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21

DIE

mmm

iinHOM

m
M

mk

iKsoLEitHid

JP(

Du

ü

ZAHLREICHEN BEOBACHTUNGEN.

BEI

VOK

D«

DIENGER,

J.

IN KARLSRIHF..

VORGELEGT

im

Folgenden

IN

DER SITZUNG DEK MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICH KN

soll die

von

Laplace

und

aufgestellte Theorie verallgemeinert
soll

in

dem


4. Kapitel

CI.ASSK

(§§. 8

und

Bedeutung genau festgesetzt werden

in ihrer

eine Reihe allgemeiner Sätze über

Es

9).

sind, behufs

OCTOKER

in

in

darauf berufen, dass für die Fälle «

§.


=

1

5 gelangt,

und

n

ist

=2

1

(§§.

ihrem Werthe

hier nicht

bereits

näher

Laplace

nöthige Allgemeinheit festzusetzen war; andererseits aber gibt


§.

erörtert.

—

Dieselbe

6).

für die

Anwenin §. 3

räthlich erschien.

Zunächst kann man sich

dasselbe gethan, hier also nur die

8 den eigentlichen Grund der ganzen An-

— Übereinstimmung mit der Methode der kleinsten Quadrate.

Selbstverständlich genügt der in den §§. 5 und 6 geführte Beweis, gleichviel, wie

der Gleichung (70) gelangte.

Naiur der Saciie, und


alle

Dass die Grösse k des

Wege,

die

man

§.

6 endgiltig nicht bestimmbar

man

ist,

wobei jedoch die dortige u^ter V. geführte Untersuchung von Bedeutung
der

Zweck

zur

liegt

Annahme


wohl

in der

behufs Bestinimun?- derselben aus den gemachten Beobachtungen

eingeschlagen hat, können zu keinem klaren Ziele führen. Anders verhält sich die Sache

Da

1874.

Durehfühning der nöthigen Entwicklungen,

Umformungen nothwendig geworden, deren Aufnahme

Die Art, wie mau zu der Annahme

nahme an

8.

seiner Theorie analytique des probabilites (1812)

dann mit der Methode der kleinsten Quadrate verglichen und dadurch

dung klar gelegt werden

AM


freilich in §. y,

sein dürfte.

der folgenden Abhandlung ein rein theoretischer war, so musste begreiflieh jede Anwen-

dung vermieden werden. Ebenso

ist

aber auch das Theoretische auf das Unerlässliche beschränkt, und sind

Untersuchungen, die sich an das Gegebene naturgemäss anschliessen lassen würden, hier nicht eingeführt
worden.
§•
I.

Es seien

die

Werthe der

/>

1-

Grössen
?<,


zu bestimmen, unter der Voraussetzung, dass

,

Mg

man

,

für die s Grössen

(1)


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22

J.

^j'/) ;<,

Bienger.

-Hp^')M._,-t-


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Die LaplacQsche Methode der Ausc/lcuhung von Jieobachtimgisfelikrn
«1
wii

^|^,

.1/r

durch

m und

von

als

Um

j

-^-i

= 9t'^^

(''')

r abh.ängig

anzusehen


ist

o),

co„

,

welche

,

&j

ist

die Wahrscheinlichkeit,

37,.

ergab,

den n einzelnen Gruppen

bei

bezeichnen, dabei aber nicht übersehen, dass wir gehalten sind, alle diese

Somit


B,.

eine ganze Zahl).

(in

jedoch Verwirrung vorzubeugen, wollen wir dieselbe Grösse

gleich zu behandeln.

iler

^

£'1

zwei ganze (positive oder negative) Zahlen sind, unil 'i^^-iiy
sei M,. die Wahischeinliclikeit eines Fehlers ww bei der Beobachtungsvveise

g.,

Dann

wo

=

23

tte.


(5"!

als eiuan-

c«>

den Fehler «wj zu begehen; natürlich

dieselbe Grösse auch die Wahrscheinlichkeit, dass der mit ''^^f^^ multiplicirte Fehler den

Werth

ist

^^--j^v-) nitji

habe.

Bezieht sich das Summirungszcichen

nud

man

l)ildet

auf alle ganzen Zahlen zwischen y, und

}i:


(die

r/j

möglich sind),

das Product

'

(8)

,

•

•

+••"'""'"'"''«1^»

i;lf, r""'Pi^s

,

so liefert dasselbe eine Reihe von Gliedern, die unter der

Die Glieder, welche zum Exponenten

auftreten.


toren in (8)
alle

u. s.

w.

,

und

es bildet sich

beitragen, bestehen aus den ersten Theilen der Fac-

;i, oi,

ans einer

,a,

Form

Summe

von Grössen

»i


mögliche Werthe durchlaufen. Jedes der betreffenden Glieder in (8)

multiplicirt

,

es habe der Fehler

£

den Werth mw,

also auch

,

also in (8) die Grössen w^,..., w„ ganz w-eglassen, so

Pl

genau den Werth
seien zugleich

,u.j

/l

^1 ^^

•


•

wäre

^^ Hl

•

. .
.

,

m

/3,

worin die

m

ß,

7^^^)

?m oj, *.

Würde man


dass

Pl ^1

^S

/i'

die Wahrscheinlichkeit gibt,

es

:

ß^ £",

=

iJ.,

w,

,3^ £"2

,

=

;^2


^2

,

. .

,3„

. ,

E„

=

,a„ co„.

Es wurde schon oben darauf hingewiesen, dass wir gehalten sind, die sänimtlichen
gleich

7''),

mit der Wahrscheinlichkeit

den Werth

Hieraus folgt aber sofort, dass überhaupt

w, hätte.

ist


,

in (9) die Wahrscheinlichkeit,

7i

/s

ß,'/',''^

yt*)
j3,

anzunehmen; einstweilen kommt

es darauf nicht weiter an.

(10)

co

als

einander

Eine Unterscheidung, wenigstens in der

Bezeichnung, war aber nothwendig, da sonst die einzelnen Glieder (9) nicht auseinander zu halten wären.


Es wird
0}

sich

im Nachstehenden (V.) herausstellen, dass wir immerhin gezwungen sind, die Gleichheit der

festzuhalten.
IV.

Setzen wir
r'-

= As

(11)

so ist bekanntlieh
li

= -7^\.

pe"-"'

^-^+^»'*'0
'

P^0,

. .


dh)„

(12)

wo
*

1

Dieser Satz fordert namentlich, dass
bar der Fall

Wo

ist.

,u,

;j.„

,

(Und blos desshalb mussten wir

pjvl,'' »«

eiue

gauze Zahl


ist,

also

fi^-j'^''

ganze Zahlen seien, was nach der Annahme

die fragliche

Annahme machen.)

mta^ eia Vielfaches von


(Vergl. §.6, VI.)

in (6) offen-


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24

Diengrr.

J.
In (12) wollen wir für die

neuen Venänderlieben a einflibren, zusiimnienhängend mit jenen durch

die

(-)

die Gleicliungcn
("»^

wo

dieselbe Grösse wie

w,.

Ferner

in

III.

=

oj^ät^

(13)

,

sein soll.

sei
lXrOir

=

(14)

ßr'Jr,

SO dass die (10) heissen

Er

wo

/•=

1, 2, ...,

Dann

?*.

T
"p-(<".3,?>

'

der Werth

ist,

den

in

F

Vielfaches von

d. h.

üj^,

wegen

=

V.

—

Es

d. h.

,

soll

?1

'

-ß'i

=

'/s

)

;

•

somit die Wahrscheinlichkeit, dass zugleich

ist

)

•

ein

Dann

Werth des Fehlers.

=

^n

(15)


die kleinste

Änderung

ist

folglich tz'"-

co^

,

ein'

und die von E,

l>-r

Änderung von

ist

ß,E nothwendig

jede Änderung des Werthes

ist

q^ in (15') ist

nun angenommen werden, dass alle zwischen

wo)^

X eben

^^

^^^

[l-r

die kleinste (zulässige)

achtung überhaupt möglich sind.

so ist

!

