả tử số và mẫu số với cùng một số
tự nhiên lớn hơn 1 đến khi được phân số tối giản bằng phân số đã cho.
24 24 : 8 3


16 16 : 8 2

12 12 : ... ...

 ;

54 54 :... ...

5. Qui đồng mẫu số các phân số
- Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.
- Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.
Ví dụ 1: Qui đồng mẫu số hai phân số
2
1
và
Ta có:
5 1 31 5
2 2 3
6
5

 ;


5 3 hợp
15 mẫu số lớn chia hết
3 cho
3
5 số15
- Trong một5số trường
mẫu
bé ta có thể qui đồng
phân số có mẫu số bé hơn và giữ nguyên phân số kia.
5
7
và

12 6
7 7 2 14
5

Ta có: 
và giữ nguyên phân số
6 6 2 12
12

Ví dụ : Qui đồng mẫu số hai phân số

6. So sánh hai phân số
- Hai phân số cùng mẫu số :
Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
4
7
5 4
40
40

;
 ;

15 15
8 8
100 100
- Hai phân số khác mẫu số :
Bước 1 : Qui đồng mẫu số hai phân số.

Bước 2 : So sánh.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số
3 2
và
4 3

Ta có:

3 3 3
9

 ;
4 4 3 12

Vì

2
2 4
8


;
3
3 4 12

9
8
3 2
 nên 
12 12

4 3

Phần II. Các phép tính với phân số
1. Phép cộng phân số
Cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên
mẫu số.

3 5 8
  2 ;
4 4 4

3 7 10 5
  
8 8
8
4
14


Cộng hai phân số khác mẫu số, ta qui đồng mẫu số hai phân số, rồi cộng
hai phân số đó.

3 2 9
8 17
   
4 3 12 12 12

1 3 5 12 17
  


4 5 20 20 20

2. Phép trừ phân số
Trừ hai phân số cùng mẫu số, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số
của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.

7 3 4 1
  
Trừ hai
8 phân
8 số8khác2mẫu số, ta qui đồng mẫu số hai phân số, rồi trừ hai
phân số đó.
4 1 12 5
7
5 3 40 18 22 11
  

  
 
6 8 48 48 48 24
5 3 15 15 15
3. Phép nhân phân số
Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu
số.
4 2 4 2
8
1 8
 

 .....;

3 số5 3 15
4. Phép chia5 phân
2 3
Thực hiện phép chia phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số
thứ hai đảo ngược.
7 2
7
3 21
7
:   

15 3 15 2 30 10

Bài 1: Tính (bằng cách nhanh nhất nếu có):

1 8
: .....;
2 3

32 �7 32 � 32 32
7
7
7
 �  �= ( 
) +
0  =
19 �
15 19 � 19 19
15
15 15

13
5
13 5
39 25
14 56
�4  4 � = 4 (  ) 4 ( 
) 4  
b)
5
3
5 3
15 15
15 15
16
1 1 16 13 8 16 13 7 16 91 128 91 37
 2 :1 =

:  
  



c)
6
6 7
6 6 7 6 6 8 6 48 48 48 48

a)

Bài 2: Không QĐMS, so sánh hai phân số

a)

1974
1998
1974
1

và
. Ta có 1 
1975
1999
1975 1975
1998
1
1
1
vì
nên
1


1999 1999 1975 1999

1

1974
1998
1974 1998
1



1975
1999
1975 1999

Bài 3:
a) Tính
5 �
19 6 � 5 �
19 2 �
 �  �  �  �
7 �35 15 � 7 �35 5 �

15


5 �
19 14 �
�  �
7 �35 35 �
5 5 25 5
 


7 35 35 35
20 4


35 7



b) Tính bằng cách thuận tiện nhất:
3 4 2 1 2 �3 2 � �4 1 2 �
     �  � �   �
5 7 5 7 7 �5 5 � �7 7 7 �


5 7
  11  2
5 7

Bài 4: Tính:
2 1 1 3
2 1
1 3
   = (  )+(  )
3 4 6 8
3 6
4 8
4 1
2 3
= (  )+(  )
6 6
8 8
5 5 20 15
=   
6 8 24 24
35
=
24

1 1 1 8 15 20 1 1 1 4 3 2
b)     
=     
3 4 5 10 20 30 3 4 5 5 4 3
1 2
1 3
1 4
= (  )(  )(  )
3 3
4 4
5 5
3 4 5
=  
3 4 5
= 1+1+1=3
a)

