LỜI NÓI ĐẦU
-----
Trong chương trình đào tạo sinh viên sư phạm Toán của Trường Đại học
Tây Bắc, học phần “Tiếp cận các phương pháp dạy học hiện đại” là học phần tự
chọn. Sau khi sinh viên được học về các phương pháp dạy học truyền thống, với
mong muốn trang bị cho sinh viên một số phương pháp dạy học phù hợp với
việc đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục trong tình hình mới, chúng tôi cho sinh
viên tiếp cận một số quan điểm dạy học hiện đại như: Dạy học theo quan điểm
hoạt động, dạy học theo quan điểm kiến tạo, dạy học theo quan điểm tình huống,
dạy học theo quan điểm khám phá, dạy học theo quan điểm tự học và có thể vận
dụng các quan điểm đó vào trong dạy học Toán ở trường phổ thông.
Mục tiêu của tài liệu này nhằm trang bị và bồi dưỡng cho sinh viên sư
phạm Toán một số năng lực tiếp cận các quan điểm dạy học hiện đại và cụ thể
hóa các quan điểm đó bằng cách đề xuất các biện pháp r n luyện năng lực theo
hướng tiếp cận quan điểm dạy học nêu trên sao cho phù hợp với việc đổi mới
nội dung, chương trình môn Toán ở phổ thông hiện nay, qua đó sinh viên có thể
vận dụng linh hoạt các quan điểm đã học vào dạy học Toán ở trường phổ thông.
Nội dung của tài liệu gồm năm chương:
Chương 1. Tiếp cận quan điểm hoạt động trong nghiên cứu và thực hành dạy
học Toán
Chương 2. Tiếp cận quan điểm kiến tạo trong nghiên cứu và thực hành dạy học
Toán.
Chương 3. Tiếp cận quan điểm tình huống trong nghiên cứu và thực hành dạy
học Toán.
Chương 4. Tiếp cận quan điểm khám phá trong nghiên cứu và thực hành dạy
học Toán.
Chương 5. Tiếp cận quan điểm tự học trong nghiên cứu và thực hành dạy học
Toán
Chúng tôi xin cám ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Phương pháp dạy học
Toán, khoa Toán - Lí - Tin Trường Đại học Tây Bắc đã đóng góp nhiều ý kiến
bổ ích trong quá trình biên soạn tài liệu này. Chúng tôi cũng xin cảm ơn Ban

giám hiệu, Phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thiện
Giáo trình này.



MỤC LỤC
Chương . T P C N
N Đ ỂM
TĐ N T N N
NC
T C
N D
C T N ................................................................. 1
. . Cơ sở lí luận ............................................................................................... 1
ạ ộ
....................... 1
quan ............................................................................................................... 2
ộ
ạ ộ .............................. 3
1.2. Một số biện pháp r n luyện năng lực theo quan điểm hoạt động cho sinh
viên sư phạm Toán ............................................................................................ 4
1.2.1
................................................... 5
t ............................ 7
ạ ộ
........................................................................................ 8
ộ
............................................................. 9
1.3. Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học Toán ................................. 9
Chương . T P C N

N Đ ỂM
NT
T N N
NC
T C
N D
C T N ...................................................................... 19
. . Cơ sở lí luận ............................................................................................. 19
ạ ........................................................................ 19
ạ
ạ
.................................................... 19
ộ
ạ
ạ ..................... 20
ạ
ạ
ạ
........................................................ 21
ộ
ạ
ạ
.................. 22
2.2. Một số biện pháp r n luyện năng lực theo quan điểm kiến tạo cho sinh
viên sư phạm Toán .......................................................................................... 23
2.2.1. Rèn luy
ạ
ạ
ấ
............................................ 23

2.2.2. Rèn luy
ạ
.................. 24
2.2.3. Rèn luy
ạ
........... 24
2.2.4. Rèn luy
ạ
..................... 24
2.2.5. Rèn luy
.................. 25
2.3. Vận dụng quan điểm kiến tạo trong dạy học Toán .................................. 25
Chương 3. T P C N
N Đ ỂM TÌNH HUỐNG TRONG N
NC


T C
N D
C T N ............................................................... 33
3. . Cơ sở lí luận ............................................................................................. 33
3.1.1. S thích nghi trí tu ........................................................................... 33
cc
m tình hu ng; Các tình hu ng ti n
ạm và tình hu
ạm.................................................................. 35
3.1.4. Dạy h
ng ti p c
m tình hu ng ................ 37
3.2. Một số biện pháp rèn luyện năng lực theo quan điểm tình huống cho sinh

viên sư phạm Toán .......................................................................................... 38
3.2.1. Rèn luy
x
nh tri th c chu n ..................................... 38
3.2.2. Rèn luy

c dạy h c các bài gi ng mẫu…………………… 8

3.2.3. Rèn luy

c sử dụng các mô hình tr c quan……………… 8

3.2.4. Rèn luy

c sử dụng công ngh thông tin………………… 8

3.3. Vận dụng quan điểm tình huống trong dạy học Toán……………......38
Chương . T P C N
T C
N D

N Đ ỂM
MP
CT N
47

T

N N


NC

. . Cơ sở lí luận ............................................................................................. 47
4.1.1. Khái ni m v khám phá ..................................................................... 47
.............................. 47
x
ộ
.................................................................................................. 48
c có th
ạy h c Toán ......... 49
4.2. Một số biện pháp r n luyện năng lực theo quan điểm khám phá cho sinh
viên sư phạm Toán .......................................................................................... 53
4.2.1. Rèn luy
c tạo nhu cầu, h
...................................................................................................... 53
4.2.2. Rèn luy
c tạo nhi
ộ
sinh viên t
.............................................................................................................. 54
4.2.3. Rèn luy
c
ng dụng c
........................................................................................................... 56
4.3. Vận dụng quan điểm khám phá trong dạy học Toán ............................... 56
Chương 5. TI P C N
N Đ ỂM T H C TRONGN
N C
T C
N D

C T N ..................................................................... 65
5. . Cơ sở lí luận ............................................................................................. 65
khoa h c .................................................................................. 65
5.1.2. Các bi u hi
c t h c c a sinh viên Toán ........................... 67
5.1.3. T h c quy
nh chấ
ng trong h c t
ạo ................... 70