'^^

(14) von
^

selbst ist

Diese Grösse

jetzt übergeht.

nothwendig ganze Zahlen; also

in (10) sind

|UL

ß" 7"

'/,

Ul,

-^1

Die

+ --+»„M„).- Qß\

^2kY

U),

wo Q

flö)

ist
TT

R=

=qr,

a;,

und

—
a;^

liegenden Fehler bei einer Beob-

überhaupt unendlich klein, und wenn

=X

{m unendlich gross)

Die Wahrscheinlichkeit Mr

,

ist jetzt

unendlich klein und eine Function

von X, so dass

Mr=f,.{x)dx,

wo

_/'r(i«)

eine Function von

begangene Fehler

so

liegt,

x

ist,

welche ihre Form mit

'/,(£C)(?.C=

In (10) sind die
in

[x.

Da zwischen

ändert.

r

x^, x^ überhaupt der

ist

unendlich gro.ss zu denken,

wenn

(17)

1.

die

E

endliche Werthe haben sollen,

gleich

—

sein.

Nunmehr verwandelt

sich

2 M,

e"'ifnr''

e,+-+ß„Vr"'

ö,.)

m
fr{x)

e^'K3.T*''+----<-<'„fi,.T!"')c/a;
,

so dass

Q

=

/, (x) e"

'(=•.

(<.

Ti''+"+

'« P^t'"') rfx

.

•

J

f\ (a-)

e

'<•'•

P'

k/''+

•

+

die

dem zu Ende von IV.
nach dem dort Gesagten

(15). Die (kleinsten) Änderungen der q sind also auch unendlich klein, wie schon aus

Gesagten sofort folgt, und es muss die unendlich kleine Änderung dqr von j,

d. h.

"nl^nT."

dx


,

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Die Laplace.sche Methode der Axsgleichanj con Beobachtungsfehlcrn
iiiid

da jetzt die Grenzen

in

(10) nneudlicli werden
dq....

d(/„

„-(o,

fti7i

+ ---+a«P„7„)

'(2|3if/a,...ß„f/a„.

{2z)"

Setzt

man

^T.-.

etc.

endlich a^ für

«^ (ß^ eine positive Zaid), so ergibt sich,

[i,

nr _

d

fJ'ln

'"*-•"*"''''''''''

e-""'

dass

PfZÄ,...(/a,.,

(18)

iirV'
{:2k)

wo

7'=

++=« Ti"')f/j;

/,(a;)e^'i>'.T',''

_>; (a-)

|

und y vorkommen, wie

•/

e^ " '

t ;

+--+='„f,

die Gleichungen (15') finden zugleich statt.

die Wahrscheinlichkeit ausdrückt,

nur noch die

(n\

(I)

...

,

Man

dx

,

wird beachten, dass hier

dies sein muss, da alle übrigen Grossen mit den (15') nichts zu thun

hatten.

Es

VI.

W

selbstverständlich, dass die Grösse

ist

Werth

(18) einen rcllcn

in

hat.

Dies

sich in fol-

lilsst

gender Weise zeigen, wobei wir eine andere, für unsere Zwecke lieqiiemere Form jenes Integrals gewinnen.
Sei

(1)

(")
,

so

ist

positiv,

(p,.

p'

zwischen

^^

=

—

,

'

und

;:

"

(19)

-+-;r)

/.(.^•)cos(«,7!.''-(-...-f-a„7r")-«f^'iM

/; (x)s2« («,'/,!"-+-... -+-a„

-*j

vi."')

x-f/A-

,

I

(10')

cos

Or=

Setzt

—

man

I

z.

pl

/r(^)<'0.s(a,

A.

=

'/r

'

-h

.

-^Ci,,'/"

.

=o,

«iVl^"-!--..-*-«,,'/'^"'

r x«

(s) cos Qs

'rlx\

pl

für

Setzt

—

0=0

ist

p^^l, wo

<

1

'/r)

X dx.

r x«

fr {x) sin dx

-+-

dx

f. (f) sin oz dz

X|l

X,

'dzf(.i-)fr{z)cosd(.x;

—

z).

X,

X,

Nur

dz

*'<'"(«( '/r''"*- ••• H-^,.

auch

ist

r,

coso{x—z) zwischen

/i- 0<-")

rx.,

/,.

=
sicher

so

r X..

fr {x) COS ox dx
X,

Da

X dx, SM fy=

)

und

/.(,r)

so

-+-1,

dx

f

ist

also [vergl. (17)]

/.(c) dz

,

d. h.

p?

<

I

.

(20)

I

aber

o=0

offenbar nur gewissen

Werthen der Elemente a

entspricht.

man nun
(21)

so ist in (18)

F= p ef
also

(22)
V"
Doiikst-hriftim der mathein. -naturw. Cl

XXMV.

*/

ImI.

-l

Abhu<.*n

^ — CO
\

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26

Dien g er.

J.

Die imaginäre Grösse unter den Integraizeiclion
cos(a, 7,-1-.

.

.

ist

— y) —

-)-«„!'/„

i»iii («, 7,-t-

= CO« (y — «, y,— — «„ 7„) H- «
. . .

(y

•

-<-«„

•

-/„

— a, .

.

.

—f)
ry„).

a,",

nun

Sei

p

so

Ai'/<

.

«?.//

(tp— «1 '7,—

.

.

.

) "'«1

•

•

^^a«

=ß

,

nothwendig

ist

Si'w

p

(y

— «1 y

,

.

) f/a,

.

.

. . .

da,,

= — 1)" ß.
(

+ K.

man

Setzt

—

wird

(?'

hier

— «j?

—

«,

— ««

,•••>

fi'i'

so ändert sich der AYerth von p nicht;

^m

«'jr-v

—

w

«, y,

— —
...

a„(^„

so dass

•••«.15'»)?

«w(y— «,7,— ...)(— 1)"

p

=

da^...drj.„

(—1)" ß,

d. h.

p ««w (y

Demgemäss

ist

ß=

und

—

a,

i/i

—

.

)

.


. . .

p

cog (y

(27:)"

die reelle

Form von

(18) gefunden

und f sind durch (21) und
heben ist, dass wir p,. positiv und
p

hung

(20).

,

oder

/>'

= — B.

folglieh

7+c«

wodurch nun

= —ß

da,,

.

—

,

aj y

— — «„
...

'/„) (/a,

.

.

.

(/a„

(23)

,

ist.

Form bestimmt, wobei noch besonders
und -hTz voraussetzen. Daneben besteht dann

(19') ebenfalls in reeller
f,.

zwischen —

Die Auswcrthung des Integrals (23)

tv

hervorzudie liczie-

der hier beliebten Allgemeinheit otfenbar nicht durch-

ist in

führbar.

2.

§•

I.

Wir wollen von

widerstreitet

au annehmen, dicZalil

jetzt

* dei-

Beobachtungen

sei eine sehr grosse.

den Zwecken der hier gestellten Aufgabe nicht, da von vornherein klar

Diese Annahme

dass diese

ist,

Zwecke

nur erreicht werden, wenn eben eine grosse Zahl von Beobachtungen vorliegt.

Wie
tere

in §. 1, VI.

Grösse

ist

gezeigt wurde,

kleiner als

wenn

für die verschiedenen r

sind nicht alle p^ zugleich

7^,

sein.

gleicii 1

p,.

unter

1,

so

ist

bei

grossem

.v

li.

a.

Da

Null sein.

(vergl. §. 5),

also, ausser

so

letz-

aber die

werden auch

wenn

jedenfalls p verschwindend klein.

Integral in (2;!) endlich sein muss, weil die Integrationen nach den

(Wahrscheinlichkeit, dass die

E

die a Null,

gellt hervor,

denen die « nahe an Null liegen.


Da überdies das

einen endliciicn Werth liefern müssen

zwischen bestimmten Grenzen liegen), so wird die (»rosse unter

gralzeichen für sehr grosse a nothwendig versehwindend klein sein,

Daraus

I).

Diese

kann allerdings, je nach den

sie

keineswegs die gleichen Werthe annehmen werden
a.

o^O.

