DIỆN TÍCH – TÍNH CHẤT TAM GIÁC
Cũng giống như bài toán khoảng cách , bài toán trong tam giác ta cũng sử dụng định lý Viet
làm công cụ giải toán .
Trong bài toán tam giác ta gặp 2 mô hình :
1.Bài toán liên quan đến diện tích tam giac
2.Bài toán liên quan đến tính chất tam giác : Vuông , cân , đều

Diện tích tam giác ta sử dụng

1
S = .h.a
2

Tam giác vuông ta sử dụng tích vô hướng bằng 0:

uuur uuur
AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0

Tam giác cân tại A ta sử dụng AB = AC hoặc sử dụng tích vô hương :
với I là trung điểm của BC
AH =

Tam giác đều thì giả thiết cho sẽ ít hơn , ta sử dụng ta sử dụng
uur uuur
AI ⊥ BC ⇔ AI.BC = 0

uur uuur
AI ⊥ BC ⇔ AI.BC = 0

a 3
2

và tích vô hướng:

với I là trung điểm của BC (ở đây a là độ dài của cạnh bên)

DIỆN TÍCH TAM GIÁC :
y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m4
Câu 1. Cho hàm số
, với m là tham số thực . Tìm các giá trị của m
để hàm số có cực đại, cực tiểu mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị tạo thành tam giác có
diện tích bằng 1.
A) m=3

B) m=1

y ' = 4 x 3 − 4mx
Ta có

,

C) m=-2

D)

m=4

x = 0
y' = 0 ⇔  2
x = m
⇔ y' = 0


Hàm số có cực đại, cực tiểu

có ba nghiệm phân biệt

⇔m>0

A(0; m 4 + 2m)
Khi m>0 đồ thị hàm số có một điểm cực đại là
B (− m ; m − m + 2m), C ( m ; m − m + 2m)
4

2

4

2

và hai điểm cực tiểu là


A ∈ Ox

Tam giác ABC cân tại A,

, B, C đối xứng nhau qua Ox. Gọi H là trung điểm của BC

⇒ H (0; m 4 − m 2 + 2m), ⇒ SVABC =

1

1
AH .BC = m 2 .2 m = m m
2
2

SVABC = 1 ⇒ m 2 . m = 1 ⇔ m = 1
Theo giả thiết
Vậy đáp số bài toán là m=1

y=

Câu 2 : Cho hàm số
M

Gọi
Oy

x+2
2x + 1

( C)
có đồ thị là
H,K

là một điểm thuộc đồ thị và

. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn
A) 1


M

sao cho tứ giác

tương ứng là hình chiếu của

MHOK

B) 2

M

trên trục

b) Gọi

C) 3

D) 4

là một điểm bất kì thuộc đồ thị

S MHOK = MH .MK = 1
Ta có
MH = yM =

a+2
, MK = xM = a
2a + 1


Mà
 a 2 + 2a = 2a + 1
a+2
a 2 + 2a
=1⇔
= 1 ⇔ a 2 + 2 a = 2a + 1 ⇔  2
2a + 1
2a + 1
 a + 2a = −2a − 1
 a = 1 ⇒ M ( 1;1)

2
 a = −1 ⇒ M ( −1; −1)
a = 1
⇔ 2
⇔
 a = −2 + 3 ⇒ M −2 + 3; 2 + 3
 a + 4a + 1 = 0

 a = −2 − 3 ⇒ M −2 − 3; 2 − 3


⇒ a.

(
(

và

có diện tích bằng 1.Hỏi có mấy điểm m


Lời giải
 a+2 
M  a;
÷
 2a + 1 

Ox

)
)


Vậy có 4 điểm

M

thỏa mãn

TAM GIÁC VUÔNG :
y = − x3 + 3mx + 1
Câu 3. Cho hàm số
(1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị
A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).
A)

m=2

B)


m = −2

m=

C)
y ' = −3x 2 + 3m = −3 ( x 2 − m )

1
2

m=−

D)

1
2

y ' = 0 ⇔ x 2 − m = 0 ( *)
;

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị

⇔

⇔ m > 0 ( **)
PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

(

A − m ;1 − 2m m

Khi đó 2 điểm cực trị

∆OAB vuông tại O
m=

Vậy

)

B
,

(

m ;1 + 2m m

)

1
uuu
r uuur
⇔ 4m 3 + m − 1 = 0 ⇔ m =
⇔ OA.OB = 0
2

( TM (**) )

1
2


TAM GIÁC CÂN :
y = x3 − 3x 2 − mx + 2
Câu 4. Cho hàm số
có đồ thị (Cm). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm
số (Cm) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ
một tam giác cân.
m=

A)

3
2

m=

B)

1
2

y ' = 3x2 − 6 x − m

m=−

C)

3
2

m=−


D)

⇔ y'= 0

. Hàm số có 2 cực trị

có hai nghiệm phân biệt

1
2


⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3
y=

Ta có

1
m
m
( x − 1) . y '− 2  + 2 ÷x + 2 − ⇒
3
3
3


( ∆)
Đường thẳng


đi qua hai điểm cực trị của đồ

( ∆ ) : y = −2 

m 
m
+ 1 ÷x + 2 −
3
3


thị có phương trình

  m−6
 
  6 − m 
;0 ÷
 , ( ∆ ) ∩ Oy =  B  0;
÷
÷
3 
 
  2 ( m + 3)  

