HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Kiến thức:
- Giúp học sinh hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức về hệ tọa độ trong khụng gian
2. Kỹ năng:
- Tìm tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, thực hiện các phép toán vec tơ, tích vô hướng của hai vec
tơ, góc giữa hai vec tơ.
3. Thời lượng: 2 tiết
4. Tiến trình thực hiện
Tiết 1. Tọa độ của điểm
Lý thuyết
uuuu
r r r r
1. M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk , ( Với O là gốc tọa độ)
Chú ý: +) M ∈ Ox ⇔ M ( x;0;0)
+) M ∈ (Oxy ) ⇔ M ( x; y;0)
+) M ∈ Oy ⇔ M (0; y;0)
+) M ∈ (Oyz ) ⇔ M (0; y; z )
+) M ∈ Oz ⇔ M (0;0; z )
+) M ∈ (Oxz ) ⇔ M ( x;0; z )
2. Hình chiếu vuông góc của 1điểm lên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ.
3.
Cho
uuu
r A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có:
AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2
AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z B − z A ) ;
 x A + xB y A + yB z A + z B 
;
;

M là trung điểm AB thì M 

2
2 
 2

x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC
;
;
)
3
3
3
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho các điểm A(1; 2;0), B(−2;0;0), C (0; −2; −2)
D(0; 2;0), E (1;0;1), G (0;0; −5) . Trong các điểm trên điểm nào thuộc trục Ox, Oy, Oz , điểm nào thuộc
mặt phẳng tọa độ
Gọi từng họ sinh đứng tại chổ trả lời:

4. G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔G (

B ∈ Ox, D ∈ Oy, G ∈ Oz , A ∈ (Oxy ), C ∈ (Oyz ), E ∈ (Oxz )
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Xác định hình chiếu vuông
góc của M

a) Lên các trục tọa độ
Giải.
a. Hình chiếu vuông

b) Lên từng mặt phẳng tọa độ
góc

của


M lên

các

Ox, Oy, Oz lần

trục

lượt

là:

M 1 (1;0;0), M 2 (0; 2;0), M 3 (0;0;3)

b. Hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng tọa độ

(Oxy ), (Oyz ), (Oxz ) lần lượt là:

M 1 (1; 2;0), M 2 (0; 2;3), M 3 (1;0;3)

Ví dụ 3. Trong không gian cho 3 điểm A(1;0;-2) ,B(2;1;-1) ,C(1;-2;2)
a) Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm của BC
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Giải: a) Ta có AB= 3 ;

BC= 19 ;

AC= 2 5


b) Gọi M là trung điểm của BC và có tọa độ là (

3 1 3
; ;− )
2 2 2

 4 −1 −1 

c) Tọa độ điểm G  ; ; ÷
3 3 3 
Bài tập trắc nghiệm

1


Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Điểm nào sau đây nằm trên trục Ox ?
A. M(2;0;0).
B. N(0;2;0).
C. P(0;0;2).
D. Q(2;2;2).
Oxyz
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ
. Điểm nào sau đây nằm trên trục Oy ?
A. M(2;0;0).
B. N(0;2;0).
C. P(0;0;2).
D. Q(2;2;2).
Câu 3. Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây nằm trên măt phẳng tọa độ (Oxz) ?
A. M(2;0;0).

B. N(0;-3;1).
C. P(1;0;2).
D. Q(0;0;-5).
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (−2;1;5) . Xác định hình chiếu vuông
góc của M lên trục Oz
A. (0;1; 0)
B. ( −2;0;0)
C. (0;0;5)
D. (−2;1;0)
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (−2;1;5) . Xác định hình chiếu vuông
góc của M lên trục (Oyz )
A. (0;1;5)
B. ( −2;0;0)
C. (0;0;5)
D. (−2;1;0)
Câu 6 . Cho hai điểm A(2;1;3) và B(2;3;1) . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A. (0;1; −1) .
B. (2; 2; 2) .
C. (0; 2; −1) .
D. (2;3; 2) .
Câu 7. Trong không gian Oxyz. Cho ba điểm A(-1; -2; -3), B(-2; -3; -1), C(0; -1; -2). Tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC là
A. G(1; 2; 2);
B. G(-1;-2;-2);
C. G(-1/3;2; 8/3) D.G(-1;-2;2) ;
Oxyz
A
Câu 8. Trong không gian
, cho điểm (2; 2;1) . Tính độ dài đoạn thẳng OA
A. OA = 3

B. OA = 9 C. OA = 5
D. OA = 5
Câu 9. Cho A ( 1;2; −2 ) .Tìm điểm B trên trục Oy, biết AB = 6
A. B ( 1;1;0) và B ( 0;3;0) A. B ( 0;1;0) và B( 3;0;0)
C. B ( 0;1;0) và B ( 0;3;0)
D. B( 0;0;1) và B ( 0;3;0)
Tiết 2. Tọa độ véc tơ
Lý thuyết

r
r
r
r
r r
4. a = (a1 ; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1i + a2 j + a3 k ; a = a12 + a22 + a32

r
r
5. Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có
a1 = b1
r r

+) a = b ⇔ a2 = b2
a = b
3
 3
r r
+) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )

r


+) k .a = (ka1; ka2 ; ka3 )
rr

r r

r r

+) a.b = a . b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

rr
r r
a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
a.b
+) cosϕ = cos(a, b) = r r =
a.b
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
r

rr

r

+) a và b vuông góc ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0

r
r r
r r r r r
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz). Cho vecto: a = 2i + 3 j + 4k , b = i + 2 j − 3k ,
r

r r r r r
r r r r u
r
r r r u
x = i − k , y = 3k , c = j − 3k + i . Tìm tọa độ của các vec tơ a, b, c, x, y,
Giải. r
r r
r
r r r r
r
r
a = 2i + 3 j + 4k ⇔ a = (2;3; 4) ; b = i + 2 j − 3k ⇔ b = (1;2; −3)
r r r
r
u
r
r
u
r
r r r r r
x = i − k ⇔ x = (1;0; −1) ;
y = 3k ⇔ y = (0;0;3) ; c = j − 3k + i ⇔ c = (1;1; −3)
r
r
r
Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho a = (1;0; −2) , b = ( −2;1;3) , c = ( −4;3;5) .
r

r


r

r r r

a. Tìm toạ độ vectơ 3.a − 4.b + 2c ; 2a + b − c

2


r ur rur
b. Tính a.b ; c.b

r r
cos
(
a
, b)
c.

Lời giải.
r
r
r
a. Tọa độ vectơ 3.a − 4.b + 2c
r
r

a = (1;0; −2) ⇒ 3.a = (3;0; −6) ,
r
r

b = (−2;1;3) ⇒ −4b = (8; −4; −12),
r
r
c = (−4;3;5) ⇒ 2.c = (−8;3;10),
r
r
r
Suy ra 3.a − 4.b + 2c = ( 3 + 8 − 8;0 − 4 + 3; −6 −12 + 10 ) = ( 3; −1; 4 ) .
r r r
2a + b − c = (4; −2; −6)
Tương
tự:
r ur
b. a.b = 1(−2) + 0.1 + (−2).3 = −8
rur
Tương tự: c.b r= r26
r r
a.b
−8
−4 10
cos
(
a
, b) = r r =
=
c.
25
5.5 2
a b


Bài tập trắc nghiệm
r
r r r
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho vecto: a = 2i − 3 j + k .
Khẳng
r định nào sau đây là đúng? r
r
A. a = ( 2;3;0 ) .
B. a = ( 2; −3;0 ) .
C. a = ( −2;3; −1) .
r

r

r
D. a = ( 2; −3;1) .

Câu 2. Tính góc giữa hai vectơ a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)
A. 135°
B. 90°
C. 60°
D. 45°
→
→
→
Câu 3. Trong k.g Oxyz, cho 3 vectơ a = ( −1;1;0 ) ; b = ( 1;1;0 ) ; c = ( 1;1;1) . Trong các mệnh đề sau,
mệnhuurđề nào sai
uu
r
r r