5.2. Một số biện pháp rèn luyện năng lực theo quan điểm tự học cho sinh viên
sư phạm Toán .................................................................................................. 71
5.2.1. Rèn luy
c t l p k hoạch h c t p ..................................... 71
5.2.2. Rèn luy
c h c t p, nghiên c u trên l p .......................... 72
5.2.3. Rèn luy
c h c t p, nghiên c u ngoài gi lên l p .............. 74
5.2.4. Rèn luy
ct
c sách ........................................................ 77
5.2.5. Rèn luy
c nghiên c u và gi i quy t vấ
....................... 78
5.2.6. Rèn luy
c nâng cao trí nh ................................................ 79
5.2.8. Rèn luy
c sử dụng th i gian t h c ................................... 81
5.3. Vận dụng quan điểm tự học trong dạy học Toán ..................................... 82



DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

CNH

:

Công nghiệp hóa

DH

:

Dạy học

ĐPCM

:

Điều phải chứng minh

GV

:


Giáo viên

:

Giải quyết vấn đề

Đ
Đ

:

iện đại hóa

HS

:

ọc sinh

Đ

:

oạt động

NXB

:

Nhà xuất bản


:

Phát hiện và giải quyết vấn đề

Đ

:

Phát hiện vấn đề

PPDH

:

Phương pháp dạy học

PTTS

:

Phương trình tham số

SGK

:

Sách giáo khoa

SV


:

Sinh viên

THPT

:

Trung học phổ thông

THCS

:

Trung học cơ sở

P &
P

Đ


Chương 1. IẾ C N QUAN ĐIỂM
C UV
C
N

Đ N
C


N

N

I N

N

uan điểm hoạt động khởi sinh biện chứng t các quan điểm Triết học Tâm lí. Các khái niệm hoạt động, đối tượng của hoạt động, nhu cầu, động cơ
trong hoạt động cũng như mối liên hệ gi a chúng là cơ sở của Tâm lí học hoạt
động được khái quát ở mức độ tr u tượng cao.
iệc nghiên cứu làm sáng t các khái niệm trên và mối liên hệ gi a chúng
để t đó xác định các năng lực tiếp cận quan điểm hoạt động và các biện pháp
để r n luyện các năng lực đó s góp phần cụ thể hoá việc bồi dưỡng sinh viên,
đáp ứng nhu cầu triển khai dạy học Toán theo quan điểm hoạt động ở trường
phổ thông và góp phần thúc đ y việc nghiên cứu Toán.
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Quan đi

iết h

-

lí

hoạt động nhận th

oạt động nhận thức thế giới nói chung và nhận thức Toán học nói riêng
được thực hiện bằng quá trình hoạt động tư duy, x t riêng là tư duy biện chứng

và tư duy toán học.
T các quan điểm của C. Mac, Ph. ngghen và các kết quả nghiên cứu của
các nhà tâm lí: .
ưgotxki, .
ubinstein cho thấy: tư duy xuất hiện và
vận động gắn kết với hoạt động thực ti n cho con người. Con người trở thành
chủ thể của hoạt động tư duy với điều kiện họ nắm được ngôn ng , các khái
niệm, logic học, chúng là sự phản ánh khái quát kinh nghiệm của thực ti n xã
hội.
T cách hiểu quá trình tư duy phù hợp với nh ng sự kiện đã tích lu được,
cho ph p giải thích quá trình tâm lí cấp cao chuyên biệt của con người là quá
trình chuyển hoá t “ngoại tâm” đến “nội tâm” ngh a là t tác động qua lại gi a
con người với thực ti n, gi a con người với con người, sau đó cá nhân mới thực
hiện một cách độc lập.
Như vậy, tư duy là quá trình tâm lí tìm tòi và khám phá hiện thực khách
quan gắn với hoạt động xã hội, liên hệ mật thiết với ngôn ng , là quá trình phản
ánh gián tiếp khái quát hiện thực khách quan nhờ các hoạt động phân tích và
tổng hợp …
Trong nghiên cứu tư duy, .
ubistein đã nhấn mạnh luận điểm: “
ộ
”. Các điều kiện
bên trong của tư duy được xác định bởi mức độ tích cực, các cấp độ tác động
1


qua lại của các thao tác tư duy trong quá trình nhận thức như: phân tích, tổng
hợp, khái quát hoá. Các điều kiện bên ngoài của tư duy, bao gồm đối tượng của
tư duy và môi trường trong đó chủ thể và khách thể tác động qua lại với nhau.
Nh ng quan điểm tư duy x t ở trên cho ph p dự tính vận dụng vào dạy học

Toán theo quan điểmhoạt động, trong đó chú trọng xem x t các vấn đề tương tác
trong hoạt động, đối tượng của hoạt động trí tuệ, tạo môi trường cho các hoạt
động nhận thức Toán học của sinh viên.
1.1.2. Qu n đi
quan

nhận th

o nh

u nh

ủ hi n th

h h

T việc nghiên cứu các phương pháp luận nhận thức Toán học hiện thực
khách quan cho thấy phương pháp nhận thức chủ yếu trong toán học là phương
pháp s dụng các mô hình Toán.
Chúng ta hiểu mô hình Toán các lớp đối tượng, quan hệ nào đó của hiện
thực khách quan là sự mô tả các lớp đối tượng và quan hệ đó bằng cách s dụng
các kí hiệu và ngôn ng toán. í dụ các hình hình học của hình học clit được
cho bởi mô hình là các phương trình, bất phương trình ho c hệ các phương
trình, bất phương trình. Ch ng hạn, tập hợp các đoạn th ng B được cho bởi
phương trình vectơ: OM  OA  OB với

là điểm tu ý.

