ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 1
Câu 1.
Trình bày về tĩnh điện trường trong môi trường đồng chất – Thế vô hướng.
Hướng dẫn và gợi ý:
 
E
 dl =

- - Chứng minh:

C1

 
E
 dl
C2

- - Trong tĩnh điện trường, công để di chuyển một điện tích từ điểm này đến điểm
khác không phụ thuộc vào hình dạng đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm
đầu và điểm cuối.
-Thế vô hướng của tĩnh điện trường

E   grad



trong đó    (r ) là một hàm vô hướng của toạ độ.
B
B

 

E
d
l
grad

.
d
l
==

 d =  (A) -  (B)
B

-Chứng minh:

A

A

A

-Công của tĩnh điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm
A đến điểm B bằng hiệu điện thế hai điểm.
-Phép định cỡ điện thế hay chọn gốc tính điện thế.
-Điện thế tại một điểm bất kỳ bằng công của điện trường để di chuyển một điện


 

tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực.  ( A)   ( A)   (  )=  Edl

A

Câu 2.
Trình bày về lưỡng cực điện
Hướng dẫn và gợi ý:




- Định nghĩa mômen của lưỡng cực điện : p  el
- Điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện



1 1
e r1  r2
 )
4 r2 r1
4 r1r2
e

(



1 pr

4 r 3

- Tại một điểm ở rất xa lưỡng cực điện


-Hệ điện tích trung hoà gồm nhiều điện tích điểm, mômen lưỡng cực của hệ là:


p   e1 r ’ với
 ei  0




-Hệ điện tích trung hoà là một hệ liên tục p   pr ' dV với

 dv = 0

V

  

1 3( pr )r p
E   grad 
{
 3
4
r5
r

- Điện trường:




Câu 3.
Trình bày hệ phương trình Maxwell.
Hướng dẫn và gợi ý:
-Nêu tên và dạng tích phân của các định luật dưới dạng tích phân
 
d
E
C dl =- dt

 
B
 dS ,
S

 
d
H
C dl =I+ dt

 
D
 dS ,

 
 
=e,
D
B
d
S


 dS =0.

S

S

S

-Dạng vi phân
của các định luật




rot E =-

B
,
t





rot H = j +



D

, div D =  , div B =0
t

-Ưu nhược điểm của dạng tích phân và dạng vi phân








-Hệ đủ các phương trình Maxwell: D = E , B = H
-Ý nghĩa của từng phương trình Maxwell
-Điều kiện áp dụng hệ các phương trình Maxwell
Câu 4.
Trình bày định luật bảo toàn năng lượng của điện từ trường.
Hướng dẫn và gợi ý:
-Phương trình liên tục:


dw
+div P =0
dt


-Từ hệ phương trình Maxwell, biến đổi toán học, ta được phương trình
 



 ED  HB
(
)+div[ EH ]+ j E =0
t
2
 
ED  HB
-Mật độ năng lượng của điện từ trường: W =
2


-Vectơ mật độ dòng năng lượng P = [ EH ]

- Định luật bảo toàn năng lượng của điện từ trường

dW
dt

+

 
P
 dS + Q=0
S

Khi năng lượng điện từ trường trong thể tích V biến đổi theothời gian, thì hoặc là
phải có dòng năng lượng điện từ trường chảy vào hoặc chảy ra khỏi thể tích V,
hoặc là phải có nhiệt lượng Joule–Lenxor toả ra trong thể tích đó, hoặc cả
hai.


Câu 5.
Các phương trình của trường chuẩn dừng
Hướng dẫn và gợi ý:
-Các phương trình Maxwell của trường chuẩn dừng

 B
rot E =t

,





rot H = j

,





div D =  ,

div B =0

-Thế vectơ A của trường chuẩn dừng B  rot A
- Điều kiện định cỡ div A  0
-Thế vô hướng: E = - grad  -


A
t

trong đó    (r , t )
-Phương trình Poisson của thế vô hướng  2  
-Phương trình Poisson của thế vectơ  2 A   j





Câu 6.
Sóng điện từ phẳng đơn sắc
Hướng dẫn và gợi ý:
-Phương trình của sóng phẳng đơn sắc tổng quát    0 exp i( t  k r   )
trong đó vectơ sóng k  k.n ,

k


v

là số sóng,

  , t  i
-Thu được các phương trình : k     , k     , k   0 , k   0
div   i(k ) , rot   i k 