NỘI DUNG 3: SỐ THẬP PHÂN
1.Khái niệm số thập phân:
Mỗi số thập phân gồm có hai phần: Phần nguyên và phần thập phân,
chúng được phân cách bởi dấu phẩy. những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về
phần nguyên, những chữ số ở bên phải dấu phẩy thuộc về phần thập phân.
Ví dụ:
8,56 (Tám phẩy năm mươi sáu)
8, 56
Phần nguyên
phần thập phân
2. Hàng của số thập phân. Đọc, viết số thập phân.
Muốn đọc một số thập phân, ta đọc lần lượt từ hàng cao đến hàng thấp:
trước hết đọc phần nguyên, đọc dấu “phẩy”, sau đó đọc phần thập phân. Muốn

viết một số thập phân, ta viết lần lượt từ hàng cao đến hàng thấp: trước hết viết
phần nguyên, viết dấu “phẩy”, sau đó viết phần thập phân.
16


3. Số thập phân bằng nhau:
Nếu viết thêm số thập phân vào bên phải phần thập phân của một số thập
phân thì được một số thập phân bằng nó.
Ví dụ: 0,9 = 0,90 = 0,900 = 0,9000
8,75 = 8,750 = 8,7500 = 8,75000
Nếu một số thập phân có chữ số 0 ở tận cùng bên phải phần thập phân thì
khi bỏ chữ số 0 đó đi, ta được một số thập phân bằng nó.
Ví dụ: 0,9000 = 0,900= 0,90 = 0,9
8,75000 = 8,7500 = 8,750 = 8,75
4. So sánh hai số thập phân:
- So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự nhiên, số thập
phân nào có phần nguyên lớn hơn thì số đó lớn hơn.
- Nếu phần nguyên của hai đó bằng nhau thì so sánh phần thập phân, lần lượt từ
hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn,…đến cùng một hàng nào
đó, số thập phân nào có chữ số hàng tương ứng lớn hơn thì số đó lớn hơn.
- Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì hai số đó
bằng nhau.
Ví dụ: 2001,2 > 1999,7 (vì 2001 > 1999)
78,469 < 78,5 (vì phần nguyên bằng nhau, ở hàng phần mười có 4<5)
II. CÁC PHÉP TÍNH VỚI SỐ THẬP PHÂN:
1. Cộng hai số thập phân:
Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:
- Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt
thẳng cột với nhau.
- Cộng như cộng các số tự nhiên.

- Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng.
Ví dụ:

2. Trừ hai số thập phân:
Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:
- Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng
cột với nhau.
- Trừ như trừ các số tự nhiên.
- Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ
Ví dụ:

Chú ý: Nếu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số ở phần
thập phân của số trừ, thì ta có thể viết thêm một số chữ số 0 vào bên phải phần
thập phân của số bị trừ, rồi trừ như trừ các số tự nhiên.
17


Ví dụ:

3. Phép nhân:
* Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:
Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:
Nhân như nhân các số tự nhiên.
Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi
dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.
Ví dụ:

* Nhân một số thập phân với 10,100,1000…
Muốn nhân một số thập phân với 10,100,1000…ta chỉ việc chuyển dấu phẩy
của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba…chữ số.

Ví dụ:
12,25  10 = 122,5; 12,25  100 = 1225; …
* Nhân một số thập phân với số thập phân:
Muốn nhân một số thập phân với số thập phân ta làm như sau:
Nhân như nhân các số tự nhiên.
Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi
dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.
Ví dụ: 14,5  12,84 = 186,18
4. Phép chia:
* Chia một số thập phân cho một số tự nhiên:
Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên ta làm như sau:
Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia.
Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên
ở phần thập phân của số bị chia đẻ tiếp tục thực hiện phép chia.
Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia.
Ví dụ: 72,58 : 19 =

* Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,…
Muốn chia một số thập phân cho 10, 100, 1000, … ta chỉ việc chuyển dấu
phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,… chữ số.
18


Ví dụ: 213,8 : 10 = 21,38
89,13 : 100 = 0,8913
* Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một
số thập phân:
Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư, ta tiếp tục chia như
sau:
Viết dấu phẩy vào bên phải số thương.

Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp.
Nếu còn dư ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục
chia, và có thể cứ làm như thế mãi.
Ví dụ: 27 : 4 =

*Chia một số tự nhiên cho một số thập phân
Muốn chia một số tự nhiên cho một số thập phân ta làm như sau:
Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì viết thêm vào
bên phải số bị chia bấy nhiêu chữ số 0.
Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia các số tự nhiên
Ví dụ: 57 : 9,5 =
99 : 8,25 =

* Chia một số thập phân cho một số thập phân
Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:
Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu
phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.
Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.
Ví dụ: 23,56 : 6,2 =
82,55 : 1,27 =

Những điều cần chú ý:
* Cộng, trừ số thập phân ta chú ý sắp các số cùng một hàng đặt thẳng cột
(chú ý nhất là dấu phẩy) thực hiện như số tự nhiên, xong ta đánh dấu phẩy vào
kết quả cho thẳng cột với hai số trên.
* Đối với phép nhân, ta nhân như số tự nhiên, xong ta đếm xem ở cả 2 thừa
số có bao nhiêu chữ số thập phân rồi ta đánh dấu phẩy vào tích vừa tìm được từ
phải sang trái bấy nhiêu chữ số.
19



* Trong phép chia số thập phân, ta phải biến đổi thế nào để số chia là số tự
nhiên. Ta thực hiện như phép chia số tự nhiên, nhưng khi hạ chữ số đầu tiên của
phần thập phân để chia ta đánh dấu phẩy vào bên phải thương.
* Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân sang bên phải một chữ số, hai chữ
số, ba chữ số …. thì số đó gấp lên 10 lần, 100 lần, 1000 lần …
* Khi chuyển dấu phảy của số thập phân sang bên trái một chữ số, hai chữ số,
ba chữ số … thì số đó giảm đi 10 lần, 100 lần, 1000 lần ….
* Cách nhận biết số dư trong phép chia

Vậy 218 : 3,7 = 58,91 (dư 0,033)
Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho một số thập phân. Biết nếu chuyển dấu phẩy của số thập phân đó
sang bên phải một chữ số thì được số mới hơn số phải tìm là 1124,01. Tìm số
thập phân đó?
Bài giải:
Khi chuyển dấu phẩy sang bên phải một chữ số thì số đó gấp lên 10 lần.
Coi số đã cho là 1 phần thì số mới là 10 phần như thế.
Hiệu số phần bằng nhau là: 10 – 1 = 9 (phần)
Số phải tìm là: 1124,01 : 9 = 124,89
Đáp số: 124,89
Ví dụ 2: Cho một số thập phân. Biết nếu chuyển dấu phẩy của số đó sang bên
trái hai chữ số thì được số mới, số mới kém số đã cho là 1256,805.
Bài giải:
Giải: Khi chuyển dấu phẩy sang bên trái 2 chữ số thì số đó giảm đi 100 lần.
Coi số mới là 1 phần thì số phải tìm là 100 phần như thế
Hiệu số phần bằng nhau là: 100 – 1 = 99 (phần)
Số đã cho là: 1256,805 : 99  100 = 1269,5
Đáp số: 1269,5
Ví dụ 3: Tổng của hai số thập phân là 1132,12. Biết khi chuyển dấu phẩy của số

bé sang bên phải một chữ số thì được số mới, số lớn gấp 3 lần số mới. Tìm hiệu
hai số thập phân đó?
Bài giải:
Khi chuyển dấu phẩy sang bên phải 1 hàng thì được số mới vậy số mới gấp
10 lần số bé
Vậy số lớn gấp 3  10 = 30 lần số bé
Số bé là: 1132,12 : (30 +1) = 36,52
Số lớn là: 1132,12 – 36,52 = 1095,6
Hiệu hai số là: 1095,6 – 36,52 = 1059,08
Đáp số: 1059,08
Ví dụ 4: Tính (bằng cách thuận tiện nếu có thể):
20


a) 86,83 - 7,5 + 14,17- 2,5 = 86,83 + 14,17 - (7,5 + 2,5)
= 101 – 10 = 91





b) 0,25 7 4 1,25 3 8 = 0,25  4  1,25  8  7  3
= 1 10  21
= 10  21 = 210
c) 20  (3,5 + 4,15) - 1,263 : 0,03 = 20  7,65 – 42,1
= 153 – 42,1 = 110,9
Bài tập
Bài 1: Tính (bằng cách thuận tiện nếu có thể):
a) (256,8 – 146,4) : 4,8 - 20,6
b) 1,47  3,6 + 1,47  6,4

c) 15,27 – 4,13 – 1,14
d) (0,923 + 12,75) – 0,75
Bài 2: Tính (bằng cách thuận tiện nếu có thể):
a) 2,5  2,3 + 2,5 7,7 + 1,53

b)

c) 12,63 – (3,63-1,257)
Bài 3: Tìm x, biết:
a) x + 2,51  0,2 = 6,34
1
4

b) 3 – (x -

1 1 1
 :
2 2 3

d) 3,24 : 0,02- 2,3  (4,19 - 1,3)

