Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 27-2-0063-0082
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63
BEITRAG
ZUE
IM
THEORIE DES CRÖSSTEN
KLEINSTEN DER FINCTIONEN MEHRERER VARIABLEN
NEBST
EINIGEN ERÖRTERUNGEN ÜBER DIE COMBINATORISCHE DETERMINANTE
Lorenz Zmurko,
K. K.
PKOFKSSOR TEK MATHEMATIK AN DKR TECHNISCHEN ANSTALT
VORGELEGT
IN
UN
LEUBERG, TllAllUEM UITOLIEDF, DER OALIZISCHEN LANDWIRTHSCHAFTS-GESELLSCHAFT.
DER SITZUNG DER MATHEMATISCHNATUR'WISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM
§•
15.
MÄRZ
1S66.
1.
Theorie des Grössten und Kleinsten.
Eine Function erreicht für solche Werthe ihrer Grundvariablen einen Maximal- oder
M inimal werth,
für welche der zugehörige Functionswerth
—
Nachbarwerthe übertrifft
im zweiten
Nachbarwerthen übertroffen wird.
im
nächsten
seinen nächsten
ersten Falle alle seine
Falle hingegen von allen
Die hieher gehörigen Betrachtungen mögen zunächst blos den primären (reellen) Werthen
sowohl der Function
Es seien nun
selbst, als
XiCC., cCj.
.
auch ihrer Grundvariablen gelten.
.x„ solche
Werthe der Grundvariablen, welche
u=f{x,x.,x,.
zu einem
Maximum
oder
Minimum machen;
^,
.
.x„,)
(1)
ferner seien:
= ra,, = ra^, = ra^,.
i,
die Function:
i,
.
.i„
= ra„
(2)
gehörig kleine primäre, sonst aber beliebige positive oder negative Zusätze, so erhalten wir
die Darstellung aller
Nachbarwerthe der Function u im folgenden Ausdruck:
u=f{x,-irra^,x^ + ra.,,...x„ + ra„).
(3)
:
.
.
.
:
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Lorenz Zimirko.
C4
Da
wir zur Darstellung aller möglichen Naclibarwerthe blos
einander unabhängiger Zusätze
$0.
.
.S„,
benöthigen, so steht es uns
gehörig kleiner unter
frei
unter den
(m+l)
Grössen
Zwecke der Discussion möo-lichst
.ß,„
fördernde Eelation zu etabliren, und etwa die Einrichtung derart zu veranstalten, dass man
r a^ a..a^.
(4)
?i
m
eine beliebige, somit auch eine die
.
bei einem sehr kleinen r die Grössen a^ cu.
.
.«,„
endlieh belässt, und nebstbei zur Erfüllung
einer geeigneten Eelation verwendet.
Der eben gegebenen Erklärung gemäss muss unabhängig von
S
speciellen
Werthen der mit
bezeichneten Zusätze
im Zustande des Maximums
A^ u — u
die Difi'erenz
(^)
„
„
„
sich ergeben, d. h. es
muss
Minimums
die Differenz
„
A
„
= — iO>
ti
A im Falle des Maximums
die Stabilität des
nega-
tiven — im Falle des Minimums die Stabilität des positiven Zeichens beurkunden.
•
Verwendet mau
D=
(6)
ax^
in
üblicherweise die Differentiationsdeterminante:
a^+....
«,+
dx.,
+ ax,n
„„,
=_
e,+
-
aa\
r y ax^
?,+
....+^SJ
ux,„
)
zur symbolischen Andeutung der an diejenige Function anzubringenden Differentiationen, vor
welche dieser Ausdruck
in entsprechender
Potenz
Taylor'schen Satze gemäss zur Darstellung der
chung schreiben:
A
(7)
= u — « = ^ T)'u-^'^ D'u+
-
1
wo
für
'-
als
Factor gesetzt wird
,
so lässt sich
dem
erwähnten Differenz A folgende Glei-
in (5)
IPu+ ...+
o
-^
—
i^s
ij.
D''hi +
^
D'ii,,
«
1
«j=/(.T,-}-;-0«„ x,
liier sehen wir die
+
?-(ki,,.
.
.x^
+ rf)a,„).
oberwähnte Differenz durch eine nach steigenden Potenzen des sehr
klein gedachten r geordnete Eeihe dargestellt, deren jedes einzelne Glied bei der hier voraus-
gesetzten Stettigkeit von
ic
sich grösser gestaltet, als der
Betrag der sämmtlichen nachfolgen-
den Glieder dieser Reihe. Eine Ausnahme hievon bilden nur diejenigen Glieder der Eeihe,
welche unabhänofiff von
?
und den mit a bezeichneten Grössen Nullwerthe
Die Glieder von der Form:
— Dhc, — D""u, — D"«.
.
.
sind in
erhalten.
Bezug auf das kleine
sonst
aber willkürliche r von einer uuo-eraden Ordnunff. und besitzen die Eigenheit, entsfeg-enffesetzte
A^orzeichen anzunehmen, sobald
man
bei unveränderten
«-Werthen dem
r einen
entgegenge-
Werth zuerkennt.
Soll nun die in Eeihenform dargestellte Differenz A die Stabilität des Vorzeichens
gewähren, so darf der oben gepflogeneu Auseinandersetzung zufolge, keines der mit einem
ungeraden Exponenten versehenen Glieder als Anfangsglied von A auftreten, und in Folge
dessen müssen die Werthe x^X2,x.^. .x^^ vor xillem so gewählt werden, dass hiedurch die
setzten
.
Gleichung:
(Q\
,-,
( (In
(hl
du
\
(hl
c/x'"
)
(Ix^
_
"
(/x'i
(/X2
(Ix^
^
(hl
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Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc.
Beitrag
zw
Erfüllung gehe. Diese Gleichung zerfällt in folgende zur Bestimmung
für willkührliche
6
von
dienende Eelationen:
a'i
Xo X3.
.
.ic„
65
in
du
du
dxi
,h,
^^^
^^^
d.c
dx.^
Die aus diesen in hinreichender Anzahl vorliegenden Gleichungen gezogenen Systeme
von je einander zugehörigen primären Werthen von x^ a\ x.^. .x„ dienen nicht nur zur Ermittlung der entsprechenden Werthe der Function u, sondern auch zur Bestimmung aller zu a
.
