pn  k 

C ứ

1,2,...,n 
:

k

n

 k . p  k   n !.
n

k 0

n

 p  k   n!.

: nCnk11  kCnk , pn  k   Cnk pn k  0 

k 0

n

n

n

n

n

n 1

k 0

k 0

k 0

k 0

k 0

 k. pn  k    k.Cnk pnk  0   n.Cnk11 pnk  0   n Cnk11 pnk  0   n Cnk1 pn1k  0 
n 1

 n pn 1  k   n.  n  1!  n ! .
k 0

 x1 , x2 ,..., x2 n 

C

i  1, 2,..., 2n  1 : xi  xi 1  n C ứ

:

n


n +1), (2, n + )

1, 2,..., 2n
n

n, 2n).

A, B
y ra : A  B .

f : A 
B

 x1 , x2 ,..., xk 1 , xk , xk 1 ,..., x2 n   A
k  2n  2 .

x2n

f

x , x ,..., x
1

xk

k 1

2


, xk , xk 1 ,..., x2 n    x1 , x2 ,..., xk 1 , xk , x2 n , x2 n 1 ,..., xk 1   B .

f : A 
B

:

n
3
 

C
k 0

3k
n

.
n

ứ P  x   1  x    Cni xi .
n

i 0

 l

0 nê'u k  3
:  2k   k  1  
.

' k 3
3 nêu

 

n

 2   1  0.

ứ





n
3
 

P 1  P     P  2   Cni 1   i   2i  3 Cn3i .
i 0

i 0

P 1  1  1  2 .
n

n

n


  1
1
3 
3 
n
n
P     1    
i     
i   cos
 i sin
.


2
2
2
2
3
3



 

 

P 

2


n

n

  1
1
3 
3 
n
n
 1    
i     
i   cos
 i sin
.


2
2
2
2
3
3



 
n



n
3
 

C
k 0

3k
n



2n  2 cos
3

n
3 .

n
Cn

n



 2   1  0.

ứ


0 nê'u k  3
:  2k   k  1  
.
' k 3
3 nêu

ứ P  x    x3  x 4  x5  x 6  .
n

Cn

P(x).
6n

2n

P  x    ak x k

Cn   a3k .

k 0

k 0

 

P 1  4 , P     P     1 .




6n

2n

: P 1  P     P  2   ak 1   k   2 k  3 a3k .
k 0

n

4n  2
.
3

2n

Cn   a3k 
k 0

n

C

k
n

k 0

S

k 0


2

cos  kx  .

n

n

 Cnk cos  kx  , T   Cnk sin  kx  .
k 0

k 0

n



n

: S  iT   Cnk  cos  kx   i sin  kx    Cnk eikx  1  eix
k 0

k 0

n

  1  cos x  i sin x 
n


n


x
x
x 
x 
nx
nx 

  2cos  cos  i sin     2cos   cos  i sin  .
2
2
2 
2 
2
2 


n

n

x
nx

S   2 cos  cos .
2
2



6: (VMO_1996)
C

k

n

k  a1 , a2 ,..., ak 

kn

 a1 , a2 ,..., ak 

n
:
i) t  1, 2,..., k  :

st

as  at .

ii) s  1, 2,..., k  : as  s  2 .
7: (VMO_2009)
C
con

n
:


n
a, b

a  b  1, n

)


ứ
:
f(n), f(n – )

ứ

ct

f(n)
f(n).

ứ

(VMO 1977) n

P(n)

n
ứn+

n


ứn+

n

n

n

P(n + 1) = P(n) + 2n
P(n) = P(n – 1) + 2(n – ) =
C

= P( ) + [ +

+

 a1 , a2 ,..., an 

n
i  1,2,..., n  1

Sn
i–

–i


ứ

f : T  S n1


 a1 , a2 ,..., an1 , n 

1,2,...,n 

ai > ai + 1.

ai  n, 1  i  n  1 :
 a1 , a2 ,..., an 
n–
ứ
1, 2,..., n  1
ứ
 ai1 , ai2 ,..., an 
ai  n, 1  i  n  1 Cni 11 .
 a1 , a2 ,..., an 
 a1 , a2 ,..., an  an = n Sn1 .
 a1 , a2 ,..., an  an = n T.


T

+ n – 1)] = 2 + (n – 1)n.

 a1 , a2 ,..., ai1  , n

:

 a1 , a2 ,..., an1 


f
n 1





Sn  Sn1   Cni 11  Sn1  2n1  1  ...  S2  2n1  2n2  ...  22   n  2 
i 1

= 1   2n1  2n 2  ...  2 2    n  2   2 n  n 1 .
C
p : Sn  Sn

p j  j

n, Sn  1, 2,..., n 

j  Sn

f ( n)

Sn  Sn

Sn  Sn

a) C ứ

: g (n)  nf  n  1 , n  2 .


b) C ứ

: f  n    n  1  f  n  2   f  n  1  , n  3 .

c) C ứ

: f  n   g  n    1 .
n

Sn  Sn

:

1,2,...,n  .

g(n)


p : Sn  Sn

a)

j  Sn

j. C n
: S n \  j  S n \  j

)

f(n –


g (n)  nf  n  1 , n  2 .
r : Sn  Sn
r(1) = j
j

b)

n–

)

nj

:

 TH1: r  j   1 .
T

ứ

r

T  f  n  2 .