T
bạn có thể suy ra mô hình khác của lớp các đoạn th ng trên trong hệ

toạ độ trực chu n xy .
Trong tiến trình thực hiện mô hình hoá các lớp đối tượng, quan hệ, người ta
s dụng các hoạt động tư duy như các dạng tr u tượng hoá di n ra trong toán
học: tr u tượng khái quát, tr u tương đồng nhất, tr u tượng lí tưởng, tr u tượng
khả hiện. hi xây dựng các mô hình Toán học người ta b qua các tính chất thứ
yếu của các đối tượng, các quan hệ điều quan trọng là toán học xuất phát t
thực ti n, tạo nên các mô hình toán học của hiện tượng sau đó quay về thể hiện
khả năng ứng dụng các kết quả thu được trên cơ sở nghiên cứu các mô hình này.
Các dạng tr u tượng khái quát, tr u tượng đồng nhất, tr u tượng lí tưởng
được ứng dụng khá rộng rãi trong việc dạy học hình thành các khái niệm, các
quy luật ở trường phổ thông và trường đại học ch ng hạn khái niệm số tự nhiên
được hình thành nhờ tr u tượng hoá sự đồng nhất người ta đồng nhất tất cả các
tập hợp h u hạn có cùng lực lượng theo quan hệ tương đương có cùng lực lượng
thành một lớp đ c trưng cho một số tự nhiên. iệc mở rộng các tập hợp số ở
trường đại học nhờ s dụng tr u tượng hoá sự đồng nhất.
Nh ng điều v a nêu trên có ý ngh a quan trọng với việc tạo môi trường,
2


chọn các đối tượng nhằm gợi động cơ, nhu cầu cho các hoạt động trí tuệ tìm tòi
các quy tắc, xây dựng các khái niệm Toán ở trường đại học và dạy Toán ở
trường phổ thông cũng t sự phân tích trên cho ph p kh ng định hoạt động mô
hình hoá các hiện tượng, quan hệ hiện thực khách quan là hoạt động đ c trưng
của nhận thức Toán học.
1.1.3. Một s

iến th

ơ


n

u n đi

hoạt động

iệc dạy học theo quan điểm của quan điểm hoạt động về m t lí luận và
thực hành đã được sáng t trong cuốn phương pháp dạy học môn toán của tác
giả Nguy n Bá im và bước đầu đã triển khai dạy học Toán ở trường phổ thông.
hi tiếp cận quan điểm hoạt động, sinh viên và giảng viên thường g p khó
khăn trong nhận thức về mối liên hệ biện chứng gi a các khái niệm: hoạt động
đối tượng của hoạt động động cơ và nhu cầu của hoạt động.
T góc độ Triết học - Tâm lí việc nắm v ng các khái niệm trên và mối
quan hệ gi a chúng là mấu chốt của việc nắm quan điểm hoạt động để t đó xác
định các năng lực tiếp cận quan điểm hoạt động cho sinh viên sư phạm.
+
ạ ộ là một quá trình thực hiện sự chuyển hoá l n nhau gi a hai
cực của chủ thể và khách thể. Nói như vậy có ngh a là hoạt động không hiểu đơn
thuần là phản ứng ho c tổ hợp các phản ứng mà hoạt động là một cơ cấu có tổ
chức, có chuyển hoá và biến đổi bên trong.
+
ạ ộ là cái đang sinh thành trong quan hệ sinh thành
của hoạt động và thông qua hoạt động của chủ thể. ới cách hiểu đối tượng hoạt
động như vậy chúng ta cần nhận thức đối tượng hoạt động không ch là các vật
chất cụ thể mà có thể là các đối tượng, các quan hệ tr u tượng cần được hình
dung, tu duy làm bộc lộ nó với tư cách là đối tượng mang tính nhu cầu.
+
ạ
ạ ộ cụ thể của học sinh, sinh viên trong dạy học Toán
được trình bày theo

bao gồm chủ yếu các hoạt động trí tuệ và các hoạt động
Toán học.
+
ấ
ạ ộ là tính đối tượng của hoạt động.
Trong dạy học Toán ở trường phổ thông và trường đại học đối tượng của hoạt
động là một họ các tình huống các sự vật, các kiến thức về các đối tượng, các
quan hệ, quy luật, …
Chúng ta xem x t mối quan hệ gi a chủ thể và đối tượng theo ba tính chất
đ c trưng sau đây:
- uan hệ gi a chủ thể và đối tượng không phải là quan hệ một chiều t
chủ thể tác động lên khách thể mà mối quan hệ đó thể hiện một cách tích cực t
hai phía.
- Trong hoạt động đối tượng được bộc lộ theo hoạt động của chủ thể và
3


thông qua hoạt động chủ thể xâm nhập vào đối tượng, sự phản ánh bằng tư duy
về các thuộc tính bản chất, các quan hệ bản chất của đối tượng.
- Trong hoạt động đối tượng có hai lần chuyển hoá: lúc đầu đối tượng tồn
tại độc lập với chủ thể sau đó đối tượng chuyển hóa thành hoạt động và hoạt
động chuyển hoá thành sản ph m của nó.
Ví dụ 1.1: cho sinh viên khảo sát bài toán cụ thể sau đây đã được chứng
minh bằng phương pháp vectơ: “Cho tam giác BC. ọi M, N, P là các điểm
AM BN CP
lần lượt thuộc các cạnh B, BC, C sao cho:
. Chứng minh


MB NC PA

rằng các tam giác BC và MNP có cùng trọng tâm”.
êu cầu sinh viên chứng minh bằng hình học thuần tuý không s dụng
vectơ.
hi đó đối tượng buộc sinh viên phải hoạt động là tiến hành một loạt các
hoạt động trí tuệ sau đây: xem hình
+
trung tuyến BD
+
D song song với BC
+
M song song với BC
+ ập luận chứng minh AH  CP và MH  BN nhờ hoạt động tổng hợp
giả thiết và s dụng định lí Tal t.
+ ập luận chứng minh DH  DP và t tính chất đường trung bình của tam
giác PM suy ra là trung điểm của MP; hay N là trung tuyến của tam
giác MNP.
+ Chứng minh các tam giác BN và tam giác D đồng dạng để suy
GK GD KD KD 1
ra



 . T đó suy ra điều phải chứng minh.
GN GB BN MH 2
T kết quả hoạt động trên cho thấy hoạt động của sinh viên đã biến đổi các
đối tượng, các quan hệ kết quả của sự phản ánh tâm
A
lí, nhận thức toán học thu được sản ph m mới. Đó là
M
một phương pháp mới cho một bài toán ít người chú ý

H
đến cách giải nói trên.
D
K
Thông qua ví dụ trên cho thấy: đối tượng chuyển
hoá thành hoạt động và hoạt động chuyển hoá thành
sản ph m của nó.
1.2. Một s
i n h
n luy n n ng l
u n đi
hoạt động cho sinh viên sư hạ
4

theo
o n

G

P

C

B
N

Hình 1


n luy n n ng l


1.2.1.

