Khoa Kinh tế đối ngoại
Lớp: K11402B
MSSV: K114020317
Họ và tên: Võ Thanh Sang

Thứ năm ngày 22 tháng 03 năm 2012
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Điểm

Lời phê của Giảng viên

1. Quy tắc cộng:
Ví dụ 1: Một người muốn mua một chiếc xe máy tay ga hoặc xe số. Xe tay ga có 4 loại,
xe số có 6 loại. Hỏi người đó có bao nhiêu cách để mua một chiếc xe ?
Bài làm:
- Xe tay ga sẽ có 4 sự lựa chọn
- Xe số sẽ có 6 sự lựa chọn
 Nên số cách để người đó có thể mua một chiếc xe là 4 + 6 = 10 cách.
2. Quy tắc nhân:
Ví dụ 2: Một bạn gái có 6 cái áo và có 6 cái quần. Hỏi bạn gái có bao nhiêu cách mặc đồ
(biết rằng mỗi lần chỉ mặc một áo và một quần).
Bài làm
Khi đề hỏi cách mặc đồ thì ta phải hoàn thành cả việc mặc áo và mặc quần.
- Quần có 6 cách chọn.
- Áo có 6 cách chọn.
 Vậy số cách mặc đồ là 6 x 6 = 36 cách.
Ví dụ 3: Một bạn gái muốn diện đồ đi chơi Tết. Bạn đó có 6 đôi giày, 5 cái nón, 5 thỏi
son môi Lipice, 10 cái áo, 8 cái quần. Hỏi bạn ấy có bao nhiêu cách diện đồ đi chơi Tết ?
Bài làm
Công việc diện đồ đi chơi tết được hoàn thành khi chọn xong tất cả: giày, nón, thỏi son,
áo, quần.

Giày:
6 cách
Nón:
5 cách
Thỏi son:
5 cách
Áo:
10 cách
Quần:
8 cách
Vậy số cách để người này diện đồ đi chơi tết là: 6.5.5.10.8 = 12.000 cách.
Ví dụ 4: Người ta phát hành vé số, trên mỗi tờ vé số gồm 6 chữ số được chọn từ các chữ
số 0, …., 9. Hỏi có thể có bao nhiêu tờ vé số được phát hành?
1


Bài làm
Gọi abcdef là số trên tờ vé số.
Ta có:
- a có 10 cách chọn.
- b có 10 cách chọn (vì trên tờ vé số ta có thể chọn lại số đã chọn trước)
- c có 10 cách chọn.
- d có 10 cách chọn.
- e có 10 cách chọn.
- f có 10 cách chọn.
 Vậy có 106 tờ vé số được phát hành theo yêu cầu của đề bài.
3. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị:
Ví dụ 5: Một bàn có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ?
Bài làm
Số cách xếp chỗ ngồi cho 04 học sinh là hoán vị của 4 phần tử P4  4!  24 cách xếp

chỗ
Ví dụ 6: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từ các số
1, 2 , …, 6 ?
Bài làm
Ta có 6 số, lập nên số tự nhiên gồm 03 chữ số, vậy có nghĩa rằng ta sẽ chọn ngẫu
nhiên 3 trong 6 số đã cho để lập nên số tự nhiên, và thứ tự các số này là quan trọng, vì
mỗi thứ tự khác nhau sẽ tạo thành số khác nhau. Vậy, số cách để lập các số theo yêu cầu
để bài là: A36  120 (cách)
Ví dụ 7: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từ các số
0, 1, 2, …, 6?
Bài làm
Gọi số cần tìm là ABC . Xét ở vị trí A do số 0 không thể đứng đầu nên ở vị trí này
có 6 sự lựa chọn, lập luận tương tự ví dụ 6, BC được tạo ra từ 06 số còn lại và có A62 cách.
Vậy, chúng ta có thể lập : 6  A62  180 (số)
Ví dụ 8: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3 ,…., 9. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
3 thẻ từ 9 thẻ (không phân biệt thứ tự các thẻ).
Bài làm
Chọn 3 thẻ ngẫu nhiên trong 9 thẻ và thứ tự các thẻ không quan trọng nên số cách
chọn là: C39  84 (cách)
2


Ví dụ 9: Một lớp học có 30 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
ra một đội văn nghệ gồm 5 nam va 5 nữ (giả sử ai cũng tham gia được)?
Bài làm
Do không có phân biệt thứ tự nên số cách:
-

Chọn 05 nam trong 30 HS nam là: C530 cách.


-

Chọn 05 nữ trong 20 HS nữ là: C520 cách.

Do đội văn nghệ gồm cả 05 nam và 05 nữ, nên áp dụng quy tắc nhân, ta có:ố cách lập là:

C530  C520  2.209.413.024 cách.
Ví dụ 10: Một lớp học có 20 học sinh nam và 30 học sinh nữ. Cần lập ra một tam ca
nữ và một đội múa gồm 5 nam, 5 nữ.
a) Có bao nhiêu cách thực hiện việc này?
b) Có bao nhiêu cách thực hiện nếu ai đã tham gia ca thì không tham gia múa?
Bài làm
a. Dựa vào dữ kiện đề bài cho ta thấy, thứ tự các học sinh là không quan trọng.
-

Lập một tam ca nữ trong 30 HS nữ, có C330 cách.

-

Lập đội múa gồm 5 nam + 5 nữ
+

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 nam trong 20 HS nam là: C520 cách.

+

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 nữ trong 30 HS nữ là: C530 cách.

+


5
Ta áp dụng quy tắc nhân để tìm số cách lập đội múa: C520  C30
cách.

Yêu cầu của đề bài là lập ra một tam ca nữ và một đội múa gồm 5 nam, 5 nữ. Nên ta phải
5
áp dụng quy tắc nhân. Vậy số cách cần tìm là: C330  C520  C30
(cách)

b. Có bao nhiêu cách thực hiện nếu ai đã tham gia ca thì không tham gia múa?
- Số cách lập ra tam ca nữ : đáp án câu a.
- Số cách lập ra đội múa gồm 5 nam và 5 nữ: Do ai đã tham gia ca thì không tham
gia múa nên số nữ còn lại là 30  3  27 nữ. Vậy số cách để lập nên đội múa sẽ là:

C520  C527 (cách).
- Yêu cầu của đề bài là lập ra một tam ca nữ và một đội múa gồm 5 nam, 5 nữ (nếu
ai đã tham gia ca thì không tham gia múa). Nên ta phải áp dụng quy tắc nhân, tìm
được đáp số là: C330  C520  C527 cách
BÀI TẬP
Bài 1. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ,1 bi trắng; hộp II
gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi.
a. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bi từ mỗi hộp?
b. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 2 bi đỏ?
3


c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bi đỏ và 2 bi trắng?
d. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bi đỏ và 1 bi trắng?
Bài làm
a. Do không phân biệt thứ tự nên hộp 1 có C102 cách chọn, tương tự hộp 2 cũng có


C102 cách chọn. Vậy sẽ có C102  C102 cách chọn 2 bi từ mỗi hộp.
b. Chọn được 02 bi đỏ xảy ra các trường hợp sau:
Hộp 1
Hộp 2

Trường hợp 1
2 đỏ
2 trắng

Trường hợp 2
1 đỏ + 1 trắng
1 đỏ + 1 trắng

Trường hợp 1:
-

Lấy từ hộp I hai bi đỏ có : C92 cách

-

Lấy từ hộp II hai bi trắng có : C24 cách

-

Áp dụng quy tắc nhân (do một trường hợp là phải lấy được 04 bi) ta có số
cách chọn được 2 bi đỏ là: C92  C42  216 cách.