Form D'u angehörigeu Gliedern; —
dem Gliede rDu zufällig noch mehrere
gehörigen Coefficienten in allen der
ereignen, dass in Folge (9) nebst
-
es
kann
sich hiebei
unmittelbar darauf-
folgende Glieder der Eeihe (7) gleichzeitig verschwinden. Unter solchen Umständen kann
jedoch nur dann ein Maximal- oder Minimalzustand von u erwartet werden, wenn das diessfällige
Anfangsglied von A einen geraden Exponenten aufweist, wenn somit das erste nicht
verschwindende Glied
in
A der Form —- D-"u angehört. Für diesen Fall hat man aus
(7)
.'«
A
Nimmt man
die mit
6
= 2mI
— Z)-"« +^(2«-|-1)! D^"'+'«+^ ....
(10)
bezeichneten Zusätze so an, dass etwa:
1^0
und
==?,=... i-i + .^+,
e.
+
...
= =
(11)
l,.
werden, so erhält man:
r
^
a,
^Ö
und
a,
= =
a,
.
.
.
(7,_,
+ a_^, +
.
.
.
= =
(12j
a„,
und auch:
—
JJ
u
2«!
= 2uldx'"
ci
;
'
s
hiedurch wird besagt, dass man es immer so einrichten kann, dass das erste in (10) vorkommende Glied mit dem 2«"° nach a-, genommenen Differentialquotienten in Bezug auf sein A'orzeichen übereinstimmt.
Die Gleichung (12) lässt sich im obigen Sinne für beliebige Werthe von s auffassen, und
begründet hiemit den Schluss, dass die Differenz A in Bezug auf ihr Vorzeichen nicht stabil
erklärt
werden
darf, sobald
man
unter den gleichtönenden Differentialquotienten:
d-"u
d'^u
d-'i.
(13)
1
verschieden bezeichnete Werthe
antrifft.
a
dx
"»
Hieraus schliesst
man
dass im Falle eines
weiter,
Minimums keiner
dieser
Maximums
keiner dieser Ausdrücke ein positives, dass im Falle eines
Ausdrücke
ein negatives Vorzeichen darbieten darf. Verschieden bezeichnete Eesultate in (13)
gestatten den sicheren Schluss, dass in einem solchen Falle die Function
Maximal- noch
in
ti
sich
weder
einem Minimalzustande befinden kann.
Denkschriften der mathem.-naturw.
Cl.
XXVII. Bd.
Abhandl. von Nichtmitgliedern.
i
in
einem
:
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Lorenz Zmurko.
56
Sind nun die gleichtönenden Differentialquotienten sämmtlieh gleich bezeichnet, dann
liegt es uns ob, eine weitere Untersuchung anzustellen, ob der Ausdruck
2n
d'"u
S
i>-"«:
(14)
mit der einzigen Bedingung:
(oCi
!
a"'
erst
a°
A.,„
dx'
dj.\^
+ a, + a3+
.
.
.
+a„,^2?^)
in
Bezug auf beliebige Werthe von
a die Stabilität seines Vorzeichens beurkundet oder nicht.
n^l
hervorgeht, und nur dann Gegenstand der
welcher aus (14) für
Untersuchung sein kann, wenn er nicht unabhängig von den a-Werthen verschwindet, hat
Herr Professor Dr. Joseph Petzval erschöpfend behandelt, und gelangte mittelst einer zweck-
Den Ausdruck
A.,^
mässigen Ausübung des in
in Aussicht gestellten Anrechtes zu einfachen
(4)
geprägten Kriterien [siehe weiter
entscheiden.
Den
welche über die
(48)],
Grundpfeiler dieser über
A..
Stabilität
und präcis aus-
oder NichtStabilität von A^
angestellten Untersuchung bildet nämlich die
Aufstellungo der Relation:
=
^^_^„^^„^+...+«^^
(15)
welche der Beliebigkeit der mit
in
^
l,
bezeichneten Zusätze unbeschadet durch die Werthe von a
Erfüllung zu gehen hat.
In der Erwartung eines ebenfalls günstigen Erfolges habe ich bei der Untersuchung des
Vorzeichens von
A.>,^
folgende der (15) analoge Relation:
(16)
(^^cc:'-;-a:^-ir
...^cr::=^l
zu Grunde gelegt, und hiedurch die Werthe von a in der Art eingeschränkt, dass die einzelnen
a-Werthe blos innerhalb der positiven und der negativen Einheit variiren dürfen.
Setzt
man
in (14) «^
^ ^ =
«^
"3
•
zeichen die numerischen Werthe der in
•
•
^ «» =
A.,,^
2n
1 ""'^
summirt ohne Rücksicht auf die Vor-
spielenden Coefficienten von der
Form:
d-"u
!
a Ja, !«,!.. djK'dx:...
1
so erhält
man
einen endlichen Zahlenwerth
— und
= 8,
welcher ganz gewiss den jeweiligen numeri-
kann behauptet werden, dass der Werth von .4.,,, für
alle möglichen Annahmen der der Bedingung (16) genügenden primären Werthsysteme von
Ä bis -\- S variiren kann, und hiemit
.ct,„ nur innerhalb der endlichen Grenzen von
a^a.^a.i.
schen Werth von
A.,^ übertrifft,
es
—
.
nothwendifi-er
Weise mindestens Einen endlichen
Mini mal werth
Maximal- und Einen endlichen
aufweisen muss.
Hierauf fussend notiren wir folgende den Ausdruck ^„„ betreffenden Schlussfolgerungen:
a) Gibt es Werthsysteme von aia.,a^. .«,„, welche ein positives A.,„ liefern, so gibt es auch
.
^
)
ganz gewiss solche, welche einen positiven Maximalwerth veranlassen.
L) Gibt es Werthsysteme, von a,a.,.
.«,„, welche ein negatives A„
.
gewiss auch solche, welche einen negativen Miiiimalwerth von
A.,„
liefern, so gibt es
veranlassen.
ganz
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Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc.
67
kein
c) Ist
Maximum noch Minimum von
und beurkundet hiemit die
den Maximalzustand von u.
positiv, so
Stabilität des negativen
fähig,
d) Ist kein
A,^,^
Maximum noch Minimum von
Vorzeichens von A, und schliesslich
negativ, so
.4.,,,
positiver Wertlie nicht
ist ^,,„
ist A.,^
negativer Werthe nicht
fähig, und beurkundet hiemit die Stabilität des positiven Vorzeichens von A,
den Minimalzustand von
e)
Ist
diessfällig
überhaupt
und
schliesslich
u.
auch negativer Werthe fähig, so befindet sich
die Function u weder im Zustande des Älaximums noch dem des Minimums.
