CHUYỀN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ (15 TIẾT)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
B. PHÂN TÍCH ĐỀ THI CỦA THAM KHẢO CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2018
MỨC ĐỘ ĐÁNH GIÁ

CHỦ ĐỀ
HÌNH KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ

Nhận biết

Thông hiểu

VD

VDC

Câu 10,12,15

Câu 24,29

Câu 41, 44

Câu 48

TỈ LỆ
16%

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3; −1;1) . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt
phẳng (Oyz ) là điểm
B. N (0; −1;1) .

A. M (3;0;0) .

C. P (0; −1;0) .

D. Q(0;0;1) .

Lời giải
Khi chiếu điểm A ( 3; −1;1) lên mặt phẳng ( Oyz ) thì tung độ và cao độ giữ nguyên, hoành độ
bằng 0 .
Vậy N ( 0; −1;1) .

r r r r r
r
Câu 10.1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2 j − 3k ; b = i + 2k .Khi đó tọa độ của
r r
a + b là:
A. (1; 2; −1).
B. (1;0;1) .
C. (1; 2; 2) .
D. (−1;0; 2) .
uuuur
r
r
r
Câu 10.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho OM = − k + 2 j + 3 i .Gọi M ' đối xứng với
M qua gốc tọa độ. Tích của tung độ và cao độ của M ' là:
A. − 6.
B. − 2. .
C. − 3. .

D. 0 .
Câu 10.3: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2;1) . Tính độ
dài đoạn thẳng OA.
A. OA = 3.

B. OA = 9.

D. OA = 5.
r
Câu 10.4: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a (2;1;0) và
r
r r
b = (−1;0; −2) . Tính cos a , b .
C. OA = 5.

( )

2
2
2
r r
r r
r r
r r 2
A. cos a , b = .
B. cos a , b = − .
C. cos a , b = − .
D. cos a , b = .
25
5

25
5
Câu 10.5: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
M (2;3; −1), N ( −1;1;1) và P(1; m − 1; 2) . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.

(

)

(

)

(

)

( )

A. m = −6 .
B. m = 0 .
C. m = −4 .
D. m = 2 .
Câu 10.6: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc ( P ) ?
A. Q(2; −1;5).

Unrestricted

B. P (0;0; −5).


C. N ( −5;0;0).

D. M (1;1;6).


Câu 10.7: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho đường thẳng ∆ có phương trình
 x = 2 + 2t

y = −1 + 3t . Một trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án A, B , C , D dưới đây nằm trên
z = −4 + 3t

đường thẳng ∆ . Đó là điểm nào?

(

)

A. M 0; −4; −7 .

(

(

)

B. N 0; −4;7 .

(


)

C. P 4;2;1 .

D.

).

Q −2; −7;10

Câu 10.8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc M ' của điềm M (1;−1;2)
trên Oy có tọa độ là
A. (0;−1;0) .

B. (1;0;0) .

C. (0;0;2) .

D. (0;1;0) .

Câu 10.9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; −2;3) và B ( −1; 2;5 ) . Tìm
tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB .
A. I ( −2; 2;1) .

B. I ( 1; 0; 4 ) .

C. I ( 2; 0;8 ) .

D.


I ( 2; −2; −1) .
Câu 10.10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( −1; 2;3) , N ( 0; 2; −1) . Tọa
độ trọng tâm của tam giác OMN là
 1 4 2
A.  − ; ; ÷.
 3 3 3

 1

B.  − ; 2;1÷.
 2


C. ( 1;0; −4 ) .

D. ( −1; 4; 2 ) .

Câu 10.11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , các véctơ đơn vị trên các trục Ox , Oy ,
r r r
Oz lần lượt là i , j , k , cho điểm M ( 2; −1; 1) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuuu
r r r r
uuuu
r
r r r
uuuu
r r r r
A. OM = k + j + 2i.
B. OM = 2k − j + i.
C. OM = 2i − j + k .

D.
uuuu
r r r
ur
OM = i + j + 2k .
Câu 10.12: Cho ba điểm A ( 2; −1;5) , B ( 5; −5;7 ) và M ( x; y;1) . Với giá trị nào của x, y thì ba
điểm A, B, M thẳng hàng ?
A. x = 4 và y = −7 .
B. x = 4 và y = 7 .
C. x = −4 và y = −7 D. x = −4 và
y =7

Unrestricted


Câu 10.13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 2;1;0 ) , B ( 1; 2;2 ) ,

M ( 1;1;0 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 20 = 0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng AB
sao cho MN song song với mặt phẳng ( P ) .
A. N ( 2;1;1) .

5 1
2 2




3 3 
2 2 


B. N  ; ; −1 ÷.

C. N  ; ;1÷.

D.

5 1 
N  ; ;1÷.
2 2 

Hướng dẫn giải
Chọn B.

uuu
r

Đường thẳng AB đi qua A và nhận AB = ( −1;1; 2 ) làm vectơ chỉ phương có
x = 2 − t

phương trình tham số là:  y = 1 + t .
 z = 2t

uuuu
r
Do N ∈ AB nên N ( 2 − t;1 + t ; 2t ) ⇒ MN = ( 1 − t ; t ; 2t ) .
r
Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến là: n = ( 1;1;1) .

Câu


uuuu
rr
1
5 1 
MN / /( P) ⇒ MN .n = 0 ⇔ 1 − t + t + 2t = 0 ⇔ t = − ⇒ N  ; − 1÷.
2
2 2 
10.14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( 1;2;2) ,

B ( 5;4;4)

và

mp(P ): 2x + y − z + 6 = 0 . Tọa độ điểm M nằm trên mp(P ) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất là:

A. M ( −1;1;5) .

B. M ( 0;0;6) .

C. M ( 1;1;9) .

D.

M ( 0; −5;1) .

Câu 10.15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;1;1) , B ( 2;1; −1) , C ( 0; 4;6 ) .
uuur uuur uuuu
r
Điểm M di chuyển trên trục Ox . Tìm tọa độ M để P = MA + MB + MC có giá trị
nhỏ nhất.

A. ( −2;0;0 ) .

B. ( 2;0;0 ) .

C. ( −1;0;0 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi M ( x;0;0 ) ∈ Ox, ( x ∈ ¡ ) .
uuur
uuur
uuuu
r
Khi đó MA = ( 1 − x;1;1) , MB = ( 2 − x;1; −1) , MC = ( − x;4;6 ) .

Unrestricted

D. ( 1;0;0 ) .


uuur uuur uuuu
r
MA + MB + MC = ( 3 − 3x;6;6 ) .
Với mọi số thực x , ta có
uuur uuur uuuu
r
2
2
P = MA + MB + MC = ( 3 − 3x ) + 62 + 62 = 9 x 2 − 18 x + 81 = 9 ( x − 1) + 72 ≥ 72 ;
P = 72 ⇔ x = 1 .


uuur uuur uuuu
r
Vậy GTNN của P = MA + MB + MC là

72 , đạt được khi và chỉ khi x = 1 .

Do đó M ( 1;0;0 ) là điểm thoả mãn đề bài.
Câu 10.16: Cho hình bình hành ABCD với A ( −2; 3; 1) , B ( 3; 0; −1) , C ( 6; 5; 0 ) . Tọa độ đỉnh D
là
A. D ( 1; 8; −2 ) .

B. D ( 11; 2; 2 ) .

C. D ( 1; 8; 2 ) .

D.

D ( 11; 2; −2 ) .
uuuu
r
Câu 10.17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 3;1;0 ) và MN = ( −1; −1;0 ) .
Tìm tọa độ của điểm N .
A. N ( 4; 2; 0 ) .

B. N ( −4; −2; 0 ) .

C. N ( −2; 0; 0 ) .

D.


N ( 2; 0; 0 ) .

Lời giải
uuuu
r
Chọn D. Gọi N ( x; y; z ) là điểm cần tìm. Ta có: MN ( x − 3; y − 1; z ) .

 x − 3 = −1  x = 2


Khi đó theo giả thiết ta có:  y − 1 = −1 ⇔  y = 0 ⇒ N ( 2;0; 0 ) .
z = 0
z = 0


Câu 10.18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 0; − 2; − 1) và
A ( 1; − 1; 2 ) . Tọa độ điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB là
2 4
A. M  ; − ;
3 3


1 ÷.


1 3 1
B. M  ; − ; ÷ .
2 2 2


C. M ( 2; 0; 5 ) .

D. M ( −1; −3; −4 ) .
Lời giải

Unrestricted


 xM − x A = 2( xB − xM )
uuuu
r
uuur

Chọn A. Ta có: AM = 2 MB ⇔  yM − y A = 2( yB − yM )
 z − z = 2( z − z )
 M
A
B
M
2

 xM = 3
3 xM = 2 xB + x A

4

⇔ 3 yM = 2 y B + y A ⇔  yM = −
3
3 z = 2 z + z


 M
B
A
 zM = 1
Câu 10.19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ điểm các điểm trên trục Oy cách đều
hai mặt phẳng có phương trình x + 2 y − 2 z + 1 = 0 và 2 x + y + 2 z − 1 = 0 là
A. M ( 0;1;0 ) .

B. M ( 0; −1;0 ) .

 1 
C. M  0; ;0 ÷.
 2 

D. M ( 0;0;0 ) và N ( 0; −2;0 ) .
Hướng dẫn giải

Chọn D
Cách 1: Tính khoảng cách từ các điểm đến 2 mặt phẳng, nếu bằng nhau chọn.
Cách 2: Gọi M (0; y; 0) ∈ Oy .
Theo đề, d( M ; mp (1)) = d( M ; mp(2)) ⇔ | 2 y + 1|=| y − 1| ⇔ y = −2 hoặc y = 0 .
Câu 10.20: Trong không gian Oxyz , cho A ( 2; 1; − 1) , B ( 3; 0;1) , C ( 2; − 1; 3) và D nằm trên
trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5 . Tọa độ của D là:
A. D ( 0; − 7; 0 ) .

 D ( 0; − 7; 0 )
C. 
.
 D ( 0; 8; 0 )


B. D ( 0; 8; 0 ) .

D.

 D ( 0; 7; 0 )
.

 D ( 0; − 8; 0 )
Lời giải
Chọn C.
Vì D ∈ Oy nên D(0; y;0)
uuu
r uuur
uuur
uuur
uuu
r
Ta có: AB = (1; −1; 2) , AC = ( 0; −2; 4 ) ⇒  AB, AC  = ( 0; −4; −2 ) , AD = ( −2; y − 1;1)
r uuur uuur 1
 y = −7
1 uuu
VABCD =  AB, AC  . AD = 2 − 4 y . Vậy VABCD = 5 ⇔ 2 − 4 y = 30 ⇔ 
.
6
6
y = 8

Unrestricted



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 3;1;0 ) , B ( 0; −1;0 ) ,
uuur uuur uuuu
r r
C ( 0;0; −6 ) . Nếu tam giác A′B′C ′ thỏa mãn hệ thức A′A + B′B + C ′C = 0 thì tọa độ trọng tâm của
tam giác đó là :
Câu 10.21:

A. ( 1; 0; −2 ) .

B. ( 2; −3;0 ) .

C. ( 3; −2;0 ) .

D. ( 3; −2;1) .

Hướng dẫn giải.
Chọn A.
uuur uuur uuuu
r r
Ta có: AA′ + BB′ + CC ′ = 0 ( 1)
uuuur uuuu
r uuu
r
uuuur uuuu
r uuu
r
uuuur uuuu
r uuur r
⇔ A′G′ + G′G + GA + B′G ′ + G ′G + GB + C ′G′ + G ′G + GC = 0 .


(
) (
) (
uuu
r uuu
r uuur
uuuur uuuur uuuur
uuuu
r r
⇔ ( GA + GB + GC ) + ( A′G ′ + B′G ′ + C ′G′ ) + 3G ′G = 0

)

( 2)

Nếu G , G ′ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , A′B′C ′ nghĩa là
uuuu
r r
uuu
r uuu
r uuur uuuur uuuur uuuur
′
2
⇔
G
G
= 0 ⇔ G′ ≡ G .
thì
(
)

′
′
′
′
′
′
⇔ GA + GB + GC = A G + B G + C G
Tóm lại ( 1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC , A′B′C ′ có cùng trọng tâm.
Ta có tọa độ của G là: G = ( 1;0; −2 ) .
Câu 10.22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; 2; −1) , B ( 5; 4;3) . M là
điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho
A. ( 7;6;7 ) .

AM
= 2 . Tìm tọa độ của điểm M .
BM

 13 10 5 
B.  ; ; ÷.
 3 3 3

 5 2 11 
C.  − ; − ; ÷.
 3 3 3

D. ( 13;11;5 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho


AM
= 2 nên B là trung điểm AM
BM

3 + xM

5 = 2
 xM = 7

2 + yM


⇒ 4 =
⇒  yM = 6 ⇒ M ( 7; 6;7 )
2

z = 7
 M
−1 + zM

3
=

2

Câu 10.23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Biết tọa
độ các đỉnh A ( −3; 2;1) , C ( 4; 2; 0 ) , B′ ( −2;1;1) , D′ ( 3;5; 4 ) . Tìm tọa độ điểm A′ của hình hộp.

Unrestricted



A. A′ ( − 3;3;1) .
.

B. A′ ( − 3; − 3;3 ) .

C. A′ ( − 3; − 3; − 3) .

D. A′ ( − 3;3;3)

Lời giải

Chọn D.

1 1
Gọi I là trung điểm của AC ⇒ I  ; 2; ÷ . Gọi J là trung điểm của B′D′
2 2
1 5
⇒ J  ;3; ÷ .
2 2
 xA' + 3 = 0
 x A ' = −3
uuur uu
r
uu
r


Ta có IJ = ( 0;1; 2 ) .Ta có AA′ = IJ ⇔  y A ' − 2 = 1 ⇔  y A ' = 3 .Vậy A′ ( −3;3;3) .

z −1 = 2
z = 3
 A'
 A'
Câu 10.24: Cho tam giác ABC với A ( 1; 2; − 1) , B ( 2; − 1; 3) , C ( − 4; 7; 5 ) . Độ dài phân giác
trong của ∆ABC kẻ từ đỉnh B là
A.

2 74
.
5

B.

2 74
.
3

C.

3 73
.
3

D. 2 30 .

Lời giải

Chọn B.
Gọi D ( a; b; c ) là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh B .

Ta
2

a = − 3
2 ( a − 1) = − a − 4

uuur
BA AD 1
1 uuur 
2 74
 11
=
= ⇒ AD = − CD ⇒ 2 ( b − 2 ) = −b + 7 ⇔ b =
⇒ BD =
.
BC CD 2
2
3
3


2 ( c + 1) = −c + 5
c = 1



Unrestricted

có



Câu 10.25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3; 6; 4 ) . Gọi M
là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2 MB . Độ dài đoạn AM là
A. AM = 3 3.

B. AM = 2 7.

C. AM = 29.

D.

AM = 19.
Câu 10.26: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; −2;0 ) , B ( 1;0; −1) và

C ( 0; −1; 2 ) , D ( 0; m; k ) . Hệ thức giữa m và k để bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng là :
A. m + k = 1 .
.

B. m + 2k = 3 .

C. 2m − 3k = 0 .

D. 2m + k = 0

Hướng dẫn giải
Chọn B.
uuu
r
uuur
uuur

AB = (0; 2; −1) AC = (−1;1; 2) AD = (−1; m + 2; k)
uuu
r uuur
uuur uuur uuur
 AB, AC  = (5;1; 2) ⇒  AB, AC  . AD = m + 2k − 3




uuu
r uuur uuur
Vậy bốn điểm ABCD đồng phẳng ⇔  AB, AC  . AD = 0 ⇔ m + 2k = 3


Chú ý: Có thể lập phương trình ( ABC ) sau đó thay D để có kết quả.
Câu 10.27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho S ( 1; 2;3) và các điểm A , B , C thuộc
các trục Ox , Oy , Oz sao cho hình chóp S . ABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc
với nhau. Tính thể tích khối chóp S . ABC .
A.

343
.
6

B.

343
.
18


C.

343
.
12

Hướng dẫn giải
Chọn.D.
A(a;0; 0) , B(0; b; 0) , C (0;0; c) .
uur
uur
uuu
r
SA = (a − 1; −2; −3) ; SB = (−1; b − 2; −3) ; SC = (−1; −2; c − 3) .

Vì SA , SB , SC đôi một vuông góc nên

uur uur
uur uur
a = 7
 SA ⊥ SB
 SA.SB = 0
a + 2b = 14

r
r


7
 uur uuu

 uur uuu


 SB ⊥ SC ⇔  SB.SC = 0 ⇔ 2b + 3c = 14 ⇔ b = .
2
r
r
 uur uuu
 uur uuu
a + 3c = 14

SA
⊥
SC
SA
.
SC
=
0



7



c = 3

Unrestricted


D.

343
.
36


Do SA , SB , SC đôi một vuông góc , nên: VSABC =

1
1 7 7 343
SA.SB.SC = .7. . =
.
6
6 2 3 36

Câu 10.28: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A ( 1;1; −6 ) , B ( 0;0; −2 ) ,

C ( −5;1; 2 ) và D′ ( 2;1; −1) . Thể tích khối hộp đã cho bằng:
B. 19 .

A. 12 .

C. 38 .

D. 42 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.


uuu
r uuur uuuu
r
Thể tích khối hộp đa cho V = 6VABCD′ =  AB, AC  . AD′ .
uuur
uuur
uuuu
r
Ta có: AB = ( −1; −1; 4 ) , AC = ( −6; 0;8 ) và AD′ = ( 1;0;5 )
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuuu
r
Do đó:  AB, AC  = ( −8; −16; −6 ) . Suy ra  AB, AC  . AD′ = −38 . Vậy V = 38 .

Câu 10.29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 0;1;1) ; B ( 1;1; 0 ) ; C ( 1;0;1) và
mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 1 = 0 . Điểm M thuộc ( P ) sao cho MA = MB = MC . Thể tích khối chóp

M . ABC là
A.

1
.
6

B.

1
.

2

C.

1
.
9

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi điểm M ( x; y; z ) .
Vì điểm M thuộc ( P ) sao cho MA = MB = MC nên

x + y − z −1 = 0
 M ∈ ( P)
 2

2
2
2
2
2
 MA = MB ⇔  x + ( y − 1) + ( z − 1) = ( x − 1) + ( y − 1) + z
 MA = MC
 x 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 1) 2 = ( x − 1) 2 + y 2 + ( z − 1) 2


x + y − z −1 = 0
x = 1



⇔ x − z = 0
⇔  y = 1 ⇒ M (1;1;1)
x − y = 0
z = 1


Ta có
uuur
uuur
uuur uuur
MA = ( 1;0;0 ) ; MB = ( 0;0;1) ⇒  MA, MB  = (0; −1;0)
uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
MC = ( 0;1;0 ) ⇒  MA, MB  .MC = −1

VM . ABC =

Unrestricted

r 1
1 uuur uuur uuuu
 MA, MB  .MC = .

6
6

D.


1
.
3


Câu 10. 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 1 = 0 và

( Q ) : x − y + z − 5 = 0.
( P ) và ( Q ) ?

Có bao nhiêu điểm M trên trục Oy thỏa mãn M cách đều hai mặt phẳng

B. 1 .

A. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn B.
Vì M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) . Khi đó
d  M ; ( P )  = d  M ; ( Q )  ⇔

y +1
3

=


y+5
3

⇔ y + 1 = y + 5 ⇔ y = −3 .

Vậy có một điểm M .
Câu 10.31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 có
A ( 0; 0; 0 ) , B ( 2; 0; 0 ) , C ( 0; 2; 0 ) , A1 ( 0; 0; m ) ( m > 0 ) và A1C vuông góc với BC1 . Thể tích khối tứ
diện A1CBC1 là:
A.

4
3

B.

8
.
3

C. 4.
D. 8.
uuuu
r
uuuu
r
Hướng dẫn giải: Ta có: C1 ( 0; 2; m ) , A1C ( 0; −2; m ) , BC1 ( −2; 2; m )
uuuu
r uuuu

r
Vì A1C vuông góc với BC1 nên A1C BC1 = 0 ⇔ 0. ( −2 ) + ( −2 ) .2 + m.m = 0 ⇔ m = 2 (vì m > 0 )

1
Ta có: AC = 2; AB = 2; AA1 = 2 ⇒ VABC . A1B1C1 = .2.2.2 = 4
2
1
4
Thể tích khối tứ diện A1CBC1 là: V = VABC . A1B1C1 =
3
3
Câu 10. 32:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A ( 6; −3; 4 ) , B ( a; b; c ) . Gọi

M , N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) , ( Oxz ) và

( Oyz ) . Biết rằng

M , N , P nằm trên đoạn AB sao cho AM = MN = NP = PB , khi đó giá trị

của tổng a + b + c là:
A. 11 .

B. −11 .
Hướng dẫn giải.

Chọn B.

M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( xM ; yM ;0 )

N ∈ ( Oxz ) ⇒ N ( xN ;0; z N )
Unrestricted

C. 17 .

D. −17 .


P ∈ ( Oyz ) ⇒ P ( 0; yP ; z p )

Từ giả thiết AM = MN = NP = PB suy ra
uuuu
r 1 uuu
r
1
AM = AB ⇒ 0 − 4 = ( c − 4 ) ⇔ c = −12
4
4
uuur 1 uuu
r
y + yB
b−3
AN = AB ⇒ N là trung điểm AB ⇒ y N = A
⇔0=
⇔b=3
2
2
2
uuu
r 3 uuu

r
3
AP = AB ⇒ −6 = ( a − 6 ) ⇔ a = −2
4
4

Vậy a + b + c = −11 .

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
mộturvectơ chỉ phương là
uu
r
A. u1 = ( −1; 2;1) .
B. u2 = (2;1;0) .
uu
r
u4 = ( −1; 2;0) .

x − 2 y −1 z
=
= . Đường thẳng d có
−1
2
1
uu
r
C. u3 = (2;1;1) .

D.


Câu 12.1: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) . Gọi
M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ Ox, Oy. Vectơ nào dưới đây
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng M 1 M 2 ?
r
r
A. u2 = (1; 2;0) .
B. u3 = (1; 0;0) .
r
u1 = (0; 2;0).

r
C. u4 = (−1; 2;0).

D.

Câu 12.2: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 3 = 0 . Véctơ nào sau đây không
phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) ?
r
r
A. a = ( 3; −3;0 ) .
B. a = ( 1; −1;3) .
r
a = ( 1; −1;0 ) .

r
C. a = ( −1;1;0 ) .

Câu 12.3: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 4; 2; 6 ) , đường thẳng d :

D.


x −1 y − 2 z − 3
=
=
,
1
−2
2

mặt phẳng ( P ) : 3 x + y + z + 2 = 0 . Đường thẳng ∆ đi qua A, song song với mặt phẳng ( P ) và
cách đường thẳng d một khoảng lớn nhất có một vectơ chỉ phương là
ur
A. u ( 1;1; −4 ) .
.

Unrestricted

ur
B. u ( 1; −1; −2 ) .

ur
C. u ( 1;0; −3) .

ur
D. u ( 1; 2; −5 )


Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d ⇒ H ( 2; 0;5 ) .
Ta có d ( ∆, d ) ≤ AH . Dấu bằng xảy ra khi AH ⊥ ∆ .

uuur ur
uuur
ur
HA ( 2; 2;1) ; n ( 3;1;1) là vectơ phấp tuyến của ( P ) ;  HA, n  = ( 1;1; −4 )
ur
Do đó ∆ có một vectơ chỉ phương là u = ( 1;1; −4 ) .
Câu 12.4: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng
x = 2 + t
x − 2 y +1 z

∆
:
∆1 :
=
= ; 2  y = 3 + 2t có một vec tơ pháp tuyến là:
2
−3
4
 z = 1 − t
r
r
r
A. n = ( −5;6; −7 ) .
B. n = ( 5; −6;7 ) .
C. n = ( −5; −6;7 ) .
D.
r
n = ( −5;6;7 ) .
Câu 12.5: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là
một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy ) ?

r
r
r
r
A. i = (1; 0; 0)
B. k (0;0;1) .
C. j (−5;0;0) .
D. m = (1;1;1) .
Câu 12.5: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng
x = 2 + t
x − 2 y +1 z

∆1 :
=
= ; ∆ 2 :  y = 3 + 2t có một vec tơ pháp tuyến là:
2
−3
4
 z = 1 − t
r
r
r
A. n = ( −5;6; −7 ) .
B. n = ( 5; −6;7 ) .
C. n = ( −5; −6;7 ) .
D.
r
n = ( −5;6;7 ) .
Câu 12. 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A ( 4; 2; −6 ) , B ( 2; 4;1) . Gọi d là
đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABO sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A

, B , C đến đường thẳng d là lớn nhất. Trong các véctơ sau, véctơ nào là một véctơ
chỉ phương của đường thẳng d ?
r
r
r
A. u = ( −13;8; −6 ) .
B. u = ( 13;8; −6 ) .
C. u = ( −13;8;6 ) .
D.

r
u = ( 13;8;6 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

 d ( A, d ) ≤ AG

Ta có  d ( B, d ) ≤ BG

 d ( O, d ) ≤ OG
Đặt T = d ( A, d ) + d ( B, d ) + d ( O, d ) ≤ AG + BG + OG

Unrestricted


Dấu " = " xẩy ra d cùng vuông góc với AG , BG, OG hay d ⊥ ( OAB )
r uuur
r uuu
Véctơ pháp tuyến của ( OAB ) là n = OA, OB  = ( 26; −16;12 )

r
r
Trong các véctơ trên u = ( −13;8; −6 ) cùng phương với n = ( 26; −16;12 )
Câu 12. 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( −1; −2; 2 ) , B ( −3; −2;0 ) và

( P ) : x + 3 y − z + 2 = 0 . Vectơ chỉ phương của đường thẳng

∆ là giao tuyến của ( P )

và mặt phẳng trung trục của AB có tọa độ là:
A. ( 1; −1;0 ) .

B. ( 2;3; −2 ) .

C. ( 1; −2; 0 ) .

D. ( 3; −2; −3) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

uur
Mặt phẳng ( P ) : x + 3 y − z + 2 = 0 có VTPT là nP = ( 1;3; −1) .
Gọi ( Q ) là mặt phẳng trung trực của AB ⇒ mp ( Q ) có VTPT là
uur uuu
r
nQ = AB = ( −2;0; −2 )
uur uur uur
Ta có ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) nên đường thẳng ∆ có VTCP a∆ =  nP ; nQ  = ( −6; 4;6 ) cùng
phương với vectơ ( 3; −2; −3) .

Câu 12. 8: (TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ - VĨNH PHÚC) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) : 2 x + 2 y − z − 4 = 0 . Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm

của mặt phẳng ( Q ) với ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz . Đường cao MH của tam giác

MNP có một véctơ chỉ phương là
r
r
A. u = ( −3;4; −2 ) .
B. u = ( 2; −4;2 ) .

r
C. u = ( 5; −4;2 ) .

D.

r
u = ( −5; −4;2 ) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: ( Q ) : 2 x + 2 y − z − 4 = 0 ⇔

x y z
+ − = 1 ⇒ M ( 2;0;0 ) ; N ( 0;2;0) ; P ( 0;0;−4 ) .
2 2 4

x = 0

Đường thẳng qua 2 điểm NP có phương trình tham số  y = 2 + t .
 z = 2t



Unrestricted


Gọi

H

là

chân

đường

cao

từ

M

của

∆ABC

ta

có:

r

 H ( 0; 2 + t ; 2t )
2 uuuur 
8 4
5 uuuu
⇒ t = − ⇒ MH =  −2; ; − ÷⇒ − MH = ( 5; −4; 2 ) .
 uuuur uuur
5
5 5
2

 MH .NP = 0

Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M (2;0;0) , N (0; −1;0) và P (0;0; 2) . Mặt phẳng
( MNP) có phương trình là
x y z
x y z
x y z
A. + + = 0 .
B. + + = −1 . C. + + = 1 .
D.
2 −1 2
2 −1 2
2 1 2

x y z
+ + =1
2 −1 2
Lời giải
Phương trình mặt chắn của mặt phẳng đi qua ba điểm lần lượt thuộc ba trục tọa độ
x y z

M ( 2; 0;0 ) , N ( 0; −1;0 ) , P ( 0;0; 2 ) là: +
+ =1.
2 −1 2
Câu 15.1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ,
A ∈ Ox, B ∈ Oy, C ∈ Oz và mặt phẳng ( ABC ) có phương trình : 6 x + 3 y + 2 z – 6 = 0 . Thể tích của

khối tứ diện tính theo (đvdt) bằng:
A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Câu 15.2: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P ) cắt Ox,Oy,Oz lần lượt
tại các điểm A, B,C sao cho tứ diện OABC nhận G ( 1;1;2) là trọng tâm.

x y z
x y z
x y z
+ + =1.
B. + + = 1 .
C. + + = 0 .
D.
4 4 8
3 3 4
4 4 8
x y z
+ + = 0.

3 3 4
Câu 15.3: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 2;4;1) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các
trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A, B,C tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương
sao cho 4OA = 2OB = OC . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
 14 7 7 
 17 34 68
 17 17 17 
A. G  ; ; ÷.
B. G  ; ; ÷ .
C. G  ; ; ÷.
D.
 8 4 2
 3 3 6
 3 3 3
A.

 17 17 17 
G  ; ; ÷.
 12 6 3 

Unrestricted


Câu 15.4: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;2;3) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M cắt 3 tia
Ox,Oy,Oz lần lượt tại 3 điểm A, B,C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất. Điểm

nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng ( P ) ?
A. E ( 1;1;1) .

1


C. F  ;0;0÷.
3


B. N ( 3; −6;9) .

H ( −3; −6;9) .
Câu 15.5:

D.

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho B ( 0;3;0) , M ( 4;0; −3) . Mặt phẳng ( P ) chứa điểm

(

) (

)(

)

B, M và cắt các trục tọa độ Ox,Oz lần lượt tại A a;0;0 ,C 0;0; c c∈ ¢ sao cho thể tích khối

tứ diện OABC bằng 3. Khi đó 2a + c bằng:
A. 7 .
B. 8.
C. −5.
D. 5 .
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−1; 2;1) và B (2;1;0) . Mặt phẳng qua A và

vuông góc với AB có phương trình là
A. 3 x − y − z − 6 = 0 .
B. 3 x − y − z + 6 = 0 . C. x + 3 y + z − 5 = 0 . D.
x + 3y + z − 6 = 0 .
uuu
r
Lời giải: Ta có: AB = ( 3; − 1; − 1) .
uuur
Mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên nhận vecto AB làm vecto pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB là:
x y z
= =
và cắt mặt cầu
1 1 −1
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 6 z − 3 = 0 theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất là

Câu 24.1: Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :

A. 6 x − y + 5 z = 0.
C. −4 x + 11 y + 7 z = 0.

B. 6 x − y − 5 z = 0.
D. 4 x − 11 y + 7 z = 0.
Lời giải

Chọn C
2
2
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; − 3; − 3) và bán kính R = 22 + ( −3) + ( −3) + 3 = 5 .


Gọi H là hình chiếu của tâm I lên đường thẳng. Khi đó, mặt phẳng cần tìm sẽ vuông
góc với IH tại H .
uuu
r uu
r
2
Gọi H ( t ; t; − t ) ∈ d . Ta có: IH .u∆ = 0 ⇔ ( t − 2; t + 3; − t + 3 ) . ( 1;1; −1) = 0 ⇔ t =
3
uuu
r  4 11 7 
2 2 2
Mặt phẳng ( P ) cần tìm qua H  ; ; − ÷ có vectơ pháp tuyến là IH =  − ; ; ÷
3 3 3
 3 3 3
2
2 
2


Vậy ( P ) : −4  x − ÷+ 11 y − ÷+ 7  z + ÷ = 0 ( P ) : −4 x + 11y + 7 z = 0 .
3
3 
3



Unrestricted


Câu 24.2: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới

đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (3; −1;1) và vuông góc với đường thẳng
x −1 y + 2 z − 3
∆:
=
=
?
3
−2
1
A. 3 x − 2 y + z + 12 = 0 .
B. 3x + 2 y + z − 8 = 0 .
C. 3 x − 2 y + z − 12 = 0 .

D. x − 2 y + 3 z + 3 = 0 .

Câu 24.3: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
 x = 1 + 3t
x −1 y + 2 z

d1 :  y = −2 + t , d 2 :
=
= và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − 3 z = 0 . Phương trình nào
2
−
1
2
z = 2

dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và (P), đồng thời vuông góc với d 2
.

A. 2 x − y + 2 z + 22 = 0 .
B. 2 x − y + 2 z + 13 = 0 .
C. 2 x − y + 2 z − 13 = 0 .

D. 2 x + y + 2 z − 22 = 0 .

Câu 24.4: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới
đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz ) ?
A. y = 0 .

B. x = 0 .

C. y − z = 0 .

D. z = 0 .

Câu 24.5: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1)
và B (−2; 2;3) . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB ?
A. 3 x − y − z = 0
B. 3x + y + z − 6 = 0
C. 3 x − y − z + 1 = 0

D. 6 x − 2 y − 2 z − 1 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
x − 2 y z −1
x y z −1
= =
( S ) : ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 2) 2 = 2 và hai đường thẳng d :

, ∆: = =
.
1
2
−1
1 1
−1
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) , song song với
d và ∆ ?
A. x + z + 1 = 0 .
B. x + y + 1 = 0 .
C. y + z + 3 = 0 .
D. x + z − 1 = 0 .
Câu 24.6: (Đề năm 2016 - 2017)

Câu 24.7: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (3; −1; −2)
và mặt phẳng (α ) : 3 x − y + 2 z + 4 = 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
qua M và song song với (α ) ?
A. 3 x + y − 2 z − 14 = 0 .

B. 3 x − y + 2 z + 6 = 0 .

C. 3 x − y + 2 z − 6 = 0 .

D. 3 x − y − 2 z + 6 = 0 .

Câu 24.8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song và
cách đều hai đường thẳng d1 :

Unrestricted


x−2 y z
x y −1 z − 2
= = và d 2 : =
=
.
−1
1 1
2
−1
−1


A. ( P ) : 2 x − 2 z + 1 = 0 .

B. ( P ) : 2 y − 2 z + 1 = 0 .

C. ( P ) : 2 x − 2 y + 1 = 0 .

D. ( P ) : 2 y − 2 z − 1 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Ta có:

r
d1 đi qua điểm A ( 2;0;0 ) và có VTCP u1 = ( −1;1;1) .
r
d 2 đi qua điểm B ( 0;1; 2 ) và có VTCP u2 = ( 2; −1; −1) .


Vì ( P ) song songvới hai đường thẳng d1 và d 2 nên VTPT của
r r r
n = [ u1 , u2 ] = ( 0;1; −1)

( P)

là

Khi đó ( P ) có dạng y − z + D = 0 ⇒ loại đáp án A và C.
 1 
Lại có ( P ) cách đều d1 và d 2 nên ( P ) đi qua trung điểm M  0; ;1÷ của AB
 2 

Do đó ( P ) : 2 y − 2 z + 1 = 0
Câu 24.9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :
và d ′ :

x y z +1
=
=
1 −2 − 1

x −1 y − 2 z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa hai đường thẳng d và d ′ .
−2
4
2
A. Không tồn tại ( Q ) .


B. ( Q ) : y − 2 z − 2 = 0 .

C. ( Q ) : x − y − 2 = 0 .

D. ( Q ) : −2 y + 4 z + 1 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Ta có: Hai VTCP của hai đường thẳng là cùng phương nên hai đường thẳng luôn đồng
phẳng.
uuuuur
M ( 0;0; −1) ∈ d , M ′ ( 1; 2;0 ) ∈ d ′ ⇒ MM ′ = ( 1; 2;1) .
r
Véctơ chỉ phương của đường thẳng d là u = ( 1; −2; −1) .
r r
r uuuuuu
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) : n =  MM ′; u  = ( 0; 2; −4 )
Phương trình mặt phẳng ( Q ) : y − 2 z − 2 = 0 .

Unrestricted


Câu 24.10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) : x + ay + bz − 1 = 0 và
x y z −1
=
=
. Biết rằng ( α ) // ∆ và ( α ) tạo với các trục Ox, Oz các góc
1 −1 −1
giống nhau. Tìm giá trị của a .


đường thẳng ∆ :

A. a = −1 hoặc a = 1.

B. a = 2 hoặc a = 0.

C. a = 0.

D. a = 2.

Lời giải
Chọn D.
Chọn A ( 0;0;1) ∈ ∆ .
r r
r
u∆ = ( 1; −1; − 1)
1 − a − b = 0
a + b = 1
n( α ) .u∆ = 0
⇔
⇔
( ∗) .
Ta có  r
mà ( α ) // ∆ ⇔ 
n
=
1;
a
;
b

b
≠
1
b
≠
1
(
)
A
∉
α
(
)


α

 ( )

Mặt khác ( α ) tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau, suy ra
r
i = ( 1;0;0 )
r r
r r
sin n( α ) ; i = sin n( α ) ; k với  r
k = ( 0; 0;1)
r r
r r
n( α ) .i
n( α ) .k

a = 2
1 b
⇒ r r = r r ⇔ = ⇔ b = ± 1 , thế vào ( ∗) , ta được 
.
1 1
nα i
nα k
a = 0

(

)

( )

(

)

( )

Khi a = 2 thì b = −1 (thỏa mãn), khi a = 0 thì b = 1 (không thỏa mãn)
Vậy a = 2.
Câu 24.11: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 2 đường thẳng d1 :
d2 :

x −1 y + 2 z −1
=
=
,

2
1
−2

x −1 y −1 z + 2
=
=
. Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = 0 song song với d1 , d 2 và khoảng
1
3
1

cách từ d1 đến ( P ) bằng 2 lần khoảng cách từ d 2 đến ( P ) . Tính S =
1
3
hay S = −4

A. S =

B. S = 1

C. S = 4

a+b+c
.
d

D. S =

8

34

Lời giải
Chọn D.

ur
Đường thẳng d1 đi qua điểm A ( 1; −2;1) và có véctơ chỉ phương là u1 = ( 2;1; −2 ) .
uu
r
Đường thẳng d 2 đi qua điểm B ( 1;1; −2 ) và có véctơ chỉ phương là u2 = ( 1;3;1) .

Unrestricted


( P ) có VTPT là:
( P ) : 7 x − 4 y + 5z + d = 0

r
ur uu
r
n = u1 , u2  = ( 7; −4;5 )

nên

có

phương

trình:


 d = 34
Ta có: d  A; ( P )  = 2d  B; ( P )  ⇔ d + 20 = 2 d − 7 ⇔ 
 d = −2
Vậy S =

8
hay S = −4 .
34

Câu 24.12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox và chứa tâm I
của mặt cầu ( S ) : ( x − 2) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 2) 2 = 2 có phương trình là:
A. y + z = 0 .

B. y − z = 0 .

C. x + y = 0 .

Câu 24.13: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d :

D. x − z = 0 .
x −1 y z + 1
= =
và mặt
2
1
3

phẳng ( Q ) : 2 x + y − z = 0 . Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng

( Q)


có phương trình là
A. − x + 2 y − 1 = 0 .
x + 2y + z = 0 .

B. x − y + z = 0 .

C. x − 2 y − 1 = 0 .

D.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

r
r
VTCP của d là u = ( 2;1;3) , VTPT của ( Q ) là n = ( 2;1; − 1) .
r r r
Mặt phẳng ( P ) nhận VTPT là v = [ u , n ] = ( −4;8;0 ) = −4 ( 1; −2;0 )
và ( P ) đi qua điểm A ( 1;0; − 1) nên có phương trình tổng quát là: x − 2 y − 1 = 0
Câu 24.14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3;0;1) , B ( 6; −2;1) . Viết
phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A, B và ( P ) tạo với mặt phẳng ( Oyz ) góc α thỏa mãn
cos α =

2
.
7

 2 x − 3 y + 6 z − 12 = 0
.

A. 
2 x − 3 y − 6 z = 0

 2 x + 3 y + 6 z + 12 = 0
.
B. 
2 x + 3 y − 6 z − 1 = 0

 2 x + 3 y + 6 z − 12 = 0
.
C. 
2 x + 3 y − 6 z = 0

 2 x − 3 y + 6 z − 12 = 0
.
D. 
2 x − 3 y − 6z + 1 = 0

Unrestricted


Câu 24.15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 0; −1;0 ) , B ( 1;1; −1) và mặt
2
2
2
cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 y − 2 z − 3 = 0 . Mặt phẳng ( P ) đi qua A , B và cắt mặt cầu ( S )

theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là
A. x − 2 y + 3 z − 2 = 0 .
2 x − y −1 = 0 .


B. x − 2 y − 3 z − 2 = 0 . C. x + 2 y − 3 z − 6 = 0 . D.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Để ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì ( P) phải qua
tâm I (1; −2;1) của ( S ) .
uu
r
uur uur
uur
uur
Ta có AI = (1; −1;1), BI = (0; −3;2) ⇒ nP =  AI , BI  = (1; −2; −3) .

1( x − 1) − 2 ( y + 2 ) − 3 ( z − 1) = 0 ⇔ x − 2 y − 3z − 2 = 0
Câu 24.16 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

x −1 y z − 2
= =
2
1
2

và điểm M ( 2;5;3 ) . Mặt phẳng ( P ) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ M đến ( P ) lớn nhất là
A. x − 4 y − z + 1 = 0 .

B. x + 4 y + z − 3 = 0 .

C. x − 4 y + z − 3 = 0 .


D. x + 4 y − z + 1 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của M ( 2;5;3) trên ∆ , H
là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ) .
Ta có MH = d ( M , ( P ) ) ≤ MI . Do đó MH đạt giá trị lớn
nhất khi H ≡ I , khi đó mặt phẳng ( P ) chứa ∆ và vuông
góc với MI .

uuu
r
I ∈ ∆ ⇒ I ( 1 + 2t ; t ; 2 + 2t ) , MI = ( −1 + 2t ; −5 + t; −1 + 2t ) .

Unrestricted


uuu
r uu
r
MI ⊥ ∆ ⇔ MI .u∆ = 0 ⇔ ( 2t − 1) 2 + t − 5 + ( 2t − 1) 2 = 0 ⇔ t = 1 .
uuu
r
Mặt phẳng ( P ) qua I ( 3;1; 4 ) có một vectơ pháp tuyến là MI = ( 1; −4;1) . Phương trình
mặt phẳng ( P ) : x − 4 y + z − 3 = 0 .
Câu 24.17 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

x −1 y − 2 z − 3
=

=
2
3
4

và mặt phẳng ( P ) : mx + 10 y + nz − 11 = 0 . Biết rằng mặt phẳng ( P ) luôn chứa đường thẳng d ,
tính m + n .
A. m + n = 33 .
m + n = −21 .

B. m + n = −33 .

C. m + n = 21 .

D.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

r
Trên đường thẳng d , có: M 0 ( 1; 2;3) và ud ( 2;3; 4 )
r
r
r r
 nP ⊥ ud
 nP .ud = 0
2m + 4n = −30
m = −27
⇔ 
⇔ 

⇔ 
Vì d ⊂ ( P ) ⇒ 
m + 3n = −9
n = 6
M 0 ∈ P
M 0 ∈ P
Vậy m + n = −21 .
Câu 24.18 :
∆:

với

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho đường thẳng

x −1 y −1 z
=
= và mặt phẳng ( α ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa ∆ và tạo
1
2
2

(α)

một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng

( P)

có dạng ax + by + cz + d = 0 (

a, b, c, d ∈ ¢ và a, b, c, d < 5 ). Khi đó tích a.b.c.d bằng bao nhiêu?


A. 120 .

B. 60 .

C. −60 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Hình minh họa
Unrestricted

D. −120 .


Trên đường thẳng ∆ lấy điểm A ( 1;1;0 ) . Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông
r
góc với mặt phẳng ( α ) . Ta có u d = ( 1; −2; 2 ) .
Trên đường thẳng d lấy điểm C bất kì khác điểm A .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng ( P ) và đường thẳng
∆.

Lúc này, ta có

·
( ( P ) ; ( α ) ) = ( CH ; d ) = HCA

·
=

Xét tam giác HCA ta có sin HCA

AH
, mà tam giác AHK vuông tại K nên ta có
AC

AH AK
·
≥
(không đổi) . Nên để góc HCA
nhỏ nhất khi H trùng với K hay
AC AC

CK ⊥ ( P )
r r
r
Ta có ( ACK ) đi qua d và ∆ . Vì u d ; u ∆  = ( −8;0; 4 ) nên chọn n( ACK ) = ( −2;0;1)
Mặt khác ta có ( P ) đi qua ∆ , vuông góc mặt phẳng
r
r
 n( ACK ) ; u ∆  = ( −2;5; −4 )


r
Nên n( P ) = ( −2;5; −4 ) . Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) là :

( ACK )

và


−2 ( x − 1) + 5 ( y − 1) − 4 z = 0 ⇔ −2 x + 5 y − 4 z − 3 = 0 ⇔ 2 x − 5 y + 4 z + 3 = 0 .
Câu 24.19: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

 x − 3 y + 7 z + 36 = 0
Viết
( ∆) : 
2 x + y − z − 15 = 0 .

phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng (∆) và cách gốc tọa độ O ( 0; 0;0 ) một
khoảng bằng 3 .
A. 3 x − 2 y + 6 z + 21 = 0 .

B. 189 x + 28 y + 48 z − 591 = 0 .

C. −3 x + 2 y + 6 z – 21 = 0 .

D. 3 x – 2 y + 6 z + 21 = 0 .

Câu 24. 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD. A′BC ′D′
biết rằng A ( 0;0;0 ) , B ( 1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) , A′ ( 0;0;1) . Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường
thẳng BC ′ và tạo với mặt phẳng ( AA′C ′C ) một góc lớn nhất là
A. x + y + z − 1 = 0 .
x + y − z −1 = 0 .

B. − x − y + z − 1 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Unrestricted


C. x − y + z − 1 = 0 .

D.


Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất bằng 900 .
Nên góc lớn nhất giữa ( P ) và ( ACC ′A′ ) bằng 900 hay ( P ) ⊥ ( ACC ′A′ ) .
Mà ( BDC ′ ) ⊥ ( ACC ′A′ ) ⇒ ( P ) ≡ ( BDC ′ ) .
Ta có C ′ ( 1;1;1)

uu
r
uuur uuuu
r
VTPT của ( P ) : nP =  BD, BC ′ = ( 1;1; −1) .

⇒ ( P) : x + y − z −1 = 0 .
Câu 29: Trong không gian

Oxyz , cho hai đường thẳng

d1 :

x −3 y −3 z + 2
=
=
;
−1
−2

1

x − 5 y +1 z − 2
=
=
và mặt phẳng ( P) : x + 2 y + 3 z − 5 = 0 . Đường thẳng vuông
−3
2
1
góc với ( P) , cắt d1 và d 2 có phương trình là:
d2 :

x −1 y +1 z
=
= .
1
2
3
x−3 y −3 z + 2
=
=
C.
.
1
2
3
Lời giải
A.

x − 2 y − 3 z −1

=
=
.
1
2
3
x −1 y + 1 z
=
= .
D.
3
2
1
B.

r
r
Gọi đường thẳng cần tìm là ∆ . Vì ∆ ⊥ ( P ) ⇒ u∆ = n( P ) = ( 1; 2;3)
Khi đó phương trình đường thẳng ∆ có dạng
Gọi
A = d1 ∩ ∆ ⇒ A ( 3 − t ;3 − 2t; −2 + t )
B = d 2 ∩ ∆ ⇒ B ( 5 − 3t ′; −1 + 2t ′; 2 + t ′ )

Cách 1: Ta thử từng đáp án: Đáp án A

Unrestricted

x − x0 y − y0 z − z0
=
=

1
2
3


3 − t − 1 3 − 2t + 1 −2 + t
2 − t 4 − 2t −2 + t
=
=
⇔
=
=
⇔ 12 − 6t = −4 + 2t ⇔ t = 2 ⇒ A ( 1; −1;0 )
1
2
3
1
2
3
5 − 3t '− 1 −1 + 2t '+ 1 2 + t '
4 − 3t '
t '+ 2
B∈∆ ⇒
=
=
⇔
= t' =
⇔ t ' = 1 ⇒ B ( 2;1;3 )
1
2

3
1
3
x −1 y +1 z
=
= vuông góc với mp ( P) và cắt d1 tại
Vậy đáp án A có đường thẳng
1
2
3
A ( 1; −1;0 ) , cắt d 2 tại B ( 2;1;3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
uuur
r
'
'
'
Cách 2: AB 2 − 3t + t ; −4 + 2t + 2t ; 4 + t − t cùng phương với u∆ = ( 1; 2;3)
A∈∆ ⇒

(

)

2 − 3t ' + t = k
t ' = 1


'
Do dó ta có hệ pt: −4 + 2t + 2t = 2k ⇔ t = 2
4 + t ' − t = 3k


k = 1

Câu 29.1 Trong không gian với hệ

tọa

độ

Oxyz

cho

các

điểm

A(3;0;0), B (0,3,0), C (0,0,3), D(1;1;1) . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tứ diện và vuông góc
với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 3 = 0 là:
x
y z
=
=
1 −2 1
x−4 y−4 z−4
=
=
C.
1
−2

1

A.

x −1 y −1 z −1
=
=
1
2
1
x −1 y −1 z −1
=
=
D.
1
−2
1

B.

Câu 29.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(3;0;4), B (1;2;3), C (2;1;8) .
Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
3
3
3



x = 2 + t
x = 2 + t

x = 2 + t
x = 3 + t



3
3
3




A.  y = − 4t
B.  y = 3 + t
C.  y = + t
D.  y = − t
2
2
2

 z = 11



 11
 11
 11
z = 2
z = 2
z = 2




Oxyz
Câu 29.3: Trong không gian với hệ tọa độ
cho 3 phương trình đường thẳng
x = t
x y−2 z
x +1 y −1 z +1

d1 :  y = 4 − t ; d 2 : =
= ; d3 :
=
=
.Lập pt đường thẳng ∆ , biết ∆ cắt
1
−
3
−
3
5
2
1
 z = −1 + 2t

3 đường thẳng đã cho lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC ?
x y− 2 z
x y+ 2 z
x y− 2 z
A. =

B. =
C. =
.
D.
= .
=
=
1
−1 1
1
1
1
1
1
−1
x y− 2 z
=
=
1
1
1
Unrestricted


Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có: A(t ; 4 − t ; −1 + 2t ); B(u; 2 − 3u; −3u ); C ( −1 + 5v;1 + 2v; −1 + v ) . Do A, B , C thẳng hàng và
t − 1 + 5v = 2u
t = 1



AB = BC nên B là trung điểm của AC . Ta có hệ pt:  4 − t + (1 + 2v) = 2(2 − 3u ) ⇔ u = 0
 −1 + 2t + (−1 + v) = 2(−3u )
v = 0


x y− 2 z
Suy ra A(1;3;1); B(0; 2;0); C ( −1;1; −1) . ĐT ∆ đi qua A, B, C có pt : =
= . Chọn D.
1
1
1

⇒ ( P) : x + y − z −1 = 0
Câu 29. 4: Cho hai điểm A ( 3; 3; 1) , B ( 0; 2; 1) , mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 7 = 0 . Đường thẳng

d nằm trên ( P ) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A , B có phương trình là
x = t

A.  y = 7 − 3t .
 z = 2t


x = t

B.  y = 7 + 3t .
 z = 2t


 x = −t


C.  y = 7 − 3t .
 z = 2t


 x = 2t

D.  y = 7 − 3t
 z = 2t


.
Lời giải
Chọn A.
uuur
3 5 
Ta có AB = ( −3; −1;0 ) ; I  ; ;1÷ là trung điểm của AB và A , B nằm ở hai phía
2 2 
của mặt phẳng ( P ) .
Gọi ( α ) là mặt phẳng trung trực của AB và d = ( α ) ∩ ( P ) . Khi đó d chính là đường
thẳng thuộc mặt phẳng ( P ) và cách đều hai điểm A, B .
uuur
3 5 
Mặt phẳng ( α ) đi qua I  ; ;1÷ và có véc tơ pháp tuyến AB = ( −3; −1;0 ) là
2 2 
3 
5

−3  x − ÷−  y − ÷ = 0 ⇔ 3 x + y − 7 = 0
2 
2



Vì d là đường giao tuyến của ( α ) và ( P ) nên một véctơ chỉ phương của d là
uu
r uuur uuur
ud =  n( P ) , n( α )  = ( −1;3; −2 ) = − ( 1; −3; 2 ) .
x = t

Mà d đi qua C ( 0; 7; 0 ) ∈ ( α ) ∩ ( P ) . Vậy d có phương trình tham số là:  y = 7 − 3t (
 z = 2t


t ∈ ¡ ).

Unrestricted