tư uy ho h c

n luyện năng lực nêu trên nhằm bồi dưỡng tiềm năng hoạt động tìm tòi
kiến thức, tập duyệt nghiên cứu khoa học, đáp ứng nhu cầu tự học.
Các thành tố của năng lực nêu trên bao gồm:
- Năng lực phán đoán, nắm các dạng phán đoán năng lực mô tả, so sánh,
phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, tr u tượng hoá, mô hình hoá.
- Năng lực xây dựng các khái niệm, các quy tắc định ngh a khái niệm.
- Năng lực vận dụng các quy tắc suy luận trong nghiên cứu Toán.
- Năng lực vận dụng ph p biện chứng của tư duy Toán học.
- Năng lực kết hợp quy nạp và suy di n trong nghiên cứu Toán.
- Năng lực xây dựng và kiểm chứng các giả thuyết.
ụ 1.2: iệc nghiên cứu tích các ph p dời hình trong m t ph ng hay
trong không gian có thể dùng làm phương tiện hình thành khái niệm nhóm cho
sinh viên theo con đường quy nạp như sau:
Trong m t ph ng P cho hai đường th ng a, b cắt nhau và không vuông
góc. êu cầu sinh viên:
 Xác định ph p dời hình trong P biến c p đường th ng a,b thành chính
nó tập hợp các ph p đó gồm:  e;Đ0 ;Đ1;Đ2 
- Chứng t tích của hai ph p bất kí trong tập A  e;Đ0 ;Đ1;Đ2  lại
thuộc . xem hình
- Chứng t tích các ph p dời hình trong có tính kết hợp.
- Các phần t nghịch đảo của m i ph p trong thuộc .
- e là phần t đơn vị.
hi đó tập

với ph p toán tích các ph p dời trên lập thành nhóm.


 Sau đó cho sinh viên khảo sát thêm tập các ph p quay tâm
giác đều biến m – giác đều thành chính nó:
- Các ph p quay trên có dạng: Q  O;K  , kí

của m –

hiệu QOk
k 

2k
với k   0,1,2,3,...,m  1
m

QOk 1 khi k  1  m

- hi đó tích Q .Q   k 1m
khi k  1  m

Q O
- êu cầu học sinh khảo sát tính kết hợp, xác định đơn vị; phần t nghịch
đảo t đó tập các ph p quay với phép toán tích nêu trên lập thành một nhóm.
l
O

k
O

5





êu cầu sinh viên d n tới khái niệm nhóm tổng quát.

1.2.2. n luy n n ng l
h t hi n
đ i tư ng
trong hoạt động t kiếm iến th hư ng o

h n ng g i động ơ
ti u đ o tạo

Theo t ng mục tiêu giáo dục Toán học và r n luyện tay nghề cho sinh viên,
năng lực nêu trên nhằm vào các hoạt động tìm kiếm, hoạt động tự học, tự nghiên
cứu Toán.
Để bồi dưỡng năng lực nghiên cứu và dạy học Toán cần chú ý rằng các đối
tượng đòi h i sinh viên tạo ra cần đáp ứng nhu cầu nào đó của mục tiêu giáo dục
sinh viên sinh viên cần cụ thể hoá các nhu cầu v mô thành nhu cầu vi mô mang
tính đối tượng ch d n hoạt động cụ thể.
Tu thuộc vào việc lựa chọn đối tượng chúng ta có nh ng hoạt động
tương thích với nội dung, phương pháp như tác giả Nguy n Bá im đã trình bày
trong [1].
ụ 1.3: uất phát t bài toán sau: “ ua các đ nh của tam giác BC v
các đường th ng a, b, c lần lượt song song với các cạnh BC, C , B các c p
đường th ng  a;b  ,  b;c  ,  c;a  lần lượt cắt
nhau tại M, N, P. Chứng minh rằng , B, C là
các trung điểm của các cạnh PM, MN, NP của
tam giác MNP”. xem hình 3
T nhu cầu r n luyện năng lực bồi dưỡng

học sinh gi i ở trường phổ thông chúng ta có thể
hướng sinh viên x t bài toán tương tự trong
không gian và giải bài toán tương tự đó. hi đó
sinh viên cần tư duy ra đối tượng tương tự đối
tượng trên cho hoạt động. Đối tượng đó được di n đạt bởi bài toán sau: “Cho tứ
diện BCD, qua các đ nh , B, C, D v các m t ph ng  R  ,    ,  ,    lần
lượt song song với các m t đối diện với các đ nh , B, C, D của tứ diện BCD.
Các m t ph ng  R  ,    ,  ,    đôi một cắt nhau tạo tành tứ diện MNP hình
. Chứng minh rằng trọng tâm của các m t tứ diện MNP
D”.

6

lần lượt là

, B, C,


hi giải bài toán trên sinh viên cần tiến hành các hoạt động:
- ác định hình theo các quy tắc để chứng t m t ph ng BD cắt các m t
P M, PMN, PN theo các giao tuyến , ,
lần lượt qua B, D, và song
song với M, MN, N .
- ập luận chứng minh , ,
lần lượt song song với M, MN, N .
- Nhờ hoạt động so sánh với bài toán ph ng và tương tự suy ra B, D, lần
lượt là trung điểm của các cạnh , ,
của tam giác
.
- ập luận chứng minh PB, PD, P đi qua trung điểm , , các cạnh M,

MN, NQ.
- Nhờ hoạt động tương tự suy ra các trung tuyến của các m t PMN, PN ,
MN cắt nhau tại B, D, , C xem hình
1.2.3. n luy n n ng l
th ng t
t ư ng h

nắ c
h i ni
i ng đến t ư ng h

u nh
t ng u t

o nh

th o h

iệc r n luyện năng lực này cho ph p các sinh viên có ý thức thiết lập mối
liên hệ các kiến thức khái quát, tr u tượng được trang bị ở đại học với kiến thức
riêng r học ở phổ thông t đó giúp sinh viên có được khả năng định hướng giải
quyết vấn đề và chuyển tải sang ngôn ng phổ thông.
Có thể xem x t các ví dụ sau đây để làm sáng t điều nói trên:
ụ
: Các khái niệm đoạn th ng, tam giác, tứ diện là các thể hiện của
m - đơn hình trong không gian n chiều.
ụ 1.5: Nhiều tính chất của đường th ng, m t ph ng trong các tính chất
của hình bình hành, hình hộp tương tự nhau vì chúng tương ứng là các trường
hợp riêng của m - ph ng m - hộp trong không gian in n chiều.
T nh ng ví dụ trên cho thấy cách thức trang bị cho sinh viên khả năng lợi