r r
A. a = 2
B. c = 3
C. a ⊥ b
D. b ⊥ c
r
r
r
r r
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ a(−1; 2; −1) , b(2; −1;1) . Tọa độ của véctơ c = 2a + b
là:
A. (3; −3; 2) .
B. (1;1;0) . r
C. (0;3; −r1) .
D. (3;0;1) .
r
r
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho 2 vecto a = ( 1; 2; −1) ; và c = ( x; 2 + x; −2 ) . Nếu c = 2a thì x
bằng
A.1
B. -1
C. -2
D. 2
uuur
Câu 6. Cho hai điểm A(−1;1; 0) và B(2;1; −1) . Tọa độ véc tơ AB là:
A. (1; 2; −1)
B. (1;0; −1)
C. (−3;0;1)
D. (3;0; −1)
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz). Cho A(1; 2; 3), B(2; -1; 1), C(1; 1; -2). Tìm tọa

độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
A. D(0; 4; 0).
B. D(2; -2; -4).
C. D(2; 0; 6).
D. D(2; -2; -4).
uuur uuur r
A
2;
−
1;3
;
B
4;3;3
) (
) . Tìm điểm M thỏa 3 MA − 2MB = 0
Câu 8. Cho 2 điểm (
A. M ( −2;9;3)

B. M ( 2;−9;3)
C. M ( 2;9;−3)
D. M ( −2;−9;3)
r
r
r r
Câu 9. Cho a = ( 1;m;−1) ; b = ( 2;1;3) .Tìm m để a ⊥ b .
A. m = 1
B. m = −1
C.
D. m = 2
r

r m = −2
r
Câu 10. Cho a = (2; −1; 2) . Tìm y, z sao cho c = (−2; y; z) cùng phương với a
A. y = −1, z = 2
B. y = 2, z = −1
C. y = 1, z = −2
D. y = −2, z = 1
Câu 11. Cho A ( 2;5;3) ; B ( 3;7;4 ) ; C ( x; y;6 ) . Tìm x, y để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
A. x = 5;y = 11

B. x = 11;y = 5

C. x = −5;y = 11

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Mục tiêu

3

D. x = 5;y = −11


a. Kiến thức cơ bản: Khái niệm vectơ pháp tuyến; Phương trình tổng quát của mặt phẳng; Điều
kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc; công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.
b. Kỹ năng:
- Nhận biết vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng;
- Kiểm tra điểm thuộc (hoặc không thuộc) mặt phẳng;
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- Lập phương trình cơ bản;

2. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1. Nhận biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Dạng 2. Kiểm tra điểm thuộc ( hoặc không thuộc) mặt phẳng;
Dạng 3. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Dạng 4. Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng.
3. Thời lượng: 4 tiết
4. Tiến trình thực hiện
Lý thuyết
r

r
r
1. Vectơ n ≠ 0 và có giá vuông góc với ( P) thì n đgl vectơ pháp tuyến của ( P) .
2. Cho mp ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì:
r
+) ( P) có một véctơ pháp là n = ( A; B; C )
r
r
(Chú ý: Nếu n là VTPT của ( P) thì kn , (k ≠ 0) cũng là VTPT của ( P) )
+) M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( P ) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ ( P ) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0

+) Với M ( x0 ; y0 ; z0 ) thì d ( M , ( P)) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

r


3. Mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vtpt n = ( A; B; C ) có phương trình là:
A ( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

Tiết 1
Dạng 1: Nhận biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ hai vectơ pháp tuyến của các mặt
phẳng có phương trình sau: ( Gọi nhiều học sinh đứng tại chổ trả lời)
a. ( P) : x − 2 y + z − 5 = 0
b. (Q) : − x + 2 y − 3z + 1 = 0
c. ( R) : x − 2 z + 1 = 0
d. (α ) : 2 y − 5 = 0
e. ( β ) : y − 2 x + 3 = 0
g. (γ ) : z = 0
Giải.
r

r

r

r

a. u = (1; −2;1), v = (−1; 2; −1)
d. u = (0; 2;0), v = (0;1;0)

r

r

b. u = (−1; 2; −3), v = (2; −4;6)

r

r

1

e. u = (−2;1;0), v = (1; 2 ;0)

r

r

c. u = (1;0; −2), v = (−1;0; 2)
r

r

g. u = (0;0;1), v = (0;0; −2)

