Tìm thương và số dư
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.4 KB, 6 trang )
Tìm thương và số dư
Dạng 1: Đối với những số nhỏ ta có thể tìm trực tiếp bằng cách bấm phím đặc biệt
của máy tính Vinacal.
Ví dụ: Tìm thương và số dư khi chia 20142014 cho 13
SHIFT + VINACAL +1 Q...r(20142014,13) =
Máy cho kết quả Q=1549385, R = 9
Dạng 2: Tìm thương hoặc số dư đối với những số lớn. (Kết hợp máy tính với kiến
thức đồng dư)
Định nghĩa 1: Cho a là một số nguyên, m là một số nguyên dương. Khi đó, r được
gọi là số dư trong phép chia a cho m nếu tồn tại số nguyên q, r sao cho: a = mq +
r, ,0≤ r < m
Định nghĩa 2: Cho a, b là hai số nguyên, m là một số nguyên dương. Lúc đó, a
được gọi là đồng dư với b theo môđun m nếu số dư trong phép chia
a cho m bằng số dư trong phép chia b cho m. Kí hiệu: a≡b (mod m)Từ định nghĩa
này ta có: a ≡ b (mod m) thì a-b chia hết cho m;
Ví dụ: 5 ≡ 2 (mod 3)⇔ 5-2 chia hết cho 3; 11 ≡ 7(mod 4)⇔11-7 chia hết cho 4;
Định lý 1: Cho m là số nguyên dương a đồng dư với b theo mođun m khi chỉ khi
tồn tạisố nguyên k sao cho a = b + km.
Định lý 2: Nếu a ≡ b (mod m); c ≡ d(mod m) thì a+c ≡ b+d(mod m)
và ac ≡ bd(mod m)
Định lý Fermat:
Với p là số nguyên tố ta có ap ≡ a(mod p)
Đặc biệt nếu (a,p) = 1 thì ap-1 ≡ 1 (mod p)
Định lý Euler
Với a, m là hai số nguyên tố cùng nhau thì aϕ(m) ≡ 1(mod m)
(1 −
Với công thức tính ϕ(m) = m(
tố khi phân tích m ra thừa số nguyên tố.
1
1
)(1 − ).....
p1
p2
Với p1, p2... là các số nguyên
Ví dụ:
a) Tìm số dư trong phép chia 1111201020112012 cho 2013:
Sử dụng Định lý 2 , cách tách số để giải quyết số lớn và cách bấm tìm
thương và số dư Dạng 1
8
Ta có: 1111201020112012 = 11112010 ×10 + 20112012
11112010 ≡ 250 (mod 2013) ⇒ 11112010 ×108 ≡ 250 ×108 (mod 2013)
20112012 ≡ 129 (mod 2013); nên:
1111201020112012 ≡ 250 × 108 + 129 = 2500000 × 104 + 129 (mod 2013);
2500000 ≡ 1876 (mod 2013) ⇒ 2500000 ×10 4 ≡ 1876 ×10 4 (mod 2013);
Suy ra: 1111201020112012 ≡ 18670129 (mod 2013) ≡ 1567 (mod 2013)
Vậy: 1111201020112012 ≡ 1567 (mod 2013) Tức là số dư cần tìm là : 1567
b) Tìm dư trong phép chia 109345 cho 14.
( Với số 109345 ta không thể tính ngay bằng máy tính mà sử dụng cách bấm Dạng 1
và định lý Euler)
345
Ta có 109 ≡ 11(mod14) => 109 ≡ 11345(mod14)
1 1
14 1 − ÷ 1 − ÷ = 6
14 = 7.2 nên ϕ(14) = 7 2
Theo định lý Euler thì 116 ≡ 1(mod 14)
Nên 11345 = 116.57 + 3 ≡ 113 (mod14) ≡ 1(mod 14)
Bấm máy cho ta kết quả số dư trong phép chia 109345 cho 14 là 1
1111
c) Tìm số dư trong phép chia 11
cho 30
1 1 1
30 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ = 8
30 = 2. 3. 5 nên ϕ(30) = 2 5 3
Theo định lý Euler 118 ≡ 1 mod(30)
Ta có 1111 ≡ 311 (mod 8)
1111
Vậy 11
= 118k + 3 ≡ 113 ≡ 11( mod 30)
( Sử dụng máy tính tìm số dư)
( Sử dụng máy tính tìm số dư)
Áp dụng :
Bài 1 : Tìm dư trong phép chia
a) 570 + 750 cho 12
b) 19911991 cho 35
Bài 2 : Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) 11223344 : 2009
b) 1234567892009 : 2009
KQ a) 1070
b) 501
Bài 3: Tìm số dư trong phép chia 717 cho 2005 ( KQ r = 1167)
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia sau:
a) 123456789 : 2010
b) 151120101511201015112010 : 2009
c) 201024 :1996
d) 9876543210123456789 : 987654
Bài 5: Tìm số dư của phép chia
cho
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
Suy ra
(mod
)
Vậy số dư của phép chia
cho
là
.