A.,„
sowohl positiver
als
Demzufolge läuft unsere Untersuchung darauf hinaus, das Vorzeichen blos von denjenigen
Werthen von A.,,^ zu erforschen, welche in Bezug auf die primären Werthsysteme von «j a.,. .a^
den Vorbedingungen wie (8) des Maximal- oder Minimalzustandes von A,,^ entsprechen, und
.
gleichzeitig der Relation (16) genügen.
Zu diesem Behufe
müssen
die
Werthe von
seien bi ba bs.
a^
a.^.
.
.a„ vor
.
dA-,,,
.b„ die unendlich kleinen Zusätze zu a^
Allem
dAo,,
,
^
--^b,-f-^b,+
und ausserdem wegen (16) noch
+b
für sehr kleine Zusätze bi b,.
Zieht
man
.
o,.
.
.a„,,
so
dA.,n
...+—^b,„ = o
.
(18)
die Gleichungen:
ar+af+«r+.. •+«::=
(«.
a.,
die Gleichung:
J-'"
+ (a, +
b,)--""
1
(19)
+
.
.
+ (a„, Ky"=
.
-I-
1
.b„ erfüllen.
Gleichung von der zweiten
in (19) die erste
ab, so erhält
man nach Weglassung
der höheren Potenzen der kleinen Zusätze b:
2naf-'i),
.
.
+ 2;^a;r-'b„, = 0.
.
(20)
Gleichung (20) mit einem erst später näher zu bestimmenden Factor
und subtrahirt selbe dann von der Gleichung (18), so erhält man:
Multiplicirt
i-,
man
+ 2»«^— b, +
die
[^-2.M«r-')b,+[^-2«Wr-]b,+
.
.
.
+[^-2.<"-]b„ =0.
Wählt man nun den Factor s so, dass in (21) etwa der Coefficient von
müssen dann wegen der völlig willkührlichen h-^hi. .b,„ auch die übrigen
.
bj
(21)
verschwindet, so
in (21) vorfindigen
Coeffiiienten jeder für sich verschwinden.
Hiedurch gelangen wir zum folgenden Systeme von (m-\-l) Gleichungen:
dA-in
—^
„
^riöu^
da,
welche zur Bestimmung von
«,
a.,
dA.>„
,
^
.
f(bu.,
,
a^.
aa„
.
dA^^
,
,
.
.
.
.
= 2nsd::-\
aa„.
.a^ und des Factors s zu dienen haben.
(22)
:
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68
Wegen
dD
=-—
d
1
A,,,r=D'"u und
(IX.
da,,
man:
liat
(23)
das
Demgemäss
erhält
man
dx^
dx^
dris
aus (22) folgendes System von Gleichungen:
u^sce-'^
D-'— u
.
= scr:-'
d.r
dx^_
djL\
(24)
o5"
in
+ „=« + „f+...+a;r=l,
denen die symbolische Deutung der Potenzen von D nach (6) und (14) verstanden wird.
Multiplieirt mau die ersten m Gleichungen in (24) der Reihe nach mit a, «^ a^. .«„„ und
.
verbindet die so multiplicirten Gleichungen durch Addition, so erhält man mit Eücksicht auf
die letzte in (24)
ydXi
dXm
dx„
oder
D-"u
(25)
=
s
J
hiemit
A.,,,
=
s,
gezogenen Werthe von s mit denjenigen AVerthen von
Bedingungen
(18) und (19) genügen, d. h. mit denjenigen
A.,„ übereinstimmen, welche den
Werthen von A.,,^, unter welchen die eventuell möglichen Maximal- oder Minimalwerthe von
wodurch besagt wird, dass
A.2„
die aus (24)
sich einfinden.
Die bisherigen Ergebnisse in Verbindung mit der Deutung der Gleichung (25) führen uns
zur Einsicht, dass von nun au der Grösse s die Rolle zufällt, den Schlussstein der Untersuchungen über das Maximum und Minimum einer Function ?i zu bilden.
Setzt
man:
=
und
D:ci.,,
(20)
so erhält
man
= ^,
aus (24):
d
9^-"'-i»
= srT~
^-•'-ht
—
dx^
d
dx.
(27)
ftem-l
sv:!'-'
V,
—
1
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Wenn man
und Kleinsten der Functionen
Theorie des Grössten
Beitrag zur
Gleichung
die erste
mit jeder nachfolgenden verbindet, und dann aus
in (27)
jedem so entstehenden Gleiehungspaare
s eliminirt, so erhält
^•In
,,-'"—
,.-'"—1
n
=
u
=
d
(^•in~\
69
etc.
V-:
man:
dx.
(2SJ
d
d
^-'"-'
u
r-"
VI
—O
d ^2n—)
u.
(29)
dx„
wobei:
d
^
^ = -r
(Ar,
—
d
d
d
'".
^'-'+
+T^
dXi
•
•
•
+ ux„_i
1
+ T"
u.c„
^'".-.
(30)
—
Aus den (m 1) Gleichungen in (28) findet man nach Umständen mehrere Systeme von
primären Werthen der Verhältnisszahlen ?'i ti^v^. .f,„_i und bestimmt mittelst (29) den einem
jeden dieser Systeme entsprechenden Werth von ä, welcher letztere ebenfalls primär ausfallen
.
muss.
Auf Grund der Bemerkungen in (17)
Werthe von s folgende Schlüsse herleiten:
lassen sich aus
dem Vorzeichen
der so erhaltenen
Die Function u befindet sich im Maximum, wenn die eben erwähnten Werthe von
«)
.v
sämmtlich negativ sich ergeben.
b)
Die Function befindet
sich
im Minimum, wenn diese
.•»-Werthe sämmtlich positiv sich
(31)
ergeben.
c)
Ä
Die Function
-Werthe sowohl
zi
befindet sich
positiv als
weder im Maximum noch im Minimum, wenn
auch negativ möglich erseheinen.
Die bisherige Untersuchung über Maxima und Minima von u
von primären aus
(9)
sich
diese
ergebenden Werthe von
Systeme von complexen
z\x.,.
.
.x,„.
Im
betrifft
blos die Systeme
Fall der Einbeziehung der
«jCCo-'^-a-^m müsston wir auch den Zusätzen ^^ t,,. .?„, und folgerichtig
auch den in (2) ersichtlichen r und a complexe Formen einräumen. Das in Bezug auf das
•
Vorzeichen von A vorherrschende Glied
—
zulässige Combination der a -Werthe
für r
D-"u erhält etwa für ein primäres r und eine
y.'2'i
r^r'Y — 1
den Werth
fällige Differenz
A der
-^^
D-"u
=—
?•'
den Werth -— D-"u
-
2«!