7


dụng các tình huống gợi động cơ giúp học sinh phổ thông phát triển các vấn đề
Toán học nói chung với cách chọn các đối tượng, quan hệ trong trường hợp
riêng để tập duyệt cho học sinh hoạt động khái quát hoá, tổng quát hoá.
Ngoài các năng lực kể trên, chúng tôi quan tâm r n luyện cho sinh viên các
năng lực hoạt động chu n bị tri thức và thực hành nghề nghiệp như:
1.2.4. n luy n n ng l
h t hi n iến th

t

h

ho h

sinh h th ng hoạt động t

t i

Năng lực nêu trên thể hiện qua các thành tố sau đây:
- Biết lựa chọn các tình huống, các tri thức về các đối tượng, các quy luật,
các phương pháp để học sinh tư duy, hình dung làm bộc lộ động cơ hoạt động
của đối tượng mang tính nhu cầu.
- Biết điều khiển học sinh lựa chọn các hoạt động trí tuệ, hoạt động toán
học, bằng con đường quy nạp, mô hình hoá để rút ra các tính chất chung, các
quy luật, các phương pháp mới.
- Biết đánh giá các tri thức và hoạt động, các sản ph m hoạt động của học
sinh.

Có thể làm sáng t nh ng thành tố hoạt động nói trên thông qua các ví dụ
sau:
a c ac
 
; b,d  0
b d bd
chúng ta có thể lựa chọn các tình huống sau đây nhằm để học sinh hoạt động
phân tích, so sánh, tổng hợp, t đó rút ra quy tắc chung:

ụ 1.6: Để hình thành quy tắc nhân hai phân số

- Tìm

3
4
của :
5
7

+ Giáo viên hướng d n cho học sinh biểu di n phân số
+ Sau đó biểu thị
+ T đó suy ra
Ta nói rằng

4
20
bằng
;
7
35


20 4
4
4
4
4
     ,
35 35 35 35 35 35

3
4
4
4 12
4
của
bằng
.
 

5
35 35 35 35
7

12
3
3 4 3  4 12
4
là kết quả của tích với và viết  
 .
35

5
5 7 5  7 35
7

- Tìm diện tích của một hình ch nhật có chiều rộng bằng
8

2
m , chiều dài
5


3
m.
4
+ iáo viên hướng d n học sinh phân chia một cạnh hình ch nhật thành
năm phần bằng nhau, cạnh kia thành bốn phần bằng nhau. T các điểm chia v
các đường th ng song song với các cạnh hình ch nhật, các đường th ng song
song này cắt nhau tạo thành
ô ch nhật, khi đó diện tích hình ch nhật chiếm
6 2
ô ta nói rằng diện tích hình ch nhật bằng
m .
20
2 3 23 6
Ta nói rằng tích của hai phân số  
.

5 4 5  4 20


bằng

Thông qua ví dụ 1.6 nêu trên để học sinh khái quát nêu các quy tắc tổng
quát.
1.2.5. n luy n n ng l kh i th ti
ở ộng iến th
hu n n ng

n ng s h gi o ho

h tt i n

iệc bồi dưỡng năng lực khai thác tiềm năng sách giáo khoa được cụ thể
hoá qua việc khai thác các ứng dụng của các khái niệm, các định lí, mở rộng các
dạng toán phổ thông nhờ vận dụng các ph p biện chứng của tư duy toán học,
đ c biệt chú trọng vận dụng mối quan hệ gi a cái chung và cái riêng, mối quan
hệ nhân quả, quy luật lượng đổi - chất đổi xem x t sự vật trong trạng thái vận
động và phát triển. Có thể tham khảo ý tưởng này trong
và 3 .
Ngoài nh ng năng lực nói trên, vấn đề tiếp cận quan điểmhoạt động có
hiệu quả hơn nếu được quan tâm chi tiết các biện pháp r n luyện các năng lực
nói trên.
1.3. Vận

ng u n đi

hoạt động t ong ạy h

o n


Theo Nguy n Bá Kim [1], có thể nói vắn tắt về quan điểm hoạt động
trong dạy học là: tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác, tích cực, sáng tạo. Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học là
động cơ hoạt động, các hoạt động và hoạt động thành phần, tri thức trong hoạt
động, phân bậc hoạt động.
Định hướng hoạt động hóa người học thực chất là làm tốt mối quan hệ
gi a ba thành phần: mục đích, nội dung và phương pháp dạy học. Bởi vì:
- Hoạt động của học sinh v a thể hiện mục đích dạy học, v a thể hiện con
đường đạt mục đích và cách thức kiểm tra việc đạt mục đích.
- Hoạt động của học sinh thể hiện sự thống nhất của nh ng mục đích
thành phần (4 phương diện: tri thức bộ môn, k năng bộ môn, năng lực trí tuệ
9


chung và ph m chất, tư tưởng, đạo đức, th m m , theo 3 m t: tri thức, k năng,
thái độ).
Định hướng hoạt động hóa người học bao hàm một loạt nh ng ý tưởng
lớn đ c trưng cho các phương pháp dạy học hiện đại:
- Xác lập vị trí chủ thể của người học.
- Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
- Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo.
- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của người học.
Trong dạy học, m i hoạt động có thể có một hay nhiều chức năng, có thể
là tạo điền đề xuất phát, có thể là làm việc với nội dung mới, có thể là củng cố....
Nh ng hoạt động như: phát hiện và s a ch a sai lầm cho học sinh, vận dụng
Toán học vào thực ti n là nh ng hoạt động rất đáng lưu ý.
M i nội dung dạy học đều liên hệ với nh ng hoạt động nhất định, đó là
các hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành ho c vận dụng nội dung
đó.
Nội dung dạy học môn Toán thường liên quan đến các dạng hoạt động