1.

nun aber jedes der

unendlich wäre.

die dortige Grosse

auch für andere Systeme der AVerthc der

die verschiedenen p^ nicht tür dieselben Sj'stcme der

Ist

ausser

1,

aber jedenfalls Null, wenn die sämmtlichen a Null sind;

Werlhen der (noch unbestimmten)
7,.

ist p^

dass es genügen wird,

Selbstverständlich

ist

dies

was auch

.v

sei,

dem

Inte-

da sonst das Integral

nur auf diejenigen Elemente zu achten,

um

so genauer, je grösser

,s

ist,

in

und wir wer-


,

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Die Lajdace -sehe Metlinde der

von l'tvohacldwngsfeldeTn

Au.sej/eic/tung

etc.

27

den also wesentlich diese Bedingung zu beaeliten haben, so dass im Folgenden immer von einer Annäherung
an die Waiirheit die Rede sein
IL

In

dem

sollte.

Integrale

}/.(.);;;; («,7i"-H...4-«„7i"')..^

ist

und

so dass wir den cos

jetzt a,7<''H-... sehr klein,

Jrix)

wenn wir

cos{<:/.^ 7*.''-!-

''

(«(, 7l.''-4-

. .

.

-+-«„ 7;')^

,

x/, (.f) dx

=

/t ,

X V',- (-^O dx

[ '

,

=

(24)

h',.

Demnach
pt

d. h.

1

(17) beachten und zugleich

I

setzen.

= —^

xdx

...)

nach den bekannten Reihen entwickeln und uns

sin

Dann wird

mit der zweiten Potenz jener Grösse begnügen können.

_

i+(F^_/fc;) («, ./.V.

.)^

.

p.

,

=

=

lA,.?.

1

H-

1 (/c-/^';.) («, 7;"+ •••-*-«"

7.''")'

wenn noch

1 (Äv—
pr

=

1

Itr

Bei demselben Grade der Näherung kann

i^.)

7,.

(«,

man

=

-I-

.

^'f-

.

.

*

(25)

:

H-Ä,,

)'.

7,.

dafür setzen

e-''^(''iTJ,'^+'-+»„T^:''r

also

-2Aä(t,,

WO, wie immer, ^

*

I);uss

die,

sieh auf

Grösse

i',-^

Yf.'.'

+ ...+»„t("))=

/=],:.',...,* bezieht.

/•,

piLsitiv ist,

i-.',-X-?=

ergibt sich in folg'ender Weise. Es ist

..'V; (')
Z,

X,

r

X

dz\

,fc/,(rl/,(,^)(.-^-a-,')=
X,

dxJ\{,)fA.r){^^-xz)
X,

Also

K-k^,= ['dx
X.,

a;.-ä-5=J
woraus

[y,{,c)f,{^(:^-.xz),

C

dx^

(17)

^f,{^dz

fr{^)dr.-\ 'xfr{x)d.

ar.

lx\

wegen

X-,

d.Mx)M.){.^-x.),


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28

Dienger.

J.

Ganz ebenso

aus (19')

ist

= arc

.

y,.

klein, also

sin

'f,.(x).fUl(i

= «rc
und

si«

^7)

= /'vK7.-

(1)

^•,(«,7^'-.

.)]

•),

folglich

V

Cl

I

1

^„7;''),

so dass endlich
„ «

W=

(1)

:os[^k,\
d'/.,.

.

.da...

(2;t)"

Es mag

hier

:nii

Platze sein, daraiil hinzuweisen, dass die oben gewählte

grosse) die Eigenschaft zeigt, dass bei von Null verschiedenen

dend klein
In

0^ (als

der a die Grösse

i

Exponential

bald verschwin-

ist.

Wahrheit

für welche die

a.

wenn wir

aber,

Werthen

Form von

sollten wir in

dem

die

sind',

da

für alle

angegebenen Grenzen beibehalten,

^2

-l-cx.

ist

(1)

(§.

.(a,.-,

ist,

kleiner als

•)=

(2G)

...da

4) zeigen, dass ein vielfaches Integral dieser Art sich

e

beachten,

anderen « die Elemente verschwinden. Selbst

das Integral, das jedenfalls positiv

dy.,

Wir werden nun später

W nur diejenigen Elemente

Werthe von

so eben angegebenen

Kuli oder doch nahe an Null

immer

in ein

anderes

+ ...+a,..„)^„^__^.

(2C.')

— 00
nmfonnen
gende

lässt,

wo

Werthe haben, und den nahe au Null liegenden a auch nahe an Null

die u pusitive

lie-

c entsprechen.

Letzteres Integral

ist ein

Prodiict einfacher Integrale der

Formel

-4-00

e-«-cfe

Der Wcrtli dieses

tet

d. h. (2(j)

ir=

wenig von Null verschieden

jetzt die

-OD

ist,

d. h.

2

(1)

^__,,.,„,,.

folgt hiemit,

(n)

H...+,,,,,.

es

woraus

ist

die

tungsfehler derart ausfallen

.s-

ist.)

dass bei grossem

.

)-co,[^^(^_vZ;,.yi")

Wahrscheinlichkeit ausgedrückt

(Desto genauer, je grösser

a priori

sind,

folgt,

wenn mim nur

dass auch die Werthe des Inte-

wenn nur

diejenigen Elemente beach-

sind.

Aus diesen Untersuchungen

d<]^.. .d(i„

wodurch

dz.

mit eben solcher Genauigkeit gefunden werden,

werden, für welche die u klein
III.

-"-""

2

letzten Integrals wird aber mit grosser Genauigkeit schon geiünden,

die Elemente z beaciitet, die

grals (SO'j,

=

Dabei darf

ist,

es

werden

nicht übersehen

ä

gesetzt

werden darf

+ ...-t-«„(^,-V^,.^;")J,/«^...
die Gleichungen (15') zugleich stattfinden.

werden, dass diese Wahrscheinlichkeit die

vor aller Beobachtung berechnete Wahrscheinlichkeit, dass

werden,

wollen diese Wahrscheiiiliehkeit die

dass die

E

in (15')

die

Beobach-

genau die dort gemeinten Werthe q haben. Wir

theoretische nennen. Wie

zusannnenhängt, bleibt hier noch unentschieden.

^27)

dies mit den (gesuchten)

Werthcu der u


,

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Lapkue.sche Methode der Auaglcichunq von BeohachtungsfehJcrii

i)'V

Aus

IV.

sollen

(1'7)

nun zimäclist diejenigen Werthe

wenn

y bestimmt

tler

Aus der Form des Integrals ergibt

ihren Maxiuuiniwerth erreicht.

für

welche diese Grösse

sich sofort, dass dasselbe

Werthe der a der vorkommende Cosinus den Wertli

für alle

werden,

1

annimmt.

29

etc.

Dies

ist

am

grüsstcn

der Fall,

ist,

wenn

zugleich

=

y,

mittelst

v;,,.^/l"

,

q.^

= ^k,.'/^^

^

.

am

Aus

§. 1,

grossten

y,,

.

^

welcher Gleichungen somit diejenigen Werthe der

Wahrscheinlichkeit

.

E

=

^k,.'^^

(28)

,

gefunden werden, für welche die theoretische

ist.

folgt

II.

wenn

5r=A,.-^Br
Demnach

sind die

Werthe der u,

Summen

für welche die

E

ihre theoretisch wahrscheinlichsten Wcrtlic

(zugleich) annehmen, bestimmt aus den Gleichungen

u,

wo das E-Zeichen

2 7I") pi"'

+

sich inmier auf r

-u, -Z

=

Die hier vorkommenden 7 sind

1,

7^'p!;

V

dass sie in die Grössen

E

.

.

+«„ V .^(;o

^,(;-)

_^ V

.^;") ^,.

