Tìm số chữ số cuối
Dạng 1: Tìm một chữ số cuối.
Sử dụng một số kiến thức bổ trợ tìm một chữ số tận cùng của an.
( Dùng đối với số lớn hoặc nhẩm nhanh kết quả)
a) Các số có tận cùng là số 0,1,5 hoặc 6.
Nếu a có tận cùng là các số 0,1,5 hoặc 6 thì an cũng có tận cùng là 0, 1, 5
hoặc 6.
Ví dụ: 103 =1000
; 112 = 121
152 = 125
162 = 256
Nhận xét: Để tìm số tận cùng của an với a có số tận cùng là 2, 4, 7, 8, 9 ta đưa nó
về dạng có chứa các số tận cùng là 0, 1, 5, 6.
b) Các số có tận cùng bằng 2, 3, 4, 7, 8 hoặc 9
- Luỹ thừa của một số tận cùng bằng 4 là một số tận cùng bằng 6 nếu số mũ
chẵn, tận cùng bằng 4 nếu số mũ lẻ.
Thật vậy ta có
42k = (42)k = 16k ( Có chữ số tận cùng bằng 6)
42k+1 = (42k).4 ( Vì 42k có chữ số tận cùng bằng 6 nên 42k.4 có chữ số tận
cùng bằng 4)
Ví dụ : 142 =196 ;
143 = 2574
- Luỹ thừa của một số tận cùng bằng 9 là một số có chữ số tận cùng bằng 1
nếu có số mũ chẵn, tận cùng bằng 9 nếu có số mũ lẻ.
Thật vậy ta có :
92k = 81k ( Có chữ số tận cùng bằng 1)
92k +1 =92k.9 ( Vì 92k có chữ số tận cùng bằng 1 nên 92k.9 có chữ số tận cùng
bằng 9).
Ví dụ :
192 = 261 (192 có số mũ chẵn) ;
193 = 4959 (193 có số mũ lẻ).

3. Các số có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7 hoặc 8.
Nhận xét :
24k = 16k ( có chữ số tận cùng bằng 6)
34k = 81k ( có chữ số tận cùng bằng 1)
74k = 492k ( có chữ số tận cùng bằng 1)
84k = 642k ( có chữ số tận cùng bằng 6)
Vậy để tìm chữ số tận cùng của an ta lấy số mũ n chia cho 4.
Giả sử n = 4k + r 0 ≤ r < 4.
Ta đã biết số tận cùng của a4k => Số tận cùng của a4k +r.
c. Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 2 là một số có tận cùng bằng
tận cùng của 6.2r với n = 4k + r 0 ≤ r < 4.


Do 24k + r =16k.2r mà 16k có tận cùng bằng 6 nên số đã cho có tận cùng bằng
tận cùng của 6.2r
+ Có chữ số tận n cùng bằng 6 nếu r = 0
+ Có chữ số tận cùng bằng 2 nếu r = 1
+ Có chữ số tận cùng bằng 4 nếu r = 2
+ Có chữ số tận cùng bằng 8 nếu r = 3
d. Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 3 là một số có tận cùng của
3n với n = 4k + r. 0 ≤ r < 4.
Do 34k +r = 81k.3r mà 81k có chứ số tận cùng bằngd 1 nêu số đã cho có tận cùng
bằng tận cùng của 3r.
+ Có chữ số tận cùng bằng 1 nếu r = 0.
+ Có chữ số tận cùng bằng 9 nếu r = 2.
+ Có chữ số tận cùng bằng 7 nếu r = 3.
+ Có chữ số tận cùng bằng 3 nếu r = 1.
e. Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 7 là một số có tận cùng bằng
tận cùng của 7r với n = 4k + r. 0 ≤ r < 4.
Do 74k +r = 2401k.7r mà 2401k có chữ số tận cùng bằng 1, nên số đó có chữ số tận

