I – LÝ THUYẾT
1. Tổng của hai vectơ
r
a

r
b

r r
a+b

Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ và là vectơ
, được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ. Có 3
trường hợp.
r r
r r
r r
a+b
a+b
a+b
nối đuôi
cùng điểm gốc
là hai vectơ bất kỳ

r r
a+b

cộng theo
Quy tắc 3 điểm

r r
a+b

cộng theo
Quy tắc hình bình hành

- Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ

A, B, C

r r
a+b

được cộng theo
2 trường hợp trên

ta có

uuu
r uuur uuu
r
AB = AC + CB

uuur uuu
r uuur
 AC = AB + AD
 uuur uuur uuur
 DB = DA + DG

ABCD

- Quy tắc hình bình hành: Cho
là hình bình hành khi đó ta có
Tính chất:
r r r r
r r r
r r r
a+b =b+a
a+ b+c = a+c +b
- Giao hoán:
- Kết hợp:
r r r r r
r
r r
a+0 =0+a = a
a + −a = 0
- Cộng với vectơ không:
- Cộng với vectơ đối:
2. Hiệu của hai vectơ
r
r r
r
r
a + −a = 0
a
a
của vectơ kí hiệu là - . Đặc biệt
Vectơ đối
r r r
r
r

r
a
−
b
=
a
+
−
b
a
b
Hiệu hai vectơ và là vectơ
Định nghĩa:
r r r r
r r r r
uuu
r
uuu
r
∀a : a − 0 = a
∀a : a − a = 0
AB = − BA
+
+
Tính chất: +

(

( )


( )

( )

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ
uuu
r uuu
r uuu
r
A, B, C
AB = CB − CA
Với ba điểm bất kì
ta có

) (

)

và

uuu
r uuur
 AB = DC
 uuur uuur
 AD = BC


3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
uu
r uur r

uuur uuur
uuu
r
AB ⇔ IA + IB = 0
MA + MB = 2MI
 Điểm I là trung điểm của đoạn
và
uuu
r uuu
r uuur r uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 MA + MB + MC = 3MG
 Điểm G là trọng tâm
và
II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ
Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất
NHẬN BIẾT

ABCD

I
,với giao điểm hai đường chéo làuuur . Khi
uuur đó:r
uuu
r uuur r
uuu
r uuur uuur

AB + CD = 0
AB + BD = 0
AB + AD = BD
B.
.
C.
.
D.
.
G
ABC
M
Câu 2. Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để là trọng tâm của tam giác
, với
là
BC
trung
điểm
của
uuur uuur uuur .
uuur uuur uuur r
uuur uuu
r uuur r
uuu
r uuu
r uuur r
AG + BG = GC
AG + BG + CG = 0
AG + GB + GC = 0
GA + GB + GC = 0

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
O
AB
Câu 3. Điều kiện nào dưới đây là điều u
kiện
cần
và
đủ
để
điểm
là
trung
điểm
của
đoạn
.
uu
r uuu
r
uuur uuur
uuu
r uuu
r r

OA = OB
OA = OB
AO = BO
OA + OB = 0
A.
.
B.
C.
.
D.
.
A, B, C , D
Câu 4. Cho
4r điểm
sau
uuu
uuur uuur uuur. Đẳng thức
uuu
rnàouu
ur đây
uuurđúng.
uuur
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
AB + CD = AC + BD
AB + CD = AD + BC
AB + CD = AD + CB

AB + CD = DA + BC
A.
.
B.
.C.
. D.
Câu 5. Chọn khẳng định đúng :
uuu
r uuu
r uuur r
G
ABC
GA + GB + CG = 0
A. Nếu
là trọng tâm tam giác
thì uuu
.
r uuu
r uuur r
G
ABC
GA + GB + GC = 0
B. Nếu
là trọng tâm tam giác
thì uuu
r uuur uuur r.
G
ABC
GA + AG + GC = 0
C. Nếu

là trọng tâm tam giác
thì uuu
.
r uuu
r uuur
G
ABC
GA + GB + GC = 0
D. Nếu
là trọng tâm tam giác
thì
.
Câu 6. Chọn khẳng định sai
uu
r uur r
uur uur uuu
r
IA + BI = 0
I
AB
I
AB
AI + IB = AB
A. Nếu là trung điểm đoạn
thì uur uur
.B. Nếu là trung điểm đoạn
thì uu
r uur r .
r
AI + BI = 0

