PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
BÀI 28. TÍNH NHANH GÓC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Góc giữa hai vecto
r
r
Cho hai vecto u  x; y; z  và v  x '; y '; z '  , góc giữa hai vecto ur , vr được

tính theo công thức :
rr
r r
u.v
x.x ' y. y ' z.z '
cos u; v  r r 
2
u .v
x  y 2  z 2 x '2  y '2  z '2

 

Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng �
00 ;1800 �
�
�

2. Góc giữa hai đường thẳng
r và uur . Góc
Cho hai đường thẳng d và d ' có hai vecto chỉ phương uuu
ud '
d


 giữa hai đường thẳng d , d ' được tính theo công thức :
uu
r uur
ud .ud '
uu
r uur
cos   cos ud ; ud '  uu
r uur ( tích vô hướng chia tích độ dài )
u d . ud '





Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng �
00 ;900 �
�
�

3. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  có hai vecto pháp tuyến nuur và nuur .
Q
P

Góc  giữa hai mặt phẳng  P  ,  Q  được tính theo công thức :
uur uur
nP .nQ
uur uur
cos   cos nP ; nQ  uur uur
nP . nQ






Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng �
00 ;900 �
�
�

4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương r và mặt phẳng  P  có
u

r
vecto pháp tuyến n . Góc  giữa đường thẳng d và mặt phẳng  Q 
r r
được tính theo công thức sin   cos u; n

 

Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng �
00 ;900 �
�
�

5. Lệnh Caso
 Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB

 Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
 Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
 Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
 Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

Trang
1/11


II) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;1;0  , B  3;0; 4  ,
uuur uuur
C  0; 7;3 . Khi đó cos AB; BC bằng :



A.

14
798
798
C.
D. 
3 118
57
57
GIẢI
u

u
u
r
u
u
u
r
Nhập hai vecto
vào máy tính Casio
AB, BC

14 118
354



w





B. 

8 1 1 p 1 = p 1 = 4 = w

8 2 1 3 = 7 = p 1 =

uuu
r uuur

uu
r uuur
AB.BC
14
Tính cos u
AB; BC  uuu
r uuur  0.4296...  
3 118
AB; BC





W q 5 3 q 5 7 q
q 5 4 ) ) =

5 4 P ( q

c q

5 3 )

O q

c

� Đáp số chính xác là B
VD2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016]
x y 1 z 1

x 1 y z  3

 
Góc giữa hai đường thẳng d : 
và d '
là :
1
1
2
2
1
1
A. 450 B. 900 C. 600 D. 300
GIẢI
Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về

chế độ độ
q w 3
r
Đường thẳng d có vecto chỉ phương u  1; 1; 2  , đường thẳng d ' có
ur
vecto chỉ phương u '  2;1;1
r ur
u.u '
r ur
Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
thì

d; d '

cos   cos u; u '  r ur

u . u'





Trang
2/11


w
q
q

8 1 1 1 = p 1 = 2 = w 8 2 1 2 = 1 = 1 = W
c q 5 3 q 5 7 q 5 4 ) P ( q c q 5 3 ) O q
5 4 ) ) =

Ta có


cos   0.5 �   600

Áp dụng công thức tính thể tích VABCD 
= q

k M )


r uuur uuur
1 uuu
AB �
AC ; AD �
�
� 4
6

=

� Đáp số chính xác là C
VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]
r
r
Tìm m để góc giữa hai vecto u  1;log 3 5;log m 2  , v  3;log 5 3; 4  là góc nhọn

m 1
�
1 �
A. 1  m  B.
1
2 �
0m
�
2

C. 0  m 

1
D. m  1

2
GIẢI



rr
Gọi góc giữa 2 vecto r r là
thì cos   ru.vr

u, v
u.v
rr
Để góc  nhọn thì cos   0 � u.v  0
� 1.3  log 3 5.log 5 3  4.log m 2  0 � log m 2  1  0 (1)
Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết


lập Start 2 End 2 Step 0.5
w 7 i
Q ) $ 2 $ + 1 = = p 0 .
0 . 2 5 =
Ta thấy f  0.25   0.5  0 � Đáp án C sai

5 = 1 .

