Cập nhật đề thi mới nhất tại />
SỞ GD VÀ ĐT TỈNH
LAI CHÂU

Câu 1:

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: TOÁN 12
(Thời gian làm bài 180 phút)

( 6, 0 điểm).
a. Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 có đồ thị là  Cm  . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
b. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên





thỏa mãn f x3  2 x  2  2 x  1 . Tính tích phân

10

I   f  x  dx .
1

Câu 2:

c. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25x  2.10 x  m 2 4 x  0 có hai nghiệm
trái dấu.

( 4, 0 điểm).

a) Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Hình chiếu vuông góc của
A lên  ABCD  là trọng tâm tam giác ABD . Biết AB  a ; ABC  120 ; AA  a . Tính thể

tích khối lăng trụ ABCD.ABCD theo a .
b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

  : x  y  z  3  0

x3 y 3 z

 , mặt phẳng
1
3
2

và điểm A 1; 2; 1 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi

qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng   .

Câu 3:
Câu 4:

Câu 5.

x 2  2y 2  x  y  6  3xy
( 4, 0 điểm).Giải hệ phương trình:  3
2
x  2x  y  2x  3  4 1  2y

( 3 điểm) Cho các số thực không âm a , b, c thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
P  ab  3ac  5bc .
( 3 điểm) Có 20 người xếp thành 1 vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho
không có 2 người kề nhau được chọn

HẾT

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 1/6 - Mã đề thi 132


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
CÁC GIÁO VIÊN THAM GIA GIẢI
1.

LÊ ĐỨC ANH

2.

LÊ THANH BÌNH

3.

MỘT THẾ GIỚI

4.

PHẠM TIẾN HÙNG


5.

LÊ MINH

6.

HOÀNG MINH QUÂN

Câu 1:

( 6, 0 điểm).
d. Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 có đồ thị là  Cm  . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
e. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên





thỏa mãn f x3  2 x  2  2 x  1 . Tính tích phân

10

I   f  x  dx .
1

f.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25x  2.10 x  m 2 4 x  0 có hai nghiệm

trái dấu.

Lời giải
a. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x  mx 2  m  1  0   x 2  1 x 2  m  1  0
4

 x2 1  0
 x  1
 2
.
 2
 x  m 1
x  m 1  0
m  1
m  1  0

.
m  2
m  1  1

Do đó yêu cầu bài toán  



 
 

 2  f  x  2 x  2   6 x  3x  4 x  2

b. Ta có 3x 2  2 f x3  2 x  2  3x 2  2  2 x  1


  3x 2

3

3

2

2

2

   3x  2  f  x  2 x  2  dx    6 x3  3x 2  4 x  2  dx .
2

3

1

1

2

Ta có:


1

2


Xét

2

135
3

.
6 x  3x  4 x  2 dx   x 4  x3  2 x 2  2 x  
4
2
1
3

  3x

2



2

 2  f  x3  2 x  2  dx .

1

3
Đặt x  2 x  2  t 


2

10

10

1

1

1

2
3
 3x  2 f  x  2x  2 dx   f  t  dt 

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

 f  x  dx .
Trang 2/6 - Mã đề thi 132


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Vậy I 

135
4
x

5
c. Chia cả hai vế của phương trình cho 4 và đặt    t , t  0 .

2
Ta có phương trình : f  t   t 2  2t  m2  0 . Khi đó yêu cầu bài toán tương đương tìm các giá
x

trị thực của m để phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn :

0  t1  1  t2 .

 f 1  0

Khi đó ta có hệ sau  S  0

P  0


m2  1  0
1  m  1
.
 
 2
m  0
m  0

1  m  1
.
m  0

Vậy 

Chú ý: ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số f  t  trên tập  0;   cũng cho ta kết quả như

trên.

Câu 2.

a) Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Hình chiếu vuông góc của
A lên  ABCD  là trọng tâm tam giác ABD . Biết AB  a ; ABC  120 ; AA  a . Tính thể

tích khối lăng trụ ABCD.ABCD theo a .
b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

  : x  y  z  3  0

x3 y 3 z

 , mặt phẳng
1
3
2

và điểm A 1; 2; 1 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi

qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng   .
Lời giải
a)
A'

D'

B'


C'
a

A
a

D
G

B

C

ABCD là hình thoi cạnh a ; ABC  120  ABD đều cạnh a có trọng tâm G

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 3/6 - Mã đề thi 132


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
2 a 3 a 3
.
 AG  .

3 2
3
Theo giả thiết: AG   ABCD   AG  AG  AG  AA2  AG 2  a 2 

S ABCD  2S ABD  2.


a2 a 2
.

3
3

a 2 a 2 3 a3
a2 3 a2 3
. Vậy VABCD. ABCD  AG.S ABCD 
.

.

