2018
CHINH PHỤC DAO ĐỘNG CƠ

Bùi Xuân Xương – 0914 082 600
144 – Mai Xuân Thưởng – TT Bình Dương


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

CHỦ ĐỀ
1

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Các khái niệm cơ bản của dao động:
+ Dao động là chuyển động của một vật qua lại quanh một vị trí đặc biệt gọi là vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hòa là loại dao động mà cứ sau những khoảng thời gian bằng nhau (gọi là chu kì T) thì vật trở lại vị
trí cũ, theo hướng cũ.
+ Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu diễn dưới dạng hàm cos hoặc sin theo thời gian.
a. Li độ:
+ Li độ của vật dao động điều hòa được xác định bởi biểu thức x = Acos(ωt + φ).
Trong đó:
o A được gọi là biên độ của dao động, luôn không đổi.
o ω là tần số góc của dao động, có đơn vị là rad/s.
o ωt + φ là pha của dao động và φ là pha của dao động ứng với t = 0 hay còn gọi là pha ban đầu.
b. Vận tốc:
+ Vận tốc của con lắc được xác định bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:


v  x   A sin  t  0   A cos  t  0  

2 .

.
+ Từ biểu thức của gia tốc ta có thể suy ra:
o Khi vật ở vị trí cân bằng thì v  v max  A
o

Khi vật ở vị trí biên thì v  v min  0

o Vận tốc sớm pha hơn li độ một góc 0,5π.
c. Gia tốc:
+ Gia tốc của con lắc được tính bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của li độ: a  x  2 x  2 Acos  t  0   
+ Từ biểu thức trên ta có thể suy ra rằng:
o Khi vật ở vị trí cân bằng thì a  a min  0
o

Khi vật ở vị trí biên thì a  a max  2 A

o

Gia tốc sớm pha hơn vận tốc một góc 0,5π và ngược pha với li độ.

Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2015) Một vật nhỏ dao động theo phương trình x = 5cos(ωt + 0,5π)cm. Pha ban đầu
của dao động là
A. π
B. 0,5π
C. 0,25π
D. 1,5π
Hướng dẫn:
+ Pha ban đầu ứng với φ0 = 0,5π rad.

 Đáp án B
Bài tập minh họa 2: (Quốc gia – 2015) Một chất điểm dao động theo phương trình x = 6cosωt cm. Dao động của
chất điểm có biên độ là:
A. 2 cm.
B. 6 cm.
C. 3 cm.
D. 12 cm.
Hướng dẫn:
+ Biên độ dao động của chất điểm A = 6 cm.
 Đáp án B
Bài tập minh họa 3: (Quốc gia – 2015) Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng m và lò xo có độ cứng k. Con
lắc dao động điều hòa với tần số góc là
m
k
m
k
A. 2
B. 2
C.
D.
k
m
k
m
Hướng dẫn:
k
+ Tần số góc dao động điều hòa của con lắc lò xo  
.
m
 Đáp án D



Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

Bài tập minh họa 4: (Quốc gia – 2012) Một vật dao động điều hòa với biên độ A và tốc độ cực đại vmax. Tần số góc
của vật dao động là
v
v
v
v
A. max
B. max
C. max
D. max
2A
A
2A
A
Hướng dẫn:
v
+ Tốc độ cực đại của vật dao động điều hòa vmax = ωA →   max .
A
 Đáp án A
Bài tập minh họa 5: (Quốc gia – 2014) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 6cosπt (x tính bằng
cm; t tính bằng s). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Tốc độ cực đại của chất điểm là 18,8 cm/s
B. Chu kì của dao động là 0,5 s
2
C. Gia tốc của chất điểm có độ lớn cực đại là 113 cm/s D. Tần số của dao động là 2 Hz
Hướng dẫn:

+ Tốc độ cực đại của chất điểm vmax = ωA = 18,8 cm/s.
 Đáp án A
2. Biểu diễn bằng đồ thị các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa:
Trạng thái dao động của một vật được xác định bằng ba đại lượng là li độ x, vận tốc v và gia tốc a. Phương trình đại
số của các đại lượng trên:



 v  A cos  t    2 
x  Acos  t   → 

.
a  2 A cos  t     

+ Với gốc thời gian được chọn là lúc vật đang ở vị trí biên dương → ta tiến hành biểu diễn bằng độ thị các đại lượng
trên:

Đồ thị li độ x theo thời gian t

Đồ thị vận tốc v theo thời gian t

Đồ thị gia tốc a theo thời gian t

2. Năng lượng trong dao động điều hòa:
+ Trong quá trình dao động điều hòa, cơ năng của con lắc được tính bằng tổng động năng và thế năng (với gốc tính
thế năng là tại vị trí cân bằng)
E  Ed  E t
+ Trong đó:



Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

1
1
E d  mv 2  m2 A 2 sin 2  t  0  → Nếu con lắc dao động điều hòa với chu kì T và tần số f thì động
2
2
năng của vật sẽ biến đổi tuần hoàn theo chu kì 0,5T và tần số 2f.
1
1
o E t  kx 2  m2 A 2 cos 2  t  0  → Nếu con lắc dao động điều hòa với chu kì T và tần số f thì thế năng
2
2
của vật sẽ biến đổi tuần hoàn theo chu kì 0,5T và tần số 2f.
1
1
→ Thay vào biểu thức của cơ năng ta thu được: E  kA 2  m2 A 2
2
2
Đồ thị biểu diễn động năng, thế năng và cơ năng của vật theo thời gian (gốc thời gian t = 0 lúc vật đang ở vị trí biên)
o

Đồ thị động năng Ed và thế năng Et theo thời gian t

Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2014) Một vật có khối lượng 50 g, dao động điều hòa với biên độ 4 cm và tần số
góc 3 rad/s. Động năng cực đại của vật là
A. 7,2 J.
B. 3,6.10-4 J.
C. 7,2.10-4 J.
D. 3,6 J.

Hướng dẫn:
1
+ Động năng cực đại của con lắc chính bằng cơ năng của nó E  m2 A 2  3,6.104 J
2
 Đáp án B
Bài tập minh họa 2: (Quốc gia – 2009) Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật
nhỏ có khối lượng 100 g. Lấy 2 = 10. Động năng của con lắc biến thiên theo thời gian với tần số
A. 6 Hz.
B. 3 Hz.
C. 12 Hz.
D. 1 Hz.
Hướng dẫn:
1 k
 3 Hz, vậy động năng của con lắc sẽ biến thiên với tần số 6 Hz
+ Tần số góc của dao động f 
2 m
 Đáp án A
II. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CỦA CON LẮC LÒ XO, DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CỦA CON LẮC ĐƠN
1. Khảo sát dao động của con lắc lò xo:
a. Con lắc lò xo nằm ngang:
Xét con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k, vật m được
đặt trên mặt sàn nằm ngang, cho rằng ma sát giữa vật và mặt sàn là nhỏ và có thể bỏ
qua. Kéo vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn rồi thả nhẹ. Chọn gốc tọa độ O tại
vị trí cân bằng của vật.
→ Phương trình định luật II Niuton cho vật trong quá trình dao động:
N  P  Fdh  ma
k
Theo phương Ox ta thu được phương trình đại số: kx  mx , hay: x   x  0
m
→ Phương trình này cho nghiệm dưới dạng:

k
x  Acos  t  0  trong đó 2 
m
+ Kết quả trên cho thấy rằng dao động của con lắc lò xo nằm ngang (trường hợp bỏ qua ma sát) là một dao động điều
2
m
 2
hòa với chu kì T 
.

k


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

b. Con lắc lò xo thẳng đứng:
Xét con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m, một lò xo có độ cứng k được treo
thẳng đứng. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bẳng rồi thả nhẹ (cho rằng trong quá trình dao
động của vật lực cản rất nhỏ có thể bỏ qua). Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của
vật.
→ Phương trình định luật II Niuton cho vật: Fdh  P  ma
Theo phương Ox ta thu được phương trình đại số:
k
k  x  l   P  mx → kx  mx , hay : x   x  0
m
k
→ Phương trình này cho nghiệm dưới dạng: x  Acos  t  0  với 2 
m
+ Kết quả trên cũng cho thấy rằng dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng (trường hợp bỏ qua các lực cản) là một
l0