=V

j,^,

,^(«)

2,..., * bezieht.

bis jetzt

systeme (29) gezogenen AVerthe der u haben

Werthe beilegen,

.

noch innner willkürlich. Die aus dem linearen

— wenigstens

(wie dieselben oben in

(5')

bis jetzt

—

(ileichinigs-

keine andere Eigenschaft, als die,

bestimmt wurden), eingesetzt, denselben diejenigen

die für sich die grösste theoretische Wahrscheinlichkeit haben,

bei

den zu machenden

Beobachtungen zu erscheinen.
Hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit der
ti'u,

E

dass die

ihre

«.

selbst

haben, dass dies aber nicht umgekehrt der Fall
sannuentrert'en können, dass sie die richtigen

E

lässt sich somit keiuesAvegs

daher, dass die

zurückkommen

i

ist

nichts entschieden,

nnd

es ist hierbei wohl zu beach-

genau richtigen Wcrtlie annehmen, wenn die u, also auch die

in

ist,

t,

ihre richtigen

da ganz wohl die unrichtigen AVerthe der

E liefern.

Aus dem »Systeme der wahrscheinlichsten

£

Werthe

derart zu-

AVertlie der

auf die wahrscheinlichsten AA^erthe der « schliessen. Dies rührt hauptsächlich

weit grösserer Anzahl vorhanden sind als die E. AA^r werden auf diese Frage später

(§. OJ.

Im Allgemeinen, wenn eben kein anderer

AA'eg zu betreten ist,

wird

man

Ireilich

die

aus (29) bestimmten u immerhin als zulässige lietrachten können, namentlich wenn die Festsetzung der 7 vor
sich

gegangen
\.

AA^ir

ist.

setzen in

(IT)')

allgemein

y,„

wo

w^

1,

2..., n,

und wo

=

vÄv7r'

+ L,

folglich der wahrscheinlichste AA'erth

(29) bestimmten AVerthe der u durch

(3U)

von

i„.

Null

ist.

Ferner wollen wir die aus


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30

,].

liczeiclinoii *

und die den Wcrtlieii

cutsjircchenden u durch

(r.O)

f/j-t-v;,,

Setzt niiui

und also

(;j())

und

[?,'!)

(^iiir

und

y,„

Dicnijer.

«,,...,

//„)

in

Jt',„

(;50) in

„2.

7H-00

_di^...

(!^

(71) „

«'--"'''^'^'•-*---+^"^'-

..

{2k)"

die Wahrscheiulichkeit ausdrückt, es
w,„

so ergibt sich juis (5') wcijeu (29)

ein,

(27) eingesetzt, so folgt hieraus, dass

(Kn
Tr= ^^"':-:"""

die

(32)

jetzt

ist

Wird dann

dann

f4 -!-•/;„.

t4-H-/;2,...,

in g. 2

werden

die

'>oHa,tr,+ .,.-t-«„c„)c^.

Summen

E„, die in (30)

..(/«„

(33)

gegebenen Werthe haben

,

wobei

annehmen, welche mit den t„ durch die Gleichungen

die Wcrtlie V„i^t-r,„^

(34)

:

zusammenhängen.

Ehe weiter gegangen wird,

VI.

zeigt sein, die

Bedeutung der

(33),

dürfte es bei den hier obwaltenden besonderen Schwierigkeiten auge-

sowie der Grössen | und

um im Folgenden

wiederholt zu erörtern,

r,

volle

Klarheit zu haben.

Wie jeweils angemerkt wurde
jeder Beobachtung) aus, es

geschehenen Beobachtungen die

wo

haben,

Die

r,

E

E

die

(33) die theoretische Wahrscheinlichkeit (vor

TP' in

die durch (30) bestimmten Werthe

thatsächlich diese

annehmen. Sollen dann nach

Werthe haben, so müssen

die

u

(§. 1)

u.

E

anzubringen sind, wenn die

ändern.

die

Werthe (32)

mit den £ durch (34) zusammenhängen, also völlig bestinnnt sind.

tragen also den Charakter von Verbesserungen (Fehlern), welche an die aus

y?

Werthe von
lieferten,

die

drückt die Grösse

,

werden

Man

sich

um

die t,

gegen die W^ertbe, welche das

(2!))

bestimmten

Maximum

von

W

hat also das Eecht, zu sagen, es sei (33) auch die theoretische Wahrscheinlichkeit,

dass die aus (29) bestimmten Werthe der u mit den Feblcrn

r,

behaftet seien,

wenn

natürlich die

r,

aus (34)

bestinunt sind.

Daraus aber
licdien c

tblgt,

dass

wenn man

durch (34), betrachtet, und

in

die

r,

als

neue Veränderliche, zusammenhängend mit den Veränder-

(33) einführt,

wodurch

begreitlich der

ändert wird, letztere die soeben formulirte Wahrscheinlichkeit der Fehler

mehr von den

c.

Nur muss man

sich hier hüten,

rj

Werth

dieser Grösse nicht ge-

ausdrückt, ganz unabhängig nun-

von wahren oder wahrscheiidichsten Wertlien der

u

^selbst

zu sprechen, da sich alles nur auf die hier
Fülnl
so

erJiiilt

gewähhe Art der Bereelniung bezieht.
man als(} die
in (3.3) mittelst (34) ein, was oifenbar irgend einer Schwierigkeit nicht unterliegt,
man die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass man den aus (2!») nach den Cirundsätzen, die zu
r,

jenen Gleichungen führten, l)estimmten

Fehler

auch die wahrscheinlichsten Werthe der

*

wird.

%i

noch gewisse Correctionen zufügen müsse, welche wir getrost

eben jener Wcrtiie bezeichnen können.

So dass

also diese

Werthe

gefiiiKlcn

r,

Da

die wahrscheinlichsten

Werthe der

c

als

Null sind, so sind

Null.

werden ans Gleichungen der Form

(20),

in

denen bhis » durch

U

ersetzt

:

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Die Lajjlacescke Methode der Ausgleichung von BeobachtungafehUrn
Die thatsäcliliche Einfühlung der

soll

r,

31

etc.

unterbleiben, da wir das Integral (3o) selbst \orlier

ziiniiclist

auswertlien wollen.

Dazu bemerken

dass

wir,

V 1f^
gesetzt werden kann,

wenn

die

(a, v;."

Summenzeichen S

sich auf

^l,,=S;47l'St",
In

ist.

Bezug auf

diese

=

-+-...+«„ vf'V

Foim müssen wir nun

S-SVl,

i=

also

1,

.1,,

u «,-

«.

2,...,

=

(35)

/^

;

^-=1, 2,...n beziehen und

^,,,:

(36)

einige Sätze aufstellen, mit denen wir uns jetzt beschäi'tigcn

wollen.

§
I.

3.

Sei die Grösse

SiSk Ai^kXiX,,,
in

S

welcher die Summeuzeichen

sich auf

1,

2,..., u
^l.-,*

ist,

(37)

beziehen, und

= A.

(37')

in

SiPiZ^

(38)

umzuformen, wenn

(39)

wo

die a

und p noch zu bestimmen

Selbstverständlich

sind.

nehmen wir

die Möglichkeit dieser

nicht ohne Weiteres au, sondern behalten uns vor, durch das Ergebniss der
lich

Umformung

Untersuchung dieselbe thatsäch-

zu erweisen.
Setzt

man

so ergibt sich

die (39) in (38) ein,

1\

(•^'l

-*- «1,
2 ^'2

+

«1, 3

^3

-f-p2(a-2-(-ff2,3-t3-t-t-

.

.

.

-*-

•

•

-*- «1. " *'")*

-I- «2, '•*«)*

•

.

~^ pn

welche Grösse, der Annahme

Kanu man nun

die

p

::nd

nacii,

identisch mit (37) sein

^

2

'•^n

;

soll.

n so bestimmen, dass diese Identität

stattfindet, so ist

auch die Annahme selbst

gerechtfertigt.
II.

Die vorausgesetzte Identität führt zu den folgenden Gleichungen
2^,

wo

{

von

1

bis n geht,

«?,.H-P2

02,,-

-+-•• -Hiv «;:,,=

r jedoch nicht grösser als i sein darf.

(4U)

.•!,•,•
,

Dabei

ist

a,-,,=l
ZU setzen.