IA + IB = 0
I
AB
I
AB
C. Nếu là trung điểm đoạn
thì
.D. Nếu là trung điểm đoạn
thì
.
A, B, C
Câu 7. Chouucác
.uĐẳng
thức
u
r điểm
uuur phân
uuu
r biệt
uu
r uu
u
r unào
uur sau đây đúng ?uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur
AB = BC + CA
AB = CB + AC

AB = BC + AC
AB = CA + BC
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
Câu 1. Cho hình bình hành
uuu
r uu
r uur
AB + IA = BI
A.
.


uuu
r uuur

O
OA + BO =
Câu 8. Cho
hình
bình
hành
tâm
.
Khi

đó
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur
uuu
r
OC + OB
OC + DO
CD
AB
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC
G
Câu 9. Cho tam giác
, trọng tâm là . Phát biểu nào là đúng?
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur

uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC
GA + GB + GC = 0
AB + BC = AC
GA + GB + GC = 0
A.
.
B.
.
C.
. D.
A, B, C
Câu 10. Cho
điểm
phân
.r Đẳng
uuurcácuu
u
r uu
u
r biệt
uuu
uuu
r thức
uuurnào sau đây đúng ?uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuu

r
AB = CB + CA
BA = CA + BC
BA = BC + AC
AB = BC + CA
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
ABCD

THÔNG HIỂU
Câu 11. Cho tam giác đều

ABC

a

uuu
r uuur
AB + AC =

cạnh . Khi đó
a 3
a 3
a
2a

2
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
AC
B
Câu 12. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
. Đẳng thức nào đúng?
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r r
uuu
r uuur
uuur uuur r
BA, BC
AB + CB = 0
BA = BC
AB + BC = 0
A.
.
B.
.
C.
D..

cùng hướng.
uuu
r uuur
AB + AD
a
ABCD
Câu 13. Cho hình vuông
có cạnh bằng . Khi đó
bằng:
a 2
a
2a
a 2
2
.
B.
.
C.
.
D. .
A.
uuu
r uuur
ABCD
AB = 4a AD = 3a
AB + AD
Câu 14. Cho hình chữ nhật
biết
và
thì độ dài

=?
2a 3
7a
6a
5a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A, B, C , D, E , F
Câu 15. Cho
6
điểm
nàouusau
đây
uuur uuur uuu
r uuur uuur . Đẳng
uuur thức
r
ur u
uur đúng.
uuu
r uuur uuur uuur uuur
AB + CD + FA + BC + EF + DE = 0
AB + CD + FA + BC + EF + DE = AF
A. uuur uuur uuu

r uuur uuur uuur uu.ur B. uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur.
AB + CD + FA + BC + EF + DE = AE
AB + CD + FA + BC + EF + DE = AD
C.
.D.
. uuu
r uuur
GB + GC
G
ABC
BC = 12
Câu 16. Gọi là trọng tâm tam giác vuông
với cạnh huyền
. Tổng hai vectơ
có độ dài
bằng bao nhiêu ?
2 3
8
2
4
A. .
B. .
C. .
D.
O
ABCD
Câu 17. Cho
hình

bình
hành
tâm
Đẳng
uuur uuur uuur uuur r
uuur .uu
ur uuthức
ur unào
uur sau
r đây đúng?
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
AO + BO + OC + DO = 0
AO + BO + CO + DO = 0
OA + BO + CO + DO = 0
AO + OB + CO + DO = 0
A.
.B.
. C.
.D.
.
A, B, C , D, E , F
Câu 18. Cho các điểm phân biệt
. Đẳng thức nào sau đây sai ?


uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
AB + CD + EF = AF + ED + BC

AB + CD + EF = AF + ED + CB
A. uuur uuur uuur uuur uuu
B. uuur uuur uuur uuur uuur uuur.
r uuur.
AE + BF + DC = DF + BE + AC
AC + BD + EF = AD + BF + EC
C.
.
D.
.
uuuu
r uuur uuur uuur uuu
r
MN + PQ + RN + NP + QR
Câu 19. Chỉ ravectơtổng
trong các vectơsau:
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
MQ
MN
MR
MP
.
B.
.
C.