sau:
- Nhận dạng và thể hiện một khái niệm, một phương pháp, một quy tắc,
một định lí.
- Nh ng hoạt động toán học phức tạp: chứng minh, định ngh a, giải toán
bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán qu tích…
- Nh ng hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học: lật ngược vấn đề; xét
tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất), phân chia
trường hợp…
- Nh ng hoạt động trí tuệ chung: phân tích; tổng hợp so sánh x t tương
tự; tr u tượng hoá khái quát hoá.…
- Nh ng hoạt động ngôn ng : khi yêu cầu học sinh phát biểu, giải thích một
định ngh a, trình bày lời giải một bài toán.…
Chúng ta có thể vận dụng quan điểm hoạt động để gợi vấn đề, phát hiện và
giải quyết vấn đề, trang bị, củng cố, đào sâu, mở rộng tri thức, rèn luyện các
hoạt động trí tuệ, phát triển tư duy, r n luyện k năng, bồi dưỡng năng lực, ph m
chất cho học sinh. Nhiều dạng hoạt động có thể khai thác để rèn luyện cho học
sinh, như: tìm tòi, dự kiến, kiểm nghiệm, lật ngược vấn đề, nhận dạng, thể hiện,
10


ngôn ng , chứng minh, khắc phục s a ch a sai lầm,...
Sau đây là một số ví dụ vận dụng quan điểm hoạt động trong các tình
huống dạy học điển hình môn Toán ở trường phổ thông dạy học khái niệm dạy
học định lí dạy học quy tắc, thuật giải dạy học giải bài tập Toán học
ụ .7: Dạy học số vô t Đại số 7)
Theo quan điểm hoạt động, thay cho việc ch thông báo tri thức cho học
sinh, giáo viên hãy thiết kế nh ng hoạt động để qua đó học sinh tự có được
nh ng tri thức đó. Ch ng hạn, thay vì thông báo với học sinh rằng "các số vô t
nhiều vô hạn, các số vô t dày đ c trên trục số" giáo viên có thể tạo ra nh ng tình
huống để học sinh hoạt động như sau:

Cách 1: Dựa vào các số tự nhiên.
- m có thể đếm hết được các số tự nhiên k hay không?
- Các số có dạng k 2 là số h u t hay vô t ?
- m có thể đếm hết được các số vô t có dạng k 2 hay không?
- ung quanh số nguyên z nào đó có bao nhiêu số vô t có dạng z +

2
?
k

Cách 2: Dựa vào biến đổi số.

2
2
và
có thể kể ra nh ng số vô t nào không? học sinh
2
3
không d dàng trả lời được câu h i này
- i a hai số

20 2
30 2
và
có thể kể ra nh ng số vô t nào không? hai số
60
60
này cũng chính là hai số ở trên, nhưng học sinh có thể d dàng kể ra được các số

- i a hai số


21 2 22 2
29 2
)
,
,...,
60
60
60
2000 2
3000 2
và
có thể kể ra nh ng số vô t nào
6000
6000
không? cũng là hai số ở trên, nhưng có thể kể ra được nhiều số hơn

-

i a hai số

Theo cách này ta có thể kể ra rất nhiều số vô t xen gi a hai số

2
2
và
.
2
3


Cách 3: Dựa vào số trung bình cộng.
- Trung bình cộng q1 của một số h u t p và một số vô t q là một số h u t
hay vô t ?
11


- Trung bình cộng q2 của p và q1 là một số h u t hay vô t ?
- i a số h u t p và số vô t q có bao nhiêu số vô t ?
ụ 1.8: Dạy học số phức

iải tích

hó có thể cho học sinh tin được là có số ảo, tức là số mà bình phương của
nó bằng 1 . Cách làm sau đây phần nào giúp học sinh có cảm nhận trực giác
về số ảo.
ãy thực hiện một "trò chơi" như sau:
Trên tập hợp số nguyên, x t số dư của ph p chia các số cho 5, ta thấy:
chia cho 5 dư ,
chia cho 5 cũng dư , trong trường hợp này ta nói: 6, 11, 1
cho kết quả như nhau. Nói vắn tắt là "bằng" ,
"bằng" . ãy đưa ra một
vài số "bằng nhau" theo kiểu như thế.
Có một cách làm khác: hai số "bằng nhau" theo kiểu như thế nếu như hiệu
của chúng chia hết cho 5. Ch ng hạn 7 "bằng" ,
"bằng" . Tương tự ta có 7
"bằng" 3 , 8 "bằng" 2 . ãy đưa ra một vài số "bằng nhau" theo kiểu như
thế.
Thực hiện các ph p toán theo kiểu như thế ta được, 3 + "bằng" 3 ), 2.4
"bằng" ( 2 , . "bằng" 1 , tức là bình phương "bằng" 1 . Tương tự 3
bình phương "bằng" 1 ).

Như vậy, theo quan niệm "bằng nhau" trong "trò chơi" này, ta có bình
phương của một số bằng 1).
Một cách khác: Ph p đối xứng qua gốc tọa độ biến một điểm a ) trên
trục tọa độ thành điểm a nên người ta có thể kí hiệu ph p đối xứng tâm O là
ph p biến hình 1 . Nếu ta kí hiệu g là tích của hai ph p biến hình và g, tức
là thực hiện liên tiếp ph p biến hình , rồi ph p biến hình g thì 2 là tích hai phép

biến hình và . hi là ph p quay tâm , góc quay , ta có f2 = ( 1 ).
2
ụ 1.9: Dạy học định lí về trường hợp đồng dạng thứ nhất của hai tam
ỉ
ồ
ạ
”
ình

giác “
học 8 .

Các phương tiện dạy học cần dùng là: máy vi tính, máy chiếu projector, bút
dạ cho nhóm, thước kẻ, compa.
Các hoạt động có thể thiết kế như sau.
ạ
12

ộ

iểm tra bài cũ, gợi vấn đề



- Nhắc lại định ngh a hai tam giác đồng dạng.
- Trên màn hình có ba tam giác:  BC có các cạnh bằng
3
cm
MN có các cạnh bằng
8 cm và  P có các cạnh bằng
9 cm ,
yêu cầu học sinh phát hiện xem  BC đồng dạng với tam giác nào trong hai
tam giác còn lại học sinh phát hiện dựa trên cảm giác, chưa có cơ sở để giải
thích).
- Vì sao  BC không đồng dạng với EPQ?
ạ

ộ

Tiếp cận định lí về trường hợp đồng dạng thứ nhất.