Trường hợp 2:
- Lấy từ hộp I; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C19  C11 cách.

-

Lấy từ hộp II; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C16  C14 cách.

-

Tương tự trường hợp 1, ta áp dụng quy tắc nhân có số cách chọn ở TH2 là:

C19  C11  C16  C14  216 cách.
Ta áp dụng quy tắc cộng cho câu b này (vì mỗi trường hợp 1 và 2 đều đã hoàn
thành được công việc là chọn ra 4 bi mà có 2 bi đỏ), ta có số cách chọn theo yêu
cầu đề bài là: 216  216  432 cách.
c. Câu hỏi ở câu c là chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng, đó cũng chính là 2 trường hợp
được liệt kê ra ở câu b, vậy đáp án vẫn là 432 cách chọn.
d. Chọn 3 đỏ + 1 trắng
Hộp 1
Hộp 2

Trường hợp 1
2 đỏ
1 đỏ + 1 trắng

Trường hợp 2
1 đỏ + 1 trắng
2 đỏ

-

Lập luận tương tự câu b, ta có:


-

Trường hợp 1: Số cách chọn là : C92  C16  C14  864 cách.

-

Tường hợp 2: Số cách chọn là : C19  C11  C62  135 cách.

Áp dụng quy tắc cộng ta có, số cách chọn thỏa YCBT là: 864  135  999 cách.
Bài 2. Một lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nam và 20 nữ). Chọn ngẫu nhiên 4 sinh
viên.
a. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 4 sinh viên ?
b. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 2 sinh viên nam và 2 sinh viên nữ ?
c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được ít nhất 1 sinh viên nam ?
4


d. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được nhiều nhất 2 sinh viên nam ?
e. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 4 sinh viên nữ ?
Bài làm
a. Chọn 4 sinh viên trong 50 sinh viên không phân biệt thứ tự nên số cách chọn là:
4
C50
 230.300 cách chọn.

b. Chọn 2 SV Nam và 2 SV nữ
-

2
Giai đoạn 1: chọn 2 SV nam, có C30

 435 cách chọn.

-

Giai đoạn 2: chọn 2 SV nữ, có C 220 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ở câu này là: 435 190  82.650
cách.
c. Chọn ít nhất 1 SV nam, đây là biến cố đối vs biến cố không chọn được SV nam nào,
tức chọn được 4 SV nữ.
-

-

Số cách chọn 4 SV nữ là: C420  4845 cách.

-

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 SV trong 50 SV không quan trọng thứ tự là:

4
C50
 230.300 cách.
Vậy số cách chọn được ít nhất 1 SV nam là: 230.300  4.545  225.455 cách.

d. Nhiều nhất 2 SV nam

-

Trường hợp 1

Trường hợp 2
Nam
1
2
Nữ
3
2
1
3
Trường hợp 1: số cách chọn là: C30  C20  34.200 cách.

-

2
2
Trường hợp 2: số cách chọn là: C30
 C20
 82.650 cách.

Áp dụng qui tắc cộng ta có số cách cần tính là: 34.200  82.650  116.850
cách.
e. Số cách chọn được 04 SV nữ đã làm ở câu c, đáp án là 4845 cách.
-

: ỏi có bao nhiêu cách tạo thành một số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và là 1 số
ch n từ các số 0,1,2,…,9.
Bài làm
Ở đạng toán này, lập một số có 03 chữ số mà tìm số ch n khi có mặt số 0 (không), ta phải
tiến hành xét xem các trường hợp số cuối cùng có phải là số 0 hay không?
Gọi số cần tìm là ABC , ta có:

TH1: C = 0
A: có 09 cách chọn (bỏ số 0)
B: có 08 cách (do các số phải khác nhau)
5


Vậy số cách để lập trong TH1 là: 1 9  8  72 cách.
TH2: C  0
C: có 4 cách chọn (gồm 2, 4, 6, 8)
A: có 8 cách chọn (lẽ ra có 9 nhưng số 0 không được đứng đầu)
B: có 8 cách chọn (vì trường hợp này có thể tính số 0 vào)
Vậy số cách lập là: 8  8  4  256 cách.
Áp dụng qui tắc cộng đối với TH1 và TH2 ta có, số cách để lập số có 03 chữ số phù hợp
YCBT là: 256  72  328 cách.
người

ó 10 người cần xếp thành một hàng ngang.
và :

ỏi có bao nhiêu cách xếp để hai

a. Đứng cạnh nhau.
b. Không đứng cạnh nhau.
c. Đứng cách nhau 1 người.
d. Đứng cách nhau 5 người.
Bài làm
a. Đứng cạnh nhau
- A và B có thể hoán vị cho nhau có 2!  2 cách sắp xếp.
- A và B ghép lại xem như là một người sắp chung với 8 người còn lại thành
hàng 9 người sẽ có 9!  362.880 cách sắp xếp.

- Áp dụng qui tắc nhân ta có số cách sắp xếp là: 2  362.880  725.760 cách
sắp xếp
b.
ứ
ạ
A và B không đứng cạnh nhau là phần bù của và đứng cạnh nhau, vậy số cách
để và không đứng cạnh nhau là: 10! 725.760  2.903.040 cách.
c. Đứ
ườ
- A và B có thể hoán vị cho nhau được 2!  2 cách sắp xếp.
- Có 8 cách chọn 1 người đứng giữa A và B.
- Xem như , người đứng giữa và là 01 người đứng cùng 7 người còn lại
có 8! cách sắp xếp nữa.
- Áp dụng qui tắc nhân, số cách sắp xếp thỏa YCBT là: 2  8  8!  645.120
cách sắp xếp.
d. Đứ
ườ
- A và B có thể hoán vị cho nhau được 2!  2 cách sắp xếp.
- chọn 05 người đứng giữa A và B, có phân biệt thứ tự vì đổi chỗ sẽ được
cách sắp mới nên có A85 cách sắp xếp.
-

Ghép , 5 người ở giữa và
có 4! cách sắp xếp.

là 1 người đứng cùng với 03 người còn lại vậy

6



-

Áp dụng qui tắc nhân, ta có số cách sắp xếp là: 2  A85  4!  322.560 cách.

Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa. ỏi có bao nhiêu cách xếp:
a. 8 người cùng ở một toa.
b. 8 người ở 8 toa khác nhau.
c. A, B cùng ở toa đầu.
d. , cùng 1 toa.
e. , ở cùng một toa, ngoài ra không c n ai khác.
Bài làm
ườ
ộ
Xếp ngẫu nhiên 08 người (chỉ có 08 người) vào cùng một toa xe mà xe lại có 10
toa, vậy có 10 cách sắp xếp.
b.
ườ
c nhau.
Khi 8 người lên 8 toa, 8 toa này phân biệt và hoàn toàn khác nhau, nên số cách sắp
a.

8
sẽ là: A10
 1.814.400 cách.

c.
A, B ở cùng toa đầu, có 01 cách chọn.
n 06 người còn lại, mỗi người có thể có quyền chọn 10 toa, vậy có
10 10 10 10 10 10  106 cách sắp nữa.
Áp dụng qui tắc nhân ta có: 1106  106 cách sắp xếp.

d.
Tương tự câu c, chỉ khác ở chỗ, A và B lúc này sẽ có 10 cách chọn. Nên đáp số sẽ
là: 10 106  107 cách chọn.
e.
ộ
r
A và B lên cùng 1 toa nên có 10 cách chọn. Do trong toa và không có người
nào nữa nên 6 người còn lại mỗi người chỉ còn có 09 cách chọn, nên số cách chọn
của 06 người này là: 9 6 cách sắp xếp.
Áp dụng qui tắc nhân, ta có số cách sắp xếp là: 10  96 cách sắp xếp.
ộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém ph m chất). ộp thứ hai có 5
chai thuốc (trong đó có 2 chai kém ph m chất). ấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một chai.
ỏi có bao nhiêu cách:
a) ấy được 2 chai thuốc.
b) ấy được 2 chai thuốc tốt.
c) ấy được 1 chai tốt và 1 chai kém ph m chất.
Bài làm
a. Số

ấ ượ
ố
Hộp 1: lấy ngẫu nhiên 1 chai thuốc trong 8 chai không phân biệt thứ tự nên có

C18 cách lấy.

7


Hộp 2: lấy ngẫu nhiên 1 chai thuốc trong 5 chai không phân biệt thứ tự nên có


C15 cách lấy.

Áp dụng qui tắc nhân, có số cách lấy được hai chai thuốc là:
C18  C15  8  5  40 cách.
b.

c.

X

ấ ượ
ố ố
Có duy nhất 01 trường hợp:
-

Hộp 1: 1 tốt có C15 cách lấy.

-

Hộp 2: 1 tốt có C13 cách lấy.

-

áp dụng qui tắc nhân có C15  C13  5  3  15 cách.

ấ

ượ
ố
- Xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1
Hộp 1
Tốt
Hộp 2
Xấu
rường hợp 1:

ấ
Trường hợp 2
Xấu
Tốt

Số cách lấy là: C15  C12  5  2  10 cách.
X

rường hợp 2:
Số cách lấy là: C13  C13  3  3  9 cách.
Áp dụng qui tắc cộng có: 10  9  19 cách lấy.

*

: ó 12 người trong đó có 7 nam và 5 nữ xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang.
ỏi có bao nhiêu cách để xếp 12 người sao cho:
a) Thành một hàng ngang.
b) Nữ không đứng cạnh nhau.
c) hỉ có hai chị và đứng cạnh nhau.
d) hỉ có hai chị đứng cạnh nhau.
Bài làm

a. T

ộ
Sắp xếp thành 01 hàng ngang ngẫu nhiên, bất kì, nên số cách xếp là
12!  479.001.600 cách.
b. ữ
ứ
ạ
Do nữ không đứng cạnh nam nên nữ phải đứng xem kẽ với nam. (M: male)
M
M
M
M
M
M B
A M
- 7 nam sẽ có 7! cách sắp xếp.
- Giữa 7 nam có 6 chỗ cho nữ vào + với đầu và đầu B. Tổng cộng có 8 chỗ
cho nữ vào. Sự sắp xếp 5 nữ này vào 8 chỗ trên là có phân biệt thứ tự và
bằng: A85 cách.
c.

Áp dụng qui tắc nhân, số cách cần tìm là: 7! A85  33.868.800 cách.

ỉ
ị
ứ
ạ
Tương tự câu b,
- 7 nam có 7! cách sắp xếp
8



và

đứng cạnh nhau có 2! cách sắp xếp.

-

Hai chị

-

A và B gộp chung thành 1, sắp cùng vs 3 nữ còn lại vào 8 chỗ, vậy có A84
cách sắp.

d.

-

Vậy số cách sắp xếp sẽ là: 7! 2! A84  16.934.400 cách sắp xếp.

-

ị ứ
ạ
Xếp 7 nam trước có 7!.

-

Lấy ngẫu nhiên 2 chị và 2 chị này có phân biệt thứ tự nên có A52 cách lấy.


-

Gộp chung 2 chị này lại, xem như có 4 chị xếp vào 8 chỗ trống có A84 cách

ỉ

xếp.
-

Áp dụng qui tắc nhân có: 7! A52  A84  169.344.000 cách sắp xếp.

ột ban lãnh đạo gồm 10 thành viên của
có trách nhiệm đảm bảo rằng tất cả
các dự án xây dựng mới đáp ứng các chu n mực được đề ra. ột nhà ga mới có dự tính
được xây dựng ở
. ột ủy ban nhỏ gồm 4 thành viên được chọn ra để xem xét dự án
này. ỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 thành viên này?
Bài làm
Lập 1 ủy ban gồm 4 người, chọn ngẫu nhiên trong 10 thành viên của TP HCM,
không phân biệt chức vụ và thứ tự là không quan trọng nên số cách lấy là: C104 cách.
: ột thành viên của tổ chức bảo vệ môi trường muốn chọn lựa ngẫu nhiên một mẫu
gồm 10 bãi rác. Trong thành phố hiện có 15 bãi rác mà cô ấy có thể chọn lựa. ỏi có bao
nhiêu cách chọn lựa?
Bài làm
Thành viên này chọn ngẫu nhiên 10 bãi rác trong số 15 bãi rác; không phân biệt
thứ tự nên số cách để chọn là: C10
15  3003 cách.
Tờ báo Times đã chu n bị 15 câu hỏi để phỏng vấn tổng thống. ọ sẽ chọn lựa ra
10 câu hỏi. ỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau để chọn lựa ra 10 câu hỏi này biết rằng
việc chọn lựa có sắp thứ tự ?