cùng bằng chữ số tận cùng của 7r
+ Có chữ số tận cùng bằng 1 nếu r = 0.
+ Có chữ số tận cùng bằng 3 nếu r = 1.
+ Có chữ số tận cùng bằng 9 nếu r = 2.
+ Có chữ số tận cùng bằng 7 nếu r = 3.
g. Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 8 là một số có chữ số tận
cùng bằng số tận cùng của 6.8r với n = 4k + 1 ; 0 ≤ r < 4.
Do 84k + r = 4096k.8r mà 4096k là số có chữ số tận cùng là 6 nên số đã cho có chữ số
tận cùng bằng chữ số tận cùng của 6.8r.
+ Có chữ số tận cùng bằng 6 nếu r = 0.
+ Có chữ số tận cùng bằng 8 nếu r = 1.
+ Có chữ số tận cùng bằng 4 nếu r = 2.
+ Có chữ số tận cùng bằng 2 nếu r = 3.
Ví dụ : Chữ số tận cùng của số 817 bằng 8 vì 17 = 4.4 + 1, r = 1.
Dạng 2: Sử dụng máy tính kết hợp giấy, tìm 1, 2, 3 chữ số cuối
- Đối với số nhỏ hoặc số lớn ta có thể tìm trực tiếp số cuối cùng bằng cách
Tìm một số cuối ta tìm dư phép chia số đó cho 10
Tìm hai số cuối ta tìm dư phép chia số đó cho 100
Tìm n số cuối ta tìm dư phép chia số đó cho 10n.
Ví dụ 1: Tìm số các chữ số tận cùng của số nhỏ.
a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 711
SHIFT VINACAL 1 Q...r(711, 10)=


R = 3 Vậy chữ số hàng đơn vị là 3
b) Tìm hai chữ số cuối của 711
SHIFT VINACAL 1 Q...r(711,100)=
R = 43 Vậy hai số cuối của 711 là 43.
Ví dụ 2: Tìm số các chữ số tận cùng của số lớn.
Kết hợp lý thuyết đồng dư, tách số ở trên để tìm số dư của số đó khi chia số đó

cho 10, 100,1000...
a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002
17 2 ≡ 9(mod10)

( 17 )

2 1000

= 17 2000 ≡ 91000 (mod10)

92 ≡ 1(mod10)
91000 ≡ 1(mod10)

Giải: 17

2000

≡ 1(mod10)

Vậy 17 .17 ≡ 1.9(mod10) . Chữ số tận cùng của 172002 là 9
b) Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005
2000

2

231 ≡ 23(mod100)
232 ≡ 29(mod100)
233 ≡ 67(mod100)

234 ≡ 41(mod100)

Do đó:

(

2320 = 234

)

5

≡ 415 ≡ 01(mod100)

232000 ≡ 01100 ≡ 01(mod100)
⇒ 232005 = 231.234.232000 ≡ 23.41.01 ≡ 43(mod100)

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005
231 ≡ 23(mod1000)
234 ≡ 841(mod1000)
235 ≡ 343(mod1000)
2320 ≡ 3434 ≡ 201(mod1000)
232000 ≡ 201100 (mod1000)
2015 ≡ 001(mod1000)
201100 ≡ 001(mod1000)
232000 ≡ 001(mod1000)
232005 = 231.234.232000 ≡ 023.841.001 ≡ 343(mod1000)



Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số
343)
Áp dụng:
2010

Bài 1: a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số: 7
b) Tìm hai chữ số tận cùng của số: 3999.
2010
= 7502∗4+ 2 . Nên chữ số hàng đơn vị là 9
a) 7

b) 3999 = 320.49 + 19 = (320)49.219. Ta có 320 tận cùng bằng 01 nên (320)49 tận cùng bằng
01; 319 tận cùng bằng 67. Do đó 3999 tận cùng bằng 67.
18012005
Bài 2: Tìm bốn chữ số tận cùng của số D = 13579

99

Bài 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của số 9
Bài 4: Tìm chữ số hàng đơn vị của số : 172002
Bài 5: Tìm các chữ số tận cùng của các số theo yêu cầu:
a) 2 chữ số tận cùng của 232005
b) 3 chữ số tận cùng của 22009
c) Tìm hai chữ số cuối của: 22001 + 22002 + 22003 + 22005.
d) Tìm chữ số hang chục của: 252009; 372002; 192001.
e) 2/ Tìm 7 chữ số cuối của tích a= 23455432 với b= 78998
Bài 6: Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202+3203+3204.
Ta có: A=3202(1+3+9)=3202.13
Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3202 là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số
cuối cùng của tích 13.9=27. Tức là 7

Bài 7: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3512.
Cách 1: 356=1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 356 là 25.
Mà 3512=(356)2 nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của
(25)2=625. Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.
Cách 2: 356=1838265625 ≡ 25(mod100)
(356)2 ≡ 252 ( mod100)
252 = 625 Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.
Bài 8: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3523.
Dùng máy tính thử các lũy thừa ta thấy: 315=14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07
Và 3523=(315)34.513; và 513=1594323.
Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích
(07)34.23={(07)7}4.(07)6.23 Suy ra
7
(07)
76=117649
Vậy
hai=823543;
chữ số cuối
cùng là 27.