( ∆ ) ∩ Ox =  A 

⇔ OA = OB ⇔

m−6
6−m

9
3
=
⇔ m = 6; m = − ; m = −
2 ( m + 3)
2
2
2

Tam giác OAB cân
OAB ⇒ m = −

Đối chiếu với điều kiện và tồn tại tam giác

3
2

TAM GIÁC ĐỀU
y=

Câu 5. Cho hàm số

mx + 2
x−m

(Cm )
có đồ thị là

. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của


d : y = −x + 2

(Cm )
. Tìm m để đường thẳng
giác IAB đều.
A) m=2

cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam

B) m=-2

Phương trình hoành độ giao điểm:
x≠m

y = −x + 2

C) m=3

D) m=-3

mx + 2
= − x + 2 ⇔ g ( x) = x 2 − 2 x + 2m + 2 = 0 (1)
x−m

(Cm )
cắt

tại hai điểm phân biệt khi

g ( x) = 0

có hai nghiệm phân biệt

 ∆ ' = 1 − 2m − 2 > 0
1
x≠m⇔
⇔m<−
2
2
 g ( m) = m + 2 ≠ 0

với


x1; x2
Gọi

là hai nghiệm của (1), ta có:

 x1 + x2 = 2

 x1.x2 = 2m + 2

A( x1; − x1 + 2); B( x2 ; − x2 + 2)
Các giao điểm là
⇒ AB 2 = 2( x1 − x2 ) 2 = 2( x1 + x2 )2 − 8 x1 x2 = 8 − 16( m + 1) = −8(2m + 1)

 IA = IB


AB 3

d ( I ; d ) =

2

Tam giác IAB đều khi
d (I ; d ) =

2m − 2
2

I (m; m)
với

= 2 m − 1 ; d (I ; d ) =

AB 3
3 AB 2
⇔ d 2 (I; d ) =
2
4

Ta có:
m<−

⇔ 2(m − 1)2 = −6(2m + 1) ⇔ m = −2
thỏa mãn điều kiện

1
2


m = −2 : A(1 + 3;1 − 3); B(1 − 3;1 + 3) ⇒ IA = IB

. Vậy m=-2 là giá trị cần tìm.

y = x3 + 3x2 + 1

Câu 6. Cho hàm số:
(C)

(C)

có đồ thị là

.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

A ( 1;5 )

tại điểm
. Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị
tích tam giác OAB, với O là gốc tọa độ.
A)

12

B)

8

C)


(C) ( B ≠ A )

12

D)

16

Viết phương trình tiếp tuyến…tính diện tích tam giác….
A ( 1;5 )

y'(1) = 9 ⇒

+ Ta có:

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

y = 9(x − 1) + 5 ⇔ y = 9x − 4 (d)

+ Tọa độ điểm B là giao của d và (C) có hoành độ là nghiệm pt:

x3 + 3x2 + 1 = 9x − 4 ⇔ x3 + 3x2 − 9x + 5 = 0

là:

. Tính diện


x = 1
(x − 1)2 (x + 5) = 0 ⇔ 

 x = −5
B(−5; − 49)

.
4
uuur
d( O,d) =
AB = ( −6; −54 ) ⇒ AB = 6 82
82
;
.
1
1 4
S∆OAB = d( O,d) .AB = .
.6 82 = 12
2
2 82

1
y = x3 − x 2
3

Câu 7. Cho hàm số
(1)Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
A)
B)
C)
D)





2
2
2
2
2
2
2
2
 M (1 ± 2; m )  M (1 ± 2; − m )  M (1 ± 2; − m )  M ( −1 ± 2; − m )
3 3
3 3
3 3
3 3




2
2
2
2




 M (1; − 3 )
 M (1; − 3 )

 M (1; 3 )
 M (1; − 3 )

Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam
giác cân
Tiếp tuyến của (C) tại M tạo với các trục tọa độ một tam giác cân
k = ±1
.
⇔ y '( x0 ) = ±1

x0
Gọi

là hoành độ điểm M. Ycbt

 x02 − 2 x0 − 1 = 0
x = 1± 2
⇔ 2
⇔ 0
 x0 = 1
 x0 − 2 x0 + 1 = 0


2
2
 M (1 ± 2; − m )
3 3
⇔
2


 M (1; − 3 )

⇒

tiếp tuyến có hệ số góc


y=

Câu 8. Cho hàm số

x−2
x −1

( 1)

d : y = −x + m

Tìm m để đường thẳng

(1) tại 2 điểm A, B tạo thành tam giác OAB thỏa mãn
A) m = -2

B) m = 1

1
1
+
=1
OA OB


C) m = -1

cắt đồ thị hàm số

với O là gốc tọa độ
D) m = 2

d : y = −x + m

Tìm m để đường thẳng

OAB thỏa mãn

cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A, B tạo thành tam giác

1
1
+
=1
OA OB

với O là gốc tọa độ

* Xét phương trình hoành độ:
x ≠ 1
x−2

= −x + m ⇔  2
x −1


 x − mx + m − 2 = 0

( *)

∆ = m 2 − 4 m + 8 > 0 ∀m

Phương trình (*) có
suy ra (*)có hai nghiệm phân biệt khác 1 với mọi
m. Vậy d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B với
mọi m.