Bài làm
Tờ báo Times chọn ngẫu nhiên 10 trong 15 câu hỏi và có phân biệt thứ tự để hỏi
tổng thống, vậy số cách để chọn là: A10
15 cách.
ột công ty sắp được thành lập với 3 người lãnh đạo, một nhóm gồm 7 nhà quản
l hoàn toàn có đủ khả năng để đảm nhận các vai tr này. ỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3
nhà lãnh đạo từ 7 nhà quản l hiện có ?
Bài làm
Chọn 3 người lãnh đạo trong 7 người quản lí, không phân biệt thứ tự nên số cách
chọn sẽ là: C 37 cách.
9


II. PHÉP THỬ (THÍ NGHIỆM) NGẪU NHIÊN và BIẾN CỐ
2.1 Phép thử và biến cố ngẫu nhiên
ụ
Một người bắn 03 viên đạn vào một mục tiêu. Hỏi có bao nhiêu trường
hợp và liệt kê các trường hợp này ?
Bài làm
A là biến cố bắn trúng một mục tiêu = { A1 A2 A3 ; A1A2 A3 ; A1 A2A3 }
B là biến cố có 2 viên bắn trúng mục tiêu = { B1B2 B3 ; B1 B2B3 ; B1B2 B3 }
C là biến cố có 3 viên trúng mục tiêu = { C1C 2 C3 }
D là biến cố có ít nhất một viên trúng mục tiêu = {ABC}
E là biến cố không viên nào trúng mục tiêu = { E1 E2 E3 }
ụ
ột thí nghiệm liên quan đến việc thảy một con xúc xắc. ãy nên r các
biến cố sơ cấp trong những biến cố sau đây:
a.
: quan sát được số 2
b.

: quan sát được một số lẻ
c.
: quan sát được một số nhỏ hơn 4
d. D : quan sát được cả và
e.
: quan sát được hoặc hoặc cả hai
f.
: quan sát được cả và .
Bài làm
Biến cố sơ cấp có trong các trường hợp được liệt kê là: : Quan sát được số 2.
Ví dụ 14-1: Một nhà đầu tư sở hữu 3 loại cổ phiếu. Mỗi cổ phiếu, độc lập với nhau sẽ có
những khả năng sau (1) giảm giá trị;(2) tăng giá trị; (3) không thay đổi giá trị. Liệt kê tất
cả những kết quả có thể xảy ra của 3 cổ phiếu này?
Bài làm
Các kết quả có thể xảy ra được mô tả trong bảng sau:
Cổ phiếu I

Cổ phiếu II

Cổ phiếu III

1

1

1

1

1


2

1

1

3

1

2

1

1

2

2

1

2

3

1

3


1

10


1

3

2

1

3

3

2

1

1

2

1

2


2

1

3

2

2

1

2

2

2

3

1

1

3

1

2


3

1

3

3

2

1

3

2

2

3

2

3

3

3

1


3

3

2

3

3

3

2.2 Quan hệ giữa các biến cố
ụ
ột lớp học có 30 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ anh văn
hoặc háp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi nh văn, 15 sinh viên giỏi háp văn. ỏi có
bao nhiêu sinh viên giỏi cả nh văn và háp văn ?
Bài làm
Sỉ số lớp là 30 SV, nhưng số người biết tiếng Anh và tiếng Pháp cộng lại là
20  15  35 người > sỉ số lớp. Vậy số người giỏi cả hai ngôn ngữ là: 35  30  5 người.
ụ
ột hội nghị có 50 đại biểu tham dự thì trong đó có 30 người biết tiếng nh,
20 người biết tiếng háp, 15 người biết tiếng Nga, 10 người biết tiếng nh và háp, 8
người biết tiếng nh và Nga, 5 người biết tiếng háp và Nga, 3 người biết tiếng nh,
háp, Nga. ỏi có bao nhiêu người:
a)
b)

iết ít nhất một ngoại ngữ kể trên
hỉ biết tiếng nh.

Bài làm

ười biết ít nhất một ngoại ngữ ược tính theo công thức:
Người biết tiếng Anh + Biết tiếng Pháp + biết tiếng Nga – người biết tiếng Anh,
Nga - người biết tiếng Anh, Pháp – người biết tiếng háp, Nga + người biết tiếng Anh,
Pháp, Nga = 30  20 15 10  8  5  3  45 người.
a. Số

11


b. Chỉ biết tiếng Anh
Số người biết tiếng Anh – số người biết tiếng Anh, Pháp – số người biết tiếng Anh
Nga + số người biết tiếng Anh, Pháp, Nga = 30 10  8  3  15 người.
ụ -1:
bi. Tìm:

ột hộp có 10 viên bi, trong đó có 8 viên bi xanh. ấy ngẫu nhiên ra 3 viên

a. Xác suất để cả 3 viên bi là bi xanh
b. Xác suất để chỉ có 2 viên bi xanh.
Bài làm
a. Gọi A là là biến cốlấ ượ
- Số trường hợp thuận lợi để lấy được 03 bi xanh là: C 83
-

Số trường hợp đồng khả năng là: C103

-


Vậy xác suất cần tìm là: P(A) 

C83
7

3
C10 15

b. Gọi B là biến lấ ược chỉ 2 viên bi xanh
- Số trường hợp thuận lợi cho B là: C82 C12
-

Số trường hợp đồng khả năng là: C103
Vậy xác suất cần tìm là: P(B)

C82C12 7
 3 
C10
15

ụ
ột hộp thuốc có 20 ống thuốc, trong đó có 16 ống thuốc c n hạn. ấy ngẫu
nhiên ra 4 ống. Tìm:
a) Xác suất để chỉ có 3 ống c n hạn
b) Xác suất để chỉ có 1 ống c n hạn.
Bài làm
a. Gọi A là biến cố lấ ược 3 ống còn hạn sử dụng
- Số trường hợp thuận lợi cho A là: C163 C14
-


Số trường hợp đồng khả năng là: C420
Vậy xác suất cần tìm là: P(A)

3
C16
C14 448
 4 
C20
969

b. Gọi B là biến cố lấ ược chỉ có 1 ống còn hạn sử dụng
- Số trường hợp thuận lợi cho A là: C116 C34
-

Số trường hợp đồng khả năng là: C420

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(B) 

C116C34
64

4
C20
4845

ụ
Đoàn tàu gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở trong đó đang có 12 hành khách chờ
lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau: mỗi toa c n

ít nhất 12 chỗ trống. Tìm xác suất để:
12


a) Tất cả cùng lên toa II
b) Tất cả cùng lên một toa
c) Toa I có 4 người, toa II có 5 người, c n lại lên toa III
d) Toa I có 4 người.
Bài làm
a. Gọi A là biến cố tất cả cùng lên toa II
- Số trường hợp thuận lợi cho A là 1.
-

Số trường hợp đồng khả năng là: 312 (vì 1 hành khách có 3 quyền lựa chọn lên
tàu vì tàu có 03 toa. Mà có tất cả 12 hành khách nên số trường hợp đồng khả
năng có thể xảy ra là: 3.3.3...3  312 .

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) 

1
312

b. Gọi B là biến cố tất cả cùng lên 01 toa
- Số trường hợp thuận lợi cho B là 3 (vì tàu có 03 toa).
-

Số trường hợp đồng khả năng là: 312 (vì 1 hành khách có 3 quyền lựa chọn lên
tàu vì tàu có 03 toa. Mà có tất cả 12 hành khách nên số trường hợp đồng khả

năng có thể xảy ra là: 3.3.3...3  312 .