(40')

Diese Gleichung ergibt sich durcli (Gleichsetzen des Coefficien fen von

.cf in

der einen und ande-

ren Form.

Durch (ileichsetzen des Coefticienten von x,xi. erhält man
Pi

«1,

,

«1, k

-+-pz «2,

,

»i,

*-!-••. -i-pr «r,

,•

a,: k

= ^l,

*

,

(41)


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32

wo

Diemj er.

.T.

und k von

l

l)is

1

n

a,.^

Es wird

liinrei(dien,

oder h

r iihor niolit über /

gelieii,

^:>

in (41)

=

liiiinii.sgelieii

r;>

i'iir

Die Anzalil der Oleichungen (40)

offenbar

ist

i.

was wegen

/.'vorauszusetzen,

gens notliwcndig vorausgesetzt werden, wenn (41) bestehen

(;57')

genügt. Diese Gleichung muss übri-

soll.

Die der (41)

n.

Worten

dnrC, oder mit anderen

ist,

wenn

i

und h von

1

bis u laufen,

aber kz^i:

*=

Für

geht k von 2 bis

1

k
i

„

somit l-t-2-)-...-i-w

«H

—

^^---

-

= n—

— = —^——
1

= —^—

k

=n

Gleichungen,

1

71—2

V

>

—

1

,

Gleichungen. Die Gesammtzahl der Gleichungen (40) und (41)

-

Die Anzahl der

-.

"

)7

ist

1

also »

//,

p

ist

der a

n,

:

so

,

,,

\

III.

d.

Setzt

ergebenden Gleichungen vorstellen,

Identität sich

man

in (40)

i=

und (41)

wegen

1, so ergibt sich

ist leicht

alle

zu übersehen.

(40'):

h.

WO k von
Setzt

2 bis n gehen kann.

man

jetzt 2'= 2

,

so ergibt sich

Pl

"?,

=-J

ä^-Pj

2. 2

V\ "1,2
rt
"I, 2 "l,i ~^P%

'

'^'i,/c

A

2,

i!

und wenn obige Werthe eingeführt werden
•'^1.

I

?

'^1. 2

I

'

-'^2. 2

^1,2

^^l,!^

-1.1. li'2
,^

«2, i

i

I

"'2.

(37') wesentlich zu

wobei allerdings die
Für

i—3

erhält

man eben

so,

.

>

ist.

A

{

.1

.4

4

4

I

1

4

^3,

I

^u
Pi

I

beachten

=

1

unter Beachtung des Gefundenen

4

A.

i

>

I

und der

(37'):

1

t

^^1t

"112'

I.

3

A

4

«:), 4

=

4
1

>

A.

Hieraus scheint nun als allgemeines Gesetz zu folgen

J 1,1)
2.

^

I

'2,

>

'i— 1,

^M

.1,
-'1,2'

1 )

)

2

^4j_i_

•

••

'

2

, .

.

.

;

-^^',

>—

'

^'^2,

i—

,

-4,_1_ ,_

Pi

=

2

>

^3,

^'
:>

mithin

dass die Anzahl der Unbekannten

genau mit der der Bestimmungsgleichungen zusanmienfällt. Dass übrigens die (40) und (41)

angenommenen

ist

.3.

1

'

^3.

2

'

^^3, i

aus der


1

1

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Die Laplace Hche
für alle

den

Wcrthe von

Scliluss

von

71

i

und k, wo über immer

Es

ist

von Beohachtunqfifchlern

etc.

33

Die Richtigkeit dieser Gleichungen wollen wir nnn durch

Ä-rx'.

auf «h-I erweisen, wobei wir natürlich annehmen, dass die (42,) nicht nur für den

bestimmten Wcrth von
IV.

'Methode, der Ausgteicliung

i (z. B. 4),

sondern auch für

Werthe erwiesen

alle kleineren

sind.

aus (40)

Hieraus folgt wegen (42j):
,

'Pi+\ -hj^i

al

,-+1 -t-

.

.

.

= 'h+i.

2
-\-2>., «2, ,4-1

'4,,,_|.i

I

T

i+i

A

1

Dann wegen

j4i,

^Ih "l '+1

-!-••• -^-7'3 «3.

1,

-4,-1-1,

I

Ai^

,

-4i,,4_j

,

I

,

^,-1-1,,-M

-i'2"2,' + l

A,.i

^1,
'I.

Bezeichnen wir durch

B

A,-)-i,

j

,

-J,-j-l,

>

-4.., ,-,-1

A.2

)

I

1

,-M

I

die Determinante

-4|,

,

-4,,

,

-4i,,-,_i

,

^

der Zähler obigen Bruches

Nach dem

in

3Z?

8ß

3^2,2

3^4,-,_i,,+i

Si?
13-4,4-1

Brioschi's „Theorie der Determinanten«

gesprochenen Satze

ist

(Berlin,

185G) auf S. 9 als Gleichung (14) aus-

aber

85

35

3^42,2

3^4,.(,i, ,4.1

35

3J5
3vl,4.i,

3.4o^

ü

3«i?

=B
3.42,2

,4.1

3vl,-4-i,

und da hier

3*5

35

35

-»„,,
3yl2,

3^1,4.i,3

^o

I

,4-1

,-^j

-42,

ist

^4|,

(422")

jh-t-i

so

1

erhält

man

3 -4 ,4- 1,,- -1-1

sofort

/».4-1 -+-2^i

Ist

3^2.2

,-4-1

al

-t-

,-4.i

.

.

.

-f-

P3

ri\

,-4_,

=

weiter

A.t

'

.

^3,

,

.

,

-4j+f,i>

.

.

.

.

,

•

.

^2,,-H

.

,

A3,

.

,

.4,4.1. ,4.1

,4-1

so ergibt sieh
DiMlksrhriflon de]' m.-ithein.-naturw

Cl.

XXXIV.

Bil.

AWuithU. von NicIidnilsÜHdiirii,

,+


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34

J.

8r

Dienger.

^"^3.3 2-4,4.1,
.y'4«4,/-(-t

i'i+i

(lii

der Zähler wieder

sc

3("

4

\

'

.t.

=

C

I

!

\

''3. %

-'3. 3

7

gleieli

C

/l
^2-

ist.

rio

80

8-l,+ |,3 S^ls,

,.,.1

fortlaufend irclan^t

man

eudlieli

zu

'i„M

pi+i

=

A

I

>

-'2. 2

^-''

,4-1

'^1.

1

'

^1.

-^3.

1

'

^^^3. 3I

3


:

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Die Laplace.schr- Methode der Auscjleichnnq von
wodiucli

chung

wegen

(limii

(42,) erwiesen

tles

oben gefundenen Wertliess von p.+i

Hängen

x und

die

man aussprechen

nun

zusammen,

(^;>!'0

oder kurzweg (42) gegeben

durcli (42,)

y*.

bestimmt, und es

ist

wo a an

gral (33),

bei

die Stelle unserer

Aus diesen (üeicluingen

wo

nun die h nälicr zu
Setzt

man

die

a;

in

ist

Die

ist.

«,,

(43)
(39) sind ebenfalls durch (42) genau

in

;.

angenommen. Die Einführung

(.37')

Umkehrung

das Inte-

wegen des dortigen trigonometrischen

erfordert jedoch noch

tritt,

in s, d. h. die

in

der (39).

folgt offenbar

bestiniiiien

Werthe (44)

.i-

so

= Ä,p,s^

Allem die Richtigkeit der Gleichung

Factors den Ausdruck der Grössen
VII.

aucli die allgenieine (liltigkcit der zweiten Glei-

:

durch die Gleichungen

.:

Ä,-S,^,,ava',
wi>

35

etc.

ist.

Hiernach also kann

VI.

JlcoJinrhfaiui.-ifehlern

a'j

^=^

.'j

=

.- j

*"

1,2

1

1

Sj,

~^

'

-f-

...-<-

'

''\

'

,11 -^11

Ä 2,

Z„

„

?

(44)

,

sind.
(.39)

müssen natürlich

ein, so

letztere (Ucicliungen identisch erfüllt sein.