Bài 6 Tìm số dư của phép chia
cho
Vì
là số nguyên tố. Theo định lý Fermat ta có:
(mod
)
Suy ra:
(mod
)
(mod 2003)
Vậy số dư của phép chia
cho
là
.
Bài 7: Tìm số dư r của phép chia 2256723489775 cho 2009
Ta viết 2256723489775 = 22567234 × 105 + 8975
= (2009 × 1123 + 137) × 105 + (2009 × 44 + 1379)
=(2009 × 1123) × 105 + (2009 × 44) + 137 × 105 + 1379
=(2009 × 1123) × 105 + (2009 × 44) +(2009 × 6819) + 629 + 1379
=(2009 × 1123) × 105 + (2009 × 44) +(2009 × 6819) + 2008
Vậy số dư của phép chia 2256723489775 cho 2009 là 2008
Đáp số: r = 2008
63
Bài 8 : Tìm số dư trong phép chia 197334 cho 793 và số dư trong phép chia
1973342010 cho 793
Bài 9 : (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 20032004)
Tìm số dư trong phép chia:
a) 987654321 cho 123456789
b) 815 cho 2004
H.Dẫn:
a) Số dư là: r = 9
b) Ta phân tích: 815 = 88.87
- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732
- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968
⇒ Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968
cho 2004
⇒ Số dư là: r = 1232
Bài 10 : Tìm số dư khi chia 22005 cho 5
Giải
Ta có 2005 ≡ 1 (mod 4) ⇒ số dư khi chia 22005 cho 5 là 2
Bài 11 : a) Tìm số dư của phép chia
Lời giải:
cho
Ta tìm số dư của phép chia
Kết quả là
.
Tiếp tục tìm số dư của phép chia
Kết quả là
.
Vậy số dư của phép chia
b) Tìm số dư của phép chia
Lời giải:
cho
cho
cho
.
cho
là
.
.
Cách 1:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia
cho
là
.
là
.
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia
cho
c) Tìm số dư của phép chia
Lời giải:
.
cho
Vì
là số nguyên tố và
Nên ta có:
. Suy ra:
.
.
.
Cách 2:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia
cho
là
.
Bài 12 : Tìm số dư trong phép chia số: 17762010 cho 2000
17761 ≡ 1776(mod 2000)
17762 ≡ 176(mod 2000)
17763 ≡ 576(mod 2000)
17764 = (17762)2 ≡ 976(mod 2000)
17765 = 17762 . 17763 ≡ 176 . 576(mod 2000) ≡ 1376(mod 2000)
17766= 1776 . 17765 ≡ 176 . 1736(mod 2000) ≡ 1776(mod 2000)
17767 ≡ 976(mod 2000)
Vậy chu kỳ được lặp lại sau 5 bước mà: 2010 = 5 . 402 có dạng 5k.
Do đó số 17762010 chia 2000 cho số dư là 1376.
Bài 13:Ta tìm số dư khi chia 182008 + 82009 cho 49
Ta có: 182008 = 18.182007
= (183)669 . 18
183 ≡ 1(mod 49) ⇒ (183)669 ≡ 1(mod 49)
18. (183)669 ≡ 18(mod 49)
* Ta tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49
Ta có 82009 = (87)287
87 ≡ 1(mod 49)
⇒ (87)287 ≡ 01(mod 49)
Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19.