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) 

3
312

c. Gọi C là biến cố T
ườ
ườ
ạ
4
- Số cách chọn người lên toa 1 là: C12 cách (vì chọn ngẫu nhiên 4 trong 12
không phân biệt thứ tự để sắp lên toa 1 mà thôi).
-

Số cách chọn người lên toa 2 là: C 85 cách.

-

Số cách chọn người lên toa 3 là: C 33 cách.

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(C) 

4
C12

C85C33 34.650

312
312

d. Gọi D là biến cố
ườ
Số cách chọn người lên toa I là: C124 cách.
8 người còn lại có 28 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân có: số trường hợp của biến cố D là: C124  28
-

Vậy xác suất cần tìm là: P(D) 

4
C12
 28
312

ụ
Thang máy của 1 khách sạn có 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 5 khách vào chờ
thang máy. ỗi khách lên tầng một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau. Tìm xác suất
để:
a. Tất cả cùng lên tầng 5
b. Tất cả cùng lên một tầng
c. 5 người ra 5 tầng khác nhau
13


d. Người


và

ra cùng tầng.
Bài làm

a. Gọi A là biến cố tất cả cùng lên t ng 5
- Số trường hợp thuận lợi cho A là 1.
-

Số trường hợp đồng khả năng là: 9 5 (vì 1 hành khách có quyền chọn lên từ
tầng 2 đến 10, mỗi người có 9 sự lựa chọn).

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) 

1
95

b. Gọi B là biến cố tất cả cùng lên một t ng
- Số trường hợp thuận lợi cho B là 9.
-

Số trường hợp đồng khả năng là: 9 5 (vì 1 hành khách có quyền chọn lên từ
tầng 2 đến 10, mỗi người có 9 sự lựa chọn).

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(B) 


9
1
 4
5
9
9

c. Gọi C là biến cố
ườ r
Thang mays đi từ tầng 2 đến tầng 10, có phân biệt thứ tự. Khách ra ở các tầng sẽ phân
biệt với nhau.
- Số trường hợp thuận lợi cho C là A 59 .
-

-

Số trường hợp đồng khả năng là: 9 5 (vì 1 hành khách có quyền chọn lên từ
tầng 2 đến 10, mỗi người có 9 sự lựa chọn).
Vậy xác suất cần tìm là: P(C)

A59 15.120
 5 
9
95

d. Gọi D là biến cố ườ
r
- Số trường hợp thuận lợi cho D là 9.93 (vì A và B ra cùng tầng có 9 trường hợp
thuận lợi, 3 người còn lại mỗi người lại có 9 quyền lựa chọn nên có 93 cách,

vậy số trường hợp của A là 9.93).
-

Số trường hợp đồng khả năng là: 9 5 (vì 1 hành khách có quyền chọn lên từ
tầng 2 đến 10, mỗi người có 9 sự lựa chọn).

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(C) 

9.93 1

95
9

ụ
ột người mua 15 chiếc tivi. nh ta sẽ đồng mua lô tivi 15 chiếc nếu kiểm
tra ng u nhiên 4 chiếc, thấy không có chiếc nào bị khuyết tật. hủ cửa hàng đưa ra 15
chiếc trong đó có 3 chiếc bị khuyết tật. Tính khả năng chủ cửa hàng gặp may bán được lô
hàng đó ?
Bài làm
-

Gọi A là biến cố người chủ cửa hàng bán được lô hàng.
Người mua kiểm tra ngẫu nhiên 4 chiếc trong 15 chiếc, không phân biệt thứ tự nên số
4

cách chọn là C15
14



-

-

Nếu chủ cửa hàng được gặp may thì người mua kiểm tra 4 chiếc phải là tốt trong 154
3=12 chiếc tốt của cửa hàng. Số trường hợp thuận lợi xảy ra là: C12
Vậy xác suất để chủ cửa hàng gặp may bán được lô hàng là: (A)
ụ

4
C12
33
 4 
C15 91

Tỉ lệ ph m của một nhà máy là 5 . ãy giải thích về con số này.
Bài làm

Con số 5 có nghĩa là nếu chọn ngẫu nhiên 100% số sản ph m được sản xuất ra tại nhà
máy đó thì phế ph m sẽ là 5%.
ụ
Bốn chuông báo cháy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để khi có cháy mỗi
chuông kêu là 0,95. ãy giải thích con số này.
Bài làm
Con số này có

nghĩa là: khi có cháy thì xác suất mỗi chuông kêu sẽ là 95%.

ụ

ó hai xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II. Xác suất bắn trúng đích của các loại xạ
thủ theo thứ tự là 0,9 và 0,8. ãy giải thích về các con số trên.
Bài làm
Con số trên có nghĩa là khả năng bắn trúng của 2 xạ thủ loại I là 90% và khả năng bắn
trúng của 8 xạ thủ loại II là 80%.
ụ
ó ba cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản ph m . Tỉ lệ sản ph m loại
trong ba cửa hàng I, II, III lần lượt là 70 , 75 và 50 . ãy giải thích về các con số
trên.
Bài làm
Con số trên có nghĩa là ở sản ph m Y, khả năng loại A ở mỗi cửa hàng I, II, III lần lượt
là 0,7; 0,75; 0,5.
BÀI TẬP
ậ
ột lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nam và 20 nữ).
sinh viên. Tính các xác suất sau:
a) Có 2 nam.
b)

ó ít nhất 1 sinh viên nam.

c)

ó nhiều nhất 2 sinh viên nam.

d) Không có sinh viên nam.

15

họn ngẫu nhiên 4



Bài làm
a. Gọi A là biến cố chọ

ượ

r

S

ược chọn ra

-

2
2
Số trường hợp thuận lợi cho A là : C30  C 20 cách.

-

4
Số trường hợp đồng khả năng là: C50 cách (vì chọn ngẫu nhiên 4 trong 50 SV

không phân biệt thứ tự)
-

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A)

b. Gọi B là biến cố lấ


2
2
C30
 C20
1653


 0.359
4
C50
4606

ược 4 SV nữ.

-

4
Số trường hợp thuận lợi cho B là: C 20 cách.

-

4
Số trường hợp đồng khả năng là: C50 cách (vì chọn ngẫu nhiên 4 trong 50 SV

không phân biệt thứ tự).

C420
969
 4 

C50 46060

-

Vậy P(B)

-

Gọi C là biến cố lấy được ít nhất 1 sinh viên nam. Ta thấy biến cố C là biến cố
bù của biến cố B nên:

P(C)  1  P(B)  1 
c. Gọi D là biến cố lấ

ược

ề

Nam
Nữ
Số trường hợp
thuận lợi
-

969
 0.979
46060

ấ


.

Trường hợp 1
1
3

Trường hợp 2
2
2

C130  C320

2
2
C30
 C 20

4
Số trường hợp đồng khả năng là: C50 cách (vì chọn ngẫu nhiên 4 trong 50 SV

không phân biệt thứ tự).
3
2
2
C130  C20
 C30
 C20

 0.5074
4

C50

-

Vậy P(D)

-

Gọi E là biến cố không có SV nam nào được chọn ra, vậy lấy được 4 SV nữ.

-

4
Số trường hợp thuận lợi cho E là: C 20

-

4
Số trường hợp đồng khả năng là: C50 cách (vì chọn ngẫu nhiên 4 trong 50 SV

d.

không phân biệt thứ tự).

16


-

Xác suất cần tìm là: P(E)


C420
 4  0.021
C50

ậ : ó hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng,
hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. ấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi. Tính xác suất trong các
câu sau:
a. Chọn được 2 bi đỏ
b.

họn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng

c.

họn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng.
Bài làm

a. Gọi A là biến cố chọ ượ
ỏ
Chọn được 02 bi đỏ xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1
2 đỏ
2 trắng

Hộp 1
Hộp 2
Trường hợp 1:
- Lấy từ hộp I hai bi đỏ có : C92 cách


Trường hợp 2
1 đỏ + 1 trắng
1 đỏ + 1 trắng

-

Lấy từ hộp II hai bi trắng có : C24 cách

-

Áp dụng quy tắc nhân (do một trường hợp là phải lấy được 04 bi) ta có số
cách chọn được 2 bi đỏ là: C92  C42  216 cách.

Trường hợp 2:
- Lấy từ hộp I; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C19  C11 cách.
-

Lấy từ hộp II; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C16  C14 cách.

-

Tương tự trường hợp 1, ta áp dụng quy tắc nhân có số cách chọn ở TH2 là:

C19  C11  C16  C14  216 cách.
Ta áp dụng quy tắc cộng cho câu b này (vì mỗi trường hợp 1 và 2 đều đã
hoàn thành được công việc là chọn ra 4 bi mà có 2 bi đỏ), ta có số cách chọn theo
yêu cầu đề bài là: 216  216  432 cách.
2
2
- Số trường hợp đồng khả năng là: C10  C10  2025

-

432
Vậy xác suất cần tìm là: P( A )  2025  0.213

b. Câu hỏi câu b là chọ ượ
ỏ và 2 bi trắng, đó cũng chính là 2 trường hợp
được liệt kê ra ở câu a, Vậy xác suất cần tìm vẫn là 0.213.
c. Chọ
ỏ + 1 trắng
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Hộp 1
2 đỏ
1 đỏ + 1 trắng
Hộp 2
1 đỏ + 1 trắng
2 đỏ
-

Lập luận tương tự câu a, ta có:
17


-

Trường hợp 1: Số cách chọn là : C92  C16  C14  864 cách.

-


Tường hợp 2: Số cách chọn là : C19  C11  C62  135 cách.

Áp dụng quy tắc cộng ta có, số cách chọn thỏa YCBT là: 864  135  999 cách.
-

2
Số trường hợp đồng khả năng là: C10
 C102  2025

999

-

Vậy xác suất cần tìm là: P( A )  2025  0.4933

ậ
Ba (03) bàn chải đánh răng bị lỗi vô tình được chuyển đến một nhà thuốc cùng
với 17 bàn chải không bị lỗi.
a. Xác suất 2 bàn chải đầu tiên bán ra bị trả lại vì do bị lỗi là bao nhiêu?
b. Xác suất 2 bàn chải đầu tiên bán mà không bị trả lại là bao nhiêu?
Bài làm
a. Gọi A là biến cố 2 bàn

ả

r

ị rả ạ .

-


Số trường hợp thuận lợi cho A là: C32 trường hợp.

-

Số trường hợp đồng khả năng là: C 220 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 20 bàn
chải).

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) 

C32
3

2
C20 190

ả

b. Gọi B là biến cố

ị rả ại.

-

Số trường hợp thuận lợi cho B là: C172 trường hợp.

-


Số trường hợp đồng khả năng là: C 220 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 20 bàn
chải).

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) 

C172 136

 0.716
C220 190

ậ : hín mươi (90) học sinh sẽ tốt nghiệp từ trường phổ thông ima Shawnee
trong mùa xuân này. Trong 90 học sinh này có 50 học sinh dự định sẽ học tiếp đại học.
ai hoc sainh được chọn ngẫu nhiên để kéo cờ trong buổi l tốt nghiệp.
a. Tính xác suất để cả hai học sinh được chọn đều dự định học tiếp đại học?
b. Tính xác suất để một trong hai hoc sinh được chọn dự định học tiếp đại học?
Bài làm
a. Gọi A là biến cố

ả

ọ

ượ

ọ

ề


ị

ọ

ế

ạ

ọ

-

2
Số trường hợp thuận lợi cho A là: C50
trường hợp.

-

2
Số trường hợp đồng khả năng là: C90
(vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90

người).
-

Vậy xác suất cần tìm là: P(A)

2
C50
245

 2 
 0.306
C90 801

18


ộ r

b. Gọi B là biến cố
-

ượ

ọ

ị

ọ

ế

ạ

ọ

Một trong hai dự định học Đ , vậy 1 người học, người còn lại sẽ không
học.

-


Số trường hợp thuận lợi cho B là: C 50  C 40 trường hợp.

-

2
Số trường hợp đồng khả năng là: C90
(vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90

1

1

người).
-

Vậy xác suất cần tìm là: P(B) 

C150  C140 400

 0.499
2
C90
801

ậ 5: an giám đốc của một công ty cửa tự động Saner có 12 thành viên, trong đó có
3 nữ, một hội gồm 3 người được chọn ngẫu nhiên từ ban giám đốc trên để viết kế hoạch
và chính sách hàng năm mới cho công ty.
a. Tính xác suất để tất cả thành viên của hội đồng được chọn ra đều là nam?
b. Tính xác suất để ít nhất một thành viên của hội đồng được chọn ra la nữ?

Bài làm
ấ

a. Gọi A là biến cố

ả

ộ

ượ

ọ r

ề

3

-

Số trường hợp thuận lợi cho B là: C 9 trường hợp.

-

3
Số trường hợp đồng khả năng là: C12
(vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90 người).

-

C39 21

 3 
 0.382
C12 55

Vậy xác suất cần tìm là: P(B)
ấ

b. Gọi B là biến cố

ộ

ộ

ượ

ọ r

ữ.

Rõ ràng biến cố A là biến cố bù của biến cố B, vậy:
P(B)  1  P(A)  1 

21 34

 0.618
55 55

ậ
Trong 24 lon nước ngọt có một (01) lon bị nhi m khu n. ấy ngẫu nhiên 3 lon
để kiểm tra.

a.

ỏi có bao nhiêu cách khác nhau có thể chọn của 3 lon nước trên.

b. Tính xác suất để lon bị nhi m khu n có trong khi chọn kiểm tra.
Bài làm
ước ngọt ngẫu nhiên, không phân biệt thứ tự trong 24 lon nước

a. Chọ

ngọt. Vậy có: C324 cách.
b. Gọi A là biến cố

ị

r

ọ

r .

-

Số trường hợp thuận lợi cho A là: C1  C 23 trường hợp.

-

Số trường hợp đồng khả năng là: C324 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90

1


2

người).
-

Vậy xác suất cần tìm là: P(B)

2
C11  C23
1


 0.125
C324
8

19


3.3 Một số quy tắc tính xác suất:
3.3.1 Quy tắc cộng
Quy tắc cộ
ơ
ản
Ví dụ 29: ột lô hàng chứa 15 sản ph m gồm 10 sản ph m tốt và 5 sản ph m xấu.
họn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản ph m. Tính xác suất để trong 4 sản ph m chọn ra có:
a. Số sản ph m tốt không ít hơn số sản ph m xấu.
b. t nhất 1 sản ph m xấu.
a. Gọi A là biến cố ố ả

ó các trường hợp:

ố

Bài làm
ược chọ r

Trường hợp 1
Trường hợp 2

3 tốt
2 tốt

Trường hợp 1: Gọi A1 là biến cố

ơ

ố ả

ấ

1 xấu
2 xấu
rường hợp 1

-

3
Số trường hợp thuận lợi là: C10
 C15


-

Số trường hợp đồng khả năng là: C154

-

Vậy : P(A1) 

C103  C15 40

C154
91

Trường hợp 2: Gọi A2 là biến cố rường hợp 2
- Số trường hợp thuận lợi là: C102  C52
-

Số trường hợp đồng khả năng là: C154

-

C102  C52 30


C154
91

Vậy : P(A1)


Do biến cố A1 và A2 xung khắc nên: P(A)  P(A1)  P(A 2) 
b. Gọi B là biến cố

ấ

ả

Gọi C là biến cố có 4 sản ph m tốt: P(C)

40 30 10


91 91 13

ấ
C4
2
 104 
C15 13

Biến cố C là biến cố bù của biến cố B nên: P(B)  1  P(C)  1 

2 11

13 13

ụ
ột lô hàng có 6 chính ph m và 4 phế ph m. ấy ngẫu nhiên lần lượt từ lô
hàng đó ra 2 sản ph m theo phương thức không hoàn lại. Tìm xác suất để lấy được:
a. ai chính ph m.

b.
ột chính ph m.
Bài làm
Gọi Ai (i=1 hoặc i=2) là biến cố thứ i lấy được chính phẩm.
a. Gọi A là biến cố lấ

ược hai chính ph m

20


6 5 1
 
10 9 3
b. Gọi B là biến cố lấ ược một chính ph m.
Gọi Bi (i=1,2) là biến cố thứ i lấy được chính ph m. B1 và B2 xung khắc với nhau
nên:
P(A)  P(A1)  P(A 2) 

P(B)  P(B1)  P(B2) 

6 4 4 6 8
   
10 9 10 9 15

ụ
a xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng đích lần lượt là
0.9; 0.8 và 0.7. ãy tính xác suất để chỉ có một xạ thủ trúng đích.
Bài làm
Gọi A là biến cố chỉ có một xạ thủ bắn trúng.

Gọi i (i  1,3) là biến cố xạ thủ bắn trúng lần thư i.
Theo đầu đề, ta có:   1 2 3  12 3  1 2 3
Do các nhóm biến cố trên xung khắc, nên
 (A)  ( 1  2 3 )  ( 1 2 3 )   ( 1  2 3 )
 ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )
 0.9  0.2  0.3  0.1 0.8  0.3  0.1 0.2  0.7  0.092

Quy tắc cộng tổng quát
ụ

ột lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh viên
giỏi nh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và nh văn. họn ngẫu nhiên một
sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn
Toán hoặc nh văn.
Bài làm
Gọi A là biến cố sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc nh văn.
A1 là biến cố sinh viên giỏi môn Toán, A2 là sinh viên giỏi môn Anh.
Do hai biến cố trên không xung khắc, có phần giao nên:

( )  ( 1)  ( 2)  ( 1. 2)


60 70 40


 0,9
100 100 100

ụ
ột lô hàng có 6 chính ph m và 4 phế ph m. ấy ngẫu nhiên lần lượt từ lô

hàng đó ra hai sản ph m theo phương thức không hoàn lại. Tìm xác suất để lấy được ít
nhất một chính ph m.
Bài làm
21


-

Gọi A là biến cố lấy ít nhất một chính ph m.
Gọi Ai (i=1 hoặc i=2) là biến cố thứ i lấy được chính ph m.
1
Xác suất lấy được hai chính ph m tính ở VD 30 là:
3
Do các biến cố trên không xung khắc nên:
( )  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )


6 6 1 78
  
10 10 3 90

BÀI TẬP
ậ
ai người cùng đến khám bệnh. Xác suất mắc bệnh tương ứng là 0.01 và 0.03.
Tìm xác suất để:
a. ó ít nhất 1 người bị bệnh
b. ó không quá 1 người bị bệnh.
Bài làm
a. Gọi A là biến cố có ít nhất một ngừơ
C không bị bệnh.


ị bệnh. Gọi B, C lần lượt là biến cố người B,

Ta có:

(A)  (BC)  (BC)  (BC)  (B)(C)  (B)(C)  (B)(C)
 0,01.0,03  0,01.0,97  0,99.0,03  0,0397
ười bị bệnh.

b. Gọi D là biến cố có không quá mộ
Ta lại có:

(D)  (BC)  (BC)  P(BC)  (B)(C)  (B)(C)  P(B)P(C)
 0.01 0.97  0.99  0.03  0.99  0.97  0.9997
ậ : ột ngôi sao đua xe chỉ đua xe 2 chặng trong một ngày. Xác suất anh ấy thắng
chặng 1 là 0.7, xác suất anh ấy thắng chặng 2 là 0.6 và xác suất anh ấy thắng cả 2 chặng là
0.5. Tìm xác suất để:
a.

nh ấy thắng ít nhất 1 chặng.

b.

nh ấy chỉ thắng duy nhất 1 chặng.

c.

nh ấy không thắng cả 2 chặng.
Bài làm


a. Gọi A là biến cố
e thắng ít nhất một chặng.
- Do các biến cố trên không xung khắc nên :

( )  ( 1 )  ( 2 )  ( 1. 2 )  0.7  0.6  0.5  0.8
b. Gọi B là biến cố anh ấy chỉ thắng duy nhất một chặng.
22


Theo yêu cầu đề bài, ta có:   1 2  12
Ta lại có: A  B  A1.A2 Từ đó :

( )  ()  ( 1. 2 )  P(B)  ( )  ( 1. 2 )  0.8  0.5  0.3
c. Gọi C là biến cố anh ấy không thắng chặng nào.
Ta có:

C  1 2  1  2  (C)  (1  2 )  1  (1   2 )  1  ((1 )  ( 2 )  (1 2 ))
 1  (0, 7  0, 6  0,5)  0, 2
ậ
ột ph ng khám điều trị cho 3 bệnh nhân , , . Trong một giờ xác suất để
mỗi bệnh nhân bị cấp cứu tương ứng là 0.7; 0.6 và 0.5. Tìm xác suất để:
a) Trong một giờ không ai cần cấp cứu.
b) Trong một giờ ít nhất 1 người cần cấp cứu.
c) Trong một giờ có 1 bệnh nhân cần cấp cứu.
Bài làm
Gọi i (i  1,3) là biến cố trong một giờ bệnh nhân thứ i phải cấp cứu.
a. Gọi A là biến cố trong một giờ không ai c n cấp cứu.
-

Do không ai phải cấp cứu nên:

()  (12 3 )  (1 )(2 )(3 )  0,3.0, 4.0,35  0,042

b. Gọi B là biến cố trong một giờ ít nhất mộ
-

ười cấp cứu.