A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
* Gọi

x1 , x2
với

là hai nghiệm của (*)

y1 = − x1 + m; y2 = − x2 + m

OA = 2 x12 − 2mx1 + m 2 = 2 x12 − 2mx1 + 2m − 4 + m 2 − 2m + 4
Ta có

= m 2 − 2m + 4

Tương tự

Từ


OB = m 2 − 2m + 4

1
1
+
=1
OA OB

2
m − 2m + 4
2

, ta có:

⇔ m = 0∨ m = 2

= 1 ⇔ m 2 − 2m + 4 = 2


Vì O, A, B tạo thành tam giác nên giá trị thoả mãn là m = 2

y = x3 − 3x 2 + ( m + 1) x + 1 ( Cm )
Câu 9. Cho hàm số

, (m là tham số thực) Tìm tất cả các giá

( d ) : y = x +1
trị của m để đồ thị hàm số (Cm) cắt đường thẳng


A ( 0;1)
tại ba điểm phân biệt

41
2
B, C sao cho bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC bằng
A) m = -1 hoặc
m = −4

B) m = 1 hoặc

m=4

C) m = -1 hoặc
m=4

, với O là gốc tọa độ.
D) m = 1 hoặc
m = −4

Phương trình cho hoành độ giao điểm của (Cm) và (d)
x = 0
x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x + 1 = x + 1 ⇔  2
 x − 3x + m = 0

( 1)

Để (Cm) cắt (d) tại ba điểm phân biệt ⇔ pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

9


m <
⇔
4
m ≠ 0

( *)

B ( x1 ; x1 + 1) , C ( x2 ; x2 + 1)
+) Giả sử

x1 ; x2
. Khi đó

OB.OC =

( 2x

2
1

là nghiệm của phương trình (1)

+ 2 x1 + 1) ( 2 x22 + 2 x2 + 1)

Ta có:

Vì x1; x2 là nghiệm của phương trình (1) nê:
⇒ OB.OC =


SOBC =

Vì

( 8 x1 + 1 − 2m ) ( 8 x2 + 1 − 2m )

1
OB.OC .BC
d ( O, ( d ) ) .BC =
2
4R

2
 x1 = 3x1 − m
 2
 x2 = 3x2 − m

= 4m 2 + 12m + 25

nên

OB.OC = 2 R.d ( O, ( d ) )

(2)

,


d ( O, ( d ) ) =


1
2

+)

(3)

Từ (2) và (3) ta có:

m = 1
4m 2 + 12m + 25 = 41 ⇔ 
 m = −4

Từ (*) và (**) với m = 1 hoặc

y=

Câu 10. Cho hàm số

2x
x −1

m = −4

thì ycbt được thỏa mãn

( C)

( d ) : y = mx − m + 2
Tìm m để đường thẳng

tích tam giác OAB bằng 4
A)

m = 2± 4 2

B)

cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện

m = 3± 4 2

C)

m = 6±2 2

D)

m = 6±4 2

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

2x
x ≠ 1
= mx − m + 2 ⇔ 
2
x −1

 g ( x ) = mx − 2mx + m − 2 = 0 ( *)

⇔ g ( x) = 0

+ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt khác 1

m ≠ 0

⇔ ∆ = m 2 − m 2 + 2m > 0
⇔m>0
 g 1 = m − 2m + m − 2 ≠ 0
 ( )

A ( x1 ; mx1 − m + 2 ) , B ( x2 ; mx2 − m + 2 )
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (*). Khi đó

Theo định lí viét, ta có:

 x1 + x2 = 2


m−2
8
2
x1 x2 =
⇒ AB 2 = ( x2 − x1 ) ( 1 + m 2 ) = ( 1 + m 2 )

m

m



m−2

d ( O, AB ) =

1 + m2

Ta có:

SOAB = 4 ⇔

Do đó:
điều kiện)
Vậy

m−2
1 8
1 + m2 ) .
= 4 ⇔ m − 2 = 2 2m ⇔ m = 6 ± 4 2
(
2 m
1 + m2

(thỏa mãn

m = 6±4 2

LUYỆN TẬP
y = x3 − ( m − 1) x 2 − 3x + m + 1 ( Cm )
Câu 11. Cho hàm số
Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với

hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
A) m = 1 và m = 3

B) m = -1 và m = -3
y=

Câu 12. Cho hàm số
Tìm các giá trị
m=

A)

m

2x +1
x −1

C) m = -1 và m = 3

D) m = 1 và m = -3

có đồ thị là (C)
y = −3 x + m

để đường thẳng

11
5

m=−


B)

Câu 13.Tìm giá trị tham số

A) m=-2 thoải m>0

11
5

mÎ ¡

đỉnh của 1 tam giác nhận điểm

cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm
m=−

C)

m=

D)

22
5

y = − x 4 + 4mx 2 − 4m
thì đồ thị của hàm số

 31 

H  0; ÷
 4

có 3 cự trị là 3

làm trực tâm.

B) m=3 thoải m>0

C) m=-3 thoải m>0

y = mx3 − (2m + 1) x 2 + m + 1 (Cm )
Câu 14. Cho hàm số

22
5

.

D) m=2 thoải m>0


m≠0

Tìm tất cả các giá trị của tham số
sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với
trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.Có mấy giá trị của m thỏa
mãn
A) 1
B) 2

C) 4
D) 0

Câu 15. Cho hàm số y =
5

I  0; − ÷
2


1 4
x − (m + 1) x 2 + 2m + 1
(Cm )
4

, với m là tham số thực

(Cm )

Cho
.Tìm để
có điểm cựa đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác
ABIC là hình thoi.
m = ±1
m = ±2
m = ±3
1
m=±
A)
B)

D)
2
C)
2x − 3
x −1

Câu 16. Cho hàm số y =

.

d : x + 3y + m = 0
Tìm để đường thẳng d:
cắt đồ thị (H) tại hai điểm M, N sao cho tam giác
AMN vuông tại điểm A (1;0).
A) m = 6.
B) m = -6.
C) m = 4.
D) m = -4.