Sn \ 1, j  Sn \ 1, j

S

:


S  f  n  2

 :S T
:
s  S , s : Sn \ 1, j  Sn \ 1, j ,  ( s)  r : S n  S n
r 1  j

.
r  j   1

r  i   s  i  , i  1, j


:

T  S  f  n  2 .

 TH2: r  j   1 .
Y

ứ

r

Y  f  n  2 .

Sn \ 1  Sn \ 1

X


:

X  f  n  1

 : X Y
:
s  X , s : Sn \ 1  Sn \ 1 ,  ( s)  r : S n  S n x
r 1  j

nêu
' s i   j .
r  i   1,

' s i   j
r  i   s  i  , nêu


:

r  j   s  j   j ).
Y  X  f  n  1 .

f  n    n  1  f  n  2   f  n  1  , n  3 .

c)

)
)
:

f  n  1  g  n  1  n  f  n   f  n  1    n  1 f  n   nf  n  1  f  n   g  n   f  n  .
f(1) – g(1) = 0 – 1 = –1, f(2) – g(2) = 1 – 0 = 1.
n
: f  n   g  n    1 .

II
ứ

1. n
2. C

n

S  1, 2,..., n 

n

S  1, 2,..., n 

ứ
3. C
ứ
4. C

n

S  1, 2,..., n 

)
S

S

ứ

S


5. C n (n

)
m (m

)
6.
ứ
pn  k 

7.
n

 k. p  k   n!.
k 0

n

1,2,...,n 

k

C ứ


:


f : A B .
a) f
 a1 , a2  A, f (a1 )  f (a2 )  a1
 b  B, a  A :
b) f
f
c) f
2) Cho A, B
:
)
f : A B
)
f : A B
)
f : A B
3*) Cho A, B
)
f : A B
)
f : A B
)C
ứ
:
)C

n

i 1

n

Ai   Ai 
i 1



1i  j  n

Ai  Aj 



1i  j  k  n

 a2  a1 , a2  A, a1  a2  f (a1 )  f (a2 ) .
f (a)  b .
 b  B, !a  A : f (a )  b

| A|  | B |.
| A|  | B |.
| A |  | B |.

:
f
f

nh.


Ai  Aj  Ak  ...  (1) n A1  A2  ... An

N 99

N
N
T

f : T T

N
T 
T

f :

N  a1 a2 ...a2010

:

f ( N )  b1b2 ...b2010

bi  9  ai , i  1, 2010 .

 a)

:
N = a1 a2 ...a2010  T


:

ai  {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} nên bi  9  ai  {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}, i  1, 2010 .
N 99

N  f ( N )  9999...999 99 nên f ( N ) 99 .
2010 ch. sô ' 9

f(N)  T

f

 b)
N1  x1 x2 ...x2010 , N 2  y1 y2 ... y2010  T sao cho f ( N1 )  a1a2 ...a2010 , f ( N 2 )  b1b2 ...b2010

f ( N1 )  f ( N 2 ) .
ai  bi , i  1, 2010  9  xi  9  yi  xi  yi , i  1, 2010  N1  N 2 .

 c)

)
N  b1b2 ...b2010  T

C ứ

)
f

C
PT


P  a1 a2 ...a2010

f(P) = N.

ứ
ai  9  bi .

)


 N  f ( N )  9999...999, N  T

2010 ch. sô ' 9
: 
2  N    N  f ( N )   T .9999...999
N T
N T
2010 ch. sô ' 9
  N   f  N  (vì f là song ánh )
N T
 NT
 N 9999...999
102010  1
2010 ch. sô ' 9
N T


.
N :

T
2
2
C
A = {1,
n
A

)
C
A
D
A
n
a)
f : C D.
b)
A C2nn .

X


MC

: X  Y n

A. C

Y


:

f : C 
D
:
M
( X  M )  (Y \ M )
:
X M  Y M .
M

( X  M )  (Y \ M )  X  M  Y \ M

( X  M )  (Y \ M )   )

= X M  Y  Y M  Y  n.
( X  M )  (Y \ M )  D .


C sao cho f ( M )  f ( N ). ứ

M, N

: ( X  M )  (Y \ M )  ( X  N )  (Y \ N )

(1) .
X  M, X  N
Y \ M ,Y \ N
)
:

X  M  X  N
X  M  X  N

 M   X  M    Y  M    X  N   Y  N   N .

Y \ M  Y \ N
Y  M  Y  N

M   X  N   Y \ N  .
ND
M
M

: X N .
: Y \N  Y  Y N n Y N  N  Y N  X N .

f ( M )  ( X  M )  (Y \ M )   X  N   Y  N   N .

MC

C  D  C2nn .

f

1.

N
i)
ii)


2.

n

n

)

:

N
N
–

) C

S
S

X.

XT

[
m(X)

T


m


 m( X )

X T

T

3. C

:
C ứ

4. C

n

r < n – r + 1. Cho X

r

n

aX

r

ứ
ĐS Cnr r 1
5.


m
:
a)
b)
ĐS a) Cnmm11

n

n

m
b) C

m 1
n 1