.
D.
.
A.
uuur uuur
G
ABC
GB + GC
BC = 12
Câu 20. Cho là trọng tâm tam giác
vuông, cạnh huyền
. Độ dài vectơ
bằng:
8
6
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .
VẬN DỤNG
a
ABCD
O
600
A
Câu 21. Cho hình thoi
tâm , cạnh bằng và góc .bằng
. Kết luận nào sau đây đúng:

uuu
r a 3
uuu
r a 2
uuu
r
uuu
r uuu
r
OA =
OA
=
OA = a
OA = OB
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
Câu 22. Cho
bình
.uu
Đẳng
nào

uuu
rhình
uuu
r hành
u
r uuthức
u
r uu
ur sau đây sai ? uuur uuur r
uuur uuur
AB = CD
CA = CB + CD
AB + CD = 0
BC = AD
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
uuur
A, B, C , O
AB =
Câu 23. Cho 4 điểm
bất kì. Chọn kết quả đúng.
uuur
uuur uuur
uuur uuur

uuur uuur
BA
OA + OB
OA − OB
AO + OB
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
O
AC
BD
Câu 24. Cho hình chữ nhật
, gọi
là giao điểm của
và
, phát biểu nào là đúng?
uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
OA + OB + OC + OD = 0

OA = OB = OC = OD
AC = BD
AC + DA = AB
A.
. B.
.
C.
. D.
.
ABCD
I
Câu 25. Cho hình bình hành
với
là giao điểm của 2 đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng
địnhuu
rsai?uur r
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
IA + IC = 0
AB = DC
AC = BD
AB + AD = AC
A.
.
B.
.
C.
.

D. uuur uuur
.
M , N, P
AB, AC , BC
MP + NP
Câu 26. Cho tam giácABC. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Hỏi
bằng vec
tơ nào?
uuuu
r
uuuur
uuu
r
uuu
r
MN
AM
PB
AP
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A, B, C , D

Câu 27. Cho
điểm
biệt
Đẳng
thức
uuurcácuu
ur uphân
uur u
uur
uuur .uu
ur uu
u
r unào
uur sau đây
uuurđúng
uuur? uuu
r uuur
uuur uuur uuur uuu
r
AB + DC = BC + AD
AC + DB = CB + DA
AC + BD = CB + AD
AB + DA = DC + CB
A.
. B.
. D.
uuu
r u.uurC. uuur
A, B, C , D, E , F
AB + CD + EF

Câu 28. Cho
6
điểm
.
Tổng
véc
tơ
:
bằng
uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur
uuur u
uur uuu
r
uuur uuur uuur
AF + CE + DB
AE + CB + DF
AD + CF + EB
AE + BC + DF
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A, B, C , O

Câu 29. Cho 4 điểm bất kỳ
. Đẳng thức nào sau đây là đúng:


uuu
r uuu
r uuur
OA = CA + OC

uuur uuur uuur
AB = AC + BC

A.
.
B.
.
Câu 30. Chọn
uuur đẳngthức
uuur uuu
rđúng:
uuu
r uuu
r uuur
BC + AB = CA
BA + CA = BC
A.
.
B.
.
2. Dạng 2: Tính độ dài của vectơ


C.
C.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB = OB + OA

.

uuur uuur uuu
r
OC + AO = CA

.

D.
D.

uuu
r uuu
r uuu
r
OA = OB + AB

.

uuu

r uuu
r uuur
AB = CB + AC

.

Phương pháp giải:
- Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất.
- Tính độ dài của vectơ đó.
- Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho 4 điểm bất kì
uuu
r uuu
r uuu
r
OA = OB − BA
A.
.