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m + 2
Câu 17: Tìm m để đồ thị hàm số

có 3 điểm cực trị A,B,C sao cho

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m + 2
Tìm m để đồ thị hàm số

có 3 điểm cự trị A,B,C sao cho tam giác

ABC có diện tích bằng 32.


A)

m=2

Câu 18: Cho hàm số

m = −3
B)
2x − m
y=
mx + 1

Chứng minh rằng với mọ

i

m≠0

C)

m=3

D)

m = ±3

(m là tham số) (1)
d : y = 2 x − 2m


, đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng

tại

hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N. Tìm
S ∆OAB = 3S ∆OMN
m để


m=±

A)

1
2

B)

m = ±2

m=±

C)

Câu 19. Cho hàm số

y = 2 x 4 + 2mx 2 −

1
4


D)

m = ±3

3m
2 , với m là tham số thực.

Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm này cùng với gốc tọa độ O tạo
thành một tứ giác nội tiếp được.
A)

·ABO = 30O

B)

·ABO = 60O

0
·
C) ABO = 90

D)

·ABO = 45O

3
Câu 20. Cho hàm số y = −2 x + 6 x + 2 có đồ thị là (C)

Tìm m để đường thẳng d : y = 2mx − 2m + 6 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C

sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng -6.
A) m = 2

B) m = -2
3x + 2
y=
x+2
Câu 21 Cho hàm số

C) m = 1

D) m = -1

A ( −1; −1) , B ( 2; 2 )
( d ) : y = x + m cắt
Cho hai điểm
trên đồ thị (C). Định m để đường thẳng
đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho tứ giác ABMN là hình bình hành.Có 2 giá trị của m thỏa
mãn , Hỏi trị tuyệt đối của hiệu hai giá trị đó của m .
A) 1

B) 0

C) 10

D) 4

3
2
Câu 22 Cho hàm số: y = x + 3 x + 1 có đồ thị là (C)


Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
tuyến với đồ thị (C)
A) 10
Câu 23 Cho hàm số
. Tìm giá trị của
A)

m = −2

. Gọi B là giao điểm của tiếp

( B ≠ A) . Tính diện tích tam giác OAB, với O là gốc tọa độ.
B) 6
y = x 3 − 3x 2 + x

m

A ( 1;5 )

( C)
để

( d)
cắt

B)

C) 12
D) 8

( C)
d : y = −mx + m − 1
có đồ thị là
Cho đường thẳng

m = −1

A ( 1; −1) , B, C
tại 3 điểm phân biệt
C)

m =1

xB2 + 4 xC = 4

sao cho
D)

m = −2


y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 4 ) x − m3

Câu 24 Cho hàm số

. Tìm giá trị của

m=±

A)


để đồ thị hàm số có

OA2 − OB 2 = 8

A, B

2 điểm cực trị

m

sao cho

1
57

m=±

B)

1
67

m=±

C)

1
37


m=±

D)

1
97

y = x 4 − 2mx 2 + m − 1
Câu 25 : Tìm m để đồ thị hàm số sau
tam giác có diện tích bằng 32 .
A)

m=4

B)

có 3 điểm cực trị tạo thành một

m = −4

C)

m=6

D)

m=2

y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4
Câu 26 : cho hàm số :

. Tìm m để hàm số có điểm cực đại , cực tiểu
và các điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 .

A)

1

B)

2

C)

3

D)

−3

y = x 3 − 6 x 2 + 3(m + 1) x + m − 3
Câu 27:. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(Cm)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc
tọa độ . Hỏi có bao nhiêu giá trị của m thỏa mãn
3
D)
1
2
0
A)
B)

C)
y = x3 + 2( m − 2) x 2 + (8 − 5m) x + m − 5
Câu 28. Cho hàm số

có đồ thị (Cm) và đường thẳng

d : y = x − m+ 1
. Tìm m để d cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tại x 1, x2 , x3 thảo
x12 + x 22 + x 32 = 20

mãn:

.

m = 3; m=

A)

3
2

m = −3; m=-

B)
y=

Câu 29. Cho hàm số:

2mx + 1
(1)

x −1

3
2

m = −3; m=

C)

3
2

D)

3
2

với m là tham số.Tìm tất cả các giá trị m để đường

d: y = −2x + m

thẳng

m = 3; m=-

cắt đồ thị của hàm số (1) tại 2 diểm phân biệt


A)


m = −4.

B)

m = 4.

C)

y =- x 4 + 4 x 2 - 3
Câu 30. Cho hàm số
đúng 2 nghiệm.
m <1
m = −5
A
và
.