5 =

Ta thấy f  1.25   4.1062  0 � Đáp số B và D sai

� Đáp số chính xác là A

Trang
3/11

c


VD4-[Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12]
1
Tìm  để hai mặt phẳng  P  : x  y  z  5  0 và
4
3
Q
:
x
sin


y
cos


z
sin


2

0
 
vuông góc với nhau

0
0
0
A. 15
B. 75 C. 90
D. Cả A, B, C đều đúng
GIẢI
Mặt phẳng
có vecto pháp tuyến uur � 1
có
�, mặt phẳng
P
nP �
1;  ; 1�
Q



� 4
�
uur
3
vecto pháp tuyến nQ  sin  ;cos  ;sin  
uur
uur
Để hai mặt phẳng trên vuông góc với nhau � góc giữa nP và nQ
uur uur
bằng 900 � nP .nQ  0
1
1

� sin   cos   sin 3   0 . Đặt P  sin   cos   sin 3 
4
4
Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án

bằng chức năng CALC của máy tính Casio
Với   150 � P  0 � Đáp án A đúng
j Q ) ) p a 1 R 4 $ k Q ) ) p j Q ) )
^ 3 r 1 5 =

Với   750 � P  0 � Đáp án B đúng
r 7 5 =

� Đáp số chính xác là D
VD5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]
Điểm H  2; 1; 2  là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng

 P

.Tìm số đo góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  Q  : x  y  6  0

A. 300 B. 450 C. 600 D. 900
GIẢI
Mặt phẳng


 P

vuông góc với


OH

nên nhận uuur
là vecto
OH  2; 1; 2 

pháp tuyến
�  P  : 2  x  2   1 y  1  2  z  2   0 � 2 x  y  2 z  9  0
uur
Mặt phẳng  Q  có vecto pháp tuyến là nQ  1; 1;0 


uuur uur
OH
.nQ
Gọi
 là góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  � cos   uuur uur
OH . nQ
Trang
4/11


w 8 1 1 2 = p 1 = p 2 = w 8 2 1 1 = p 1 = 0 =
W q c q 5 3 q 5 7 q 5 4 ) P ( q c q 5 3 )
O q c q 5 4 ) ) =

Vậy cos   0.7071... 
= q

k M )


2
�   450
2

=

� Đáp số chính xác là B
VD6-[Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Mặt phẳng  Q  nào sau đây đi qua hai điểm A  3; 0; 0  và B  0;0;1 đồng thời
tạo với mặt phẳng  Oxy  một góc là 600

x  5 y  3z  3  0
�
�
x  26 y  3 z  3  0
A. �
B. �
x  26 y  3 z  3  0
x  5 y  3z  3  0
�
�
x  26 y  3z  3  0
x  5 y  3z  3  0 �
�
C. �
D. �
x  5 y  3z  3  0 �
x  26 y  3z  3  0
�

GIẢI
 Cách Casio
Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử. Ta thấy tất cả các mặt
phẳng xuất hiện trong đáp án đều đi qua 2 điểm A, B . Vậy ta chỉ cần
tính góc giữa mặt phẳng xuất hiện trong đáp án và mặt phẳng  Oxy 
là xong.
Với mặt phẳng
có vecto pháp tuyến
Q  : x  26 y  3 z  3  0


uur
r
nQ  1;  26;3 , mặt phẳng  Oxy  có vecto pháp tuyến n   0;0;1
uur r
nQ ; n
0
Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng trên � cos   uur r  0.5 �   60
nQ . n





w 8 1 1 1 = p s 2 6 ) = 3 = w 8 2 1 0 = 0 = 1 =
W q c q 5 3 q 5 7 q 5 4 ) P ( q c q 5 3 )
O q c q 5 4 ) ) =

� Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng  Q  : x  26 y  3 z  3  0 .
Trang

5/11


Tiếp tục thử với mặt phẳng




x  5 y  3z  3  0

nếu thỏa thì đáp án A

đúng nếu không thì đáp án D đúng
 Cách tự luận
Gọi mặt phẳng
 Q  có dạng Ax  By  Cz  D  0



 Q

qua A � 3 A  D  0 ,  Q  qua B � C  D  0 . Chọn
1
D  1 � C  1; A  
3
uur � 1
1
�
 ; B; 1�
Khi đó  Q  :  x  By  z  1  0 và có vecto pháp tuyến nQ �

3
�3
�
uur r
uur r
nQ ; n
nQ ; n 1
1
Góc giữa hai mặt phẳng trên là 0
0
60 � cos 60  uur r  � uur r   0
nQ . n 2
nQ . n 2
1
 .0  B.0  1.1
3

�

2

� 1� 2
 � B  1. 02  02  12
�
� 3�



1
0�

2

1
B2 

10
9



1
0
2

10
10
26
26
 2 � B2   4 � B2 
�B�
9
9
9
3
� Đáp án chính xác là C
VD7-[Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
x  3 y 1 z  3