A, B, C , O

. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r

AB = OB − AO
AB = AC − CB
B.
.
C.
.

Câu 2. Cho hai điểm phân biệt
A.

uu
r uur
IA = IB

.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB − BC = CA

A. Nếu

.

B.

C. Nếu


I

là trung điểm đoạn
là trung điểm đoạn

Câu 5. Cho hình bình hành
A.

uuu
r uuur uuu
r
BD = DC + CB

.

A.

uuu
r uuu
r uuu
r
OA = CA + CO

thì

ABCD

.

ABC


I

là trung điểm của đoạn thẳng

C.

uu
r
uur
IA = − IB

.

D.

. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

uu
r uur r
IA − IB = 0
uur uur r
AI − IB = 0

.

.
.

C.


uuu
r uuu
r uuu
r
CA − BA = BC

I

B. Nếu

I

D. Nếu

.

D.

là trung điểm đoạn
là trung điểm đoạn

AB
AB

. Đẳng thức nào sau đây sai ?

B.

Câu 7. Cho tam giác

A.

AB

thì

.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB + CA = CB

uuu
r uuu
r uuu
r
BD = CD − CB

A, B , C , D

.

uuu
r uuur uuu
r
AB + AC = BC

AB


B.

Câu 6. Cho 4 điểm bất kỳ

uur uur
AI = BI

A, B, C

Câu 4. Chọn khẳng định sai:

I

. Điều kiện để điểm

B.

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt
A.

A, B

D.

.

C.

.C.


, khẳng định nào sau là đúng?
B.

uuu
r uuu
r uuu
r
BD = BC + BA

.

D.

. Đẳng thức nào sau đây là đúng:

uuu
r uuu
r uuu
r r
BC − AC + AB = 0

uuu
r uuu
r uuu
r
AB + BC = AC

.


uuu
r uuu
r uuur
OA = CA − CO

C.

uuu
r uuu
r uuu
r
BA = OB − OA

.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB − AC = BC

D.

.

D.

AB

IA = IB


.

là:
.

uuu
r uuur uuu
r
AB + AC = BC

thì
thì

.

uur uur uuu
r
AI − BI = AB
uu
r uur r
IA − BI = 0

uuu
r uuu
r uuur
AC = AB + AD

uuu
r uuu

r uuu
r
OA = OB − BA

.

.

.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB − BC = AC

.

.


r r r
a, b và c
Câu 8. Cho ba vectơ

r r
a, b
đều khác vectơ – không. Trong đó hai vectơ

r r

a, c

đối nhau. Khẳng định nào sau đây đúng ?

r
r
b và c

A. Hai vectơ

r
r
b và c

cùng hướng.

B. Hai vectơ

ngược hướng.

r
r
b và c
C. Hai vectơ

r
r
b và c
đối nhau.


Câu 9. Cho các điểm phân biệt
A.
C.

cùng hướng, hai vectơ

D. Hai vectơ
A, B, C , D, E , F

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
AB + CD + EF = AF + ED + BC
uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
AE + BF + DC = DF + BE + AC

bằng nhau.

. Đẳng thức nào sau đây sai

.

B.


.

D.

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
AB + CD + EF = AF + ED + CB
uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
AC + BD + EF = AD + BF + EC

.
.

uuu
r uuur

ABC  
BC = 12
GB − CG
Câu 10. Gọi là trọng tâm tam giác vuông

với cạnh huyền
. Vectơ
có độ dài
bằng bao nhiêu?
G

2
A. .

8
C. .

4
B. .

D.

2 3

.

THÔNG HIỂU
Câu 11. Cho tam
A.

uuu
r uuur
AB = AC

∆ABC


.

Câu 12. Cho

B.

r r r r r
a, b ≠ 0 a, b

r r
a, b

A.

cạnh a, trọng tâm là

,

.

B.

, gọi

O

uuur uuu
r
AC = BD


.

C.

uuur uuur
uuur uuur
AB + AC = 3 AB − AC

.