-Chứng minh:


-Sóng phẳng đơn sắc là sóng ngang. Có các vectơ k ,  ,  tạo thành một tam diện
thuận theo thứ tự như trên.
p  wv

- Chứng minh

Vậy năng lượng truyền đi với vận tốc bằng vận tốc pha của sóng. Sóng truyền đến
đâu, năng lượng truyền đến đấy và đối với sóng phẳng đơn sắc truyền trong điện
môi năng lượng không bị hấp thụ, không bị mất đi.
Câu 7.
Chứng minh rằng:
A  B RotC  B A. C  A B. C


Hướng dẫn và gợi ý:





 



 A  B .RotC    C  . A  B




 


 


 A.  B    C  


 




 

 
 A. . B.C   C. B.




 




















 B A. C  A B. C

Câu 8.
Chứng minh rằng:





 

 

C.Grad A.B  A C. B  B C. A
Hướng dẫn và gợi ý:
 

  
 


C.Grad A.B  C  A.B     A.B  








 





    

 C B .A  A .B







 CB .A  CA .B

 

 


 B C. A  A C. B

 

 

 A C. B  B C. A

Câu 9.

Grad  r 
Tính:
Hướng dẫn và gợi ý:




Grad  r  

r
r
r
i
j k
x
y
z

r  x 2  y2  z 2

r
z

,
z
r2

r
x

,
2
x
r

r
y

,
2
y
r

Grad  r  

xi  yj  zk r

r
r


Câu 10.
Tính:

Trong đó

Grad  a.r  ,
a là vectơ không đổi.

Hướng dẫn và gợi ý:

a.r  a x x  a y y  a zz
Grad  a.r  

  a.r 
x

i

  a.r 
y

j

 a x i  a y j  a zk

a

  a.r 
y


k


Câu 11.
Dùng hệ tọa độ Descaste chứng minh hệ thức:

 

Div A  AGrad  DivA
Hướng dẫn và gợi ý:

 

Div A 



  A x 
x





 A y
y

    Az 
z


A y



A
A
Ax 
Ay 
Az   x  
 z
x
y
z
x
y
z

 Grad.A  DivA

 AGrad  DivA
Câu 12.
Tính:

Grad
Trong đó p là véctơ không đổi.
Hướng dẫn và gợi ý:

Grad

1



Grad
.
p.r




r3
 r3


p.r

p.r
r3







1

1

r


r3

Grad  p.r    p.r  Grad
3

p
r3

  p.r 

p
r

3

1
Grad  r 
r  r3 

 3 p.r 

r
r5

Câu 13.
Chứng minh rằng: Thế vectơ của từ trường dừng được xác định sai khác
nhau một Gradien của một hàm vô hướng bất kỳ f (r)
Hướng dẫn và gợi ý:

B  RotA

B'  RotA '  RotA  RotGradf (r)
RotGradf (r)    f      f  r   0

B'  B
Câu 14.
Trình bày sự khác biệt giữa hai công thức xác định lực điện trường:
,

F

1 ee
. 2 r0 ,
4 r

F  e.E
Hướng dẫn và gợi ý:


1 ee,
-Biểu thức F  4 . r 2 r0
+Phù hợp với nguyên lý tác dụng xa, biểu diễn lực tương tác tức thời giữa hai
điện tích e và e’.
+Chỉ đúng trong trường hợp các điện tích đứng yên hoặc chuyển động chậm và
khoảng cách giữa chúng không lớn lắm.
-Biểu thức F  e.E
+Phù hợp với nguyên lý tác dụng gần.
+Đúng trong mọi trường hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhân gây ra điện
trường.

Câu 16.


D
Giải thích tại sao đại lượng t được gọi là mật độ dòng điện dịch. So sánh
dòng điện dẫn và dòng điện dịch
Hướng dẫn và gợi ý:
D
- Đại lượng t có cùng thứ nguyên với vectơ mật độ dòng điện dẫn
D
- Chứng minh t có đơn vị là

j

A
m2

- Dòng điện dẫn do chuyển động có hướng của các hạt mang điện gây nên, còn
dòng điện dịch do sự biến thiên của véc tơ điện dịch (vectơ cảm ứng điện) gây nên.
- Dòng điện dịch cũng gây ra một từ trường hoàn toàn giống như từ trường của
D

một dòng điện dẫn bằng nó ( j  t ).
Câu 17.