(1). Tìm

B)

m ≤1

và

m=5

.

m = −2 .


m

C)

D)

để phương trình

m ≥1

và

m = −5

.

m = −6.

x4 - 4 x2 + m - 1 = 0

D)

m <1

và

m=5

có


.

y = − x3 + 3 x 2 + 3( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1
Câu 31. Cho hàm số:

x1
điểm cực trị
A)

(1)Tìm m để hàm số (1) có hai

x1 − x2 = 2

2

và x đồng thời

m = ±1

B)

.

m = ±2

m=±

C)


1
2

D)

m = ±3

y = x3 + 3 x 2 + mx + 1
Câu 32 Cho hàm số

có đồ thị là (Cm); (m là tham số)

C ( 0;1)

y =1

Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng

tại ba điểm phân biệt

, D, E sao cho các

tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
m=

A)

(

1

9 + 65
8

)

m=

B)

y=
Câu 33. Cho hàm số

3x − 2
x−2

(

1
3 − 65
8

y = −4 x + 3
y = 4 x + 19

m=

C)

α


cos α =

)

m=

D)

(

1
9 − 65
8

)

B)

y = −4 x + 19

y = x3 − 3x 2 + 4

1
17

sao cho

y = −4 x − 3

và


(

1
3 + 65
8

có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến d cuả đồ thị (C),

biết tiếp tuyến d tạo với trục Ox một góc
A)

)

y = −4 x + 3

và

C)

y = −4 x − 19

y = −4 x + 3

và

D)

y = −4 x + 19


và

( C)

Câu 34. Cho hàm số
Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao cho
tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.


A)

−3 ± 2 2
3

B)

−3 ± 2
3

−2 ± 2 2
3

C)

D)

−1 ± 2 2
3

( 1)


y = x3 − 3 x 2 + m2 x + 2 − m 2

Câu 35. Cho hàm số

, với m là tham số thực.

Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt sao cho tổng các hệ số góc
của các tiếp tuyến với đồ thị tại 3 điểm đó là lớn nhất.
A) m = 1

B) m = -1

C) m = 0

D) m = 9

y = x3 − ( m + 2 ) x 2 + ( m − 1) x + 2m − 1 ( 1)
Câu 36. Cho hàm số

, với m là tham số thực.

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
d : 2x + y −1 = 0

tạo với nhau một góc
A)

m = 10 ± 5 3.


B)

Câu 37 Cho hàm số y =

30o

m = −10 ± 5 3.

x 3 − 3mx 2 + 2

x =1

và đường thẳng

.
C)

m = −8 ± 5 3.

D)

m = 8 ± 5 3.

(1), m là tham số thực.

Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với

ϕ=

ϕ

trục Ox một góc
m = ±1
A)

mà

1
5
.

B)

m = ±2

m=±

C)

Câu 38 Cho hàm số y =
phân biệt.
A)

m = ±1

B)

1 4
x − 2x2 + 3
4


. Tìm để phương trình

m = ±2

m=±

C)

Câu 39 Cho hàm số

y = x 3 − 3x 2

( C)

1
2

1
2

D)

x4 − 8x2 = m

D)

m = ±3

có 4 nghiệm thực


m = ±3


Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị (C) tạo với đường thẳng
∆ : x + my + 3 = 0 một góc α biết
m = 2; m = −

A)

2
11

cos α =

m = 2; m =

B)

4
5.

2
11

m = −2; m = −

C)

2
11


m = −2; m =

D)

2
11

LUYỆN TẬP
y = x 3 − ( m − 1) x 2 − 3x + m + 1 ( Cm )
Câu 11. Cho hàm số
Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với
hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
A) m = 1 và m = 3

B) m = -1 và m = -3

x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ A ( 1;0 )
Với

C) m = -1 và m = 3

D) m = 1 và m = -3

y ' = 3x 2 − 2 ( m − 1) x − 3
. Ta có:

y = −2 ( m − 1) ( x − 1) ( ∆ )
Phương trình tiếp tuyền của đồ thị (Cm) tại A là


( ∆)

B ( 0; 2m − 2 ) ( m ≠ 1)
cắt Ox tại A (1; 0) và cắt Oy tại

Diện tích tam giác OAB là:

1
1
S ∆OAB = OA.OB = x A . y B = m − 1
2
2

S∆OAB = 2 ⇔ m − 1 = 2 ⇔ m = 3 ∨ m = −1
Theo giả thiết:

(thỏa mãn)

Vậy giá trị m thỏa mãn đề bài là: m = -1 và m = 3

y=

Câu 12. Cho hàm số
Tìm các giá trị

m

2x +1
x −1


có đồ thị là (C)
y = −3 x + m

để đường thẳng

cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm


m=

A)

11
5

m=−

11
5

m=−

B)
2x + 1
= −3 x + m.
x −1

C)

22

5

m=

D)

22
5

x ≠1

Pt hoành độ giao điểm :
với đk
2
⇔ 2 x + 1 = ( x + 1) ( −3 x + m ) ⇔ 3 x − ( 1 + m ) x + m + 1 = 0 ( 1)
PT
⇔
D cắt (C) tại A và B
Pt(1) có 2 nghiệm khác 1
2
∆ = ( 1 + m ) − 12 ( m + 1) > 0
⇔ ( m + 1) ( m − 11) > 0 ⇔  m > 11

 m < −1
3
−
1
+
m
+

m
+
1
≠
0
)
 (

A ( x1 ; −3 x1 + m ) ,B ( x2 ; −3 x2 + m )

x1 ,x2
Goi

là 2 nghiệm của (1). Khi đó
x + x 1+ m
m −1
⇒ x1 = 1 2 =
, y1 = −3 x1 + m =
2
6
2
Gọi I là trung điểm của AB
2
 1 + m m −1 
⇒ OG = OI ⇒ G 
;
÷
3
3 
 9

Gọi G là trọng tâm tam giác OAB
1+ m
11
 m −1 
11
GÎ d ⇔
− 2.
m=−
÷− 2 = 0 ⇔ m = − ( TM ).
9
5
 3 
5
vậy

Câu 13.Tìm giá trị tham số

đỉnh của 1 tam giác nhận điểm
A) m=-2 thoải m>0

y = − x 4 + 4mx 2 − 4m

mÎ ¡

thì đồ thị của hàm số

 31 
H  0; ÷
 4


có 3 cự trị là 3

làm trực tâm.