Dies gibt
^/,

-+i-

«,-, ,-t-i

f'i+i. k -+- «,. ,;+2

k -+-

l'i^-'..

•

wo nothwendig k-:>i sein muss, sonst aber /'und l- alle
Setzt man umgekehrt (39) in (44), so ergiht sich
«,,

i-

H-^',

i-i-^

ai+\,k -^/>,,i+i ('i+2,k

-^"i. k-\ ^'«-f,

•

AVerthe von

-+-

1

k

bis

-I-",,

//

7.

=

liat)en

-+-/'i.k~i "/.-!,/-(-/',,/.

(45)

,

können.

=

^>

(46)

mit denselben Bedingungen wie zu (45).

Die (41) geben für

k=

1.

2,...,

^i,

Ai^

'.

i

^e,.»

Die

/.:

n:

=

l>\ "I,

<

=

J)^

r'i,

,•

=i'|

«I.,:

f I.

-^'Pi "2,

?

«I,

-t-p.^

,

b/,_^

= ])

und addiren. Daraus

Ji-^-t

ist

1

''''I.

folgt

k.

r/,-,

-Hp,

",-.

,-

r/,.

1

«/, «•

,.

*

k -<- J,-, > f>2, i -t-

Dadurch

.

.

.

-f-

—

[4b)

-

1/,

^>k.k,

:

k l'k.

/,

=

'^

wenn k>i.

,

(47)

dagegen

In der ersten dieser

=

f'i.k

wegen

A., i/'Li-i- vl„

t

t^...-^pi

ersten dieser Gleichungen multiplieiren wir mit

A
Für

aj.

,

+

^O,»

^\j.,

(wo auch

ri.,_

i !

erfolgt

,

//,..

,

-H

.

Gleichungen setzen wir /=--],

.

.

-H

2,..

.1,-, ,

.,

/

/;,,

,

— 1.

=

(47

j>,.

wo

also

immer

/.•>-/;

in

)

der zweiten


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3G

Di'engcr.

'/.

'''2,/,-H...-H.I|,/,

/'!,/ -1-^1,, 2

^|.|

//x../,=

0,

(48)

^i—

Dieses 83'steni von

/•

1,

1

/'l,

i

-H

-'li— t.

2

i -+-..- -»- v1x._l,

''•'2,

i/^/,,

/,.

=

,

Gleichungen gibt offenbar die Wertlie der Grössen
l>\,k,

(von denen freilich die letzte

=

1

'

1

-^i'

2

l>k,kf

man

Setzt

sein miiss).

-^2i

/.v-

/'s,

•

j

•
'

-^2,

T'k,

/t

(49)

Äk,\, Ai,^.,.... Äk.k

darnach

ist

i

k

t>i,

k

= Pk K-—
oA,.

(50)

,

f

wodurch die Aufgabe gelöst
Dass hier k:>

ist

/'

ist.

aus der Natur der Sache klar. Für /

Pk

ik, k

=

hätte

/

man

2P.

= Pk

8^i/.,;

d. h.

wegen (42)
V

/,

/'/,,

k

= -TT—
dJ^ k

wie gefordert. Es

ist

K-j
0Ai,j,

'

=

''/.-. /.

1;

aus (42) klar, dass die (50) auch heissen kann
3/'.
h.,k

3A.,.
welclie Gleichung sich aus den

l-

—

1

= an

'

(50')

3A.-

ersten (48) unmittelbar ergeben würde, worauf dann ^^ aus der letz-

ten sich ergäbe.

§.4.
I.

Wir kehren nunmehr zu dem

Man

Integral (33) zurück.

tühre

in

demselben an die Stelle der

Veränderlichen z ein, so dass
•

•

-1-01.,.

•

a„

— ^n

"n

,

7

also
~^-^^'^,

•

H

'''1,11

^n

WO die« und

/<

aus

ij.

.'!

bestimmt seien, wenn A,^t durch

(3l)")

—

s„

'^7*

gegeben

y

ist.

a.

die


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Dir
Oann

ho.'placo

der Aiisqlcicluauj

Jilctliodc

.schi-

rnii

Bf obarltl im(i.<
lilcrv

etc.

'.M

ist

a, ?,

.

-ha,, i,

=

C, s,

H-Cj .!.,-+-... -+-?„ 5

„,

wenn

-

und

<''!.»
1,51;

,

OS wird dns dortige Integral zu

.?„^„)^-""-=^---+^'«-'rfr,...r/.„
i'„

eine Gleichung:, die allerdings die Grössen

Diese Vornussetzung'

ist

j)

als positiv Tovaussetzt.

aber aus der Gleieluuig

Ä S yl,,
sofort als zulässig zu

erkennen.

jedenfalls unbedingt positiv,

,,

a, a,,

=

Die erste Seite derselben

Denkt man

wenn

die

A

die

Bedeutung

sieh also einmal die a so bestimmt,

übrigen s weitaus überwiegt, wodurch die

ji,

hat die zweite Seite das Zeichen von

und also muss

ist

ist.

in (30)

haben,

was auch immer die Werthe der a sein mögen, so dass es natürlich auch die

identisch gleiche zweite Seite sein nuiss.

Hiernach

Äjj,- zj

jO/,

^|,

dass

z/,

gegen

ihr
alle

ganz unabhängig sind, nicht geändert werden, so

die von a

jv,-

positiv sein.

nunmehr
d£^.^.dt„

j,r_

nOi

(5

(21/;rf

wo

die

2^

in §. 3,

t

durch (51) gegeben sind.

Das Product im Nenner

findet sich

i'l

•

•

-J'n

SO dass also

Tr

=

lOv

J'n


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38

WO wir

die liostiimmiiig' der

man wie

Veri'iilirt

wo

h'enfipr.

•/•

/•.•^/'iiiul

«'/,,/.

=

r^'

^n

=4

C,

=

-+-«

L-\ -^

n-\

'„,

I

C,

,

?,,

inul y iiocli (liircli/.nfiilircn liiibcii.

so

in g. 3, K.,

man

eriinit

als Cortücientcn von

mau

Vergleieiit

sein soll.

!

-t- «'»,

diese Gleieliiinginit

Sfj,l:^:

in

c, c,,

[^-il],

wo '•=1,

so hat

man

dorl zu

setzen

") "

'/)

da dann die

wo

setzen

sie erhalten,

dass

ausgedrückt

man

«

wenn man den

]>

—

.

.

.

.

?i

,

1

,

vi,-,

^'K—i+i^M—i-i-j

a',

,

(42)

]>
-'

11,

M

Diese (Heieliung gehört oftenbar unter (5G), und

soll.

Coefficicnteu von t„„,+i
i

und k mit n

—

j-t-l,

n

1

.

•

T>

/)
•

j

•

(f)?)

ist

also noch zu

vertauschen muss, wie dies übrigens dort

-*

1

ji

—

7'

/'

-i+\

-*

.'

T'

—

I!

/,— /4-t,?i

Zu

man

also

ist

7

—

suflien würde.

c„_/.4^i

— i-+-l

f w— i+1, — i+l
i

a:

t

(07)
^?

sein

j-t-l

Ü die Zeiger

in §.

^ H, «

—

k-^-l:>7i

Nach

ist.

.

lieisst

1^41)

allerdings jetzt

würde

2.

1,

j),

l'iir

?i— »4-1

<-f-i.

odei

^P71,

/'
*

71, 71 J

1

71

•

•

)

7^

^ 71, r

• 1

n
}',

Nach bekannten Sätzen

r. s

=

P
-*-

j

r, r

7'
J 71,

'
71 j '
' y

^

71 j

r,

•

Baltzcr, Determinanten, 1857,

(vergl.

O'v,

s

= b,^r

P

^ n,

7

—

1

j

P

^

71,

'J^r.

'

s

3

8. 27) folgt hieraus

(58)

,

wie begreiflich zu erwarten war.

Weiter

ist

dann nach (42)

Pn, M

-*

/

woraus nach denselben Sätzen

,

+

'

?

1,

«

.

j

•

•

•

,

P

^71, r4-i

J

r+l.r+l

p

^

71,

'

7*

n

'.

P

71.

folgt
(58')

Somit

ist

endlich

d.h.

Pt

I'


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Die Laplace sehe Methode der Äu.srfieiehung

lieobaehtanqsfehlcrn

co)i

etc.

39

tülj^lich

luid

-

e

4P

^59)

(21/;t)»1AP

In (59) führen wir miumelir

III.

>•

C,-

WO

hier

immer S

?•

4

.sich

=

-v«

,

(';,

auf

(i)

1 7,.

r=

'^)

iJ,

-H

'J,-..,

1,

V
1

-+- v:„

. .

.

an die Stelle der

VI.)

(g. 2,

(0

I

Hierin

bezieht.

-s-

'

^
S 7^

l'i)

/
(v?,

'^'')

Pn

'/J.

die

t

'

(»")
'

>i

-H

aus (34)

r,

.

.

.

-H

ik\

V«

/;„

Dadurcdi wird

l'ri\

1 7^. pn ')
'

der Coefficient von

ist

ein.

o,

,

v;^^:

somit

wo

die

S

sich auf 1, '2,..., n

beziehen. Endlich also

s s p,^ k
Dann

?,

=

4

6't,

-^p [v;^ -ci 6',

6^

7',-

4

:i:>

7!.''^!''^

1',-

rr^ pf].

ist

di^

.

.

.

cIq,,

= M dr,^...

dr,,^

,

wo
—
M--

jPI

1

^^r

^/r'pl

,

^yyjn',...,

/r

P'i

7---J

-"Ir

Vn

^-fr'

Pn

(GO)

SO dass

Jf

^.

IF:
(2

Wir setzen

z.

^« e- J^ ^ .p [,, .3

«,

^

;v,

*

::

T^') .'^^

:irW

/'^)]

A.
^=,,

wo

• • •

lAP

lA.Tj"

=

,1

>^.

iik Pi, k

-r

Poi

7'-

\ Ir

P\.

'

,

((31)

also auch

(G2)

und haben

M

dr,,...dr,,,

i

„

(62)

IV.

Ehe

hier weiter

gegangen wird,

soll

noch ein für unsere Zwecke wichtiger Satz abgeleitet werden,

der heisst

= P»-' Ji^.
Dn,

Es

1

!

dJ„,

•-•

;

••')

D,i,n

sei

^V

P

1

T--:

i'i,n

I'

^Jr pi

,

-7r Pn

(63)


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Dieiirjer.

J.
so

ist

bfkiniiitlifli

=

0^,,

„(')

(')
l\,^y]!'p^

-4-

r

S-y*"^ v)'^

P

S'/t«)

„M

dann

Ist

(')

'-

SO

—S

1

1

7

*

•

'

^1,11

«,

1

7 ' •

•

j

^ H,

'

.„w

P

P

n

ist

P

/

-l-'K.

Wird

'

'-'I.

I>

11

V
—

hiev

eing-esetzt, so ist

Hiernach also

ist

F.

was wegen bekannten Sätzen
Es wurde bereits

V.

•7

-^^1,

«

die (63) liefert.

in §. 2, VI.

angegeben, dass der Ausdruck

es seien die aus (29) bestimmten u noch mit den Verbesserungen

Wahrscheinlichkeit ableiten, dass

übrigen Grössen

Grenzen

— oo

r,

und

so

seien,

U„,

dem Fehler

mit

muss bekanntlich

v;„

((ri)

die Wahrscheinlichkeit bezeichne,

zu versehen.

Will

man

hieraus nun die

behaftet sei, gleichviel, welches die Werthe der

die Grösse (62) nach r,^,..., r,„_i zwischen

den

hier

möglichen

-+-c^ integrirt werden.

Zu dem Ende werden wir

die (62)

umformen, indem wir für die

hängend mit ersteren durch die Gleichungen
i

2

'2

•

•

~t~ Cj_„

"/;„

-i-C2,„

v3„

'0,,—i -+-

die c so bestimmt

werden

ist.

neue Grössen y einführen, zusammen-

Cm—i,

— y^
= y^

,

,

= y,i—i

«»!,(

(64)
7

dass

sollen,

SS B,^
wobei allerdings y,^^ri,^

o

(§. 3, I.)


wo nun

v;

Diese Bestimmung

,..

ist

•/;,

ra

=

S (j,yj

,

bereits in §. 3 durchgeführt,
I) t'

.,

ö>,,

'1>„I •••7

A..

1

'•

und man hat

?.=

(65)

Die (62) wird jetzt

/P
und die Grenzen

(2lA.)»

für //,,..., ?/„_i sind ebenfalls

—oo

und h-oo. Demgemäss

ist

die gesuchte Walirschcin-

lichkeit

M
]/P

(4P;r)''-'

dr,„

e^
(21A;:)'

4/)<

.1/

P'

1»

e
7, •••'/..-•

~2l/;:

/y....^,,-,

4r 1"

//rj,,.

(620


1

\

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Die Laplacesclie Methode der Ausgleichung rem Beobaehtnngafeldern
Aber nach (65)

ist

.

.7,

.

.

y„_i

D

=

'

I. I

li.

wegen

••; -Dl,!!—

'/,... qn

-^n— I,
A.

41

etc.

1

j

•••> J^n—l, 71—

-''

»,

i

;

'

'

•

^v,

y

n

(63)

n__
y,...y„

= P"-'il/%

pn-i

=

Jj...y„_,

Jj^i
,

=

\jq^...q„^i

1_

p2

2J/
l^?«

Das

dem

überzeugen,

dass

nach

zwischen

alle

dass die sämnitlielien

setzt allerdings voraus,

allen

/,

so sei;

— 00

übrigens würde sich dies

und h-ck)

intcgrirt gleich

schon daraus

sein muss,

1

Ganz wie

positiv seien.


in §. 4,

ergeben,

I.

dass die Grösse

.1/

in

sich

(62)

da innerhalb dieser Grenzen jedenfalls

Verbessernngen liegen. Wäre aber nur ein 7 negativ, so erhielte man diesen Werth nicht

des Zeichens von

kann man

(60) brauchen wir keine weitere Untersuchung; es

*.

Hinsichtlich

allen Fällen das positive zu

ist in

wählen.

Somit

ist

obiüe Wahrscheinlichkeit

^1"

„-r^n
iP ''" drj,.

e

2\/j:F
»Setzen wir

noch
^"

4J>^ ^"

]/

^"

'

4P

^

^"
q,.

so drückt also

(66)
\Jn

die Wahrscheinlichkeit aus,

der Fehler in

«<„

sei

2JAP

VI.

Soll dieselbe

Beziehung für

der Zeiger

ist

jetzt 1,..., ?•—

1, n,

werden, so hat man offenbar nur die Zeiger n und

Ur erhalten

obigen Untersuchungen zu vertauschen

,

und zwar

?--i-l,...,

(66')

in

n — \,

welche Gleichung auch zugleich

T

qr=

dofiniren soll.

1

statt

der Ordnung

r einzuführen, so dass

Grösse ü/ ändert dabei höchstens ihr Zeichen, und dasselbe

SP

d. h.

(62'),

gilt

von

1, 2,

A&s letzte

—

r

—

r, ...,

«

q'r

um, wo

(67)

'

.-c
'

U
die Wahrscheinlichkeit, dass der aus (29) bestimmte

1,

in

Element wird. Die

Endlich wandelt sich q„ in

V.

Somit wird wegen (63)
1

vy^

/

dtr

(68)

Werth von

2?,

jetzt

\f

dem Fehler

«^ mit

82'
(68')
ÖP'r,

MPT
* Die wirkliche Integration gibt lien

Weith

—^==

,

und

,.

ila

dies

=

1

sein

soll

,

so

erhält

man geradezu den

Satz f63), den wir oben unmittelbar nachgewiesen haben.
l)rnKschriftcn der malhcni.-naturw. Cl. XXi^lV. Ud.

.\bhaiidl.

von Niiiitmitgliidyrn.

f


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42

Diengcr.