C.

D.

.

C.

cạnh , độ dài vectơ
3a
B. .

ABCD
B.

uuu
r
AB


tâm
.

O

cùng hướng.

là giao điểm của

a

ABCD

Câu 15. Cho hình bình hành
.

cùng độ dài.

ABCD

A. a.

A.

uuu
r uuur
AB + AC = 2a

r r
a, b


B.

Câu 14. Cho hình vuông

uuu
r uuu
r
OC + OB

uuu
r uuu
r uuur
GA = GB = GC

r r
a, b

Câu 13. Cho hình chữ nhật
A.

. Phát biểu nào là đúng?

đối nhau. Mệnh đề dưới đây sai là:

ngược hướng.

uuu
r uuu
r uuur uuur

OA = OB = OC = OD

G

. Khi đó

AC

và

BD

C.

a 2

r r r
a + b= 0

.

D.

uuu
r uuur uuu
r
AC − AD = AB

bằng:


.

D.

2a 2

uuu
r uuu
r
OA − OB =

C.

uuu
r uuur
OC − OD

.

.

, phát biểu nào là đúng?

uuur uuur uuur uuur r
OA + OB + OC + OD = 0

uuu
r uuur uuu
r
AB − AC + BD


D.

.

D.

uuu
r
CD

.

.

.


Câu 16. Cho các điểm phân biệt
A.

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
AB − CD = BC − DA

.


Câu 17. Chỉ ra vectơ tổng
uuur
MR
A.
.

A.

.

B.

A.

B.

của vectơ

B.

ABC

Câu 20. Cho tam giác
uuur
DN

.

có


.
và điểm

là:

M

A, B, C , D

C.

. D.

trong các vectơ sau:
uuur
MP
C.
.

. C.

D.

uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
AM + MB = CM + MD

.D.


. Đẳng thức nào sau đây đúng?

uuur uuu
r uuu
r uuu
r
AC + BD = CB + DA

.

C.

uuur uuu
r uuu
r uuur
AC + BD = CB + AD

lần lượt là trung điểm của

uuur uuur uuur
MA, MB, ND
.

uuur uuu
r uuu
r uuu
r
AC − DB = CB − DA


tùy ý. Đẳng thức nào đúng ?

uuur uuuu
r uuuu
r uuur
MA + MD = MC + MB

M , N, D

uuuur uuur uuur
AM , MB, ND

A.

uuuu
r
MQ

ABCD

Câu 19. Cho các điểm phân biệt
uuur uuu
r uuu
r uuu
r
AC + BD = BC + DA

. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

uuur uuu

r uuu
r uuur
AC − BD = CB − AD

B.
.
uuuu
r uuur uuur uuur uuur
MN − QP + RN − PN + QR

Câu 18. Cho hình bình hành
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA + MB = MC + MD

A, B, C , D

B.

. D.

AB, AC , BC

C.

uuuu
r
MN


.

uuur uuuu
r uuur uuuu
r
MA + MC = MB + MD

uuur uuur uuur uuur
AC + BD = BC + AD

. Khi đó, các vectơ đối

uuur uuuur
MB, AM
.

uuu
r uuur uuur uuu
r
AB − AD = DC − BC

uuuur uuuur uuur
AM , BM , ND
.

D.

.

VẬN DỤNG

Câu 21. Cho hình bình hành
A.

uuur uuu
r uuu
r
AO + BO = BC

.

ABCD
B.

Câu 22. Cho các điểm phân biệt
A.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB = BC − AC

.

B.

Câu 23. Cho bốn điểm
A.

r r

u=0

B.

Câu 24. Cho ba điểm
A.

uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC

Câu 25. Cho
A.

.

A, B, C

uuu
r uuur uuu
r
AB + AC = BC

A, B, C

O

. Khẳng định nào sau đây là sai:


uuur uuur uuu
r
AO + DC = OB

A, B, C

.

C.

.

C.

phân biệt. Khi đó vectơ

r uuur
u = AD

.

C.

uuu
r uuu
r uuu
r
CA + AB = BC

.