B) m=3 thoải m>0

C) m=-3 thoải m>0

D) m=2 thoải m>0

m ≤ 0 ⇒ y' = 0

có 1 nghiệm, nên hàm số có 1 cực
m > 0 ⇒ y' = 0

có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó, nên hàm số có 3

(

) (

A ( 0; −4m ) ,B − 2m; 4m 2 − 4m ,C
cực trị. Giả sử:

Vì tam giác ABC cân tại A và B, C đối xứng nhau qua Oy
uur uuur
AH ^ BC ⇒ u
BH .AC = 0 ( * )
BH ^ AC
H là trực tâm tâm giác ABC khi


{

)

2m; 4m 2 − 4m .


Ta có :

uuur 
31  uuur
BH =  2m; −4m 2 + 4m + ÷, AC =
4


Khi đó (*)

(

2m; 4m 2

)

31 
31

⇔ 2m + 4m 2  −4m 2 + 4m + ÷ = 0 hay 8m3 − 8m 2 − m − 1 = 0 ,
4
2



phương trình có

nghiệm m=2 thoải m>0
y = mx3 − (2m + 1) x 2 + m + 1 (Cm )
Câu 14. Cho hàm số

.

m≠0
Tìm tất cả các giá trị của tham số
sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với
trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.Có mấy giá trị của m thỏa
mãn
A) 1
B) 2
C) 4
D) 0

(Cm ) : y = mx 3 − (2 m + 1) x + m + 1

2. Đồ thị
y ' = 3mx 2 − (2 m + 1) ⇒ y '(0) = −(2 m + 1)
tm

m≠0

Từ đó, khi
, tiếp tuyến

y = −(2m + 1) x + m + 1

cắt trục tung tại M (0; m+1)

(Cm )
của

tại M có phương trình

(tm )
Do
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 nên ta có hệ
1

1

m ≠ − 2
m ≠ 2
=8⇔ 
⇔ m = 7 ± 2 14; −9 ± 6 2

 m +1 . m +1
( m + 1) 2 = 8 2m + 1


2m + 1

{

Câu 15. Cho hàm số y =

5

I  0; − ÷
2


1 4
x − (m + 1) x 2 + 2m + 1 (C )
m
4

}

, với m là tham số thực

(Cm )

Cho
.Tìm để
có điểm cựa đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác
ABIC là hình thoi.
m = ±1
m = ±2
m = ±3
1
m=±
A)
B)
D)
2

C)


y ' = x3 − 2( m + 1) x
Ta có
(Cm )

, với mọi

x∈
⇔ y'= 0

có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu
⇔ 2(m + 1) > 0 ⇔ m > −1
(1)

có 3 nghiệm phân biệt

x = − 2(m + 1)
khi đó 3 nghiệm phân biệt của y’ = 0 là x = 0

và
.
2
B − 2( m + 1); − m

(Cm )
điểm cực đại của
C 2( m + 1); − m2


(

)

x = 2( m + 1)

là A (0;2m+1), hai điểm cực tiểu là

(

)

và

H (0; − m 2 )
Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại
và H là trung điểm của BC. Do đó tứ
giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung điểm của AI. Hay là
 2 x H = x A + xI
5
1
3
⇔ −2m 2 = 2m + 1 − ⇔ m =

m=−
2
y
=
y
+

y
2
2
 H
A
I
2
hoặc
.
1
m=
2
Đối chiếu với điều kiện (1) ta được giá trị của m là

Câu 16. Cho hàm số y =

2x − 3
x −1

.

d : x + 3y + m = 0

Tìm để đường thẳng d:
AMN vuông tại điểm A (1;0).
A) m = 6.
B) m = -6.

1
m

d : y =− x−
3
3

Ta có
2x − 3
1
m
=− x−
x −1
3
3

cắt đồ thị (H) tại hai điểm M, N sao cho tam giác
C) m = 4.

D) m = -4.

. Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình
x 2 + ( m + 5) x − m − 9 = 0, x ≠ 1

, hay
∆ = (m + 7) + 12 > 0, ∀m

(1)

2

ta có


.Suy ra phương trính (1) có 2 nghiệm phân biệt. Hơn nữa cà 2
x1 , x2

nghiệm
đều khác 1. Do đó d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt
( x1 ; y1 )
( x2 ; y2 )
M
,N
.


uuuu
r
uuur
AM = ( x1 − 1; y1 ), AN = ( x2 − 1; y2 ).
Ta có

uuuur uuur
⇔ AM . AN = 0

( x1 − 1)( x2 − 1) + y1 y2 = 0

Tam giác AMN vuông tại A
hay
.
1
⇔ ( x1 − 1)( x2 − 1) + ( x1 + m)( x2 + m) = 0
⇔ 10 x1 x2 + ( m − 9)( x1 + x2 ) + m 2 + 9 = 0
9

x1 + x2 = − m − 5, x1 x2 = − m − 9

. (2)

Áp dụng định lý Viet, ta có
. Thay vào (2) ta được
2
10( −m − 9) + (m − 9)(− m − 5) + m + 9 = 0 ⇔ −6m − 36 = 0 ⇔ m = −6
Vậy giá trị của m là m = 6.