J.

behaftet

wo

sei,

wo immer

fol{;t,

.1/,

die

7'

I',

durcli die

Oieiclumgen

Summenzeichen S

(GO),

(53) uiul (67) definiit sind,

sich auf 1,...,

^a.3

die

//,

- auf

während

beziehen.

1,..., »

/),

/,

Endlich

aus

ist

= ZA8P

«,P

Selbstverständlich

ist

(G8')

auch

3A,r

2L
VII.

Hieraus

nun endlich,

fulgt

dass,

(Ü8'0

wenn

die

aus (29) bestimmt werden,

«

man

die Wahrschein-

lichkeit

—
habe, es werde die an

w,

((50)

anzubringende Verbesserung zwischen

-2p,.

ST

—

Die Grössen P, P, -—^

liegen.

dz

e-^'

und

T

-i-2pr

(690

sind ihrer Natur nach positiv; pr

ist

ebenfalls eine positive (sonst belie-

P gleichfalls

bige) Grösse. Willkürlich sind nun noch die sämmtlichen Grössen 7, die übrigens in

§•

I.

Wie

getroffen.

so eben bemerkt,

ist

5.

hinsichtlich der Grössen 7 (der Anzahl

Wir wollen nun einmal,

vorkommen.

nach vs) noch keine Entscheidung

welchem Grunde, setzen

glcichgiltig vorerst, aus
('•)

(.)_

l^P

7

wo

(X

eine von

*'

und

>•

unabhängige Zahl,

(70)

hl

durch (25) gegeben

//^

ist,

und

i

von

]

bis

n.

>

von

1

bis « geht.

Jetzt wird

'^i,k

—

fA

2.,.

2,,.7r

,

-p,

pt

—

p.

Lr

-ß

Demnach, wenn
(r)

M'

(r)

(r)

(r)

(r)

(r)

=

(71)

2

i>.V

p„

A?
so wird

M
Wird

z.

zu

pi"

3/'

,

=V

,

P

zu

,u.=»

J/'.

A. gesetzt

r,

.

i'f

i^A
2

Ä?

(72)
'


'

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Die Laplacesclie Methode der
so

Bcnhncl/UuKisfcJihrn ctc

Ai(.sr//cich)t)!r/ rr»/

43

ist

11

>---pi,n

I

'

Pl. 2

9-2, t

>

pa, 2 !---P-',"

f II.

?

pn. 2

Pt,

1

) • • •

^=pk,i

pi.k

(73)

pn, V

und es wird
Sil/'

zu

/'„, 3

[j.-

j(4'

ZU

P,.3S•/<''^W5;7t«p<^'

zu

^rlr lA

-,.'/;.'

p^, 'pf^,i

/;.*

a.i/'

,a^"K,pp,,

"3p^'

also

ODP,,

.§,

^

V
2

('1
C»-)
7^.
J);-

'pl

7,'

''•1

pi

•>«

r...

zu

•

rj.-"

p„

1

4

,

I

-r

J

1 ,

'

L

welche Grösse Null

ist,

ausser für

-5«

Die Grösse

S; /;.

T = P'-^ iP

= k,

ci.

3

3.1/'

^"^-'^'

V
2

2

wo

=

f;L-"M/'"+'

2 pc, n J

1

Demnach wird

il/'.

2 if'i^C

yj.''^;!"'

wird zu

sie

,4c<.

D,,

d. h.

,

,

zu

p.^"o,,

,

3/'.

und

sr

8J/'

zu

a'-^"'-'-"

ilf'

und also endlich

8^77

T
II.

Für unsere nächsten Zwecke

zu

1

33/'

M'

Si,,,

nun noch von Wichtigkeit, zu untersuchen, welchen Werth der

ist es

Differentialquotient der so eben betrachteten Grösse nach

Es

ist

nun (m geht von

1 bis s,

v

von

(74)

für die Wertlie (70) annimnit.

7^''

bis n)

l

-^^t,

k

/r

-^r ''r fr

J

so dass
3.1-.,

iv

0,

wenn weder

i

noch

l-

Hu

S^li, k

7

2

(ti

37;;'

3

Demnach

ist

7;,

3^1,-

/..

,„

(,)

gleich v;


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44

Dil

'/.

S^'

79 f

Hfl er.

(I)

)|^

g

da nur

die vto Iloiizcintal-

und

nnd das Glied

Vcrtiealreilic stehen bleiben

^--j

—

73

thatsäcblich

zweimal vor-

kommt.

Demnacb

ist

und wild also für die Wevtbe (70) zu

wie sich ganz

in

derselben Weise aus (73) ergibt.

Das Letztere war unmittelbar zu erwarten. Denn
einfaches

Umformen

,

7'c,^

ganz

in

8p;

derselben Lage

^lA

37;/

III.

Si'v

i^

w2

2„

S

Sil/'

Anders verhält sich die Sache bei T. Bezeichnen wir durch Ansetzen des Accentes ilberhaupt den

einer Grösse, in der die 7 aus (70) ersetzt sind, so

81"

es sich offenbar nur

zuerst

.

Nach

(00)

um
ist

8r

(

8;*;

wo

das Einsetzen der (70) ein

so wird

ist,

8^«,P

Werth

ist

und

87;,

Da

kcinp; somit

7^ enthält

-

1'

87,,

ist

'

87

f

IX

""

2\

-

r
'

'

da T' bekannt

die letzte Grösse handelt,

ist

(=/^-"' ]!/'"+').

dies

8ilf

8

Zä^f,.

8M

(I,

7„

-t-

. . .

(„,

-f-

7„

^7r

2K

i'v

also

_,r

^/_y_
jUL"
(

fil

(„)

^i

V'

8il/'

8i1/'

'.^

3.1/'

fxjpj"'

,

(„

|_...H_^„
^"

8f,,,

)

8il/' 1

8p„,.,

l~
'

fx"

8.¥'

2

8_pJ">

Somit

8r

8(7'«-' .¥^)
2/""-'
= -i
= „„
i

,

,,

ü/

jx^J^

8il7

,-.

Wir untersuchen


,

,

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Die Laplace sehe Methode

von Bcobachinngsfehle^-n

rler AusgleichiiDii

(^I -(-»«) 1^1
3M'

a»

Weiter

etc.

45

*

3il/'

.

ist

ST'
8(w)

..„-,,

.

(ii-^l)
\
/

3il^'

M'"-«

IX-"'i


so dass endlich

'^

^3 7Ü"^

wo

natUiiicli unler

M'

8K'

der Wcrtli (73) gemeint

[nicht aber (M)'].

ist

Bezeichnen wir

IV.

durch

so

ist

nnnmehr noch

T,„,,„

näher zn nntcrsuclien. Wieder

Ö

wo

es sich abermals nur

Die Elemente von
p.'/''

kommt

um

T„,,,„

.
,

J»
7n

I
\

i OT)
Ö ^7n,
^

.

?»
m

ist

(-'•

1

-^ JH

I

die letzte Grösse handelt.

sind die

J*,, 4,

wo jedoch

alle fehlen,

in

denen

i

oder k

i;k'icli

m.

Die Grösse

vor in den Elementen
J-'i

und es

-t
L TH
7/;

T,, j

,/!••>

-^

n. V

-^v,

5

1

j

•

•

•

-L'v,

)

n

>

ist

oD^^
= b, 6p
--^

\ 7^

_pl

3il/'

j4"'

(0,1

7'„, p

(,.)

(p)
\ 7;^
'

,

3pv

= ;/- Ä«^ Äp^
„

p-.

-t;

p„,

Opa, p

/'„

Aber
'S"«,

so dass obige Grösse

f,

/

—=

3 1/'
-^^

,

wenn

nicht

t=

Opa, 3

ß

,

=
ö5a_

.?

h„

n„

Ebenso

*

Es

Irtzterer

ist

hier zu beachten, dass nicht unser obiges

(M/, so

ist

{il/

= ii."M'.

Darauf

inil)cn

jl/'

der Werth von ^[

wir wosenflicli zu aclitcn.

ist,

wenn

die (70) eingesetzt werden. Ileisst