1
1
)=
2
4

c) 13,5 : x + 1,5 : x – 1,5 = 2,5
Bài 4: Tìm x, biết:
a) x  2,5  4, 72  5, 48

b)

12
2 7
:x 
7
3 5
9
5

c) 20 0 0 �x  x �  0, 02 �100
Bài 5: Tìm số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất . Giá trị nhỏ nhất là
bao nhiêu?
A = (a  36) �(a  35) �... �(a  1)
Bài 6: Tìm x, biết:
a) 2  x + 4 5 = 300 : 2
b) 201 – (x : 3 + 6) = 193
c) x : 0,25 + x :

1
= 143
7

Bài 7:
Cho A = 1  2 + 2  3 + 3 4 + ...+ 19 20
Tính A  3
Bài 8. Tính giá trị biểu thức :
a) (38,5 + 7,42) : 3,5
b) 38,5 + 7,42 : 3,5
(38,5 - 7,42) : 3,5

38,5 - 7,42 : 3,5
Bài 9. Tính (thương lấy đến 2 chữ số sau dấu phẩy và tìm số dư nếu có) :
a) 129,2 : 4 =
b) 31,7 : 6,3 =
6,66 : 26 =
0,19 : 1,3 =
21


43,46 : 8,2 =
Bài 10. Tính giá trị biểu thức :
a) (148,71 - 85,47) : 3,4 + 25,09
b) 50,7 : (132,56 - 124,76)  3,4
Bài 11. Tính :
a) + ;
+ ;
+ ;
+ ;
2+ ;
+ ; 3+ ; +

70,78 : 3,5 =
c) (43,18 : 8,5) + (41,82 : 8,5)
d) (72,9 + 45,79) : 8,3 - 0,526

b) - ;
- ;
- ;
- ;
- ;

- ;
2- ;
-3
Bài 12. Tính
a) 2 + 3 ;
b) 5 - 2 ;

c) 4 2 ;
d) 4 : 3 ;
Bài 13. Tính
a) + + ;
b) - - ;


c)
;
d) : 
Bài 14. Tính giá trị biểu thức
a) 3 + 1  2
b) 4 - 3 : 1

Bài 15. Tìm x, biết : a) x 2 = +
b) 2 - x = 3 : 1
Bài 16. Đặt tính rồi tính :
a) 67,8 + 45 ;
b) 105 + 25,98
c) 37 - 25,56
d) 150,35 - 100,456
Bài 17. Đặt tính rồi tính :
a) 76,8  3,04 ;

b) 2,06 5,85
c) 4,06  2,8
d) 3,4  0,53
Bài 18. Đặt tính rồi tính :
a) 6,96 : 1,2 ;
b) 2,988 ; 4,5
c) 3,4 : 0,25
d) 5,75 : 0,5
Bài 19*. Tính thuận tiện :
a) 34,03  28,54 + 34,03  71,46 + 27,05
b) 45,04  42,54 - 32,54  45,04 + 3,6
Bài 20. Tính giá trị biểu thức :
a) 3,12  1,2 - 4,68 : 4
b) 43,08 - 9,2  2,8 + 4,7 : 0,5
c) 1,6  (4,5 - 2,17) : 4
d) 42,08 - 1,98  (3,6 + 2,5)
Bài 21. Tính giá trị biểu thức :
a) 3,75  4 - 4,2 + 6,25 : 0,5
b) 12,7 - 1,75 : 0,25 + 2,7  0,5
c) 3,2  (4,35 - 2,17) : 0,25
d) 34,7 + 2,4 : (3,26 - 2,51)
Bài 22: Tính bằng cách thuận tiện nhất
a)

6 16 7 21
  
7 15 6 32

b)


21 13
3
 56 
17 14
42

Bài 23: Hãy chứng tỏ các phân số sau bằng nhau
a)

13
143
và
33
363

b)

Bài 24: Không QĐMS, so sánh hai phân số:
22

12
1212
và
27
2727


a)

1974

1998
và
1975
1999

b)

1999
1993
và
2005
1999

c)

1975
1988
và
1988
2001

Bài 25: Tính giá trị của biểu thức sau
A = a + a + a +.........+ a - 99 (có 99 số a)
Với a = 1001
Bài 26:
Tổng của hai số bằng 43,75. Tìm hai số đó, biết rằng nếu số thứ nhất gấp 5
lần và giữ nguyên số thứ hai thì được tổng mới bằng 124,95.
Bài 27:
Cho A =