C.

phân biệt, mệnh đề dưới đây đúng là:

Câu 26. Chọn kết quả sai:

.

D.

uuu
r uuu
r uuu
r
AB = BC − CA

.

D.

r uuur uuu
r uuu
r uuu
r
u = AD − CD + CB − DB
r uuur
u = CD

.


B.

uuu
r uuu
r uuu
r
CA − BA = BC

.

C.

uuu
r uuur uuu
r
BA + AC = BC

uuu
r uuu
r uuu
r
AB + CA = CB

uuur uuu
r uuu
r
AO − BO = CD

uuu

r uuu
r uuu
r
AB = CA − CB

.

.

D.

D.

.

là:

D.

phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là sai?

B.

.

uuur uuu
r uuur
AO − BO = DC

. Đẳng thức nào sau đây đúng?


uuu
r uuu
r uuu
r
AB = CB − CA

A, B, C , D

.

có tâm

r uuur
u = AC

.

uuu
r uuur uuu
r
AB − AC = CB

uuur uuu
r uuu
r
AC − BC = CA

.


.

.

.

.


uuu
r

A.

uuur

r

BA + AB = 0

uuu
r uuu
r

.

B.

Câu 27. Kết quả bài toán tính :
A.


uuu
r
CB

.

A.

uuur uuu
r uuu
r
AO + BO = BD

B.

Câu 29. Cho bốn điểm
A.

r uuur
u = AD

B.

uuu
r

.

C. .


O

uuuu
r uuur uuuu
r
MN + NX = MX

D.

là:
r
0

có tâm

D.

uuur
− AD

. Khẳng định nào là đúng:

uuur uuur uuu
r
AO + AC = BO

.

C.


phân biệt. Khi đó vectơ

r r
u=0

uuur

CA + AC = AB

C.

.

A, B, C , D

.

.

uuur
2 BD

ABCD

.

uuu
r


uuu
r uuu
r uuur
AB + CD − AD

B.

Câu 28. Cho hình bình hành

uuu
r

CA − CB = BA

.

C.

uuur uuu
r uuu
r
AO − BO = CD

.

r uuur uuu
r uuu
r uuu
r
u = AD − CD + CB − AB

uuur
u = CD

.

D.

.

uuu
r uuur uuu
r
AB − AC = DA

D.

.

.

bằng:

r uuur
u = AC

.

ABCD
O
Câu 30. Cho hình bình hành

tâm . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
AO + BO − CO + DO = 0
AO + BO + CO + DO = 0
AO + OB + CO − OD = 0
OA − OB + CO + DO = 0
A.
B.
.C.
. D.
.
3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ
Phương pháp: Để xác định 1 điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, ta làm như sau
uuuu
r r
r
AM = u
u
- Biến đổi đẳng thức về dạng
, trong đó A và là cố định
r
u
- Lấy A làm gốc để dựng vectơ bằng điểm ngọn chính là điểm M cần tìm
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho


∆ABC

. Điểm

M

thỏa mãn

A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận
B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận
C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận
D. Trọng tâm tam giác
Câu 2. Cho tam giác
mệnh đề nào?
A.

M

ABC
ABC

uuur uuur uuuur r
MA + MB − MC = 0
AC

AB
AB

và
và

và

BC
AC
BC

thì điểm

M

là:

làm hai cạnh.
làm hai cạnh.
làm hai cạnh.

.
. Để điểm

là điểm sao cho tứ giác

ABMC

M

thoả mãn điều kiện

là hình bình hành.

B.


uuur uuur uuuu
r r
MA − MB + MC = 0

M

thì

M

là trọng tâm tam giác

phải thỏa mãn

ABC

.


C.

M

là điểm sao cho tứ giác

BAMC

M


là hình bình hành.
D.
thuộc trung trực của
uuur uuur uuuu
r r
MA + MB + CM = 0
∆ABC
M
M
Câu 3. Cho
. Điểm
thỏa mãn
thì điểm
là
AC
BC
A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận
và
làm hai cạnh.
AC
AB
B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận
và
làm hai cạnh.
BC
AB
C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận
và
làm hai cạnh.
ABC

D. trọng tâm tam giác
.
Câu 4. Cho tam giác
A.

MABC

ABC

và điểm

là hình bình hành. B.