Tính góc giữa đường thẳng  :

và mặt phẳng
2
1
1
 P : x  2y  z  5  0
� B2 

A. 300



B. 450

C. 600

D. 900
GIẢI
Đường thẳng
có vecto chỉ phương r
và mặt phẳng
u  2;1;1
 P  có

r
vecto pháp tuyến n  1; 2; 1
rr
u.n
r r
Gọi  là góc giữa giữa 2 vectơ u, n . Ta có cos     r r
u.n

w 8 1 1 2 = 1 = 1 = w 8 2 1 1 = 2 = p 1 =
W q c q 5 3 q 5 7 q 5 4 ) P ( q c q 5 3 )
O q c q 5 4 ) ) =

Gọi


 là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P 

� sin   cos   0.5
Trang
6/11


�   300
q j M )

=

� Đáp án chính xác là A
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Câu 21 trang 119 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho bốn điểm A  1;1;0  , B  0; 2;1 , C  1;0; 2  , D  1;1;1 . Tính góc giữa 2 đường
thẳng AB và CD :
A. 300
B. 600
C. 900
D. 1200
Bài 2-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
r

r
r r
Cho u  1;1; 2  và v  1;0; m  . Tìm m để góc giữa hai vecto u, v là 450

�
m  2 6
A. �
B. m  2  6 C. m  2  6 D. Không có m thỏa mãn
m  2 6
�
Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
2
2
Cho hai mặt phẳng  P  : m x  y   m  2  z  2  0 và 2 x  m 2 y  2 z  1  0 vuông
góc với nhau :
A. m  2
B. m  1
C. m  2 D. m  3
Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung
điểm B ' C ' . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC '
1
2
3
2
A.
B.
C.
D.
3

5
2
2
Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng

 Q : 2x  y 

5 z  0 một góc 600

3 x  y  0
3x  y  0
x  3y  0
x  3y  0
�
�
�
�
A. �
B. �
C. �
D. �
x  3y  0
3 x  y  0
x  3y  0
3x  y  0
�
�
�
�

Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho  P  : 3x  4 y  5z  8  0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
phẳng    : x  2 y  1  0 ,    : x  2 z  3  0 . Gọi  là góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng  P  . Khi đó :
A.   300

B.   450

C.   600

D.   900

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Câu 21trang 119Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho bốn điểm A  1;1;0  , B  0; 2;1 , C  1; 0; 2  , D  1;1;1 . Tính góc giữa 2 đường
thẳng AB và CD :
Trang
7/11


A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200
Đường thẳng


GIẢI
r
nhận vecto uuu
là vecto chỉ phương , đường thẳng
AB  1;1;1
AB


uuur
CD nhận CD  0;1; 1 là vecto chỉ phương
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB, CD và được tính theo công thức :
uuu
r uuur
AB.CD
uuu
r uuur
cos   cos AB; CD  uuu
r uuur
AB . CD
r uuur vào máy tính Casio
Nhập các vecto uuu
AB, CD





w



8 1 1 p 1 = 1 = 1 = w

8 2 1 0 = 1 = p 1 =

uuu
r uuur

AB
.CD
u
u
u
r
u
u
u
r
Tính
cos   cos AB; CD  uuu
r uuur  0 �   900

AB . CD



W q
O q

c q
c q



5 3 q 5 7 q
5 4 ) ) =

5 4 )


P ( q

c q

5 3 )

Vậy đáp số chính xác là C
Bài 2-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
r
r
r r
Cho u  1;1; 2  và v  1;0; m  . Tìm m để góc giữa hai vecto u, v là 450

�
m  2 6
A. �
B. m  2  6 C. m  2  6 D. Không có m thỏa mãn
m  2 6
�
GIẢI
rr
r
r
Ta có cos u; v  ru.vr  1  2m

u.v
6. m 2  1

 


1
1  2m
1
�

0
2
2
2
6. m  1
6. m  1
thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng

Để góc giữa 2 vecto trên là

Để kiểm tra giá trị


m

450

thì

1  2m
2

CALC
Với m  2  6

w 1 a 1 p 2 Q ) R s 6 $ O s Q
$ $ p a 1 R s 2 r 2 p s 6 ) =



)

d + 1

Trang
8/11


� m  2  6 thỏa � Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B
Tiếp tục kiểm tra với m  2  6
r 2 + s 6 ) =

� 2  6 không thỏa � Đáp số chính xác là B
Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
2
2
Cho hai mặt phẳng  P  : m x  y   m  2  z  2  0 và 2 x  m 2 y  2 z  1  0 vuông
góc với nhau :
A. m  2
B. m  1
C. m  2 D. m  3
GIẢI
Mặt phẳng
có vecto pháp tuyến r 2
, mặt phẳng

có
P
n  m ; 1; m 2  2 
Q



ur
2
vecto pháp tuyến n '  2; m ; 2 
r ur
Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau thì r ur
n

n
'
�
n
.n '  0

� m 2 .2  m 2   m 2  2  .  2   0 � 4  m 2  0 � m  �2
� Đáp án chính xác là A
Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung
điểm B ' C ' . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC '
1
2
3
2
A.