(43)4 .49.23 . hai chữ số cuối cùng
chính là hai chữ số cuối cùng của
tích 01.49.23=1127.


Bài 9: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64501 + 64502.
-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501.
Ta có:
645=1073741824. Và 64501=(645)100.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối
cùng của tích: (824)100.64.

Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64
Þ ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)33.52736.
Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224) 33.52736 là ba
chữ số cuối cùng của tích {(224)4}8.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của
(976)8. 164864.
Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976) 8. 164864. là ba chữ
số cuối cùng của (136)2.8962.864=18496.802816.864
Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích
496.816.864=349691904.
Ba chữ số cuối cùng của 64501 là 904.
A = 64501(1+64) = 65.64501.
Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760.
Vậy Ba chữ số cuối cùng của A là 760.
Bài 10: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994.
Giải:
Ta có: 54 = 625
Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625
Do đó:
51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625.
Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625.
Bài 11: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100.
Giải - Ta tìm dư trong phép chia 2100 cho 1000.
- Trước hết tìm số dư của phép chia 2100 cho 125. Theo bài 34: 2100 = BS
125 + 1, mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là (dùng máy
tính để thử):
126, 376, 626 hoặc 876.
- Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết
cho 8. Bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này. Vậy ba chữ số tận cùng của
2100 là 376.
Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên chẵn không chia hết cho 5 thì ba chữ số

tận cùng của n100 là 376.
2010
Bài 12: Tìm bốn chữ số cuối cùng của A = 2011


Ta có:

20112 ≡ 4121 ( mod 10000 ) ; 20114 ≡ 41212 ≡ 2641 ( mod 10000 )

20118 ≡ 26412 ≡ 4881 ( mod 10000 ) ; 201110 ≡ 4121 × 4881 ≡ 4601 ( mod 10000 )

201120 ≡ 46012 ≡ 9201( mod 10000 ) ; 201140 ≡ 8401 ( mod 10000 )
201180 ≡ 6801( mod 10000 ) ; 2011100 ≡ 6001( mod 10000 ) ;

2011200 ≡ 2001( mod 10000 ) ;...; 20111000 ≡ 1( mod 10000 ) ;
20112010 = 201110 × ( 20111000 ) ≡ 4601× 1( mod 10000 ) ≡ 4601( mod 10000 )
2

2010
Vậy: A = 2011 có bốn chứ số cuối là: 4601

Bài 13: Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008 + 20082009
Đáp án
1. Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008 = 20078 . 20072000
20072 ≡ 49(mod 100)
⇒(20072)4 ≡ 494(mod 100) ≡ 01(mod 100)
20072000 = (20078)250 ≡ 01(mod 100)
Vậy: 20072008 ≡ 01(mod 100)
2. Tìm 2 chữ số tận cùng của 20082009
Ta có: 20082009 = 2008 . 20088 . 20082000

* 20082 ≡ 64(mod 100)
⇒(20082)4 ≡ 644(mod 100) ≡ 16(mod 100)
20088 ≡ 16(mod 100) ⇒(20088)5 ≡ 165(mod 100) ≡ 76(mod 100)
* 200840 ≡ 76(mod 100) do đó: 20082000 ≡ 76(mod 100)
⇒20088 .20082000≡ 16.76(mod 100) ≡ 16(mod 100)
Do đó: 2008 . 20082008 ≡ 2008.16(mod 100) ≡ 28(mod 100)
Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 29
Bài 14 Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999 + 29999
* Có 39999 = 320.499.319
319 = 1162261467 ≡ 67(mod 100)
320 = 3486784401 ≡ 01(mod 100)
⇒ (320)499 ≡ 01(mod 100)
Do đó (320)499.319 ≡ 67(mod 100)
* Có 29999 = 220.499.219
219 = 524288 ≡ 88(mod 100)


220 = 1048576 ≡ 76(mod 100)
⇒ (220)499 ≡ 76(mod 100)
Do đó (220)499.219 ≡ 76.88(mod 100) ≡ 88(mod 100)
⇒39999 + 29999 ≡ (67+88)(mod 100) = 55(mod 100)
Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55