Tổng kết:
r
r
r
1. Vectơ n ≠ 0 và có giá vuông góc với ( P) thì n đgl vectơ pháp tuyến của ( P) .
r
2. Cho mp ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ( P) có một véctơ pháp là n = ( A; B; C )
r
r
3. Nếu n là VTPT của ( P) thì kn , (k ≠ 0) cũng là VTPT của ( P)
Luyện tập:


4


Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng (P) : − x + 2 y − 3z + 1 = 0 ?
r
r
r
r
A. n = (1; 2; −3)
B. n = (−1; 2;3)
C. n = (1; −2;3)
D. n = (−1; −2; −3)
Câu 2. Một véctơ pháp tuyến nr của mặt phẳng (Q) : x  + 5 y − 2 = 0 có tọa độ là
r
r
r
B. n ( 1;5; −2 ) .
C. n ( 5; 0;1) .
D. n ( 5;1; −2 ) .
Câu 3. Một véctơ pháp tuyến nr của mặt phẳng ( R ) : x + 2 = 0 có tọa độ là
r
r
r
r
A. n ( 1; 0;0 ) .
B. n ( 1; 2; 0 ) .
C. n ( 1;1; 0 ) .
D. n ( 1; 0; 2 ) .

r
A. n ( 1; 5;0 ) .

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng (Oyz) ?
r
r
r
r
A. i = (1; 0; 0)
B. k (0; 0;1)
C. j (−5;0;0)
D. m = (1;1;1)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng (Oxz) ?
r
r
r
r
A. i = (1; 0; 0)
B. k (0; 0;1)
C. j (−5;0;0)
D. m = (0; 2;0)
Dạng 2. Kiểm tra điểm thuộc ( hoặc không thuộc) mặt phẳng;
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , ( P) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0
a.Tìm tọa độ 3 điểm thuộc ( P)
1
b. Các điểm M (1;1;0), N (2; 2 ;1), A(−1;0;0), B( −1; −1;1) điểm nào không thuộc mặt phẳng ( P )

Giải.

a. Các điểm D(1;0; −1) , A(−1;0;0) , H (1; −1; −2) thuộc ( P )
1

1

b. M (1;1;0) ∈ ( P)vì :1 − 2.1 + 2.0 + 1 = 0 ; N (2; 2 ;1) ∉ ( P)vì : 2 − 2. 2 + 2.1 + 1 = 4 ≠ 0
Tương tự: A ∈ ( P), B ∉ ( P)
Tổng kết:
Cho mp ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 và M ( x0 ; y0 ; z0 ) thì:
+) M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( P ) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
+) M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ ( P ) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0

Luyện tập:
Câu 1. Điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) : 4 x − 4 y + 6 z – 2 = 0 có tọa độ là
A. M ( 0;1;1) .
B. M ( 1;1;1) .
C. M ( 1;0;1) .
D. M ( 1;1;0 ) .
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho ( P ) : 3 x − y + z − 1 = 0 . Trong các điểm sau đây điểm nào
thuộc ( P )
A(1;-2;-4)
B(1;-2;4)
C(1;2;-4)
D(-1;-2;-4)
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Điểm nào
dưới đây thuộc ( P) ?
A. Q(2; −1;5)
B. P (0; 0; −5)
C. N (−5;0; 0)
D. M (1;1; 6)

Câu 4. Cho mặt phẳng ( P ) có phương trình x + y − 1 = 0 . Điểm nào sau đây thuộc ( P ) ?
A. (0;1;1) .
B. (1;1; 0) .
C. (1; −1;0)
D. ( −1; −1;0) .
Câu 5. Điểm M (1; 2;3) không thuộc mặt phẳng nào ?
A. (α ) : x + y − z + 1 = 0
B. ( β ) : x − z + 2 = 0
C. ( P) : 2 x + y − z − 1 = 0 D. (Q) : 3 y − 2 z + 1 = 0
Tiết 2.
Dạng 3. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

5


Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,Tính khoảng cách từ A(2; 4; −3) đến các mặt
phẳng sau: (Gọi 3 hs lên bảng tính)
a. (α ) : 2 x + y + 2 z − 9 = 0
b. ( β ) :12 x − 5 z + 5 = 0
c. (ϕ ) : z − 6 = 0
d. (Oyz )
Giải.
a. d ( A, (α )) =