Chia thành t ng nhóm học sinh ch ng hạn m i bàn là một nhóm thực hiện
các công việc việc sau:
- Dùng thước kẻ và compa v trên giấy nháp hai tam giác
đã cho trên màn hình.

BC, MN như

- ãy tạo nên một tam giác M'N' ' đồng dạng với tam giác MN
một cạnh bằng .

và có

- ãy nhận x t về hình dạng của hai tam giác BC và MN .

lại hình và viết kết quả trên giấy trong để giáo viên chiếu hắt lên màn
hình và lần lượt nhận x t đúng sai cho t ng nhóm.
ạ

ộ

Tương tự và khái quát hóa

- Tương tự,  BC có các cạnh bằng 3
5 cm và  'B'C' có các cạnh
bằng 9
5 cm có đồng dạng với nhau hay không?
- Như vậy, chúng ta không cần đo góc cũng có cách nhận biết được hai tam
giác đồng dạng. Ở đây ta nhận biết được hai tam giác BC và MN đồng dạng
dựa vào dấu hiệu nào? các cạnh t lệ .
- Đọc định lí trong S
và chiếu nội dung định lí cùng hình v hai tam
giác ABC, A'B'C' lên màn hình.
ạ

ộ

Thảo luận và chứng minh định lí

iáo viên phát giấy trong cho t ng nhóm, có v sẵn hai tam giác BC,
AB
AC
BC
'B'C' có các cạnh th a mãn
cạnh của tam giác BC dài



A'B' A'C' B'C'
hơn cạnh của tam giác 'B'C' , để các em thảo luận và trình bày chứng minh.
-

- Chọn một nhóm đã làm đúng trình bày.
- Chú ý: nếu cạnh của tam giác BC ngắn hơn cạnh của tam giác 'B'C' thì
sao?
13


- Dấu hiệu đồng dạng này tương tự dấu hiệu nào nhận biết hai tam giác
bằng nhau?
ạ

ộ

Củng cố định lí

- Bài áp dụng
- Hãy gập sợi dây th p dài 55cm thành tam giác đồng dạng với tam giác
BC ở trên.
- Thi đua gi a các nhóm: Cho tam giác thứ nhất có các cạnh bằng : 3: 4
(cm), tam giác thứ hai có một cạnh bằng cm. Tìm độ dài hai cạnh của tam
giác thứ hai để hai tam giác này đồng dạng với nhau.
Sau ít phút nhóm nào tìm được đúng nhiều c p giá trị của hai cạnh kia hơn
thì nhóm đó thắng, ch ng hạn: 8
ho c 8
ho c 9.

Như vậy, ta đã thiết kế dạy học định lí bằng con đường quy nạp t hai
trường hợp cụ thể mà khái quát thành định lí , kết hợp gi a phương pháp dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề với hợp tác nhóm, có ứng dụng thực ti n, s
dụng công nghệ thông tin h trợ dạy học, phát huy được tính tích cực, chủ
động học tập của học sinh.
ụ 1.10: Dạy học quy tắc nhân hai phân thức đại số Đại số 8 .
Nội dung bài này gồm quy tắc và tính chất ph p toán nhân hai phân thức
đại số. Thay vì học sinh phải th a nhận tất cả, như S
đã trình bày, giáo viên
có thể tạo ra các hoạt động phù hợp với nhận thức của các em, để nh ng điều
phải th a nhận này không trở thành khiên cưỡng.
ạ

ộ

iểm tra bài cũ

- Phát biểu quy tắc nhân hai phân số và viết công thức tổng quát.
- iết công thức tổng quát minh hoạ các tính chất của ph p nhân hai phân
số giao hoán, kết hợp, nhân với , phân phối .
- Trong trường hợp phân số có t số và m u số có thể phân tích thành nhân
a c.m
t , trong đó có nhân t chung, ch ng hạn 
, ta có thể rút gọn như thế
b d.m
nào?
ạ

ộ


Tiếp cận vấn đề

- Một khu đất hình ch nhật có chiều dài x dm , x >
2
chiều dài.
3

14

chiều rộng bằng


a Tính chiều rộng của khu đất theo x theo đơn vị m t
b Tính diện tích của khu đất theo x theo đơn vị m2.
L
Chiều dài của khu đất là x dm =

2 x
x
(m).
. 
3 10 15

Chiều rộng của khu đất là
Diện tích khu đất là

x
(m).
10


Shcn 

x x
x.x
x2
. 

10 15 10.15 150

m 
2

Thực ti n cho thấy, tuy học sinh chưa học ph p nhân hai phân thức đại số
nhưng học sinh v n thực hiện được ph p tính này một các tự nhiên, tương tự
ph p nhân hai phân số.
- iáo viên kết luận: Nhân hai phân thức đại số tương tự như nhân hai
phân số. ậy, muốn nhân hai phân thức đại số, ta làm thế nào?
- Ta có quy tắc

A C A.C
.
. 
B D B.D

- Phát biểu quy tắc S
ạ ộ
đổi, thảo luận .

.


ận dụng có thể chia nhóm để học sinh có điều kiện trao

- Thực hiện ph p tính:

2x
4x 2
3x 2 x 2  25
A = (  ).(  5 ); B =
.
.
5y
7y
x  5 6x 3
- ời giải trong phép tính B có gì khác so với lời giải trong ph p tính ?
- T bài toán trên, hãy nêu các bước thực hiện ph p nhân hai phân thức?
ạ

ộ

Mở rộng tính chất ph p toán.