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m + 2
Câu 17: Tìm m để đồ thị hàm số

có 3 điểm cực trị A,B,C sao cho

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m + 2
Tìm m để đồ thị hàm số

có 3 điểm cự trị A,B,C sao cho tam giác

ABC có diện tích bằng 32.

A)

m=2

B)

m = −3


C)

m=3

D)

m = ±3

D = ¡ , y ' = 4 x 3 − 4 ( m + 1) x;
•

TXĐ:

•

phân biệt…
Toạ độ các điểm cực trị là

hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’=0 có 3 nghiệm

⇔ m > −1;

A ( 0; m + 2 ) , B

(

) (

S=
•


Diện tích tam giác ABC là

⇔
•

)

m + 1; − m 2 − m + 1 , C − m + 1; − m 2 − m + 1 ;

( m + 1)

5

1
1
BC.d ( A, BC ) = .2 m + 1 ( m 2 + 2m + 1) =
2
2

( m + 1)

5

= 32 ⇔ m + 1 = 2 ⇔ m + 1 = 4 ⇔ m = 3

ycbt

, thoả mãn đk
y=


Câu 18: Cho hàm số
Chứng minh rằng với mọ

i

2x − m
mx + 1

m≠0

(m là tham số) (1)
d : y = 2 x − 2m

, đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng

tại

hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N. Tìm
S ∆OAB = 3S ∆OMN
m để

;


m=±

A)

1

2

B)

m = ±2

m=±

C)

( C) &( d )
Phương trình hoành độ giao điểm chung giữa

là:

1
4

D)

m = ±3

2x − m
= 2 x − 2m
mx + 1

1

1


x ≠ − m
x ≠ −
m
⇔
⇔
2
 F ( x ) = m ( 2 x − 2mx − m ) = 0
 f ( x ) = 2 x 2 − 2mx − 1 = 0 ( *)



Xét pt (*) có:

∆ ' = m 2 + 2 > 0∀m ≠ 0

⇔ ( d ) ∩ ( C ) = { A ≠ B} ∀m ≠ 0
  1
2
 f  − m ÷ = 1 + m 2 ≠ 0∀m ≠ 0

 
 x A + xB = m

 x A .xB = − 1
2

 y A = 2 x A − 2m

 yB = 2 xB − 2m


Theo định lí Viet

AB =

( x A − xB )

h = d ( O, d ) =

⇒ SOAB =

2

+ ( y A − yB ) = 5 ( xA − xB ) = 5.

−2 m
5

2

=

2

( x A + xB )

2

− 4 x A . xB

2

m ; AB = 5. m 2 + 2, M ( m; 0 ) , N ( 0; −2m )
5

1
1
h. AB = m . m 2 + 2,S∆OMN = OM .ON = m 2
2
2

S ∆OAB = 3S∆OMN ⇔ m 2 + 2 = 3 m ⇔ m = ±

Câu 19. Cho hàm số

y = 2 x 4 + 2mx 2 −

1
2

3m
2 , với m là tham số thực.

Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm này cùng với gốc tọa độ O tạo
thành một tứ giác nội tiếp được.
A)

·ABO = 30O

B)

·ABO = 60O


0
·
C) ABO = 90

D)

·ABO = 45O


2) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm này cùng với góc tọa độ O
tạo thành một tứ giác nội tiếp được

x = 0
y ' = 8 x + 4mx = 0 ⇔  2
x = − m

2
3

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m < 0
3m  
m m 2 3m  
m m 2 3m 

A  0; −
,
B
−
−

;
−
−
,
C
−
;−
−
÷ 
÷
÷ 
2  
2
2
2 ÷
2
2
2 ÷




Khi có các điểm cực trị là

Nhận thấy B và C đối xứng nhau qua các đường thẳng OA nên ycbt được thỏa mãn khi và chỉ
khi 4 điểm A, B, C, O tạo thành tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA, hay khi và chỉ
0
·
Khi ABO = 90


3
Câu 20. Cho hàm số y = −2 x + 6 x + 2 có đồ thị là (C)

Tìm m để đường thẳng d : y = 2mx − 2m + 6 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C
sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng -6.
A) m = 2

B) m = -2

C) m = 1

D) m = -1

Tìm m để đường thẳng d : y = 2mx − 2m + 6 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao
cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng -6.
−2 x 3 + 6 x + 2 = 2mx − 2m + 6 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + m − 2 ) = 0

Điều kiện cắt tại 3 điểm phân biệt:

0≠m<

9
4

Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ các điểm A, B, C, ta có:

f ' ( x1 ) + f ' ( x2 ) + f ' ( x3 ) = −6
⇔ 0 + ( −6 x12 + 6 ) + ( −6 x22 + 6 ) = −6
⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 3
2


⇔ 1− 2 ( m − 2) = 3
Vậy m = 1


Câu 21 Cho hàm số

y=

3x + 2
x+2

A ( −1; −1) , B ( 2; 2 )
( d ) : y = x + m cắt
Cho hai điểm
trên đồ thị (C). Định m để đường thẳng
đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho tứ giác ABMN là hình bình hành.Có 2 giá trị của m thỏa
mãn , Hỏi trị tuyệt đối của hiệu hai giá trị đó của m .
A) 1