B.
C.
D.
3
5
2
2
GIẢI
Ta chọn hệ trục tọa độ
có gốc là đỉnh
, tia
chứa
, tia
Oxyz
Oy
Ox
A
AB

chứa AD , tia Oz chứa AA ' . Chọn a  1 khi đó : A  0;0;0  , B  0;1;0  ,

D  0;1; 0  , A '  0;0;1 , B '  1; 0;1 , C '  1;1;1
r � 1 � uuuu
r
� 1 � uuu
� P�
1; ;1 �, AP �
1; ;1�, BC '  0;1;1
�2 �
�2 �


Góc giữa 2 đường thẳng

w
q
q

AP, BC '

là



thì

uuu
r uuuu
r
AP; BC '
2
cos   uuu
r uuuu
r  0.7071... 
2
AP . BC '

8 1 1 1 = 0 . 5 = 1 = w 8 2 1 0 = 1 = 1 = W
c q 5 3 q 5 7 q 5 4 ) P ( q c q 5 3 ) O
c q 5 4 ) ) =
Trang

9/11


� D là đáp số chính xác
Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng

 Q : 2x  y 

5 z  0 một góc 600

x  3y  0
x  3y  0
�
�
A. �
B. �
x  3y  0
3 x  y  0
�
�
 Cách Casio
Với mặt phẳng






3 x  y  0

�
D. �
3x  y  0
�

có vecto pháp tuyến uur
, mặt
nP   1;3 
uur
phẳng  Q  có vecto pháp tuyến nQ  2;1;  5
uu
r uur
nP ; nQ
0
Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng trên � cos   uur uur  0.5 �   60
nP . nQ

 P : x  3y  0



w
q
q



3 x  y  0
�
C. �

x  3y  0
�
GIẢI



8 1 1 1 = 3 = 0 = w 8 2 1 2 = 1 = p s 5 )
c q 5 3 q 5 7 q 5 4 ) P ( q c q 5 3 ) O
c q 5 4 ) ) =

= W

� Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng x  3 y  0 .
Tiếp tục thử với mặt phẳng
nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu
x  3y  0
không thì đáp án C đúng
 Cách tự luận
Gọi mặt phẳng
 P  có dạng Ax  By  Cz  D  0 .  P  chứa trục Oz thì

 P  chứa 2 điểm thuộc trục Oz . Gọi hai điểm đó là A  0;0;0  và
B  0;0;1
 P  qua A � D  0 ,  P  qua B � C  D  0 � C  D  0 Chọn A  1
uur
Khi đó  P  : x  By  0 và có vecto pháp tuyến nQ  1; B;0 
uur uur
n
P ; nQ
1

Góc giữa hai mặt phẳng trên là 0
0
60 � cos 60  uur uur 
nP . nQ 2
uur r
nQ ; n 1
� uur r   0
nQ . n 2

Trang
10/11




1.2  B.1  0.  5

�





12  B 2  02 . 22  12   5



2




B2
1
1
�

2
10 B 2  1 2

B3
�
�
� 2 B  2  10 B  1 � 4  B  4 B  4   10  B  1 � 6 B  16 B  6  0 �
1
�
B
3
�
� Đáp án chính xác là C
Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho  P  : 3x  4 y  5z  8  0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
phẳng    : x  2 y  1  0 ,    : x  2 z  3  0 . Gọi  là góc giữa đường thẳng d
2

2

2

2


và mặt phẳng  P  . Khi đó :

D.   900
GIẢI
là giao tuyến của hai mặt phẳng
   ,    nên nhận d vuông góc với hai
d

A.   300



B.   450

C.   600

vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng này
uu
r
uur uur
�
� Vecto chỉ phương ud  �
n
� ; n �  4; 4; 4 
w
q

8 1 1 1 = p 2 = 0 = w
5 3 O q 5 4 =


8 2 1 1 = 0 = p 2 = W

uu
r uu
r
u
.
n
u
u
r
u
u
r
d
P
3
Gọi  là góc giữa
ta có
cos   uu
r uur  0.8660... 
ud ; nP

2
u d . nP

w
q
q


8 1 1 4 = 2 = 2 = w 8 2 1 3 = 4 = 5 = W
c q 5 3 q 5 7 q 5 4 ) P ( q c q 5 3 ) O
c q 5 4 ) ) =

Ta có sin   cos  
q

j

M )

3
�   600
2

=

. � Đáp số chính xác là C
Chính xác là B.
Trang
11/11