- iệu các tính chất của ph p nhân hai phân số đã nhắc lại ở trên còn đúng
hay không đối với ph p nhân hai phân thức đại số. ãy kiểm nghiệm các tính
y
x y
chất này bằng một số phân thức đại số cụ thể, ch ng hạn: ,
và 2 . M i
x
y x
nhóm kiểm nghiệm một trong các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán:

A C C A
. = . ;
B D D B

15


A C E A C E
 .  .  . . 
 B D F B D F

+ Tính chất kết hợp:
+ Tính chất nhân với :

A
A A
.1 = 1. = ;
B
B B

+ Tính chất phân phối của ph p nhân đối với ph p cộng:
A C E A C A E
.    .  .
B D F B D B F

- p dụng: Tính nhanh giá trị của biểu thức sau S

, tr 5 :


3x 5  5x 3  1
x 4  7x 2  2
x
N= 4
.
.
x  7x 2  2 2x  3 3x 5  5x 3  1

oạt động 5. Củng cố có thể dùng hình thức thi trả lời câu trắc nghiệm theo
nhóm).
tròn

ụ 1.11: uyện tập về phương trình đường th ng và phương trình đường
ình học

Sau khi học sinh lớp
học xong phương trình đường th ng và phương
trình đường tròn trong m t ph ng, giáo viên có thể khai thác được nhiều dạng
toán về tương giao của đường th ng và đường tròn trong m t ph ng.
Có thể khai thác, đưa ra nh ng dạng bài toán sau:
Trong m t ph ng tọa độ xy cho đường th ng có phương trình
3x  4y  m  0 D và đường tròn có phương trình x 2  y2  25 (C).
- Tìm m để D đi qua tâm đường tròn C .
- Tìm m để D tiếp xúc với C .
- Tìm m để D cắt C tại hai điểm , B sao cho đoạn B dài nhất.
- Tìm m để D cắt C tại hai điểm , B sao cho đoạn B = .
- iết phương trình đường th ng vuông góc với D và tiếp xúc với C .
- iết phương trình đường th ng vuông góc với D và tiếp xúc với C cắt
C tại hai điểm , B sao cho đoạn B = 8.

- hi D tiếp xúc với C tính diện tích tam giác tạo bởi D và hai trục tọa
độ.

16


CÂU HỎI ÔN T

C ƯƠN

1. Trình bày nh ng hiểu biết của anh (chị) về quan điểm hoạt động.
2. Trình bày các năng lực để bồi dưỡng cho sinh viên về quan điểm hoạt
động trong nghiên cứu và dạy học Toán? Cho ví dụ minh họa.
3. Sơ lược về các dạng hoạt động phổ biến trong môn Toán? Cho ví dụ
minh họa.
4. Thiết kế bài soạn về một nội dung định ngh a, định lý hay giải bài toán)
có vận dụng quan điểm hoạt động?

17


I LIỆU
1. Nguy n Bá im
Sư phạm.

.

AM
ạ


N B Đại học

. Bùi ăn Nghị (2009). V n dụng lí lu n vào th c tiễn dạy h c môn Toán
ng Ph thông. N B Đại học Sư phạm.
3. Đào Tam,

ạ

ộ
Tạp chí

iáo

dục, số 39 kì - 6/2006), tr.30,31.
4. Đào Tam,
học và Tuổi trẻ, số 3 3 tháng 9

, Tạp chí Toán
7 , tr. 3, , 5.

5. A.N. Lêônchiep (1989). H ạ
ạ
T

18

ộ

cách, NXB Giáo dục.


6. . a. ilenkin, . Đunhitrev và các tác giả khác (1980),
thông, Matxcơva. NB
iáo dục.
7. Iu. M. Koliagin và các tác giả khác 978 ,
, Matxcơva, NB
iáo dục.

g ạ


Chương 2. IẾ C N QUAN ĐIỂM
V
C
N

IẾN
C

N
N

N

I NC U

uan điểm kiến tạo là quan điểm về sự nhận thức được bắt nguồn t tư
tưởng của Jean Piaget (1896-1980) - nhà tâm lí học, sinh học người Thụy S . Tư
tưởng cốt lõi của quan điểm kiến tạo là: tri thức được xuất hiện thông qua việc
chủ thể nhận thức tự cấu trúc vào hệ thống bên trong của mình, tri thức mang
tính chủ quan.

Với việc nhấn mạnh vai trò chủ thể nhận thức trong việc giải thích và kiến
tạo tri thức, quan điểm kiến tạo thuộc quan điểm chủ thể. Cần tổ chức sự tương
tác gi a người học và đối tượng học tập, để giúp người học xây dựng thông tin
mới vào cấu trúc tư duy của chính mình, đã được chủ thể điều ch nh. Học không
ch là khám phá mà còn là sự giải thích, cấu trúc mới tri thức.
2.1. Cơ sở lí luận
.1.1.

h i ni

iến tạo

Theo ngh a t điển: Kiến tạo có ngh a là xây dựng nên một cái gì đó.
Kiến tạo ở tài liệu này được hiểu là ch hoạt động của con người tác động
lên đối tượng, hiện tượng, quan hệ nhằm mục đích hiểu chúng và s dụng chúng
như nh ng công cụ để xây dựng nên các đối tượng, các hiện tượng, các quan hệ
mới hơn.
.1. . Qu n đi

iến tạo t ong ạy h

Theo Jean Piaget, nhận thức của con người là quá trình thích ứng với môi
trường qua hai hoạt động ồ
u ti t; tri thức không phải truyền thụ t
người biết tới người không biết, mà tri thức được chính chủ thể xây dựng, thông
qua hoạt động. Ông cho rằng, nh ng ý tưởng cần được trẻ em tạo nên chứ không
phải tìm thấy như một viên s i ho c nhận được t tay người khác như một món
quà; trẻ em tập đi bằng cách đi, chứ không phải bằng cách được dạy nh ng quy
tắc để đi.
Quá trình học sinh vận dụng nh ng tri thức đã có, không phải tổ chức lại,

cấu trúc lại nh ng tri thức đó, để nhận thức hay giải quyết vấn đề được gọi là
quá trình đồng hóa. Nếu trong quá trình đồng hóa, nh ng tri thức đã có của học
sinh t ra chưa đủ để nhận thức, chưa đủ để giải quyết vấn đề mới, cần phải có
sự thay đổi, điều ch nh, phải tổ chức lại, cấu trúc lại nh ng tri thức đó, có khi
phải đưa ra quan niệm mới, cách giải quyết mới... thì xem như là sự điều tiết.
Ví dụ 2.1: Chúng ta có thể quan niệm: hai hình ph ng được gọi là bằng
nhau nếu có thể đ t chúng “trùng khít” lên nhau. Nhưng không thể dùng quan
19