B) 0

C) 10

D) 4

A ( −1; −1) , B ( 2; 2 )
(d) : y = x+m
2. Cho hai điểm
trên đồ thị (C). Định m để đường thẳng

cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho tứ giác ABMN là hình bình hành.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C):
3x + 2
 x ≠ −2
= x+m ⇔ 
x+2
3 x + 2 = ( x + 2 ) ( x + m ) ( 1)

⇔ x 2 ( m − 1) x + 2m − 2 = 0 ( 2 )

(do x = −2 không phải là nghiệm của (1))

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
m < 1
2
⇔ ∆ = ( m − 1) − 4 ( 2m − 2 ) = m 2 − 10m + 9 > 0 ⇔ 
( 3)
m > 9
Khi đó:

yM − y N = xM − xN = ∆ = m 2 − 10m + 9

Nhận thấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng y = x song song với (d) khi m ≠ 0 . Do đó với
điều kiện (3), để tứ giác ABMN là hình bình hành thì ta chỉ cần MN = AB là đủ
Ta có:

MN = AB ⇔

( xM − x N )


2

+ ( yM − y N ) = 3 2 ⇔ m 2 − 10m + 9 = 3 ⇔ m 2 − 10m = 0
2

m = 0
⇔
 m = 10 . So với điều kiện (3) ta nhận m = 10 là đáp số của bài toán.

3
2
Câu 22 Cho hàm số: y = x + 3 x + 1 có đồ thị là (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
tuyến với đồ thị (C)
A) 10

A ( 1;5 )

. Gọi B là giao điểm của tiếp

( B ≠ A) . Tính diện tích tam giác OAB, với O là gốc tọa độ.
B) 6

C) 12

Viết phương trình tiếp tuyến…tính diện tích tam giác….

D) 8



y ' ( 1) = 9 ⇒

+ Ta có:

A ( 1;5 )

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

y = 9 ( x − 1) + 5 ⇔ y = 9 x − 4

là:

( d)

+ Tọa độ điểm B là giao của d và (C) có hoành độ là nghiệm pt:

x 3 + 3 x 2 + 1 = 9 x − 4 ⇔ x3 + 3 x 2 − 9 x + 5 = 0

⇔ ( x − 1)

2

x = 1
 x = −5

( x + 5) = 0 ⇔ 

B ( −5; −49 )
AB = ( −6; −54 ) ⇒ AB = 6 82;

Do B ≠ A nên
. Ta có:
d ( O, d ) =

Suy ra:

4
82

S ∆OAB =

1
1 4
d ( 0, d ) . AB = .
.6 82 = 12
2
2 82
(đvdt)

( C)

y = x 3 − 3x 2 + x
Câu 23 Cho hàm số
. Tìm giá trị của
A)

m = −2

m


có đồ thị là

( C)
để

( d)
cắt

B)

d : y = −mx + m − 1

Cho đường thẳng

A ( 1; −1) , B, C
tại 3 điểm phân biệt

m = −1

C)

m =1

xB2 + 4 xC = 4

sao cho
D)

m = −2


Phương trình hoành độ giao điễm
x3 − 3 x 2 + x = − mx + m + 1 ⇔ x3 − 3x 2 + ( m + 1) x − m + 1 = 0
x = 1
⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x + m − 1) = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x − 2x + m − 1 = 0

( C)
Để

giao

d

g ( x) = 0
tại 3 điễm phân biệt thì phương trình

xB , xC
Gọi

xB , xC

B, C

là hoành độ điễm

 xB + xC = 2
g ( x) = 0 ⇒ 
 xB xC = m − 1


có 2 nghiệm phân biệt khác

thì

là 2 nghiệm của phương trình

1


Ta có:
xB2 + 4 xC = 4 ⇔ xB2 + 4 ( 2 − xB ) = 4 ⇔ xB2 − 4 xB + 4 = 0 ⇔ ( xB − 2 ) = 0 ⇔ xB = 2 ⇒ xC = 0
2

⇒ xB .xC = 0 ⇒ m − 1 = 0 ⇔ m = 1

Vậy

m =1
y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 4 ) x − m3

Câu 24 Cho hàm số

. Tìm giá trị của

m=±

A)

Ta có :


để đồ thị hàm số có

OA2 − OB 2 = 8

A, B

2 điểm cực trị

m

sao cho

1
57

m=±

B)

1
67

m=±

C)

1
37

m=±


D)

1
97

x = m − 2
y = ( x − m)3 − 12 x ⇒ y , = 3( x − m) 2 − 12, y , = 0 ⇔ 
x = m + 2

m − 2 ≠ m + 2, m ⇒ (Cm)

luôn có 2 điểm cực trị
 A(m − 2, −12m + 16), B(m + 2), −12m − 16)
⇒
 A(m + 2, −12m − 16), B (m − 2), −12m + 16)
1
OA2 − OB 2 = 8 ⇒  (m − 2)2 + (−12m + 16) 2  − (m + 2) 2 + (−12m − 16) 2  ⇔ m = ±
97
m=±

Vậy

1
97

y = x 4 − 2mx 2 + m − 1
Câu 25 : Tìm m để đồ thị hàm số sau
tam giác có diện tích bằng 32 .
A)


m=4

Tập xác định:

B)
D=R

m = −4

có 3 điểm cực trị tạo thành một

C)

m=6

D)

m=2