51.
=
5(,
und dann
und berechtigt somit zum Schluss, dass
positiven sowohl als auch der negativen Vorzeichen fähig
ist,
die diess-
— woraus
weiter geschlossen wird, dass Systeme complexer aus (9) sich ergebenden Werthe von
weder
ein
Maximum noch
ein
Minimum von
u zu veranlassen
vermögen.
für
Xj^x,. ..x^
f32)
:
:
:
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Lorenz Ztnurho.
70
Von den besonderen
Fällen der hier vorgetragenen Theorie
mögen
hier blos zwei näher
gewürdigt werden, welche aus dem allgemeinen Fall dadurch hervorgehen, dass man:
m^2
n =
I
II
setzt,
l setzt,
Im
Falle
erhält
I.
und n als eine allgemeine ganze Zahl belässt;
und m als eine allgemeine Zahl belässt.
man
für
(33)
s = -±., + -i-,
„=/(,,..),
und nach
(28), (29):
i
,
\dxi
Die
Y-"~T d
f^
'^
("34)
dx^J
erste in (34) ist
d
dxi
nach
_
^^^
_
dx.,
vom
r,
d.
dx.,
(4«
— 2)'™ Grade;
(
Y""'
d
(/
ydx,
dx„J
die aus derselben sich
ergebenden
Werthe von v^ liefern mittelst Substitution derselben in die zweite eben so viele
primäre Werthe von s, aus deren Vorzeichen die weitere Entscheidung über den Zustand von ii
pi'imären
nach (31) gefallt wird.
Für
n=2
ist
(3,1)
+ 3(22) vl+ 3(13) ,t+
^'f
die erste in (34)
(35)
s
wenn man überhaupt
vom
Q'""
Grade und
gestaltet sich
folgendermassen
l(04)-(40)S r^-3(3,l) i>?-3(22)
^
-(13)
= (31) 1-1+ 3(22) ri+ 3(13) v,+ (04),
die runde
Klammerfassung dahin deutet, dass man
(36)
((üiü')
=
U>
I
cLc
7
die Gleichung:
(I
ax„
einräumt.
Im
Falle II sei
u=f{x,x.,x^.
(37)
wegen n =r
1
erhält
man
.
.x„y,
aus (24)
-— Da = sa, — - Du = m., ;..... Dh = sa,„
dXi
;
,
dx,„
dx.,
und nebstbei
(38)
a:-\-c4
wenn man
diese
+ ai+...i-al=l^
Gleichungen entwickelt, und ganz allgemein die Gleichung
(39)
(w,
bestehen lässt, so erhält
man
=
lu')
aus (38)
=
((o'oj)
=
1
'
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71
=
(21)
+ (22) «,+ (23) «3+ .... 4 {2m) =
(TOl)a, +
+ (w3)«3+ .... +{mm)a,„ =
(ll)ai-f (12)a,
+ (13)a3+
+{l7n)a„,
a,s
a„,
a,s
a,
(??i2)ö'..,
Wenn man
Gleichungen durch
alle diese
nach den Verhältnisszahlen
man dazu, um
y, t'ji's.
.
.^^„_l
geordnet. Die ersten
bekannten
welche durch Auflösung
s,
vi
(??i
eine Gleichung
a^ a.,.
Gleichungen
Gleichungen verwende
1)
Werthe
für s liefert.
von
Grade nach der UnDiesen m Werthen von s ent-
sprechen ebenso viele Werthsysteme derVerhältaisszahlen v^t^^v^.
Systeme von
—
m
auszudrücken. Durch Einführung der so erhal-
s
man
tenen Werthe in die letzte Gleichung erhält
a,„s.
dividirt, so erscheinen diese
«,„
diese Verhältnisszahlen durch
(40)
ot"""
.t'„,_i
.
und auch ebenso
viele
.a^.
.
Seien nun zwei Systeme von zusammengehörigen Werthen:
(«1
von denen das
erste in
5
(h
J
«:i
•
(';„
•
:
den Gleichungen
*0i
(«1
;
)
«2
;
«!n
•
•
•
«1.
?
(* 1)
«')-'
das zweite hingegen in folgenden Gleichungen
(4^0),
sich ausprägt:
(1 1) «;
+ (2 1) «;+ (31) «;+....+ (ml) «: = a\s
(12) «;
+ (22) a, + (32) «;+....+ (ni2)
= aj
«'„,
(42)
{lni)a[-\-(2m)a2-\-{3m)a'3-f- .... +(?/«,??i)ö|„^ a',/.
Die hier bewirkte Verstellung der Zeiger innerhalb der
Wenn man
Klammern
ist
ja nach (39) gestattet.
Gleichungen (40) der Reihe nach mit a\, a'o, d^. .a^ multiplicirt, und die
so erhaltenen Gleichungen addirt, und als Summe der aufeinander folgenden Verticalpolynome
darstellt,
die
.
man etwa
so erhält
(1
und demgemäss
a,
.
als
a\s'
+
3) «3«;
+ (23) «3«; + (33)
Summe
a.,
.
Verticalpolynom mit Rücksicht auf die
als drittes
dJ +
aller
a.,
.
a-ß'.,
+
.
.
.
+ (m3) a^'^ =
a-,
.
dritte in (42):
d^,
Verticalpolynome:
d/ +
.
.
.
+
a,„
.
dj = d, .a^s-\-
d.,
.
a,s
+...+«;„. a,^s,
oder
[s
Sei
—
s) {aißi
+ a.al +
.
.
.
-\-a,„dj
=
(43)
0.
nun
s
=p + q j/^
«,
=
a,
+ ß, |/=:T,
a,,
=
et,
+ ,1 Y^^ ,...«,„ =
a„.
+
ß„,
]/—
(44)
das erste den Gleichungen (40) genügende Werthsystem, so können wir immerhin als das
zweite den Gleichungen (42) genügende Werthsystem folgendes ansehen:
s:=p-qY^I, «;= a,-i3,l/=l
,
«:
=a—
ß,
V'^^T,
.
.
.«;,=
«,— ,3,„1/-I.
(45)
:
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Lorenz Zmurko.