2.2 + 4 + 2(−3) − 9

22 + 12 + 22
−3 − 6
c. d ( A, (α )) = 2 2 2 = 9
0 + 0 +1


=

7
3

b. d ( A, ( β )) =

d. (Oyz ) có phương trình là: x = 0 ⇒ d ( A, (Oyz )) =

2
12

12.2 − 5(−3) + 5
122 + 02 + ( −5) 2

=

44
13

=2

Ví dụ 4 Tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q): ( Định hướng và gọi học sinh lên
bảng giải)
a)
(P): x + 2 y + 2 z + 11 = 0
(Q): x + 2 y + 2 z + 2 = 0
b)
(P): 4 x − y + 8 z + 1 = 0

(Q): 4 x − y + 8 z + 5 = 0
HD:
a) Lấy M(0; 0; –1) ∈ (Q).
d (( P ),(Q)) = d ( M ,( P )) = 3

b) Lấy M(0; 1; 0) ∈ (P)
d (( P ),(Q)) = d ( M ,(Q)) =

4
9

Tổng kết:
Cho mp ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 và M ( x0 ; y0 ; z0 ) thì: d ( M , ( P)) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

Lưu ý:
- Học sinh thường thay nhầm giữa tọa độ điểm và tọa độ VTPT
- Phương trình mặt phẳng khuyết học sinh thường lúng túng khi thay tọa độ điểm vào phương
trình mặt phẳng và xác định tọa độ véc tơ pháp tuyến.
Luyện tập:

Câu 1. Cho điểm A(−1;3; −2) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z + 5 = 0 . Khoảng cách từ A đến ( P) là
A.

2
.
3


B.

3
.
2

3

C. 5 .

D.

5
.
3

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Khoảng cách từ điểm M (2; −1;1) đến mặt phẳng
( P) : 2 x + 2 y − z = 0 là:
1
C. 3
D. 3
4
Câu 3. Cho điểm B(−1;3;0) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z + 5 = 0 . Khoảng cách từ B đến ( P ) là

A.

A.

2
.

3

1
3

B.
B.

3
.
2

Câu 4. Cho điểm C (1;3; −2) và mặt phẳng
A.-1

B.

7
.
5

3

C. 5 .
(P) : 3x − 4 y + 4 = 0 .

Câu 5. Cho điểm N ( 0; −3; 2 ) và mặt phẳng
A.-3

B.3


D.

C.1
(P) : y = 0 .

C.1

6

5
.
3

Khoảng cách từ C đến ( P ) là
D.

5
.
3

Khoảng cách từ N đến ( P) là
D. 2


Câu 6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : ( P) x + y − z + 5 = 0 và (Q) 2 x + 2 y − 2 z + 3 = 0
A.

2
3


B. 2

C.

7
2

D.

7
2 3

Bài tập cũng cố tiết 1, tiết 2
Câu 1. Cho mặt phẳng ( P) : 2 x + y − z + 5 = 0 . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của ( P)
r
r
r
r
A. n = (2;1;1) .B. n = (2;1; −1) .
C. n = (−1;1; 2) .
D. n = (−1; −1; 2) .
Câu 2. Cho mặt phẳng ( P) : x + y − 2 z + 2 = 0 . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của ( P)
r
r
r
r
A. n = (1; −2; 2) .
B. n = (1;1; 2) .
C. n = (−1; −1; −2) . D. n = (−1; −1; 2) .

Câu 3. Một véctơ pháp tuyến nr của mặt phẳng ( P ) x + y + 2 = 0 có tọa độ là
r
A. n ( 1; 0;0 ) .

r
B. n ( 1;1; 2 ) .

r
C. n ( 1;1; 0 ) .

r
D. n ( 1; 0; 2 ) .