2
m
dao động điều hòa với chu kì T 
 2
 2

k
g
2. Khảo sát dao động điều hòa của con lắc đơn
Xét con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m và dây treo có chiều dài l. Kéo vật lên
ra khỏi vị trí cân bằng một góc α0 rồi thả nhẹ cho vật dao động, cho rằng trong quá trình
dao động của vật các lực cản có độ lớn không đáng kể, có thể bỏ qua:
+ Phương trình định luật II Niuton cho vật: P  T  ma .
→ Theo phương của quỹ đạo chiều dương hướng từ trái sang phải, ta thu được phương
trình đại số: mg sin   ma t
s
Trong tường hợp con lắc dao động với li độ góc nhỏ, khi đó: sin    
l
g
→ Thay vào biểu thức trên: s  s  0
l
g
+ Phương trình này cho nghiệm dưới dạng: s  s0 cos  t  0  trong đó 2 
l
Từ mối liên hệ s = lα ta cũng có phương trình tương đương:   0 cos  t  0 
→ Các kết quả trên cho thấy rằng, dao động nhỏ của con lắc đơn là dao động điều hòa với chu kì T  2

l
g


III. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH:
1. Bài toán liên quan đến các đại lượng đặc trưng trong dao động điều hòa:
Bài tập minh họa: (Quốc gia – 2009) Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng
thời gian t, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng
thời gian t ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Chiều dài ban đầu của con lắc là
A. 144 cm.
B. 60 cm.
C. 80 cm.
D. 100 cm.
Hướng dẫn:
+ Chu kì là thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần

t
l
 2
T1 
2
60
g
l  144  60 

   → l = 100 cm.
→ 
→
l
 50 
T  t  l  44
 2 50
g


 Đáp án D
Bài tập minh họa 2: Tại cùng một nơi trên Trái Đất con lắc có chiều dài l1 dao động với chu kì T1, con lắc cho chiều
dài l2 dao động với chu kì T2. Hỏi con lắc có chiều dài l = l1 + l2 sẽ dao động với chu kì bao nhiêu?
A. T1 + T2.
Hướng dẫn:

B. T1 – T2.

C.

T1  T2 .

D.

T12  T22 .


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
2

 T1 
l1  g  
2
l

 2 
 T 
+ Ta có T  2
→ l  g  → 
.

2
g
 2 

 T2 
l 2  g  2  
 


2

 T 
Tương tự như vậy ta cũng có l  l1  l2  g   → T2  T12  T22
 2 
l 2
+ Nhận thấy rằng T  2

l hệ số tỉ lệ a trong mối quan hệ tỉ lệ giữ T và
g
g

l không ảnh hưởng đến kết quả

a

bài toán → Ta có thể giải bài toán này theo một quy trình nhanh hơn.
T 2 l
Với 
→ T2  T12  T22 .
l


l

l
 1 2
 Đáp án D
Bài tập minh họa 3: (Quốc gia – 2012) Tại một vị trí trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài l1 dao động điều hòa với
chu kì T1; con lắc đơn có chiều dài l2 (l2 < l1) dao động điều hòa với chu kì T2. Cũng tại vị trí đó, con lắc đơn có chiều
dài l1 – l2 dao động điều hòa với chu kì là
TT
TT
A. 1 2
B. T12  T22
C. 1 2
D. T12  T22
T1  T2
T1  T2
Hướng dẫn:
T 2 l
+ Với 
→ T 2  T12  T22 .
l  l1  l2
 Đáp án B
Bài tập minh họa 4: (Quốc gia – 2012) Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một vị trí trên Trái Đất. Chiều
T 1
dài và chu kì dao động của con lắc đơn lần lượt là l1, l2 và T1, T2. Biết 1  .Hệ thức đúng là
T2 2
A.

l1

2
l2

B.

l1
4
l2

C.

l1 1

l2 4

D.

l1 1

l2 2

Hướng dẫn:
2

+ Nhận thấy rằng T

l→

l1  T1 
1

   .
l2  T2 
4

 Đáp án C
Bài tập minh họa 5: (Quốc gia – 2013) Một con lắc đơn có chiều dài 121 cm, dao động điều hòa tại nơi có gia tốc
trọng trường g. Lấy 2  10 . Chu kì dao động của con lắc là:
A. 0,5 s.
B. 2 s.
C. 1 s.
D. 2,2 s.
Hướng dẫn:
l
+ Chu kì dao động cua con lắc đơn T  2
 2, 2 s.
g
 Đáp án D
2. Bài toán liên quan đến viết phương trình của một dao động điều hòa:
Bài tập minh họa 1: Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài l = 20 cm. Tại t = 0, từ vị trí cân bằng truyền
cho con lắc một vận tốc ban đầu 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s2. Phương trình dao động
của con lắc là:




A. s  2cos  8t   cm.
B. s  2cos  7t   cm.
2
2






Bùi Xuân Dương – 0914 082 600



D. s  2cos  7t   cm.
2




C. s  3cos  8t   cm.
2

Hướng dẫn:

Tần số góc của dao động  

g
9,8

 7 rad/s.
l
0, 2

v max 14
  2 cm.


7
S0 cos 0  0
cos 0  0
s 0  0

+ Tại t = 0, ta có 
→ 
→ 
→ 0   .

sin
v
S
sin




14

0
14
2
0
0
0


 0

+ Tốc độ của vật tại vị trí cân bằng là tốc độ cực đại v0 = ωS0 → S0 



→ Phương trình dao động của con lắc s  2cos  7t   cm.
2

 Đáp án D

Bài tập minh họa 2: (Quốc gia – 2013) Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kì 2 s. Tại
thời điểm t = 0 s vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:




A. x  5cos  2t   cm
B. x  5cos  2t   cm
2
2






C. x  5cos  t   cm
D. x  5cos  t   cm
2
2



Hướng dẫn:
2 2
Tần số góc của dao động  

  rad/s.
T
2
+ Tại t = 0, ta có x = Acosφ0 = 0 → φ0 = ±0,5π rad.
Vật chuyển động theo chiều dương → v = –Aωsinφ0 > 0 → φ0 = –0,5π rad.


→ Phương trình dao động x  5cos  t   cm .
2

 Đáp án D
Bài tập minh họa 3: (Quốc gia – 2014) Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0,1 rad; tần số góc 10
rad/s và pha ban đầu 0,79 rad. Phương trình dao động của con lắc là
A. α = 0,1cos(20πt – 0,79) rad
B. α = 0,1cos(20πt + 0,79) rad
C. α = 0,1cos(10t – 0,79) rad
D. α = 0,1cos(10t + 0,79) rad
Hướng dẫn :
+ Phương trình dao động của con lắc α = 0,1cos(10t + 0,79) rad.
 Đáp án D

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một vật dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng dài 8 cm. Biên độ dao động của vật là bao nhiêu?
A. 2 cm.
B. 8 cm.

C. 4 cm.
D. 16 cm.
Hướng dẫn:
+ Biên độ dao động của vật A = 0,5L = 4 cm.
 Đáp án C
Câu 2: Đơn vị nào sau đây không phải là đơn vị của tần số góc?
A. độ.s-1.
B. độ/s.
C. rad.s.
Hướng dẫn:
+ rad.s không phải đơn vị của tần số góc ω.
 Đáp án C

D. rad/s.

Câu 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 9cos(ωt + φ)cm. Chọn gốc thời gian (t = 0) là lúc vật đi qua vị
trí x  4,5 cm và đang chuyển động về vị trí cân bằng. Giá trị của φ là?
2

2

A. 
.
B. .
C.
.
D.  .
3
3
3

3


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

Hướng dẫn:
+ Tại t = 0, ta có x  9cos 0  4,5 → 0  

2
rad.
3

Vật đang chuyển động về vị trí cân bằng → v  Asin 0  0 → 0  

2
rad.
3

 Đáp án A
Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa, phát biểu nào sau đây đúng?
A. ở vị trí biên thì tốc độ cực đại.
B. ở vị trí biên thì gia tốc bằng 0.
C. ở vị trí cân bằng thì tốc độ bằng 0.
D. ở vị trí cân bằng thì gia tốc bằng 0.
Hướng dẫn:
+ Ở vị trí cân bằng, gia tốc của vật bằng 0.
 Đáp án D
Câu 5: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với chu kì 0,4 s. Khi vật nhỏ của con lắc ở vị trí cân bằng,
lò xo có độ dài 68 cm. Lấy g = 10 = π2 m/s2. Chiều dài tự nhiên của lò xo là
A. 72 cm.

B. 46 cm.
C. 44 cm.
D. 64 cm.
Hướng dẫn:
l0
l0
+ Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng T  2
↔ 0, 4  2
→ Δl0 = 4 cm.
10
g
→ Chiều dài tự nhiên của lò xo l0 = 68 – 4 = 64 cm.
 Đáp án D


Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình li độ x  2cos  2t   cm. Tại thời điểm t = 0,25 s, chất
2

điểm có li độ
A.  3 cm.
B. 3 cm.
C. – 2 cm.
D. 2 cm.
Hướng dẫn:


+ Tại t = 0,25 s, ta có x  2cos  2.0, 25    2 cm.
2

 Đáp án C

Câu 7: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = Acos10t (t tính bằng s). Tại t = 2 s, pha của dao động là
A. 5 rad
B. 10 rad.
C. 40 rad
D. 20 rad.
Hướng dẫn:
+ Tại t = 2 s, pha của dao động là φ = 20 rad.
 Đáp án D
Câu 8: Xét một vật nhỏ có khối lượng m, dao động điều hòa trên quỹ đạo dài L, tần số góc là . Cơ năng của vật bằng
m2 L2
m2 L2
m2 L2
m2 L2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
16
8
4
2
Hướng dẫn:
2
1
1
L 1

+ Cơ năng của con lắc E  m2 A 2  m2    m2 L2 .
2
2
2 8
 Đáp án A


Câu 9: Một vật dao đông điều hòa có phương trình vận tốc v  20cos  4t   cm/s. Tại thời điểm t = 0 thì
6

A. x = 2,5 cm, v  10 3 cm/s.
B. x  2,5 3 cm, v = 10 cm/s.

C. x = 2,5 cm, v  10 3 cm/s.
Hướng dẫn:


+ Phương trình li độ x  5sin  4t   cm.
6

→ Tại t = 0, ta có x = 2,5 cm; v  10 3 cm/s.
 Đáp án A

D. x  2,5 3 cm, v  10 cm/s.


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

Câu 10: Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc 70. Biết khối
lượng vật nhỏ của con lắc là 95 g và chiều dài dây treo là 1,5 m. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, cơ năng của con

lắc có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 10 mJ.
B. 9 J.
C. 10 J.
D. 9 mJ.
Hướng dẫn:
+ Cơ năng của con lắc E = mgl(1 – cosα0) = 10 mJ.
 Đáp án A
Câu 11: Cơ năng của một vật dao động điều hòa
A. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ bằng một nửa chu kỳ dao động của vật.
B. tăng gấp đôi khi biên độ dao động của vật tăng gấp đôi.
C. bằng động năng của vật khi vật tới vị trí cân bằng.
D. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ bằng chu kỳ dao động của vật.
Hướng dẫn:
+ Cơ năng của vật dao động điều hòa bằng động năng của vật khi vật đến vị trí cân bằng.
 Đáp án C
Câu 12: Gắn vật nặng có khối lượng m = 81 g vào một lò xo lí tưởng thì tấn số dao động của vật là 10 Hz. Gắn thêm
một gia trọng có khối lượng Δm = 19 g vào vật m thì tần số dao động của hệ bằng:
A. 8,1 Hz.
B. 11,1 Hz.
C. 12,4 Hz.
D. 9 Hz.
Hướng dẫn:
m
81
1
 10
 9 Hz.
+ Ta có f
→ f 2  f1

m  m
81  19
m
 Đáp án D
Câu 13: Một con lắc đơn có chiều dài 120 cm, dao động điều hoà với chu kỳ T. Để chu kỳ con lắc giảm 10%, chiều
dài con lắc phải
A. tăng 22,8 cm.
B. giảm 28,1 cm.
C. giảm 22,8 cm.
D. tăng 28,1 cm.
Hướng dẫn:
T
120  l
l  l
l→ 2 
+ Ta có T
→ 0,92 
→ l  22,8 cm.
T1
l
120
Vậy phải giảm chiều dài của con lắc đi 22,8 cm.
 Đáp án C


Câu 13: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  6cos  4t   cm. Lấy π2 = 10. Gia tốc cực đại của vật là:
3

A. 24π cm/s2.
B. 9,6 cm/s2.

C. 9,6 m/s2.
D. 24π2 cm/s2.
Hướng dẫn:
+ Gia tốc cực đại của vật amax = ω2A = 9,6 m/s2.
 Đáp án C



Câu 14: Chất điểm dao động điều hòa với phương trình x  10cos 10t   cm. Chiều dài quỹ đạo dao động của chất
2

điểm là:
A. 10 cm.
B. 40 cm.
C. 0,2 m.
D. 20 m.
Hướng dẫn:
+ Chiều dài của quỹ đạo L = 2A = 0,2 m.
 Đáp án C


Câu 15: Chất điểm dao động điều hòa với phương trình x  5cos 10t   cm. Li độ của chất điểm khi pha dao động
2

2
bằng
là:
3
A. – 2,5 cm.
B. 5 cm.

C. 0 cm.
D. 2,5 cm.
Hướng dẫn:
 2 
+ Li độ của chất điểm tương ứng với pha dao động là x  5cos    2,5 cm.
 3 


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

 Đáp án A
Câu 16: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng, trong quá trình dao động của vật lò xo có chiều
dài biến thiên từ 12 cm đến 20 cm. Biên độ dao động của vật là:
A. 8 cm.
B. 4 cm.
C. 16 cm.
D. 10 cm.
Hướng dẫn:
l l
+ Biên độ dao động của vật A  max min  4 cm.
2
 Đáp án B
Câu 17: Trong một khoảng thời gian, một con lắc đơn thực hiện được 30 dao động nhỏ. Nếu tăng chiều dài của nó thêm
90 cm thì cũng trong khoảng thời gian đó, con lắc thực hiện được 20 dao động nhỏ. Bỏ qua mọi ma sát. Chiều dài ban
đầu của con lắc là:
A. 36 cm.
B. 48 cm.
C. 108 cm.
D. 72 cm.
Hướng dẫn:


t
l
 2
T1 
30
g
l  90 9

+ Chu kì dao động của con lắc: 
→
 → l = 72 cm.
l
4
T  t  2 l  90
 2 20
g

 Đáp án D
Câu 18: Một lò xo dãn ra 2,5 cm khi treo vào nó một vật có khối lượng 250 g. Chu kì của con lắc được tạo thành như
vậy là bao nhiêu? Cho g = 10 m/s2.
A. 0,31 s.
B. 10 s.
C. 1 s.
D. 126 s.
Hướng dẫn:
+ Chu kì dao động của con lắc T  2

l0
2,5.102

 2
 0,31 s.
g
10

 Đáp án A
Câu 19: Vận tốc cực đại của một vật dao động điều hòa là 1 m/s và gia tốc cực đại của nó là 1,57 m/s2. Chu kì dao động
của vật là:
A. 4 s.
B. 2 s.
C. 6,28 s.
D. 3,14 s.
Hướng dẫn:
 v max  A
v
a
1
+ Ta có: 
→   max → T  2 max  2
 4 s.
2
a max
1,57
v max
a max   A
 Đáp án A
Câu 20: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cosπt cm. Tốc độ cực đại của vật có giá trị
A. – 5 cm/s.
B. 50 cm/s.
C. 5π cm/s.

D. 5 cm/s.
Hướng dẫn:
+ Tốc độ cực đại của vật vmax = ωA = 5π cm/s.
 Đáp án C
Câu 21: Chọn đáp án đúng. Biết rằng li độ x = Acosωt của dao động điều hòa bằng A vào thời điểm ban đầu t = 0. Pha
ban đầu φ có giá trị bằng:
A. 0.
B. 0,5π
C. 0,25π
D. π
Hướng dẫn:
+ Pha dao động của vật tại t = 0 là φ0 = 0.
 Đáp án A
Câu 22: Một vật khối lượng 5 kg treo vào một lò xo và dao động theo phương thẳng đứng với chu kì 0,5 s. Hỏi độ dãn
của lò xo khi vật qua vị trí cân bằng là bao nhiêu? Lấy g = 10 m/s2.
A. 0,75 cm.
B. 6,2 cm.
C. 1,5 cm.
D. 3,13 cm.
Hướng dẫn:
l0
l0
+ Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng T  2
↔ 0,5  2 
→ Δl0 = 6,2 cm.
10
g


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600


 Đáp án B
Câu 23: (Quốc gia – 2014) Một vật có khối lượng 50 g, dao động điều hòa với biên độ 4 cm và tần số góc 3 rad/s. Động
năng cực đại của vật là
A. 7,2 J.
B. 3,6.10-4 J.
C. 7,2.10-4 J.
D. 3,6 J.
1
+ Động năng cực đại của con lắc chính bằng cơ năng của nó E  m2 A 2  3,6.104 J
2
 Đáp án B
Câu 24: (Quốc gia – 2015) Một lò xo đồng chất tiết diện đều được cắt thành ba lò xo có chiều dài tự nhiên l cm; l  10
cm và l  20 cm. Lần lượt gắn mỗi lò xo này (theo thứ tự trên) với các vật nhỏ khối lượng m thì được ba con lắc lò xo
có chu kì dao động riêng tương ứng là 2 s; 3 s và T. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của
nó. Giá trị của T là
A. 1,00 s
B. 1,28 s
C. 1,41 s
D. 1,50 s
Hướng dẫn :
Mối liên hệ giữa độ cứng và chiều dài của lò xo k1l  k 2  l  10   k 3  l  20 
+ Mặc khác :
→

T1
k2
k
2
4

→ 2  → l = 40 cm


k1 3
T2
k1
3

T
k1
T
l  20
1
→ T  1  2 s.



T1
k3
l
2
2
 Đáp án C

Câu 25: (Quốc gia – 2016) Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương nằm ngang. Nếu biên độ dao động tăng
gấp đôi thì tần số dao động của con lắc
A. tăng gấp 2 lần
B. giảm 2 lần
C. không đổi
D. tăng 2 lần

Hướng dẫn:
1 k
+ Tần số dao động của con lắc lò xo f 
→ không phụ thuộc vào biên độ
2 m
 Đáp án C
Câu 26: Tại cùng một vị trí, con lắc đơn chiều dài l1 dao động điều hòa với chu kì T1 = 2 s, con lắc đơn chiều dài l2 dao
động điều hòa với chu kì T2 = 1 s. Tại nơi đó con lắc có chiều dài l3 = 2l1 + 3l2 dao động điều hòa với chu kì
A. 5 s.
B. 3,3 s.
C. 3,7 s.
D. 2,2 s.
Hướng dẫn:
l3  2l1  3l2
 T3  2T12  3T22  3,3 s.
+ Ta có T l 
 Đáp án B

Câu 27: Một vật có khối lượng m = 400 g được treo vào lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k = 40 N/m. Đưa
vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ, vật dao động điều hoà. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương
hướng xuống, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Phương trình dao động của vật là
A. x = 10cos(10t – 0,5π) cm.
B. x = 10cos(10t + π) cm.
C. x = 5cos(10t – π) cm.
D. x = 5 cos(10t) cm.
Hướng dẫn:
k
 10 rad/s.
+ Tần số góc của dao động  
m

mg
 10 cm.
+ Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng l0 
k
Nâng vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ → vật sẽ dao động với biên độ A = Δl0 = 10 cm.
→ Ban đầu vật ở vị trí biên âm → φ0 = π → x = 10cos(10t + π) cm.
 Đáp án B
Câu 28: Ba lò xo cùng chiều dài tự nhiên, có độ cứng lần lượt là k1, k2, k3, đầu trên treo vào các điểm cố định, đầu dưới
treo vào các vật có cùng khối lượng. Lúc đầu, nâng ba vật đến vị trí mà các lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ để chúng
dao động điều hòa với cơ năng lần lượt là W1 = 0,1 J, W2 = 0,2 J và W3. Nếu k3 = 2,5k1 + 3k2 thì W3 bằng
A. 19,8 mJ.
B. 14,7 mJ.
C. 25 mJ.
D. 24,6 mJ.


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

Hướng dẫn:
2

1
1  mg 
mg
+ Nâng vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ → A 
→ E  kA 2  k 
→ E
2
2  k 
k

1 2,5
1 2,5 3
3
Vậy với k3 = 2,5k1 + 3k2 →
↔
→ E3 = 25 mJ.




E 3 0,1 0,2
E 3 E1 E 2
 Đáp án C

1
.
k

Câu 29: Hai con lắc đơn A, B có cùng khối lượng vật nặng, chiều dài dây treo tương ứng là lA và lB với 16lA = 9lB, dao
động với cơ năng như nhau tại một nơi trên Trái Đất. Nếu biên độ của con lắc A là 3,6o thì biên độ của con lắc B là:
A. 4,8o.
B. 2,4o.
C. 6,4o.
D. 2,7o.
Hướng dẫn:
l
+ Ta có E A  E B  lA 2A  lBB2 →  B   A A  2,70 .
lB
 Đáp án D
Câu 30: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(ωt + φ) cm. Chọn gốc thời gian t = 0 là lúc vật đi qua vị

trí x  2 2 cm và đang chuyển động theo chiều dương. Giá trị của φ là:
3


3
A.
rad.
B.
rad.
C.
rad.
D.
rad.
4
4
4
4
Hướng dẫn:

+ Tại t = 0, ta có x  4cos   2 2 →    .
4

Vật chuyển động theo chiều dương →    .
4
 Đáp án B
Câu 31: (Chuyên Biên Hòa – 2017) Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Nếu chỉ thay đổi cách chọn gốc thời gian thì
A. cả biên độ, chu kì và pha của dao động đều không thay đổi.
B. biên độ và chu kì thay đổi còn pha không đổi.
C. cả biên độ, chu kì và pha của dao động đều thay đổi.
D. biên độ và chu kì không đổi còn pha thay đổi.

Hướng dẫn:
+ Nếu chỉ thay đổi cách chọn gốc thời gian thì biên độ, chu kì không đổi, pha sẽ thay đổi.
 Đáp án D


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

PHƯƠNG PHÁP VECTO QUAY

CHỦ ĐỀ
2

CHO CÁC ĐẠI LƯỢNG TỨC THỜI TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I. PHƯƠNG PHÁP VECTO QUAY CHO CÁC ĐẠI LƯỢNG TỨC THỜI
1. Nội dung phương pháp vecto quay cho các đại lượng tức thời trong dao động điều hòa
+ Ta có thể biểu diễn đại lượng điều hòa x1  A1 cos  t   bằng một vecto
quay x1.
Trong đó:
o Độ dài của x1 bằng A1.
o φ là pha của x1 tại thời điểm t nào đó.
o Dễ thấy rằng x1 = A1cosφ.
→ Tương tự như thế, ta cũng có thể biễu diễn hai đại lượng điều hòa x1  A1 cos  t  1  và x 2  A2 cos  t  2 
bằng vecto quay.

+ Trong đó Δφ = φ1 – φ2 là độ lệch pha giữa hai dao động. Với một số trường hợp đặt biệt của Δφ, ta có:
Độ lệch pha Δφ

Biễu diễn vecto quay


Hệ quả

x
x1 x 2
A
hay 1  1

A1 A 2
x 2 A2

+ Cùng pha Δφ = 2kπ

x
x1
A
x
  2 hay 1   1
A1
x2
A2
A2

+ Ngược pha    2k  1 

+ Vuông pha    2k  1


2

2. Vận dụng phương pháp vào giải toán:

Từ phương pháp trên, ta rút ra các kết quả đặc biệt cho những trường hợp đơn giản:
+ Với dao động của con lắc lò xo:

2

2

 x1   x 2 

 
 1
 A1   A 2 


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
2

v
2

A

x


x  v 
  .
v và x tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau →    
1 → 
 


 A   A 

2
2
 v   A  x

2

o

2

2

2

 v   a 
v và a tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau → 
   2  1.
 A    A 
a
2 A
x và a tại thời điểm t bất kì luôn ngược pha nhau →  
 2 .
x
A
x
x
v 22  v12

Tại thời điểm t1:  1 , tại thời điểm t2 ta có  2 →  
.
x12  x 22
 v1
v2

o
o
o

a1
a 2
a 22  a12


o Tại thời điểm t1:  , tại thời điểm t2 ta có  →
.
v12  v 22
 v1
v2
+ Tương tự như thế, với dao động điều hòa của con lắc đơn, ta cũg có:

2
2 l
S0  s  v
g
 s   v 

v và s tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau →    
.

 1 → 
2
 S0   S0 
v

2
 0    gl

2

o

2

2

2

 v   a 
v và a tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau → 
   2   1 .
 S0    S0 
2S0
a
s và a tại thời điểm t bất kì luôn ngược pha nhau →  
 2 .
s
S0

o

o
o

s
Tại thời điểm t1:  1 , tại thời điểm t2 ta có
 v1

s 2
v 22  v12


→
.

s12  s 22
v2

o

a
Tại thời điểm t1:  1 , tại thời điểm t2 ta có
 v1

a 2
a 22  a12
.
 → 
v12  v 22
v2


Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2009) Một vật dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + φ). Gọi v và a lần
lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là :
2 a 2
v2 a 2
v2 a 2
v2 a 2
A. 4  2  A 2
B. 2  2  A 2
C. 2  4  A 2
D. 2  4  A 2



v




Hướng dẫn:
+ Sử dụng công thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha
2

2

 v   a 
v2 a 2
 v   a 


1

 4  A2


1
↔
hay

 

 A   2 
2
v
a



  A
 max   max 
 Đáp án C
2

2

Bài tập minh họa 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân
bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên
độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
D. 8 cm.

Hướng dẫn:
+ Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng v  v max  A  20 cm/s
Sử dụng công thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha.
2

2

2

2

1  a 
 v   a 
 v 
 2
 A    2   1 → 

  1 → ω = 4 rad/s

  A
 A    A 
+ Thay vào biểu thức đầu tiên → A = 5 cm.


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

 Đáp án A
Bài tập minh họa 3: (Quốc gia – 2012) Một con lắc lò xo gồm vật nhẹ có độ cứng 100 N/m và vật nhỏ khối lượng m.
Con lắc dao động điều hòa theo phương ngang với chu kì T. Biết ở thời điểm t vật có li độ 5 cm, ở thời điểm t + 0,25T
vật có tốc độ 50 cm/s. Giá trị của m bằng

A. 0,5 kg.
B. 1,2 kg.
C. 0,8 kg.
D. 1,0 kg.
Hướng dẫn:
+ Biễu diễn vecto quay cho li độ x và vận tốc v của dao động. Lưu ý rằng tại
cùng thời điểm t và v và x vuông pha nhau.
→ Vận tốc của vật tại thời điểm t + 0,25T ngược pha với li độ của vật tại thời
điểm t.
→ Với hai đại lượng ngược pha, ta có:
v t 0,25 A

   10 rad/s.
xt
A
+ Khối lượng của vật m 

k 100

 1 kg.
2 102

 Đáp án D

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 200 N//m, khối lượng m = 200 g dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm.
Tốc độ của con lắc khi qua vị trí có li độ x = 2,5 cm là bao nhiêu?
A. 8,67 m/s.
B. 3,06 m/s.
C. 86,6 m/s.

D. 0,002 m/s.
Hướng dẫn:
k
200
+ Tần số góc của dao động  

 10 rad/s.
m
0, 2
→ Tốc độ của vật tại vị trí có li độ x: v   A 2  x 2  10 102  2,52  306 cm/s = 3,06 m/s.
 Đáp án B
Câu 6: Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi:
A. Cùng pha với li độ.
B. Sớm pha 0,5π so với li độ.
C. Ngược pha với li độ.
D. Trễ pha 0,5π so với li độ.
Hướng dẫn:
+ Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi ngược pha với li độ.
 Đáp án C
Câu 7: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện
được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là
40 3 cm/s. Lấy  = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là
 



A. x  6cos  20t   cm
B. x  4cos  20t   cm
6 
3







C. x  4cos  20t   cm
D. x  6cos  20t   cm
6
3


Hướng dẫn:
t
 0,314 s → ω = 20 rad/s
+ Chu kì của dao động T 
n
2

v
+ Biên độ dao động của chất điểm A  x 2     4 cm
 


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600



 0  3


+ Tại t = 0 thì x  4cos  0   2 → 
kết hợp với v0 > 0 → 0   rad
3
   
 0
3
 Đáp án C

Câu 8: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k = 10 N/m và vật nặng có khối lượng 100 g, tại thời điểm t li độ
và tốc độ của vật nặng lần lượt là 4 cm và 30 cm/s. Chọn gốc tính thế năng tại vị trí cân bằng. Cơ năng của dao động là:
A. 25.10 – 3 J.
B. 125J.
C. 12,5.10 – 3 J.
D. 250 J.
Hướng dẫn:
k
10
+ Tần số góc của dao động  

 10 rad/s.
m
0,1
v2
302
2

4

 5 cm.
2

102
→ Cơ năng của dao động E = 0,5kA2 = 0,0125 J.
 Đáp án C

→ Biên độ dao động A  x 2 

Câu 9: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, với phương trình dao động lần lượt là x1 = Acos(ωt + φ1) cm
và x2 = Acos(ωt + φ2) cm. Tại thời điểm t1 dao động thứ nhất có li độ x1 = 5 cm, tại thời điểm t2 = t1 + 0,25T chất điểm
hai có tốc độ là 10π cm/s. Biết rằng, tại mọi thời điểm, ta luôn có x1v1  x 2 v2  0 . Tần số góc của dao động
A. π rad/s
B. 2π rad/s
C. 3π rad/s
D. 10π rad/s
Hướng dẫn:
Từ phương trình x1v1 + x2v2 = 0 → x12  x 22  C (với C là một hằng số) → hai dao động này vuông pha nhau.
→ Vận tốc của vật tại thời điểm t2 ngược pha với li độ của vật tại thời điểm t1.
v
→   2  2 rad/s.
x1
 Đáp án B
Câu 10: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo nhẹ có độ cứng k và vật nhỏ có khối lượng 1 kg. Con lắc dao động
213
điều hòa với chu kì T. Biết thời điểm t vật có li độ 5 cm, ở thời điểm t 
T vật có tốc độ là 50 cm/s. Giá trị của k
4
bằng
A. 50 N/m
B. 100 N/m
C. 200 N/m
D. 150 N/m.

Hướng dẫn:
213T
Ta có t 
 53, 25T → hai thời điểm vuông pha nhau.
4
k v2
→ 
→ k = 100 N/m.

m x1
 Đáp án B
Câu 11: Cho hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x1 = Acosωt và x2 = Acos(ωt + 0,25π). Tại thời điểm t1

dao động thứ nhất có li độ x1 = a, đến thời điểm t 2  t1 
dao động thứ hai có li độ x2 = b. Biểu thức nào sau đây là
4
đúng
A. ab = A2.
B. a2 + b2 = A2
C. b = c
D. A = baω
Hướng dẫn:
+ Hai dao động lệch pha nhau 0,25π và hai thời điểm lệch nhau nhau một
lượng 0,125T → li độ tương ứng vuông pha nhau → a2 + b2 = A2.

 Đáp án B


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600


Câu 12: Một con lắc lò xo, gồm vật nặng có khối lượng m = 100 g đang dao động điều hòa với phương trình li độ
x  Acos  t   cm . Tại thời điểm t1 vật có li độ 2 cm, thời điểm t2 = t1 + 0,25T vật có tốc độ 10π cm/s, đến thời điểm

T
thì tốc độ của vật là 10 3 cm/s. Năng lượng dao động của vật là
2
A. 0,01 J
B. 0,24 J
C. 0,06 J
Hướng dẫn:
v
Tần số góc của dao động   2  5 rad/s.
x1
t 3  t1 

D. 0,02 J

+ Kết hợp với v 22  v32   A  → A  2 2 cm.
→ Năng lượng của dao động E = 0,5mω2A2 = 0,01 J.
 Đáp án A
2

Câu 13: Một vật dao động điều hòa, khi li độ của vật là x1  1 cm thì vận tốc của vật là v1  5 3 cm/s, khi li độ của
vật là x 2  2 cm thì vận tốc của vật là v2  5 2 cm/s. Biên độ dao động của vật là
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
Hướng dẫn:

D. 5 cm


v12  v 22
 5 rad/s.
x 22  x12

Ta có  

2

→ Biên độ dao động của vật A 

x12

v 
  1   2 cm.


 Chọn A
Câu 14: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 2 cm và chu kì T. Gọi x1, v1 và x2, v2 lần lượt là li độ và vận tốc
của vật tại hai thời điểm t1 và t2 sao cho Δt = t2 – t1 = 0,2 s là khoảng thời gian ngắn nhất để v1x1  x 2 v2  0 . Tốc độ
trung bình của vật trong một chu kì là
A. 2 cm/s
B. 30 cm/s
C. 10 cm/s
D. 5 cm/s
Hướng dẫn:
Từ điều kiện x1v1 + x2v2 = 0 → hai thời điểm vuông pha nhau. → T = 4Δt = 0,8 s
4A
 10 cm/s.
→ Tốc độ trung bình trong một chu kì v tb 

T
 Đáp án C
Câu 15: Cho hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x1  A1 cos  t  1  cm , x 2  6cos  t  2  cm với

1

. Tại thời điểm t1 dao động thứ nhất có li độ là x1 = 2 cm, tại thời điểm t 2  t1  s dao động thứ hai có li
4
8f
độ x2 = 3 cm và có tốc độ v2 = 20 cm/s. Tần số góc của dao động có giá trị
20
A. 10 rad/s
B. 10 3 rad/s
C.
rad/s
D. 20 rad/s.
3
Hướng dẫn:
2  1 

2

2

 2  3
4
x   x 
Ta có  1    2   1 →       1 → A1 
cm.
3

 A   A2 
 A1   6 
v
A 2
20
6
20


→ Tần số góc của dao động 2 
→ 
rad/s.
4
x1
A1
2
3
3
 Đáp án C
2

2

Câu 16: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T = 1 s. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1 = 3 cm, tại thời điểm
t2 = t1 + 0,25 s vật có tốc độ
A. 8π cm/s
B. 4π cm/s
C. 2π cm/s
D. 6π cm/s
Hướng dẫn:

+ Hai thời điểm vuông pha → v = ωx = 6π cm/s.
 Đáp án D


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

Câu 17: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T = 4 s. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1 = 3 cm, tại thời
điểm t2 = t1 + 1 s vật có li độ x2 = 4 cm. Biên độ dao động của vật
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 7 cm
D. 1 cm
Hướng dẫn:
Hai thời điểm vuông pha nhau, ta có A  x12  x 22  5 cm.
 Đáp án A
Câu 18: Một vật có khối lượng m = 100 g dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ) cm. Tại thời điểm t1,
1
1
vật đi qua vị trí có li độ x1 = 4 cm, đến thời điểm t 2  t1 
vật có li độ x2 = 3 cm. Tại thời điểm t 3  t1 
thì vật
2f
4f
đạt tốc độ 6π cm/s. Cơ năng dao động của vật là
A. 5 mJ
B. 4 mJ
C. 7 mJ
D. 1 mJ
Hướng dẫn:
+ Biên độ dao động của vật A  x12  x 22  5 cm.


6
 2 rad/s.
3
→ Năng lượng của dao động E = 0,5mω2A2 = 5 mJ.
 Đáp án A
Tần số góc của dao động  

Câu 19: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1, tại thời điểm t 2  t1  t
vật có tốc độ là v2 = ωx1. Giá trị nhỏ nhất của Δt có thể có là
T
T
T
T
A.
B.
C.
D.
8
6
2
4
Hướng dẫn:
Với v2 = ωx1 → hai thời điểm vuông pha.
→ Giá trị nhỏ nhất của Δt = 0,25T.
 Đáp án C
Câu 20: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(2t + φ) cm . Tại thời điểm t1 vật có vận tốc là v1 = 5
cm/s; tại thời điểm t2 = t1 + 0,25π s thì vận tốc của vật là 12 cm/s. Tốc độ trung bình mà vật đi được trong một chu kì
A. 9,5 cm/s
B. 9,0 cm/s

C. 7,0 cm/s
D. 8,0 cm/s
Hướng dẫn:
Tốc độ cực đại của dao động v max  v12  v 22  13 cm/s
→ Tốc độ trung bình của dao động trong một chu kì v tb 

4A 2
2
 A  v max  8, 27 cm/s.
T 


 Đáp án D
Câu 21: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số. Biên độ và pha ban đầu của hai dao động lần lượt là A1 = 5 cm;


1  và A2 = 12 cm; 2   . Tại thời điểm nào đó vật thứ nhất có li độ x = 3 cm và động năng đang tăng. Li độ
3
6
của vật thứ hai tại thời điểm đó bằng
A. – 9,6 cm.
B. 8 cm.
C. – 8 cm.
D. 9,6 cm.
Hướng dẫn:
+ Với hai dao động vuông pha nhau, tại thời điểm t bất kì ta luôn có:
2

2


 x1   x 2 
 3   x2 

 
  1 →       1 → x 2  9,6 cm.
 5   12 
 A1   A 2 
+ Dao động thứ nhất sớm pha hơn, ta dễ dàng xác định được x2 = 9,6cm
 Đáp án D
2

2

Câu 22: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, tại các thời điểm t1, t2 vận tốc và gia tốc của vật tương ứng có
giá trị là v1  10 3 cm/s, a1  1 m/s2, v2  10 cm/s và a 2   3 m/s2 . Li độ x2 ở thời điểm t2 là:
1
A. 3 cm.
B. 3 cm.
C. 1 cm.
D.
cm.
3


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

Hướng dẫn:
+ Áp dụng hệ thức độc lập thời gian giữa vận tốc và gia tốc, ta có:
2
 10 3 2

 v 2  a 
 100 
1
1


 

 1
   2  1
 A   2 A 
  10
 A    A 
→
→



2
2
A  2
 v 2   a 2 
 10 2   3.100 


1
 A    2 A   1




 
2

 


 A    A 
2

2
 v2 
 10 
+ Li độ x2 của vật tại thời điểm t2: x 2  A 2     22  
  3 cm.
 10 

 Đáp án B

Câu 23: Hai điểm sáng dao động điều hòa trên một đường thẳng có cùng vị trí cân bằng, cùng biên độ có tần số f1 = 2
a
Hz; f2 = 4 Hz. Khi chúng có tốc độ v1 và v2 với v2 = 2v1 thì tỉ số độ lớn gia tốc tương ứng 2 bằng
a1
A. 2.
B. 0,5.
C. 0,25.
D. 4.
Hướng dẫn:
+ Từ biểu thức độc lập thời gian giữa vận tốc và gia tốc ta thu được:
2


a
v
a  2 A 2     2 
a1
 

22

v 
A  2 
 2 

2

2

v 
12 A 2   1 
 1 

2

v2  2v1


 2
2

1


a2

a1

22

 2v 
A  1 
 21 

2

2

v 
12 A 2   1 
 1 

2



22
4.
12

 Đáp án D
Câu 24: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T  2 s. Gốc O trùng vị trí cân bằng. Tại thời điểm t1
vật có li độ x1 , tại thời điểm t 2  t1  0,5 s vận tốc của vật có giá trị là v2 = b. Tại thời điểm t 3  t 2  1 s vận tốc của vật
có giá trị v3  b  8 cm/s. Li độ x1 có độ lớn gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 4,2 cm.
B. 4,8 cm.
C. 5,5 cm.
D. 3,5 cm.
Hướng dẫn:
+ Ta để ý rằng, trong dao động điều hòa thì li độ và vận tốc luôn vuông pha nhau.
v
b
+ Hai thời điểm t1 và t2 vuông pha nhau do vậy v2 sẽ ngược pha với x1, ta có 2 
    rad.
x1
x1
Tương tự, thời điểm t3 ngược pha với t2 nên ta có

v3
b  8
b  8
1
1
 1  b  4 .
v2
b
b

Thay vào biểu thức trên ta tìm được x1  4 cm.
 Đáp án A
Câu 25: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang, lúc li độ của vật bằng 10% biên độ dao động thì tốc độ
bằng bao nhiêu phần trăm tốc độ cực đại?
A. 99,5%.
B. 91,9%.