72
Da
ferner ganz allgemein « „,«1
Hypothese (44)
die
Gleichung
— 2^]/—
(46)
Diese Gleichung
=
(40) in
ijai
lässt sich
o'l
+ ß» sich
man
ergibt, so erhält
auf Grundlage der
folgender Gestalt:
+ aH
•
•
•
+«;+ß;+ß^-f
•
•
•
+ßi,;==o.
durch Annulirung des eingeklammerten Factors nicht erfüllen,
weil dies im Widerspruche mit der zweiten in (oS) die Satzungen:
«1
= =
OCo
.
.
.
= = ^ =
a„,
ßi
j3_.
.
.
.
= ^
zur Folge hätte. Aber auch nicht durch die Satzung q
Hypothese widerspricht. Es
:^
= 0,
bleibt somit nichts übrig,
abstehen und anerkennen, dass
r/j
|J„,
als
dem Gleichungssysteme
CL,
=
.
.
.
r=
U,,^
=
weil dies der in (44) gemachten
dass wir von der Hypothese (44)
(40) complexe i'-Werthe zu
genügen
nicht geeignet sind, dass somit aus (40) nur primäre s-Werthe resultiren können.
Die aus (40) gefolgerte Elimiuationsgleichung
,"'
(47)
+ 6_^,'"-^ + 6„,_36-'"-^+
.
.
in s
habe nun folgende Gestalt:
.^b,s'i-b,=
[Siehe
§.
3 (23)],
welche auf Grund des eben gelieferten Nachweises blos primäre Wurzeln
dessen nicht erst aufgelöst zu werden braucht,
um
in
zulässt,
und
in
Folge
Bezug auf den Zustand der Function
ti
folgende Kriterien zu bieten:
aj Bietet die Coefficientengruppe in (47) lauter Zeichenfolgen, so ergeben sich die zuge-
hörigen s-Werthe sämmtlich negativ und u befindet sich im
(48)
bj Bietet die Coefficientengruppe in (47) lauter
Maximum;
Zeichenabwechslungen, so ergeben
sich
die zugehörigen
s-Werthe sämnitlicdi positiv und u befindet sich im Minimum;
Finden sich in (47) sowohl Zeichenwechsel als auch Zeichenfolgen ein, so ergeben
sich die betreffenden s-Werthe theils positiv, theils negativ, und u befindet sich weder im
Maximum noch im Minimum.
cj
Die Bildung der Eliminationsgleichung (47) aus (40) wird nach Gramm er am einfachDeterminante durchgeführt. Es sei mir hier gestattet die
einschlägige Theorie in möglichster Kürze beizufügen. Bei dieser Gelegenheit werde ich mich
sten mit Hilfe der combinatorischen
bestreben, nebst einigen auf die Darstellung sich beziehenden Vereinfachungen, eine wichtige
Eigenschaft der sogenannten Functionsdeterminante mit einem Beweis zu belegen, Avelche unbewiesen vom Herrn Otto Hesse aufgestellt und zur Transformation der zweiten Variation
eines bestimmten Integrales
von der Form
^=f/{.v,!/,y',i/\...>jnch
mit ausgezeichnetem Erfolg verwendet worden
Minimums von A
ist,
zu gelangen. (Siehe Journale von
um
zu den Kriterien des
Grelle,
Maximums und
54. Band, pag. 249.)
:
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Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc.
73
§•
Über
2.
combinatorische Zeichengruppe.
die
Einer jeden aus den Elementen
1, 2, 3, 4,
.
.
.
(«
—
1),
n gebildeten Permutationsform
System von je Q) Amben, von denen einige von Links nach Kechts gehend,
Zunahme,
die übrigen hingegen eine Abnahme beurkunden. Die ersteren Umstände
eine
mögen Steigungen, die letzteren hingegen Senkungen heissen. Die Anzahl der Steigungen und Senkungen zusammengenommen beträgt demnach Q).
Zu einer Permutationsform P„
AkBkC, in welcher h und k einzelne Elemente vordurch
die
und
A,
B,
aus
den
übrigen Elementen gebauten Partialgruppen angestellen,
C,
deutet sind, findet man die in Bezug auf das Elementenpaar hk zugeordnete Permutationsform
P„, dadurch, dass man blos die Elemente h und k gegen einanden austauscht.
AkBkC, vsrobei w^ir durch a und a die jeweilig der Gruppe angeDemgemäss ist: r^,
Senkungen
andeuten.
hörige Anzahl der
Sind die aus den Partialgruppen Ah, AB, AG, hC, BC, kC zu gewinnenden Senkungen
in der Anzahl y vorhanden, so wissen wir, dass y zu « und a in gleicher Weise als gemeinentspricht ein
(1)
=
:
=
schaftlicher Bestandtlieil angehört.
Ist
die
e
Anzahl der
B
in
enthaltenen
Elemente
,
und
findet
man
unter
diesen
Elementen
?n
höhere Elemente
als k,
w
tiefere
Elemente
aJs h;
(2)
so erhält
man vor Allem:
e
Man
findet für
h^k
=
j)i-\-ic
=
7)1'
+ w'.
(3)
aus der Partialgruppe hBk:
(die
Anzahl Senkungen) := l-{-w + 7n',
somit:
a
= -(-\-m'-\-w+l
und eben so a'=Y + ">' + "*,
(4)
hieraus
a
dem
zufolge hat
+a =
2-(-\-{iD
+ m) + {w' + m') + l =
2(-i
+ e)+l,
(5)
man:
(-ly X
(-ir- (-ir^'=-i,
(6)
wodurch besagt wird, dass die den einander zugeordneten Gruppen P„ und P^, entsprechenden
1)' und (—1)"' auf entgegengesetzte Vorzeichen deuten.
(
Aus r Elementen erhält man r! Permutationen. Bezeichnet man mit a, ß, y» 8, s.
die
Potenzen
—
.
den aufeinanderfolgenden Gruppen zugehörigen Anzahlen der Senkungen, so
DeDkachriften der mathem.-natarw. Cl. XXVII. Bd.
Abhandl. von Nichtmitgliedcrn.
erhält
fc
.
man
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Lorenz Zmurko.
74
die
diesen
Gruppen entsprechende aus
bestehende Zeichengruppe Z^ im
Vorzeichen
r!
Folcrenden:
Z,
(7)
und
dies ist die zu r
= (-1)%
(-
(-1)'\
{-l)\ {-!)%
l)\
.
.
.
Elementen gehörige combinatorische Zeichengruppe.