Câu 4. Trong không gian Oxyz cho mp ( P ) : 3 x − y + z − 1 = 0 . Trong các điểm sau đây điểm nào
thuộc ( P )
A. (1;-2;-4)
B. (1;-2;4)
C. (1;2;-4)
D. (-1;-2;-4)
Câu 5. Cho mặt phẳng ( P ) có phương trình y − z + 2 = 0 . Điểm nào sau đây thuộc ( P) ?
A. (0;1;1) .
B. (1;1; 0) .
C. (1; −1;0)
D. (0; −1;1) .
Câu 6. Điểm M (1; 2;3) thuộc mặt phẳng nào ?
A. (α ) : x + y − z + 3 = 0
B. ( β ) : x − z − 2 = 0
C. ( P) : 2 x + y − z − 1 = 0 D. (Q) : 3 y − 2 z + 1 = 0
Câu 7. Cho mp ( P) có phương trình x + z − 1 = 0 . Điểm nào sau đây không thuộc ( P )
A. (0;1;1) .

B. (1;1; 0) .
C. (1; −1;0)
D. ( −1; −1;0) .
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm
A ( 1; −2;3) . Tính khoảng cách d từ A đến ( P)
A. d = 5
9

B. d = 5

29

Câu 9. Cho điểm N ( 0; −3; 2 ) và mặt phẳng
A. -2

B. 0

C. d = 5

29

( P) : z − 2 = 0 .

C.

1
2

D. d = 5
3


Khoảng cách từ N đến ( P ) là
D. 2

Câu 10. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( P ) : x + y − z + 5 = 0 và (Q) 2 x + 2 y − z − 1 = 0
A.

6
7

B. 2

C.

4
3

D. -2

Dạng 4: Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng
Tiết 3
1) Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng, trong đó véc tơ pháp tuyến tìm theo định
nghĩa.
Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng (α ) , biết:
r
a) (α ) đi qua A(1;3; 2) có véc tơ pháp tuyến n = (4;3; −2)
b) (α ) qua B và vuông góc với AB với A(1; 2;3) , B(2; −3;5)
c) (α ) đi qua M (2;3;1) và song song với mp (P ) : x − 2y + 3z − 1 = 0
d) (α ) qua D(2;3;5) và song song với mặt phẳng (Oyz).
e) (α ) là mặt phẳng trung trực của EF với E(5;2;7), F(1;8;1).

(Gọi 1 HS lên làm ý a, ý b,c,d,e định hướng và gọi học sinh lên giải)
Giải:
a) Phương trình mặt phẳng (α ) là: 4( x − 1) + 3( x − 3) − 2( z − 2) = 0
hay 4 x + 3 y − 2 z − 9 = 0

7


uuur

b) (α ) qua B(2;-3;5) và vuông góc với AB nên nhận AB ( 1; −5; 2 ) làm một vtpt.
PTTQ là:ur1( x − 2) − 5( y + 3) + 2( z − 5) = 0 hay x − 5 y + 2 z − 27 = 0
c) Ta có n = ( 1; −2;3) là VTPT của (P )
ur

Vì (α ) / /(P ) nên n = ( 1; −2;3) cũng là VTPT của (α ) .
Vậy phương trình (α ) là: x − 2y + 3z + 1 = 0 .
r
d) Phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0 ⇒ n(Oyz) (1;0;0).
r
Mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng (Oyz) nên cũng có véc tơ pháp tuyến n(Oyz) (1;0;0),
Phương trình của mặt phẳng (α ) là: 1.(x − 2) + 0.(y − 3) + 0.(z − 5) = 0 ⇔ x − 2 = 0.
Vậy (α ): x − 2 = 0.
F(1;8;1).
e) (α ) là mặt phẳng trung trực của EF với E(5;2;7),
uuur
Gọi I là trung điểm của EF, ta có I(3; 5; 4),EF(−4; 6; − 6).
uuur
Mặt phẳng trung trực của EF là mặt phẳng đi qua I và có véc tơ pháp tuyến EF(−4; 6; − 6),
phương trình của (α ) : −4(x − 3) + 6(y − 5) − 6(z − 4) = 0 ⇔ 2x − 3y + 3z − 3 = 0.

Vậy (α ): 2x − 3y + 3z − 3 = 0.
Luyện tập:
r
Câu 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( 1; −2;3) và nhận n = ( 2;1; −5) làm vectơ
pháp tuyến
A. ( P ) : 2 x + y − 5 z + 15 = 0 B. ( P ) : 2 x + y − 5 z = 0
C. ( P ) : x + 2 y − 5 z + 15 = 0
D.