M

thỏa mãn điều kiện

uuuu
r uuu
r uuur
AM + AB = AC.

C.

uuur uuur uuur r
MA - MB + MC = 0

uuu
r uuu
r uuur

BA + BC = BM .

AB

.

. Mệnh đề nào sau đây sai?
D.

uuur uuu
r
MA = BC.

VẬN DỤNG
uuur uuur uuuu
r uuur
MA + MB = MC + MB

ABC
M
Câu 5. Cho tam giác
. Tập hợp những điểm
sao cho:
là:
BC
M
A.
nằm trên đường trung trực của
.
M

I
R = 2 AB
I
AB
IA = 2 IB
B.
nằm trên đường tròn tâm ,bán kính
với nằm trên cạnh
sao cho
.
I, J
BC
IJ
M
AB
C.
nằm trên đường trung trực của
với
lần lượt là trung điểm của
và
.
R = 2 AC
M
I
I
AB
IA = 2 IB
D.
nằm trên đường tròn tâm , bán kính
với nằm trên cạnh

sao cho
.

Câu 6. Cho tam giác
A.
C.

M

M

ABC

có

thỏa mãn điều kiện

là điểm thứ tư của hình bình hành
trùng với

A. đường thẳng

ABC.

Tập hợp tất cả các điểm

AB.

B. trung trực đoạn
ABCD


A. một đường tròn.
Câu 9. Cho
M

uuur uuur uuur r
MA + MB + MC = 0

B.
D.

Câu 8. Cho hình bình hành

D ABC

ACBM .

C.

Câu 7. Cho tam giác

A.

M

và điểm

BC.

là trung điểm của


M

là trung điểm của đoạn thẳng
là trọng tâm tam giác

thỏa mãn
AC.

B.

M

AB.

ABC.

thỏa mãn đẳng thức

C. đường tròn tâm
M

A,

bán kính

thỏa mãn đẳng thức

C. tập rỗng.


uuur uuur uuu
r
MB + MC = AB

M.

uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA

. Tập hợp tất cả các điểm

B. một đường thẳng.
M

M

M

. Xác định vị trí điểm

BC.

D. ĐT qua

A

và //


uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB - MC = MD

BC.

là

D. một đoạn thẳng.

. Tìm vị trí điểm

là trung điểm của

là

AB.

M.


C.

M

là trung điểm của

Câu 10. Cho tam giác
A.


MABC

ABC

BC.

D.

và điểm

là hình bình hành.

M

M

là điểm thứ tư của hbh

thỏa mãn điều kiện

uuur uuur uuur r
MA - MB + MC = 0

uuuu
r uuu
r uuur
AM + AB = AC.

B.


ABCM .

C.

. Mệnh đề nào sau đây sai?

uuu
r uuu
r uuur
BA + BC = BM .

uuur uuu
r
MA = BC.

D.

4. Dạng 4: Bài toán thực tế (vật lý_lực)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho ba lực

uu
r uuur uur uuur uu
r uuuu
r
F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC

Cho biết cường độ của

uur uur

F1 , F2

đều bằng

50 2 N
A.

và

·AMB = 600

50 3 N
.

Câu 2: Cho ba lực

B.

ur ur
F 1, F 2
đều bằng

100 3 N

50N

C.

và góc


·AMB = 600

B.

C.

là:

D.

.

M

và vật đứng yên.

. Khi đó cường độ lực của

50 3 N
.

uur
F3

100 3 N
.

cùng tác động vào một vật tại điểm

25 3 N

.

. Khi đó cường độ lực của

25 3 N
.

ur uuur ur uuur ur uuuur
F 1 = MA, F 2 = MB, F 3 = MC

Cho biết cường độ của

A.

100N

cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên.

uur
F3

50 2 N
.

D.

.

là: