Căn bậc 2 của số phức
Định nghĩa: Cho số phức z  a  bi
Căn bậc hai của số phức z là số phức

z1  a1  b1i thỏa mãn z12  z

Có 2 cách để giải bài toán tìm căn bậc 2 của một số phức , chúng ta có thể giải như sau :
Cách 1 : Biến đổi số phức đã cho ra 1 bình phương của một số phức
Cách 2 : Dùng cách sau
Các bước giải :
Ta đặt

z  x  yi là căn bậc 2 của số phức đã cho z*  a  bi

�x 2  y 2  a
z  x  2 xyi  y � �
2 xy  b
�
Khi đó ta có
.
2

2

2

Khi đó ta có a, b đầu bài cho , giải rat a được x, y
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: 3  4i
Cách 1.
2
3  4i   1  2i  �

�1  2i 
Ta có:
căn bậc hai của 3  4i là 
Cách 2
x  iy  x, y ��
Gọi
là một căn bậc hai của 3  4i , ta có:
2
2
�
2
�x  y  3  1
2
2
 x  yi   x  y  2xyi  3  4i � �
 2
�xy  2
2
 2  � y   x �0   3
x
4
x 2  2  3 � x 4  3x 2  4  0
� x 2  1 (nhận) hoặc x 2  4 (loại)
x
Thay (3) vào (1) ta được:
* Với x  1 thì y  2
* Với x  1 thì y  2

  1  2i 
Vậy căn bậc hai của 3  4i là 1  2i và


Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:


z  4  6 5i
Cách 1: Dùng kỹ thuật biến đổi

4  6 5i  4  2.3. 5i  32  2.3. 5i 

 5i    3  5i 
2

2

Vậy z có hai căn bậc hai là 3  5i và 3  5i
2
Cách 2: Dựa vào định nghĩa: w là 1 căn bậc hai của z � w  z
Đặt w  x  yi là 1 căn bậc hai của z  4  6 5i

�x 2  y 2  4
�
�  x  yi   4  6 5i �  x  y   2 xyi  4  6 5i � �
2 xy  6 5
�
�2 45
�x 2  y 2  4
x 
 4  1
�
�

� x2
�� 3 5 ��
�y 
�y  3 5
 2
x
�
�
x
�
�
x 3� y  5
 1 � x 4  4 x 2  45  0 � x 2  9 � �
x  3 � y   5
�
Từ
2

2

2

Vậy z có hai căn bậc hai là 3  5i và 3  5i
Ví dụ 3: Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 1  4 3i . Giá trị x và y là bao nhiêu

 x  yi  2  1  4






3i � x 2  y 2  2 xyi  1  4 3i

�x 2  y 2  1 �x  3 �x   3
��
��
��
2 xy  4 3
�y  2
�y  2
�

Ví dụ 4 : Tìm các căn bậc hai của số phức z  5  12i
Lời giải
Gọi x + yi (x; y�R) là căn bậc hai của z
2
Ta có: ( x  yi )  5  12i

� x 2  2 xyi  y 2i 2  5  12i � x 2  2 xyi  y 2  5  12i

�x 2  y 2  5(1)
�x  y  5
�
��
�� 6
2 xy  12
�
�x  y (2)
�
2


2


2

�6 � 2
4
2
� � y  5 � 36  y  5 y
Thay (2) vào (1) ta có: �y �

� y 4  5 y 2  36  0 � y 2  4; y 2  9(loai )
y 2�x3
�
�
y  2 � x   3
�
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i

LUYỆN TẬP
Bài 1 : Số nào sau đây là căn bậc 2 của: 3 4i
A. 2 + i
B. 2 – i
C. 3 + i
Gọi số phức cần tìm là a + bi
a  bi  3 4i
� a2  b2  2abi  3 4i
�
�

a 2
�
�
2
2
�
b 1
a  b  3� �
�
��
�
a  2
2ab  4
�
�
�
�
b  1
�
�
Đáp án A
Bài 2 :. Gọi a + bi là căn bậc 2 của 1 i khi đó ab:
A. 1 / 2
B.1
C. -1
D.-1/2
Giải
Gọi số phức cần tìm là a + bi

D. 3 - i



a  bi  1 i
� a2  b2  2abi  1 i
�
�
1 2
�
�
a
�
�
2
�
�
2 1
�
�
b
�
2
2
�
2
a  b  1� �
�
��
�
�
2ab  1

�
1 2
�
�
a 
�
�
2
�
�
2 1
�
�
b 
�
�
2
�
�
Đáp án A
Bài 3 : Tìm căn bậc 2 của 7 24i
Giải
�3
�4
  3i 
  3i 
A.
B.
Giải
Gọi số phức cần tìm là a + bi


C.

�3
  3i 

D.

�4
  3i 

a  bi  7 24i
� a2  b2  2abi  7 24i
�
�
a 4
�
�
2
2
�
b  3
a  b  7� �
�
��
�
a  4
2ab  24
�
�

�
�
b 3
�
�
Đáp án D
3 i
Bài 4 : Số nào sau đây là căn bậc 2 của 1 i 3
1 1
3 1
1 3

i

i

i
2
2
2
2
2
2
A.
B.
C.
Giải
Gọi số phức cần tìm là a + bi

1

D. 2



1
2

i


3 i

a  bi 

1 i 3
� a  b  2abi  i
�
�
a
�
�
�
�
�
�
�b 
�a2  b2  0 �
�
�
��

��
�
2ab  1
�
�
a
�
�
�
�
�
�
�b 
�
�
�
�
Đáp án A
2

2

1
2
1
2
1
2
1
2


2

�
1 i �
� �
1 i � là
Bài 5 : Số nào là căn bậc 2 của �
2

�
1 i �
� �
1 i �
A. �

1 i
B. 1 i
Gọi số phức cần tìm là a + bi

1 i
C. 1 i

D.1

2

�
1 i � 1 i
a  bi  � � 

1 i � 1 i
�
Đáp án C

1
 2i
Bài 6 : Tìm căn bậc 2 của 2
� 1 �
� 1 �
��
1
i�
��
1
i�
2
2
�
�
�
�
A.
B.
Giải
Gọi số phức cần tìm là a + bi

C.




�1 2i



D.



�1 2i




a  bi 

1
 2i
2

1
 2i
2
�
�
a1
�
�
1
�
b

�
a2  b2  1/ 2 �
�
�
�
2
�
��
 2 ��
�
a


1
2ab 
�
�
�
�
2
1
�
�
b
�
�
2
�
�
Đáp án A

� a2  b2  2abi 

2

�
1 i 3 �
�
�
� 3 i �
�
Bài 7 : Tìm căn bậc 2 của: �
�
�
1 i 3 �
1 i 3 �
��
��
�
�
� 3 i �
� 3 i �
�
�
A. �
B. �
Giải

C.-1

D.1


2

�
1 i 3 � �
1 i 3 �
�
� ��
� 3 i � � 3 i �
�
�
�= �
�
Đáp án B
1
k. Gọi z = a + bi là căn bậc 2 của:
a2

2



1
2

i

2
Khi đó b là:


2 2
2
A.
Giải

2 2
B. 2

C. 3 2 2

D. 3 2 2


a  bi 

1
2



1
2

� a2  b2  2abi 

i
1




1

i
2
2
�
�
2 2
�
�
a

�
�
2
�
�
�2 2 1
2 2
�
a b 
�
b
�
�
�
2��
�
2
��

�
1
�
�
 2 2
2ab 
�
�
a
�
2
�
�
�
2
�
�
�  2 2
�
b
�
�
�
2

Bài 8 : Cho Z = a + bi là căn bậc 2 của 2 1 i 3 giá trị của ab là
A.  3
Giải
a  bi 


B. 2 3
1



C. 3

D. 2 3

1

i
2
2
� a2  b2  2abi  2 1 i 3
� 2ab  2 3
Vậy A.

1
1

Bài 9 : Tính: căn bậc 2 của số trên là: 1 i 1 i
A. 0
B. -1;1
C. –i ; i
Giải
1
1 1 i  1 i



1
1 i 1 i
2
Đáp án B
Bài 10. Những căn bậc hai của 5  12i là:
(A)  5  12i

D. 2i ;–2i

(B) 2  3i, 2  3i
(D)  5  12i, 5  12i

(C)  5  12i, 5  12i
 B  . Giả sử x  yi là một căn bậc hai của 5  12i , ta có:
Chọn
� 2 36
�x 2  4
x  2  5
�
�x 2  y 2  5
� x
�
��
�� 6
�
� 2 xy  12
� y6
�y 
2
� x

 x  yi   5  12i , hay
�
x

2   3i  , 2  3i
Từ đó, ta được căn bậc hai của 5  12i là :


Bài 11 Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 4  6 5i . Giá trị x và y là :
�x  1
�x  1
�x  2
�x  2
��
��
�
�
y  3 5 �y  3 5
y  5 �y   5
A. �
B. �
�x  3
�x  3
�x  3
�x  3
��
��
�
�
y  2 5 �y  2 5

y  5 �y   5
C. �
D. �
Giải:
2
�2
�x  3
�x  3
 x  yi  2  4  6 5i � �x  y  4 � �y  5 ��y   5
2 xy  6 5
�
�
�
Bài 12 : Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 1  2 6i . Giá trị x và y là :
�x   2 �y  2
�x  2 2 �y  2 2
��
��
�
�
y

3
y


3
y

3

�
�
�
�y   3
A.
B.

�x  2
�y  2
�x  2 �y  2
��
��
�
�
y

2
3
y


2
3
y

3
�
�
�
�y   3

C.
D.
Giải:
�x 2  y 2  1 �x   2 �y  2
2
x

yi


1

2
6
i
�
��
��


�
y

3
2
xy


2
6

�
�y   3
�
Bài 13: Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 5  12i . Giá trị x và y là :
A.






x2
x  2
�
y  3 y  3



x  1 x  1
�
y  2 y  2

C.
Giải:

B.
D.










x  2 x  2
�
y  3 y  3

x  2 x  2
�
y  1 y  1



� 2  y 2  5
x  2 x  2
�
�
y  3 y  3
2 xy  12
�
4 5
  i
Bài 14: Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 3 2 . Giá trị x và y là :
�
3 3 � 3 3
x
�

�x 
�x   3 �x  3
�
2 ��
2
�
�
�
�
� 5 3 ��
5 3
�y  3
�y   3
�y 
�y  
�
�
6
6
6
6
�
A.
B. �

 x  yi  2  5  12i � �x

�
3 �
3

x
x
�
�
�
2 �� 2
�
�
�y  5 3 �y   5 3
3
3
�
C. �

�
3 �
3
x
x
�
�
�
2 �� 2
�
�
�y  5 3 �y   5 3
6
6
�
D. �



Giải:

�
4
3 �
3
�2
2
x

y


x


x
�
�
�
4 5
�
�
2
3�
2 �
2
 x  yi     i � �

�
�
5
3 2
�
�y  5 3 �y   5 3
2 xy  
�
2
�
�
6
6
z

x

yi
Bài 15: Gọi
là căn bậc 2 của số phức 7  24i . Giá trị x và y là :
A.







x  4 x  4
�

y3
y  3
x  2 x  2
�
y3
y  3

C.
Giải:

B.
D.







x  2 x  2
�
y 1
y  1
x  4 x  4
�
y5
y  5






�2  y 2  7
x  4 x  4
�
�
y3
y  3
2 xy  24
�
Bài 16: Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 40  42i . Giá trị x và y là :
x  5 x  5
x  2 x  2
�
�
y3
y  3
y4
y  4
A.
B.
x  3 x  3
x  1 x  1
�
�
y  7 y  7
y 5
y  5
C.
D.

Giải:
2
�2
 x  yi  2  40  42i � �x  y  40 � xy  37 � xy  37
2 xy  42
�

 x  yi  2  7  24i � �x


















Bài 17: Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 11  4 3i . Giá trị x và y là :
�x  2 3 �x  2 3
�x  2 3 �x  2 3
��

��
�
�
y  2
y2
y  1
�
�
�
�y  1
A.
B.
�x   3 �x  3
��
�
�y  1
�y  1

C.
Giải:

 x  yi  2  11  4

�x  2 3 �x  2 3
��
�
y  3
�
�y  3
D.


�x 2  y 2  11 �x  2 3 �x  2 3
3i � �
��
��
�y  1
�y  1
�2 xy  4 3

1
2

i
z

x

yi
Bài 18: Gọi
là căn bậc 2 của số phức 4 2 . Giá trị x và y là :
�
2 �
2
�x 
�x  
�
�
2
� 2 ��
�x  2 3 �x  2 3

1
1
�y 
�y  
��
�
y  1
�
�
�
�y  1
2
2
A.
B.


�x   3 �x  3
��
�
�y  1
�y  1

�x  2 3 �x  2 3
��
�
y  3
�
�y  3
D.


C.
Giải:

1
�2
�
2 �
2
x  y2 
x

x


�
�
�
1
2
4 � � 2 ��
2
 x  yi  2   i � �
�
�
�
2
1
1
4 2

�2 xy 
�y 
�y  
�
� 2
�
2
2
z

x

yi
Bài 19: Gọi
là căn bậc 2 của số phức 5  12i . Giá trị x và y là :
A.






x2
x  2
�
y  3 y  3



B.


x  1 x  1
�
y  3 y  3

C.
Giải:

D.







x  2 x  2
�
y  4 y  4
x  2 x  2
�
y  3 y  3












� 2  y 2  5
x  2 x  2
�
�
y  3 y  3
2 xy  12
�
Bài 20: Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 8  6i . Giá trị x và y là :
x2
x  2
x  2 x  2
�
�
y  1 y   1
y  1 y  1
A.
B.
x  2 x  2
x  1 x  1
�
�
y  1 y  1
y  3 y  3
C.
D.
Giải:
2

�2
x  3 x  3
 x  yi  2  8  6i � �x  y  8 � y  1 � y  1
2 xy  6
�
Bài 21: Gọi z  x  yi là căn bậc 2 của số phức 33  56i . Giá trị x và y là :

 x  yi  2  5  12i � �x










A.







x  7 x  7
�
y 5
y  5


B.

x  2 x  2
�
y4
y  4

C.
Giải:



D.








x  2 x  2
�
y  5 y  5



x  7 x  7
�

y4
y  4



� 2  y 2  33
x  7 x  7
�
�
y4
y  4
�2 xy  56

 x  yi  2  33  56i � �x

Bài 22: Tìm các căn bậc hai của số phức
A. 4  6 5i, 4  6 5i
C. 4  6 5i, 4  6 5i

z  164  48 5i

B. 4  6 5i,  4  6 5i
D. 4  6 5i,  4  6 5i


Lời giải
Giả sử a+bi (a; b�R) là căn bậc hai của z
2
Ta có: (a  bi )  164  48 5i


� a 2  2abi  b 2  164  48 5i

�a 2  b 2  164(1)
2
2
�
a

b


164
�
�
��
� � 24 5
b
(2)
�2ab  48 5
�
a
�
Thay (2) vào (1) ta có:

a2  (

24 5 2
)  164 � a 4  164a 2  2880  0
a


� a 2  16; a 2  180(loai )
�
a  4�b  6 5
�
a  4 � b  6 5
�
Vậy z có hai căn bậc hai là 4  6 5i,  4  6 5i
Bài 23: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau 1  4 3i
� 2  3i
�3  3i
A.
B.
� 2  3i
�3  2i
C.
D.




Gọi











x  iy  x, y ��

 x  iy 

2

là một căn bậc hai của 1  4 3i , ta có:
2
2
�
�x  y  1  1
2
2
 x  y  2xyi  1  4 3i � �
�xy  2 3  2 

 2 � y 

2 3
 x �0   3
x

x2 

12
 1 � x 4  x 2  12  0
2
x


Thay (3) vào (1) ta được:
� x 2  4 (nhận) hoặc x 2  3 (loại)
* Với x  2 thì y  3
* Với x  2 thì y   3




� 2  3i
Vậy căn bậc hai của 1  4 3i là