C. 90,0%.
D. 89,9%.
Hướng dẫn:
+ Áp dụng hệ thức độc lập cho hai dao động vuông pha, ta có:
2

v
x  v 
x
 1     0,995 .
 A    v  1→ v
A
   max 
max
 Đáp án A
2

2

Câu 26: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên cùng một trục tọa độ Ox với phương trình lần lượt là
x1  A1 cos t và x 2  2A1 cos  t    , tại thời điểm t ta có:
A. 4x12  x 22  4A12 .
Hướng dẫn:

B. 2x1 = x2.

C. 2x1   x 2 .

D. x1   x 2 .



Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

x1
A
1
  1   → 2x1   x 2 .
x2
A2
2

+ Với hai dao động ngược pha ta luôn có
 Đáp án C

Câu 27: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình x  A cos(t  ) . Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc
1
của vật. Đặt m  2 . Hệ thức đúng là:






A. A 2  m 2 v 2  ma 2 .





B. A 2  m m v 2  a 2 .






D. A 2  m v 2  ma 2 .

C. A 2  v2  ma 2 .

Hướng dẫn:
+ Với hai đại lượng vuông pha, ta có:
2

2

2
v2
 v   a 
2 a
m

m
 1 → A 2  m v2  ma 2 .


1
→
 A   2 
2
2

A
A

A

 

 Đáp án D





Câu 28: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc ω = π rad/s. Gọi x1 và v1 lần lượt là li độ và vận
T
tốc của chất điểm tại thời điểm t1; x2 và v2 lần lượt là li độ và vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 2  t1  . Biết rằng
4
v1 v 2

 2 rad/s. Tỉ số giữa thế năng và cơ năng của chất điểm tại thời điểm t1 là
x1 x 2
A. 1,8
B. 0,3
C. 2
D. 0,5
Hướng dẫn:
+ Ta có v   A2  x 2 →

A 2  x12
A 2  x 22

v1 v 2



 2 5 rad/s.
x1 x 2
x1
x2
2

→ Biến đổi toán học ta thu được:

2

A
A
  1    1  2 .
 x1 
 x2 
2

2

2

2

E
x  x 
x 

x 
+ Với hai thời điểm vuông pha, ta luôn có  1    2   1 , nếu ta đặt x   1   t1 →  2   1  x , thay vào
A
A
A
E
   
A
 
1
1
1 
 1  2 → x = 0,5
phương trình trên.
x
1 x
 Đáp án D

Câu 29: (Lục Nam – 2018) Cho hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt x1 = 2cos(ωt) cm, x2 = 4cos(ωt + π)
cm. Ở thời điểm bất kì, ta luôn có:
x
x
x
v
v
v
x
v
1
1

1
1
A. 1   1  .
B. 1   1   .
C. 1  1  .
D. 1  1   .
x2
x2
x 2 v2
v2
v2 2
2
2
x 2 v2 2
Hướng dẫn:
x
v
A
1
+ Với hai đại lượng ngược pha, ta luôn có 1  1   1   .
x 2 v2
A2
2
 Đáp án D
v2 x 2
Câu 30: (Thiệu Hóa – 2018) Tốc độ và li độ của một chất điểm dao động điều hòa có hệ thức

 1 , trong đó
640 16
x tính bằng cm, v tính bằng cm/s. Tốc độ trung bình của chất điểm trong nửa chu kì là

A. 0.
B. 32 cm/s.
C. 8 cm/s.
D. 16 cm/s.
Hướng dẫn:
+ Từ phương trình trên, ta thu được:
 v max  A  8
→ ω = 2π rad/s → T = 1 s.

A  4
4A
 16 cm/s.
→ Tốc độ trung bình trong một chu kì v tb 
T
 Đáp án D


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

Câu 31: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên cùng một trục tọa độ Ox. Tại thời điểm bất kì, vận tốc của
các chất điểm lần lượt là v1 , v 2 với v12  2v22  3600 (cm/s)2 . Biết A1 = 8 cm. Giá trị của A2 là
A. A2  4 2 cm.
Hướng dẫn:

C. A2  2 2 cm.

B. A 2  6 2 cm.

+ Biến đổi toán học v12  2v 22 


v12
v22

602
30 2





→ So sánh với phương trình độc lập thời gian

2

D. A2 = 4 cm.

 1 → hai dao động vuông pha nhau.

v12

 A1 

2



v 22

 A1 


2

A1  60
  7,5
A1 8
.


1→ 
A 2  4 2
A 2  30 2

 Đáp án A
Câu 32: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20
cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm
là:
A. 4 cm.
B. 8 cm.
C. 10 cm.
D. 5 cm.
Hướng dẫn:
+ Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng v = vmax = ωA = 20 cm/s.
→ Gia tốc và vận tốc trong dao động điều hòa là vuông pha nhau, ta có công thức độc lập thời gian
2

2
2
2
 v   a 
 10   40 3 



1

 A   2 
 20    20   1 → ω = 4 rad/s.

  A
  

→ A = 5 cm.
 Đáp án D

Câu 33: Một chất điểm dao động điều hòa: Tại thời điểm t1 có li độ 3cm thì tốc độ là 60 3 cm/s. Tại thời điểm t2 có li
độ 3 2 cm thì tốc độ 60 2 cm/s. Tại thời điểm t3 có li độ 3 3 cm thì tốc độ là:
A. 60 cm/s
B. 30 3 cm/s
C. 30 cm/s
Hướng dẫn:
+ Áp dụng hệ thức độc lập thời gian cho li độ và vận tốc, ta có:
 3 2  60 3 2
 x  2  v  2
1
1
   
 1
1
   

 A   A 

A  6
 A   A 
↔ 
→ 
.

2
2
2
2
A  120
 x 2   v 2 
 3 2   60 2 
 A    A   1
  
  1


  
 A   A 

D. 30 2 cm/s

2

2
3 3
 x3 
→ Tốc độ tại thời điểm t3: v  A 1     120 1  
  60 cm/s.

A
 6 
 Đáp án A

Câu 34: Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1 m/s và gia tốc là 10 3 m/s2 . Khi đi qua vị trí cân bằng thì
vật có tốc độ là 2 m/s. Phương trình dao động của vật là




A. x  10cos  20t   cm .
B. x  20cos  20t   cm .
3
3






C. x  20cos 10t   cm .
D. x  10cos 10t   cm .
6
6


Hướng dẫn:
+ Áp dụng hệ thức độc lập thời gian với hai đại lượng vuông pha là vận tốc và gia tốc:
2


2

 v   a 

 
  1 với vmax là tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng vmax = 2 m/s.
 v max   v max 
2

2
 1   10 3 
→    
  1 → ω = 10 rad/s và A = 20 cm.
 2   2 


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600



→ x  20cos 10t   cm/s.
6

 Đáp án C

Câu 35: Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa, vật nặng có m = 0,3 kg. Gốc thế năng chọn ở vị trí cân bằng, cơ
năng của dao động là 24 mJ, tại thời điểm t vận tốc và gia tốc của vật lần lượt là 20 3 cm/s và –400 cm/s2. Biên độ dao
động của vật là
A. 3 cm
B. 4 cm

C. 1 cm
D. 2 cm
Hướng dẫn:

2E
2.24.103
1
m2 A 2 → A 

 0, 4 m/s.
2
m
0,3
→ Áp dụng hệ thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha vận tốc và gia tốc, ta có:
+ Cơ năng của con lắc E 

2

2
2
 20 3   400 2
 v   a 
 A    2   1 ↔  40    40   1 → ω = 20 rad/s.