Ta có B và biến cố A là hai biến bù nên ()  1  ()  1  0,042  0,96

c. Gọi C là biến cố

ười c n cấp cứu.

-

Có 1 bệnh nhân cần cấp cứu nên: C  1 2 3  12 3  1 2 3

-

Vậy:

(C )  ( 1  2 3 )  ( 1 2 3 )   ( 1  2  3 )
 ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )
 0, 7.0, 4.0,35  0,3.0, 6.0,35  0,3.0, 4.0, 65  0, 239
ậ
Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9 , bệnh huyết áp là 12
và mắc cả hai bệnh là 7 . họn ngẫu nhiên một người trog vùng đó. Tìm xác suất để
người đó không mắc bệnh nào.
Bài làm
Gọi


A là biến cố không mắc bệnh nào.
A1 là biến cố mắc bệnh tim.
A2 là biến cố mắc bệnh huyết áp.
23


Theo đề bài, tìm xác suất để người đó không mắc bệnh nào, vậy ta có:

  1  2  1   2
 ( )  P( 1  2 )  ( 1   2 )  1  ( 1   2 )  1  ( (1 )   ( 2 )   (1 2 ))
 1  (0, 09  0,12  0, 07)  0,86
ậ
hủ tịch hội đồng quản trị tuyên bố rằng, có 50 công ty sẽ thu được lợi
nhuận, 30 khả năng là h a vốn, 20 lỗ vốn trong qu tới .
Sử dụng quy tắc cộng tìm xác suất công ty sẽ không lỗ vốn trong qu tới.
Sử dụng quy tắc biến cố bù tìm xác suất công ty sẽ không lỗ vốn trong qu tới.
Bài làm
-

-

Sử dụng quy tắc cộng : công ty không lỗ vốn trong quý tới, có thể công ty thu được lợi
nhuận hoặc công ty hoà vốn. Vậy xác suất công ty không lỗ vốn là:
50%  30%  80%
Sử dụng quy tắc biến cố bù: ta thấy biến cố công ty lổ vốn với biến cố công ty không
lỗ vốn bù nhau. Vậy xác suất công ty không lỗ vốn là: 100%  20%  80%

ậ
Giả sử xác suất bạn sẽ nhận điểm

0.5. Tìm xác suất bạn nhận điểm ?

là 0.25 và xác suất ban sẽ nhận điểm

là

Bài làm
-

Đối với dạng toán này, ta giả dụ như số trường hợp nhận điểm của bạn chỉ là điểm
, điểm và điểm , ba điểm này gói gọn trong 1 đơn vị.
Gọi A, B, C lần lượt là biến cố bạn sẽ nhận được điểm A, B và C.
Ta có: P(A)  P(B)  P(C)  1
Khi đó xác suất để bạn nhận điểm C là: 1  0.5  0.25  0.25

ậ
Xác suất xảy ra biến cố và tương ứng là 0.2 và 0.3. Xác suất để
cùng xảy ra là 0.15. Tính xác suất để có ít nhất 1 biến cố xảy ra.

và

Bài làm
-

Gọi S là biến cố có ít nhất một một biến cố A, B xảy ra.
Do các biến cố trên không xung khắc nên

(S)  ( )  (B)  ( B)
 0, 2  0,3  0,15  0,35
ậ : ho (X) 0.55 và ( ) 0.35. Giả sử xác suất để 2 biến cố đó xảy ra đồng

thời là 0.20. Tính xác suất để có ít nhất một biến cố xảy ra. Giả sử 2 biến cố X và Y là
xung khắc. Tính xác suất để chúng xảy ra đồng thời
Bài làm
a. Gọi A là biến cố có ít nhất một biến cố X, Y xảy ra .
Do các biến cố trên không xung khắc nên:
24


( )  ( X )  (Y )  ( XY )
 0,55  0,35  0, 2  0, 7
b. Giả sử X,Y là xung khắc. Gọi B là biến cố X, Y xả r

ng thời.

Vậy ()  (Y)  ()(Y)  0,55.0,35  0,1925
ậ
ột nghiên cứu của công viên quốc gia thấy rằng có 50 du khách sẽ đến
thăm khu vực núi đá ellowstone, 40 sẽ viếng thăm Tetons và 35 viếng thăm cả hai
nơi.
a. Xác suất một du khách viếng thăm ít nhất một trong những nơi này là bao nhiêu?
b. 35

được gọi là gì?

c. Những biến cố nào là xung khắc? Giải thích.
Bài làm
a. Gọi A là biến cố
ă
ất mộ r
ơ

- 1 là biến cố du khách ghé thăm khu vực núi đá ellow stone.
-

 2 là biến cố du khách ghé thăm Tetons.

-

Do các biến cố trên không xung khắc nên

( )  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )
 0,5  0, 4  0,35  0,55
b. Số % ược gọi là ph n xác suất của biến cố giao của biến cố du khách ghé
thăm khu vực núi đá ellow stone và phần biến cố du khách ghé thăm Tetons.
c. Biến cố xung khắc không có vì biến cố ghé thăm núi đá Yellowstone và biến cố du
khách ghé thăm Tetons phụ thuộc lẫn nhau có xác suất để du khách ghé thăm 2
nơi.
ậ
ột ngân hàng nói rằng 80 khách hàng vẫn duy trì tài khoản, 60
hàng có một tài khỏan tiết kiệm và 50 khách hàng có cả 2 yếu tố trên.

khách

a. Nếu một khách hàng được chọn lựa ngẫu nhiên thì xác suất khách hàng hoặc vẫn
duy trì tài khoản hoặc có một tài khoản tiết kiệm là bao nhiêu?
b. Xác suất khách hàng không duy trì tài khoản hay không có tài khoản tiết kiệm là
bao nhiêu?
Bài làm
a. Gọi A là biến cố khách hàng hoặc vẫn duy trì tài khoản hoặc có một tài khoản tiết
kiệm.
A1 là biến cố khách hàng duy trì tài khoản.

A2 là biến cố khách hàng duy trì tài khoản tiết kiệm.
Rõ ràng các biến cố không xung khắc, nên:
25