So erhält man für die Elemente 1,2, 3 die Permutationen: 123, 132, 213, 231, 312,
321, welchen der Reihe nach die Senkungsanzahlen 0, 1, 1, 2, 2, 3 entsprechen.
Dem gemäss ist:
++-;
^3= +
und
Weise:
in gleicher
2r,
(8)
=
^
Z,
;
=
+ -.
Weise eingeleitete Aufstellung der Zeichengruppe Z^ ist bei einem nur
es erscheint daher ein Verfahren sehr wünschensetwas höheren Zeiger r sehr mühsam
werth, nach welchem man mit Umgehung der Auszählung der Senkungen jede beliebige
Die
in dieser
—
Zeichengruppe Z^ unmittelbar hinzuschreiben im Stande wäre.
Die Aufstellung
Iliezu verhilft uns folgende Consideration
:
tionen aus r Elementen in der Anreihung derselben
Gruppe
von
bietet uns r Partien
je (r
—
1)!
aller
möglichen Permuta-
von der niederen zur nächst höheren
Gruppen
dar, welche beziehungsweise mit den
nachdem solche zur 1'"°, 2""", 3"°, r'"" Partie gehören.
Die zu irgend einer etwa zur s*"" Partie gehörigen Gruppen gehen Glied für Glied in die
zur (s+l/'"' Partie gehörigen Gruppen über, wenn man in jeder Gruppe der s'" Partie blos
Elementen
1, 2, 3,
.
beginnen, je
.r
.
und (*'+l) ihre Plätze wechselseitig austauschen lässt. Es sind somit die
Gruppen einer jeden, etwa der s'" Partie, Glied für Glied sowohl den Gruppen der unmittelbar
vorangehenden, als auch den Gruppen der nächstfolgenden Partie zugeordnet, und zwar im
die
Elemente
s
Bezug auf das Elementenpaar
ersten Falle in
Elementenpaar
diejenige,
i-fl.
s,
welche der
Man
(s
—
1),
*
erhält somit aus der der
(.s-l-l)'*'"
— im zweiten Falle
6'^°
in
Bezug auf das
Partie angehörigen Zeichengruppe
Partie angehört dadurch, dass
man den sämmtlichen
zur *'"
Partie gehörigen Zeichencomplex entgegengesetzt anschreibt.
Die zur ersten Partie gehörigen Gruppen beginnen sämmtlich mit dem Elemente 1, und
bieten nach einander dieselben Senkungszahlen und dieselbe Zeichengruppe, welche man aus
den zu
2, 3, 4,.
.
.
(r
—
tionsformen gewinnt.
mit
dem Symbol
1).
?•,
oder auch aus den zu
Demgemäss können wir
Z,_, bezeichnen,
und
1, 2, 3, 4,
.
.
.(/•
—
1)
gehörigen Permuta-
die zur ersten Partie gehörige
in weiterer
Folge die zur
1"^",
Zeichengruppe
2'™, 3"^V
gehörigen Zeicheugruppcn durch die Symbole:
{-iyz,._„ {-i)'z^_,. {-\fz^_,,
^_ly--•z,._,.
(-ir'z._,
ausdrücken und schliesslich folgende Relation anschreiben:
(^)
Z,=
(-lj"^._,-f-(-l/^._,
+ (-l)'-'Z,_,+
.
.
.
.
+(_l)^-^,_„
.?•"="
.
Partie
—
;
:
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Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen
Beitrag zur
dem gemäss
erhält
75
etc.
mau
^.= +;
^2=(+)-(+)- + -;
^3=(+— — (+—) + + — = +
++—
+
+ + -)-(
^-.=( +
++-) + (+
++
=+
++
++
++
Z^^Zj^ — Z^ + Z^ — Zi + z, &.
(
)
)
++-)=
+ + -)-(-+
++
+
(^'-^
;
Bei der Austheilung der Vorzeichen an die einzelnen Permutationen können wir die
in
(10) angedeutete Vermittlung der Klammerfassungen ausser Acht lassen, und den stufenweisen Fortgang bei der Aufstellung der Zeichengruppen in Gedanken festhaltend, unmit-
telbar diejenige
Zeichengruppe niederschreiben, welche zur verlangten Anzahl von Elementen
hingehört.
Auf Grund der Gleichung
(9) gelangt
man
A = ajn\-^a^_^{m — l)!-|-a„_.(»i — 2)!-f-
für
.
.
.
wo ganz
-\-a^.r\
allgemein a3<5!
(11)
zur folgenden sehr einfachen Relation:
(Schlusszeichen von
wo
A
Anfangsgruppen)
vorkommenden a
a diexVnzahl der ungeraden in (11)
^—
bedeutet,
r
(
1)-'
(12)
,
—
und unter
i
die grösste in
—
enthaltene ganze Zahl verstanden wird*).
Es
B.
ist z.
12654
= 101.5!
+
2-1.4! -f 5.3!
= — — 1)^ = — — 1)^^ —
',+3
(Schlusszeichen von 12G54 Anfangsgruppen)
Es
ist
wegen
(
(
1.
(11):
A + =ajn\-^a^_,{m-\)\ +
\
.
hiemit:
(Schlusszeichen von (^1-f-l) Anfangsgruppen)
.
.
+«,r!
.
-^
1.1!
= — — l)°+'+y|=r — — 1)°+^
(
(
und
(Schlusszeichen von yl Anfangsgruppen)
^,+1
.^
vSchlusszeichen von (^-f 1) Anfangsgruppen
Hieraus geht hervor, dass das A"^ Vorzeichen mit dem nächst folgenden übereinstimmt
oder nicht, je nachdem
—
i
ungerade
Im Allgemeinen wechselt
Zeichenpaar
(
)
oder
gerad
sich gestaltet.
der Zeichengruppe
in
regelmässig ab.
—
das Zeichenpaar (-t--f)
Die Ausnahmen hievon sind
mit
dem
mittelst (13) leicht
zu
eruiren.
*)
Ebenso könnte man
und
in
die möglichst kleinste ganze Zahl, welehe
Folge dessen die Relation
—+—
,
I
=
r
den Werth von
~ in
sich enthält, mit
dem Symbol
einräumen.
k*
J bezeichnen,
„.
:
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Lorenz ZmurJco.
76
§•
Über
ti
combinatorische Determinante.
die
Zu einem Tableau von
3.
Zahlen, welches wir uns aus n Horizontalreihen von je
n'
Zahlen, oder auch aus n Verticalreihen von je n Zahlen zusammengesetzt vorstellen,
könnten wir uns folgender symbolischer Bezeichnung bedienen:
(11) (12) (13)....