  A

 
→ A = 2 cm.
 Đáp án D


Câu 36: Một vật dao động điều hòa với chu kì T, có li độ x, vận tốc v, gia tốc a. Ở thời điểm t1 thì các giá trị đó là x1,
T
v1, a1; thời điểm t2 thì các giá trị đó là x2, v2, a2. Nếu hai thời điểm này thỏa t 2  t1  m , với m là số nguyên dương
4
lẻ, thì điều nào sau đây sai?
2
2
A. x12 + x22 = A2.
B. v12  v22  vmax
.
C. x1x2 = A2.
D. a12  a 22  a max
.
Hướng dẫn:
T
+ Với gia thuyết t 2  t1  m , m là số nguyên lẻ → hai dao động này vuông pha nhau.
4
Vậy đáp án C là không thõa mãn cho trường hợp hai dao động vuông pha
 Đáp án C
Câu 37: Một con lắc đơn dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng. Thời điểm ban đầu vật ở bên trái vị trí cân bằng, dây treo
hợp với phương thẳng đứng góc 0,01 rad, vật được truyền tốc độ π cm/s theo chiều từ trái sang phải. Chọn trục Ox nằm
ngang, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương từ trái sang phải. Biết năng lượng dao động của con lắc là 0,1 mJ,
khối lượng vật là 100 g, g = π2 = 10 m/s2. Phương trình dao động của vật là
3 



A. s  2 cos  t   cm.
B. s  4cos  t   cm.

4 
4


3 
3 


C. s  2 cos  t   cm.
D. s  4cos  t   cm.
4 
4 


Hướng dẫn:
 2 2 v2
2
s0  s  2

 → s2  s2  v ms 2 →  
+ Áp dụng hệ thức độc lập: 
 2.102 rad.
0
0
0
2
2E
mv
E  1 m2s 2
1

0

2
2E

1
g
  rad/s
mgl 02 → l = 1 m →  
l
2
3
2
+ Tại thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí s  
s0 theo chiều dương, do vậy 0   , vậy phương trình dao động
4
2
3 

của con lắc đơn là s  2 cos  t   cm.
4 

 Đáp án A
Tha α0 vào biểu thức của năng lượng E 

Câu 38: (Quốc gia – 2012) Một vật dao động điều hòa với tần số góc 5 rad/s. Khi vật đi qua li độ 5 cm thì nó có tốc độ
là 25 cm/s. Biên độ giao động của vật là
A. 5,24 cm.
B. 5 2 cm.
C. 5 3 cm.

D. 10 cm.


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

2

v
+ Sử dụng công thức độc lập thời gian A  x 2     5 2 cm
 
 Đáp án B

Câu 39: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 ≈ π2 m/s2. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ
góc α = 0,05 rad và vận tốc v = – 15,7 cm/s. Phương trình dao động của con lắc là:




A. s  5 2 cos  t   cm.
B. s  5 2 cos  t   cm.
4
4






C. s  5 2 cos  2t   cm.
D. s  5 2 cos  2t   cm.

4
4


Hướng dẫn:
2 2
+ Tần số góc của dao động  

  rad/s.
T
2
l
l
→ Chiều dài con lắc T  2
↔ 2  2
→ l = 1 m.
10
g
2
2
s  l0  5
v 
 15,7 
→ Tại thời điểm ban đầu, ta có  0
→ S0  s02   0   52  
  5 2 cm.
  

 v0  15,7



+ Mặc khác s0  5 2 cos 0  5 → 0   , kết hợp với v0  S0 sin 0  0 → 0  .
4
4



→ Phương trình dao động của con lắc s  5 2 cos  t   cm.
4


 Đáp án A


Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN

CHỦ ĐỀ
3

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT – MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG CƠ VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU
1. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa:
Xét chuyển động tròn đều của vật trên quỹ đạo có bán kính R với tốc độ
dài v, tốc độ góc ω.
+ Chọn trục Ox nằm ngang như hình vẽ.
→ Tại thời điểm t hình chiếu của vật lên trục Ox được biểu diễn bằng
phương trình xt = Rcosφt.
+ Giả sử rằng, tại t = 0, góc hợp bởi Ox và bán kính là φ0 → φt = ωt + φ0.
→ xt = Rcos(ωt + φ0).

Vậy ta có thể xem dao động điều hòa là hình chiếu của của một vật chuyển
động tròn đều theo phương bán kính.

→ Mối liên hệ giữa các đại lượng trong dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:
Dao động điều hòa
Chuyển động tròn đều
+ Biên độ dao động A.
+ Bán kính quỹ đạo R.
+ Tần số góc ω.
+ Tốc độ góc ω.
+ Tốc độ cực đại vmax = ωA.
+ Tốc độ dài v = ωR.
+ Lực kéo về cực đại Fmax = mω2A
+ Lực hướng tâm Fht = mω2R.
Bài tập minh họa 1: (Nguyễn Khuyến – 2018) Hai dao động điều hòa có phương trình x1 = A1cos1t và
x 2  A 2 cos 2 t được biểu diễn trong một hệ tọa độ vuông góc xOy tương ứng bằng hai vecto quay A1 và A 2 . Trong

cùng một khoảng thời gian, góc mà hai vecto A1 và A 2 quay quanh O lần lượt là a và b = 6,1a. Tỉ số 1 bằng
2
A. 0,9.
B. 6,1.
C. 5,1.
D. 0,16.
Hướng dẫn:

a  t
b
+ Ta có  1 → 1   6,1 .
2 a
b 2  t

 Đáp án B
Bài tập minh họa 2: (Quốc gia – 2016) Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính 10 cm
với tốc độ góc 5 rad/s. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo có tốc độ cực đại là
A. 15 cm/s
B. 50 cm/s
C. 250 cm/s
D. 25 cm/s
Hướng dẫn:
+ Hình chiếu của chất điểm này là một dao động điều hòa → tốc độ cực đại vmax = ωA = 50 cm/s.
 Đáp án B
Bài tập minh họa 3: (Yên Lạc 2 – 2018) Xét một vectơ quay OM có những đặc điểm sau:
+ Có độ lớn bằng 2 đơn vị chiều dài.
+ Quay quanh O với tốc độ góc 1 rad/s.
+ Tại thời điểm t = 0 vectơ OM hợp với trục Ox bằng 600 theo chiều dương lượng giác.
Hỏi vectơ quay OM biểu diễn phương trình của dao động điều hòa nào ?




 
A. x  2cos t  300 .
B. x  2cos  t   .
C. x  2cos  t   .
D. x  2cos  t   .
3
6
3




Hướng dẫn:


+ Vecto quay OM biểu diễn dao động: x  2cos  t  
3

 Đáp án B






Bùi Xuân Dương – 0914 082 600

2. Vận dụng phương pháp đường tròn vào giải toán:
Bước 1: Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = A.
Bước 2: Xác định vị trí tương ứng của vật trên đường tròn tại thời điểm t0 và thời điểm t.
o Vật chuyển động theo chiều dương (φ0 < 0) tương ứng với vị trí ở nửa dưới đường tròn.
o Vật chuyển động theo chiều âm (φ0 > 0) tương ứng với vị trí ở nửa trên đường tròn.
Bước 3: Xác định góc quét Δφ tương ứng giữa hai thời điểm. Áp dụng mối liên hệ Δφ = ωΔt.
II. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH:
1. Đường tròn đa trục trong xác định trạng thái dao động của vật
Nếu hình chiếu của vật chuyển động tròn đều lên trục Ox biểu diễn li độ
của vật dao động điều hòa.
→ Hình chiếu của vật lên trục thẳng đứng chiều dương hướng xuống
biểu diễn vận tốc của vật và hình chiếu của vật lên trục nằm ngang, chiều
dương ngược lại so với Ox biểu diễn gia tốc của vật.

→ Từ cách biểu diễn trên, ta thấy rằng, trong quá trình dao động điều hòa của vật:

o Gia tốc của vật đổi dấu (đổi chiều) tại vị trí cân bằng.
o Vận tốc của vật đổi dấu (đổi chiều)


Bài tập minh họa 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x1  8cos  5t   cm Khoảng thời gian mà vận
6

tốc và gia tốc của vật cùng nhận giá trị dương trong một chu kì là
A. 0,25 s.
B. 0,15 s.
C. 0,1 s.
D. 0,2 s.
Hướng dẫn:
2
+ Chu kì của dao động T 
 0, 4 s.

→ Biểu diễn trên đường tròn, ta thấy khoảng thời gian mà gia tốc và vận tốc cùng
T
nhận giá trị dương trong một chu kì là t   0,1 s.
4

 Đáp án C
Bài tập minh họa 2: Trong dao động điều hòa, ở thời điểm mà tích giữa li độ và vận tốc của vật thỏa mãn điều kiện:
xv < 0 thì vật đang:
A. chuyển động nhanh dần đều.
B. chuyển động chậm dần đều.
C. chuyển động nhanh dần.
D. chuyển động chậm dần.
Hướng dẫn:

+ Tích xv < 0 tương ứng với các vị trí của vật trên đường tròn thuộc các góc phần
tư thứ (I) và (III).
Ở các vị trí này tương ứng với chuyển động của vật từ biên về vị trí cân bằng do
vậy vật chuyển động nhanh dần (lưu ý: vật chuyển động nhanh dần đều khi gia
tốc là hằng số)