101 102 103


102 103 104

và B =

101  102  103
102  103  104

Bài 28: Hãy tính kết quả bằng cách hợp lý
1
1
1
1


 ... 
1 2 2 3 3 4
9 10

Bài 29: Tính
45 16  17
45 15  28

Bài 30: Tính nhanh
A=

1 1 1 1
1

1
1
1
   



2 4 8 16 32 64 128 156

PHẦN THỨ BA
TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG PHÉP TÍNH
I.CÁC QUY TẮC CẦN GHI NHỚ:
1. Phép cộng:
12
+
20 =
32
Số hạng
Số hạng
Tổng
Ta có: 12 = 32 – 20
20 = 32 – 12
23


* Quy tắc 1: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.
2. Phép trừ:
35 - 10 = 25
Số bị trừ Số từ
Hiệu

Ta có:
35 = 25 + 10
10 = 35 – 25
* Quy tắc 2: Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ.
* Quy tắc 3: Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ hiệu.
3. Phép nhân:
5
x
2
=
10
Thừa số
Thừa sô Tích
Ta có:
5 = 10 : 2
2 = 10 : 5
* Quy tắc 4: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
4. Phép chia:
4.1 Phép chia hết:
12
:
4 = 3
Số bị chia Số chia Thương
Ta có:
12 = 3 x 4
4 = 12 : 3
* Quy tắc 5: Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia.
* Quy tắc 6: Muốn tìm số chia ta lấy số bị chia chia cho thương.
4.2 Phép chia có dư:
9

:
2
=
4
( dư 1)
Số bị chia Số chia
Thương Số dư\
Ta có:
9 =4x2+1
2 = ( 9 – 1) : 4
* Quy tắc 7: Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia rồi cộng với số
dư.
* Quy tắc 8: Muốn tìm số chia ta lấy số bị chia trừ đi số dư rồi chia cho thương.
II. CÁC DẠNG TOÁN TÌM X THƯỜNG GẶP:
1. Dạng đơn:
Ví dụ 1:
x + 3720 = 8927
x = 8927 – 3720
x = 5207

4851 + x = 8546
x = 8546 – 4851
x = 3695

x – 4702 = 9198
x = 9198 + 4702

7801 – x = 4976
x = 7801 – 4976
24



x = 13900

x = 2825

x × 37 = 888
x = 888 : 37
x = 24

26 × x = 494
x = 494 : 26
x = 19

x : 12 = 126
x = 126 x 12
x = 1512

532 : x = 28
x = 532 : 28
x = 19

x : 9 = 43 ( dư 7)
x = 43 ×9 + 7
x =394
Ví dụ 2: Tìm x:
a) x + 9,41 = 25,64
x = 25,64 – 9,41
x = 16,23


254 : x = 14 ( dư 16)
x= ( 254 – 16) : 14
x = 17

3
3

4
5
3
3
x  
5
4
9
x 
20

c) x :

b) 17,2 – x = 8,7
x = 17,2 – 8,7
x = 8,5
2
3
x 
5
5
3 2
x  :

5 5
15
3
x 

10
2

d)

2. Dạng 2: (Vế phải là một biểu thức)
Ví dụ 1:
a) x : 13 = 247 – 149
b) x + 123 = 495 – 13 x 7
x : 13 =98
x + 123 = 495 – 91
x = 98 ×13
x + 123 = 404
x = 1274
x = 404 – 123
x = 281
Ví dụ 2:
a) x ×2,5 = 48 ×2,5
b) 215,6 – x = 3,4× 1,25
x ×2,5 =120
215,6 – x = 4,25
x = 120 : 2,5
x = 215,6 – 4,25
x = 48
x = 211,35

3. Dạng 3; (Vế trái là một biểu thức có dấu ngoặc, x ở ngoài dấu ngoặc)
Ví dụ 1:
a) x × (143 – 129) = 350
b) (125 – 20 x 6) + x = 198
x ×14 = 350
(125 – 120) + x = 198
x = 350 : 14
5
+ x = 198
x = 25
x = 198 – 5
x = 193
c) x – ( 2,35 + 12,4) = 26,75
d) x × ( 120 – 12,5 x 4) = 875
x – 14,75 = 26,75
x × ( 120 – 50) = 875
x = 26,75 + 14,75
x × 70 = 875
25