(bO
(21) (22) (23).... (2.0
;i)
(31) (32) (33).... (3^)
(nl) («2)
in
welchem
die einzelnen
zwei
.
(7m),
.
in eine
aufhält.
Die
und
man
Zahl zu suchen
zeigt an, in welcher Verticalreihe
diesem Zahlentableau
bezeichnen, dass
runde Klammer gefassten Zeigern
der erste Zeiger der Horizontalzeiger,
ist
zeigt an, in welcher Horizontale die betreffende
heisst der Verticalzeiger
(2)
mittelst je
.
Von Links nach Rechts gehend,
dargestellt sind.
und
Zahlen
(?i3)
entsprechende Determinante
das entsprechende Zahlentableau
einschlicsst.
—
durch
kennzeichnen, und durch das Symbol
s|
der zweite Zeiger
betreffende
pflegt
\
diese Determinante symbolisch
diejenige Determinante bezeich-
nen, welche einem, aus (1) dadurch hervorgehenden Zahlensystem angehört, dass
alle
Zahlen weglässt, denen r
Dem
als
Zahl sich
man dadurch zu
zwischen zwei verticalen Linien
Der kürzeren Schreibweise wegen wollen wir
<
die
ist;
man
in (1)
Horizontal zeiger oder s als Verticalzeiger angehört.
gemäss schreiben wir folgende Gleichungen an
(11)(13)(14)...(1«)
(ll)(12)(13)...(bO
(21) (23) (24)... (2«)
(3)
(21)(22)(23)...(2w)
(41) (43) (44)... (4??)
(?j)(n2)(?i3).
.
.(rä^)
(nl)
Durch das Symbol
man
durchgeheuds den Ilorizontalzeiger
Durch das Symbol
(«4).. .(nn)
wollen wir den Werth andeuten, welchen die zu (1) gehörige
Determinante annimmt, wenn
(4)
(?i3)
< r^ s
Determinante aimimmt, wenn
geheuds den Verticalzeiger
i
in
der letzteren an die Stelle des Horizontalzeigers r
s einführt.
wollen wir den Werth andeuten, welchen die zu (1) gehörige
man
in
s einführt.
der letzteren an die Stelle des Verticalzeigers r durch-
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77
Beitrag zur Theorie des Gr'össten und Kleinsten der Functionen etc.
Durch das Symbol
\'r\
n
\
Determinante annimmt, wenn
diese
Weise etwa das Symbol
deuten wir denjenigenWerth an, welchen die zu (1) gehörige
man
in
derselben den Verticalzeiger r unterdrückt, und auf
das Symbol
isr) in
übergehen
{s)
dann die Rede sein, wenn überhaupt die Symbole (1),
laufenden Untersuchung einbegriffenen Grössen deuten.
Die
zum Tableau
gehörige Determinante
(1)
n\ Gliedern, welche aus
permutirt,
und
stehenden
n\
§.
(2), (3),
erhält
>
|
|
.
.
Ilievon kann jedoch nur
.
in)
man
auf gewisse in der
als eine
Summe
von
dem Producte:
(11) (22) (33) (44)...
man
hervorgehen, sobald
lässt.
in
M
(5)
demselben blos die Verticalzeiger auf
die Horizontalzeiger an ihren Plätzen belässt,
Gliedern
der
Reihe
nach jene Vorzeichen
und
alle
möglichen Weisen
schliesslich
den so ent-
wie
in
ertheilt,
solche
der
2 (7) (10) besprochenen combinatorischen Zeichengruppe auf einander folgen.
Beispielsweise erhält
man:
= (ll)(ll)-(12)(21)'
= (11) (22) (33) - (11) (23) (32) - (12) (21) (33) + (12) (23) (31) + (13) (21) (32)
{'P'j
j
p1
-(13)
Man würde
zu demselben Resultate gelangen,
wenn man
ticalzeiger blos die Horizontalzeiger permutirt hätte.
in (5) mit
Daraus ersieht
man
(6)
(22) (31).
Belassung der Verauch, dass bei der
Bildung eines beliebigen Gliedes der Determinante die Horizontal- und Verticalreihen des
Zafelensystems (1) blos mit je einem einzigen Bestandtheile betheiligt sind.
Die sämmtlichen aus den Verticalzeigern gebildeten Permutationsformen zerfallen mit
Rücksicht auf zwei ins Auge gefassten Verticalzeiger h.,k in ^_n\ Paare von je einander
zugeordneten Gruppen. Jedes dieser Paare trägt zur Bildung eines entsprechenden Gliederpaares in
(
I
1
bei,
von je zwei einander zugeordneten mit entgegengesetzten Vorzeichen
versehenen Summanten.
In diesem Sinne erhält
man
aus den im
§.
2 erwähnten
Gruppen P„ und
P„, die ent-
sprechenden mit Rücksicht auf die Verticalzeiger h und k einander zugeordneten Summanten
S^i S^'
im Folgenden:
S^
wo
die unter A, P,
= {-iyA{h'h)B(kk)C;
C
S^.=={—lT'A(Jik)B{kh)C
gelegten Schlangenstriche andeuten
,
(7)
dass die in dieser Partialgruppe
enthaltenen Verticalzeiger die entsprechenden Horizontalbegleiter bereits erhalten haben, und
je in eine
Aus
runde Klammer gefasst sind.
(7) erhält
man:
S,
+ S^. = {—lyABC
(h'h) {k'k)
\
—
{h'k) (k\) [h
(8)
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Lorenz Zmiirko.
78
Diese
Summe
verschwindet in folgenden vier Fällen:
1.
-)
Wenn man
in derselben h
k
an die Stelle von k setzt;
„
„
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Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen
und hieraus:
1
n)
etc.
79
::
.
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Lorenz Zmurko.
80
und somit allgemein:
a^
(20)
= \l[7"^\
rp"
:
Der vorstehenden Formel zu Folge haben
Coefficienten-Determinante zum
dem Nenner hervor, wenn man
— der jedesmalige Zähler geht aus
gemeinschaftlichen Nenner
in
spielenden Unbekannten die
alle in (16)
den Klammerausdrüeken des Nenners den entsprechenden
Verticalzeiger unterdrückt und etwa statt {rs) den
Ausdruck
(r) schreibt.
sub (40) vorgeführten Gleichungen gehen aus den hier sub (16) angeführten
(wi)
setzt, und dann an die Stelle der Symbole
(3)
(21) hervor, wenn mau (1)
(2)
(11), (22), (33),. .(?wm) die Differenzen: [(ll)—^], [(22)— ä), [(So)—*], ...[{mm)—s\
Die im
§. 1
=
=
=
.