Giải thích tại sao hệ số điện dung C11 luôn là một số dương và hệ số cảm ứng
C21 luôn là một số âm
Hướng dẫn và gợi ý:


1

-Biểu thức C11    n1 dS1
S1

- Vì 1(S1)  1, 1(S2 )  0 và 1()  0,
- 1 phải giảm theo chiều dương của

n1 , nên

1
0
n1

-Vậy C11>0
-Biểu thức
C21   
S2

1
dS2
n 2

-Vì 1(S2 )  0, 1(S1)  1, và 1()  0,
-

1 phải tăng theo chiều dương của

n 2 , nên

1
0

n2
-Vậy C21<0

Câu 18.
Chứng minh rằng: Với vật dẫn đặt trong tĩnh điện trường thì ở mặt ngoài vật
dẫn, điện trường hướng theo phương pháp tuyến từ trong ra ngoài vật dẫn và

có độ lớn bằng 
Hướng dẫn và gợi ý:
-Điều kiện biên


E n  1E1n  
E t  E1t  0

-Vì bên trong vật dẫn

E1  0  E1n  E1t  0
-Nên




E  n

E t  0 
En 

-Vậy, vật dẫn đặt trong tĩnh điện trường thì ở mặt ngoài vật dẫn, điện trường hướng



theo phương pháp tuyến hướng từ trong ra ngoài vật dẫn và có độ lớn bằng 
Câu 19.
Dùng định lý Ostrograski – Gauss, tính điện trường ở trong và ngoài một hình trụ
vô tận bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi
ở trong và ngoài hình trụ đều bằng  .
Hướng dẫn và gợi ý:
Định lý O – G:

 DdS  e
S
Theo hình vẽ:

 DdS   DdS1   DdS2   DdSxq
S

S1

S2

Sxq


 DdS1   DdS2  0
S1

S2

 DdSxq   dV
Sxq


V

Dt 

r
r
 Et 
2
2

 R2
 R2
Dn  . 2 r  E n  . 2 r
2 r
2 r

Câu 20.
Dùng phương trình Poisson, tính điện trường ở trong và ngoài một hình trụ vô tận
bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở
trong và ngoài hình trụ đều bằng  .
Hướng dẫn và gợi ý:
-Trong hình trụ r  R
1   t
r
r r  r








-Ngoài hình trụ r  R
1   n
r
r r  r


0


-Kết quả
t  
Et  

 2
r
4

1

r0 
r
r
2


n 


1  2 R R 2
R ln 
2
r
4

En 

 2 r
R 2
2
r

Câu 21.
Dùng phương trình Poisson, tính điện trường ở trong và ngoài một hình cầu bán
kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở trong và
ngoài hình cầu đều bằng  .
Hướng dẫn và gợi ý:

rR
1   2 t
r
r 2 r  r
rR










1   2 n 
r
0
2 r 

r


r

e
t 
R 2  r2 
6
4R


E t   t r0  r
r
3
e
n 
4r
e r
En 
4 r 3






Câu 22.
Một hình trụ dài vô tận bên trong có một lỗ rỗng cũng hình trụ dài vô tận. Phần đặc
của hình trụ tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở
phần đặc và phần rỗng đều bằng  . Tính điện trường trong phần rỗng


Hướng dẫn và gợi ý:

   O
R
R  R
   O'
r
r  R



R
  



 r

 



R 2
O  
4
r 2
 ' 
O
4
E M  Grad O  Grad
EM 

O'



Rr 
r0
2
2





Câu 23.
Một hình cầu bên trong có một lỗ rỗng cũng hình cầu. Phần đặc của hình cầu tích
điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở phần đặc và phần
rỗng đều bằng  . Tính điện trường trong phần rỗng
Hướng dẫn và gợi ý:



  2  O
R
R 
R
  2  O'
r
r 
R



R 2
  



 r 2





R 2
O  
6
r 2
 ' 
O
6

E M  Grad O  Grad
EM 

O'



R  r  r0
3
3





Câu 24.
Dùng định lý Ostrograski – Gauss, tính điện trường ở trong và ngoài một hình cầu
bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở
trong và ngoài hình trụ đều bằng  .
Hướng dẫn và gợi ý:

 EdS 
S
Ta có:

E  dS


dV



V


r
3
r
Et 
2
Et 

 R2
e
En  . 2 
3 r
4r 2
e r
En 
4 r 3