4
2
2
3
2

x  3  t

b) Phương trình tham số của d :  y  3  3t ;   có véc tơ pháp tuyến n  1;1; 1 .
 z  2t

Giả sử   d  M  3  t;3  3t; 2t   AM   t  2;3t  1; 2t  1 là véc tơ chỉ phương của  .
Vì  song song với mặt phẳng   nên

AM .n  0  t  2  3t  1  2t 1  0  2t  2  0  t  1 .
 AM  1; 2; 1 . Vậy phương trình đường thẳng  :


Câu 3:

Giải hệ phương trình:

x 1 y  2 z 1


.
1
2
1

x 2  2y 2  x  y  6  3xy
 3
2
x  2x  y  2x  3  4 1  2y
Lời giải

3

x  2
ĐKXĐ: 
.
1
y 

2
x 3


y
x  2y  3


Ta có: x  2y  x  y  6  3xy  x  1  3y  x  2y  y  6  0  
2

x  y  2
y  x  2
x 3
TH1: y 
thay vào phương trình x 3  2x 2  y  2x  3  4 1  2y ta được:
2
x 3
x 3  2x 2 
 2x  3  4 x  2  0 1 .
2
2

2

2

2

3

x 
Do ĐKXĐ của 1 là: 
2 nên 1 vô nghiệm.

x  2
TH2: y  x  2 thay vào phương trình x 3  2x 2  y  2x  3  4 1  2y ta được:
x 3  2x 2  x  2x  3  4 5  2x  2  0

 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 4/6 - Mã đề thi 132


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
3

x


2.
ĐKXĐ của  2  là: 
5
x 

2
Khi đó:
x 3  2x 2  x  2x  3  4 5  2x  2  0  x 2 x  2  x  2 
 x 2 x  2   x  2  

2x  4

2x  3  1 1  4 5  2x 




2x  4
4

5  2x


2
2
  x  2  x 2  1 

2

2x  3  1 1  4 5  2x  4 5  2x 

 x  2 ( thỏa mãn điều kiện)  y  0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:  x ; y    2;0  .



Câu 4:



 

 


2



 



2x  3  1  1  4 5  2x  0
4

5  2x



3

0


0
3
4
5  2x 




( 3 điểm)
Cho các số thực không âm a , b, c thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  ab  3ac  5bc .
Lời giải
Ta chứng minh P 

5
.
4

Cách 1.
Thật vậy P 

5
5
 ab  3ac  5bc  (a  b  c ) 2
4
4
2
2
 5(a  b  c 2  2ab  2ac  2bc)  4ab  12ac  20bc

 5a 2  5b 2  5c 2  6ab  2ac  10bc  0
 3(a  b  c) 2  2a 2  4ac  2(b  c) 2  0
Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng do a , b, c là các số thực không âm. (dpcm)
5
1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab  3ac  5bc bằng
khi a  0, b  c  .
4
2
Cách 2.

ab  3ca  5bc 5

2
4
a  b  c

tương đương 4  b  c    c  a  b   4ab  4a 2  0 .
2

2

1 1
, 
 2 2
Nhận xét: Lời giải bài toán này không được tự nhiên, mặc dù chứng minh rất đơn giản. Giá trị
5
lớn nhất
được tìm nhờ nhận xét “ các giá trị Min, Max của biểu thức thường đạt được trên
4
biên”. Bài toán có lẽ giải một cách tự nhiên hơn nếu xét P  ab  3ac  5bc  M (a  b  c) 2 rồi
đưa về dạng tam thức bậc hai với ẩn a tham số b và c , tuy nhiên trong trường hợp này cách
này biện luận khá cồng kềnh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Câu 5.

 a, b, c    0,

Có 20 người xếp thành 1 vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho không có 2
người kề nhau được chọn

Lời giải.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 5/6 - Mã đề thi 132


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Ta giải bài toán tổng quát sau: Có n người xếp thành 1 vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra k người sao cho không có 2 người kề nhau được chọn
Bài toán phụ: Có bao nhiêu cách lấy k phần tử trong n phần tử xếp trên đường thẳng sao cho
không có 2 phần tử kề nhau cùng được lấy ra?
Giải
Lấy k phần tử ra, sẽ còn lại n  k phần tử.
Tính cả 2 đầu, sẽ có tổng cộng n  k 1 khoảng trống (giữa các phần tử).
Mỗi cách lấy ra k khoảng từ các khoảng này, sẽ tương ứng chọn k phần tử thoả mãn yêu cầu
đã nêu.
Số cách cần tìm sẽ là: Cnkk 1
Trong n người trên, chỉ định một người A , để cố định nó xem xét cho dễ. Khi đó bài toán này
sẽ được chia làm 2 trường hợp để giải:
A
Trường hợp 1: Tập hợp các cách chọn, mà có chọn người A
Khi A được chọn, 2 người kề A (trái, phải) sẽ không được chọn.
Số người còn lại sẽ là n  3
Ta phải chọn lấy k  1 người trong số n  3 người còn lại đó.
Số người này được coi như trên một đường thẳng (quy về bài toán phụ), nên số cách thuộc
trường hợp này là: Ckn13 k 11  Cnkk11
Trường hợp 2: Tập hợp các cách chọn, mà không chọn người A
Khi đó bỏ A đi, sẽ trở thành dạng bài toán lấy k phần tử từ n  1phần tử xếp trên đường thẳng
(bài toán phụ). Nên số cách thuộc trường hợp này là: Cnkk

Áp dụng quy tắc cộng, số cách cần tìm là: Cnkk11  Cnkk
Quay trở lại bài toán đã cho, áp dụng với n  20; k  5 ta có số cách cần tìm là C144  C155  4004 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/6 - Mã đề thi 132