.
.
=
=
.
schreibt.
Auf Grund
in ein
nach
s
dieser
dem
to'""
Annahme geht
1
[in Folge ihres ersten Gliedes
1
Grade angehöriges Polynom über, und
{
(22)
die Determinante
'l
1
=
^"'
+ K-.s"'-' + b„,_,s-' +
.
.
.
lässt sich
b,s'
etwa so schreiben
+ h,
Die sämmtlichen Zähler der a^aoO^. .a„, erhalten wegen (21) (20) (19) Nullwerthe, da
a3=. .^a„,
aber wegen der zweiten Gleichung sub (38) §. 1 die Relation ai=:ao
unstatthaft erscheint, so kann die diesfällige Auflösung der Gleichung (40) nur dadurch dem
.
=
.
=
Widerspruche entgehen, wenn man durch schickliche Wahl der 5-Werthe das Nennerpolynom
(22) nöthigt,
den Nullwerth anzunehmen. Es
ist
somit die Relation:
rr1-o>
(23)
die
zur Bestimmung der s-Werthe dienende Gleichung, welche bereits im
§. 1
sub (47)
besprochen wurde.
Über
die Functions-Determinante.
Denken wir uns aus dem Tableau
(1)
ein anderes
dadurch abgeleitet, dass man ganz
allgemein setzt:
-
[r6)-[Ka^)
(24)
wo a und
X
^^^_^
,
gegebene Functionen von x vorstellen. Hiedurch erhält man folgendes Tableau
(Xa,), (^a,)<'),
(X«,)'-^)
.
.
.
(X«,)(''-)
(25)
(Xa„), (Xa„)"), (Xa„)'--')...(XaJ'-"
dessen Determinante wir in analoger Weise mit
dem Symbol
>
<
|
andeuten.
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81
Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Fanction''n etc.
Füi" {ji^-2) erhält
man
{la,){la,r
r
aus (25) mit Ilücksicht auf die entsprechendt! Deteniiinauto
= )m,
—
ila.;)''^
{Xr,,)(>)
{\a,)
=
\a, (ka<^^
:
+ X'-'a.) — (X«'/' + X'"«,) la,
i-^)
(}.a,)i}.a,f
odci
C^")
(1)
(>.)
Die unter dem rechten Klammerarme angehängten Zeiger
im Functionstableau mit a bezeichneten Functionen mit
werden
X
und
(X)
oder mit
deuten an, ob die
(1)
1
multiplicirt gedacht
sollen.
Aus
(27) ersieht man, dass für den dort angedeuteten Fall die mit beliebigem X versehene
mau
Determinante erhalten wird, wenn
Wir vermuthen,
=
dass dieses Gesetz für beliebige
bewähren wird, und
Giltigkeit
die zu X
n1
=
—
1
seine
[
n)
1
*)
(•is)
X"
(1)
Induction wird das Gesetz in (28) erwiesen sein, sobald wir
gezeigt haben werden, dass es für den Fall
den Fall ii^vi
multiplicirt.
Ausdehnung des Fuuctionstableau's
w
Auf Grund der höheren
X-
Gleichung ausprägt:
sich in folgender
1
gehörige Determinante mit
l
n=^m
gelten muss,
wenn man
seine Giltigkeit für (29)
bereits als erwiesen voraussetzt.
Behufs dessen hat man wegen (13) und (24):
= {Im)
+ (2;«)i
|i
I
Da
+ (mm)
W
(M
aber die Determinante \m\
f
)
w
(X)
zu einem Functionstableau gehört,
\
m
(
(
welches aus (25)
(>.)
durch "Weglassung der
we""'
Verticalreihe und der
Determinante für beliebiges r
dem
Fall n=:.m
—
r"^"
1 an,
Horizontalreihe entsteht, so gehört diese
und mau hat
(h^r
Hypothese (29) gemäss
ym~\
(31)
(Ij
(>•)
Setzt
man Kürze
G = Xf"'-''a,
";
halber:
h("'70 X<"'--'«("+
.
.
.
^
(:-i) X'»a;»
-'=
—piV = ("•-')
(("zl)
a^r" '>^"""%Z
Während Hesse seine Untersuchung auf dieses Gesetz zu stützen unternimmt, spricht
Worten aus: „Ich erinnere mich nicht, dieses Gesetz irgendwo gelesen zuhaben." Da
jetzt der Öffentlichkeit nicht übergab, so glaube ich
(32)
er sich über dasselbe mit folgenden
er seinen eigenen
Beweis liievon
dieses Satzes in dieser .\bhandlung niederlege.
Denksthriflcn der nialhem.-naturw. CI.
XXYII. Bd.
bis
hiedurch hinlänglich gerechtfertigt zu sein, dass ich meinen eigenen Beweis
Abh;indl. von Nlchtmitgliedern.
1
:
.
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82
L.
(33) so erhält
Zmurko.
man
und Kleinsten der Functionen
Beitrag zur Theorie des Grössten
(X«,)^"-"
=
Xflf'»-''
+ G,
somit aus (30), (31):
r^ni
(X«;.'"-"
(34)
+
=
(?) X'"-'
(>)
Aus
X"
a!:"-"
man
(3f
aber für
X=l,
oj."
/
+
m
(1)
(24) hat
(I)
^''= (rv),
a^"'~''
= (rm),
hiemit auch:
(rm)
(1)"
(13), (14)
(3'2),
GX"
(1)
«["'-'Y'"'
und ebenso wegen
(1)
und (11):
:
I
l
I
fm-1)
in)
('"z!)^''"~'''^"'~'
"*
I
etc.
J
i
l„,
(I)
—
^„._i^j^(,„_,,^,
r) i m
.
—
{(10'
+ (20
'
{Vlr\{
(1)
(1)
y
= [(rl)
,_n
(36)
^O»-,.)
X—
/
,„|
^= (in
y
— 1)
m
(1)
= 0.
i-'^
(I)"
und (36)
Schliesslich erhalten wir aus (34) mit Hilfe (35)
1
m
1
—
^1 .—
-»(
(37)
Das
für
n^=m
in (28) ausgeprägte Gesetz gilt also in der
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That für n^=vu sobald man seine (xeltung
annimmt, zum Beweise, dass es für jedes ganze positive n gelten muss.