( P ) : 2 x + y − 5 z − 15 = 0

Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(-2;3;1), B(3;1;-2) và C(4;-3;1) .Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
A. x − 4 y + 3z + 11 = 0
B. x − 4 y + 3z − 11 = 0 C. x + 4 y + 3z + 11 = 0
D. x − 4 y − 3z − 11 = 0
Câu 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( −2;3;1) và song song với mp (Q):
4 x − 2 y + 3z − 5 = 0
A. 4x-2y − 3 z − 11 = 0

B. 4x-2y + 3z + 11 = 0 C. 4x+2y + 3z + 11 = 0 D. - 4x+2y − 3z + 11 = 0
Câu 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (−2;3;1) song song mp (Oxz )
A. x − 3 = 0
B. x − y − z − 3 = 0
C. y − 3 = 0
D. z − 3 = 0
Câu 5. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A ( 2;3;7 ) , B ( 4; −3; −5 )
A. 2 x − 6 y − 12 z = 0
B. 2 x − 6 y − 12 z − 6 = 0
C. x − 3 y − 6 z − 3 = 0

D. x − 3 y − 6 z + 3 = 0
Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 1; −2;3) và đường thẳng d có phương trình
x y + 2 z −3
=
=
. Viết
2
1
−1
A. 2 x + y − z + 3 = 0

PT mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d .
B. x + 2 y − z + 3 = 0

C. 2 x + y − z − 3 = 0
D. 2 x − y + z + 3 = 0
Tiết 4
r
r r
r r
2) Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng, véc tơ pháp tuyến n =  a, b  trong đó a, b không
cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng đó.
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng
r
r
a) (α ) qua A(0; −1; 2) và song song víi gi¸ mçi vÐc t¬ n1 = (3; 2;1) , n 2 = (−3;0;1)
b) (α ) qua ba điểm A(2;8;5),B(18;14;0),C(12;8;3).
c) (α ) qua các hình chiếu của điểm H(−2;1;5) trên các trục tọa độ.
d) (α ) qua G(1; − 3;2) và vuông góc với hai mặt phẳng
(β ) : x + 2y − 5z + 1 = 0, (γ ): 2x − 3y − z + 4 = 0.


e) (α ) đi qua A ( 2;1;1) , B ( −1; −2; −3) và (α ) vuông góc với (β ) : x + y + z = 0 ;
g) (α ) chứa trục Ox và vuông góc với (Q) : 2x + 3y − z + 2 = 0 .

8


Gi¶i:
r

ur uu
r

a) mp (α ) // víi gi¸ cña hai vÐc t¬ nªn cã VTPT a =  n1 ; n2  = ( 2; −6;6 )
PT mp (α ) lµ : x − 3 y + 3 z − 9 = 0
uuur

uuur

b) Ta có AB(16;6; − 5),AC(10;0; − 2)
uuur uuur

nên  AB, AC  = (−12; − 18; − 60) = −6(2; 3; 10)
r
Do đó (α ) là mặt phẳng đi qua A(2;8;5) và có véc tơ pháp tuyến n(2;3;10) nên có phương trình:
2(x − 2) + 3(y − 8) + 10(z − 5) = 0 ⇔ 2x + 3y + 10z − 78 = 0.
Vậy (α ): 2x + 3y + 10z − 78 = 0.
c) (α ) qua các hình chiếu của điểm H(−2;1;5) trên các trục tọa độ.
Giải:Hình chiếu của điểm H(−2;1;5) lên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là
M(−2;0;0),N(0;1;0),P(0;0;5). Phương trình mặt phẳng (MNP ) là

x y z
+ + = 1 ⇔ 5x − 10y − 2z + 10 = 0.
−2 1 5
Vậy (α ): 5x − 10y − 2z + 10 = 0.
d) (α ) qua G(1; − 3;2) và vuông góc với hai mặt phẳng
(β ) : x + 2y − 5z + 1 = 0, (γ ): 2x − 3y − z + 4 = 0.
r
r
Giải:Ta có n(β ) (1;2; − 5),n(γ ) (2; − 3; − 1).
r
r
r
Mặt phẳng (α ) vuông góc với hai mặt phẳng (β),(γ ) nên n(α ) = n(β ) ,n(γ )  = (−17; − 9; − 7).
Phương trình mặt phẳng (α ) cần tìm là: −17(x − 1) − 9(y + 3) − 7(z − 2) = 0 ⇔ 17x + 9y + 7z − 4 = 0.
Vậy (α ): 17x + 9y + 7z − 4 = 0.

e) (α ) đi qua A ( 2;1;1) , B ( −1; −2; −3) và (α ) vuông góc với (β ) : x + y + z = 0 ;
Giải:

u
r uuur
u
r
uuur

a
a
=
1;1;1
(

β
)
AB
=
−
3;
−
3;
−
4
(
) là VTPT của ,
(
) . Suy ra  , AB  = ( −1;1;0)
Ta có
ur
u
r uuur
Vì (α ) đi qua A, B và (α ) ⊥ (β ) nên (α ) nhận n =  a, AB  = ( −1;1;0) làm VTPT

Vậy phương trình (α ) là: x − y − 1 = 0 .
g) (α ) chứa trục Ox và vuông góc với (Q) : 2x + 3y − z + 2 = 0 .

ur
u
rr

n
=
a

,i
(
Q
)
Giải:Vì (α ) chứa trục Ox và vuông góc với
nên (α ) nhận
  làm VTPT
r
u
r
ur
Trong đó i = ( 1;0;0) , a = (2;3; −1) là VTPT của (Q) nên n = ( 0;1;3)

Vậy phương trình (α ) là: y + 3z = 0 .
Tổng kết:
r
- Mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vtpt n = ( A; B; C ) có phương trình là:
A ( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
- Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) có phương trình là:
x y z
+ + = 1, (a, b, c ≠ 0)
a b c

Luyện tập:
Câu 1. Viết phương trình mp (Q) đi qua điểm A ( 0; −1;2 ) và song song với giá của mỗi vectơ
r
r
u = ( 3; 2;1) và v = ( −3;0;1)
A. ( Q ) : x − 3 y + 3z = 0 B. ( Q ) : x + 3 y − 3z − 9 = 0
C. ( Q ) : x − 3 y + 3z − 9 = 0 D. ( Q ) : 3x − y + 3z − 9 = 0


9


Câu 2. Mặt phẳng qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0,- 3) có phương trình là:
A. x + y + z = 1
1

2

3

B. x + y + z = −2
1

−2

C. x + y + z = 3

3

1

−2

D. x + y + z = 1

3

1


−2

−3

Câu 3. Trong không gian Oxyz,cho ba điểm A(–1; 2; 1), B(–4; 2; –2), C(–1; –1; –2). Phương
trình mp(ABC) là:
A. x + y – z = 0
B. x – y + 3z = 0
C. 2x + y + z –1 = 0
D. 2x + y –2z + 2 = 0
Câu 4. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm A ( 4; −1;2 ) và chứa trục
Ox ?
A. x - 2 z = 0
B. x + 4y = 0
C. 2y + z = 0
D. 2y - z =0
Câu 5. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A ( 1;0;1) , B ( 5; 2;3) và vuông góc với mp

( Q ) : 2x − y + z − 7 = 0

A. x − 2 y + 1 = 0

B. x − 2 z + 1 = 0

C. 2 x − z + 1 = 0

D. x − 2 z − 1 = 0

Bài tập về nhà: Lập phương trình của ( P ) trong các trương hợp sau:

1) ( P ) đi qua A ( 1;2;1) và song song với ( Q ) : x + y + 3z − 1 = 0 ;
2) ( P ) đi qua M ( 0;1;2) , N ( 0;1;1) , E ( 2;0;0) ;

3) ( P ) là mặt phẳng trung trực của đoạn M N trong đó M (0;1; 2), N (0;1;1) ;
4) ( P ) đi qua các hình chiếu của A (1;2;3) lên các trục tọa độ ;

5) ( P ) đi qua B ( 1;2;0) , C ( 0;2;0) và vuông góc với ( R ) : x + y + z + 1 = 0 ;

6) ( P ) đi qua D ( −1;2;3) và vuông góc với hai mặt phẳng : ( α ) : x − 2 = 0 ; ( β ) : y − z − 1 = 0 .

10