BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHAN THỊ THOA

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
LÝ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHAN THỊ THOA

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
LÝ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH

Chuyên ngành: Toán Dựng Hình

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Thị Trà

Hà Nội - 2018


Mục lục
Lời cảm ơn

3

Lời cam đoan

4

Lời nói đầu

5

1 Bài toán dựng hình
1.1 Các tiên đề về toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Định nghĩa về bài toán dựng hình . . . . . . . . .
1.1.2. Các tiên đề chung của hình học dựng hình. . . . .
1.1.3. Các tiên đề về dụng cụ dựng hình. . . . . . . . . .
1.1.4. Các phép dựng hình cơ bản. . . . . . . . . . . . .
1.2 Các bài toán dựng hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Giải bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Một số khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Các bước giải một bài toán dựng hình . . . . . . .
1.4 Một số phương pháp giải bài toán dựng hình . . . . . . .
1.4.1. Dựng hình bằng phương pháp phép biến hình . . .
1.4.2. Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao

1.4.3. Dựng hình bằng phương pháp đại số . . . . . . . .
1.5 Dựng hình bằng dụng cụ hạn chế . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Dựng hình chỉ bằng compa . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Dựng hình chỉ bằng thước . . . . . . . . . . . . .
1.6 Một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Bài tập có lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

7
7

7
7
8
9
9
10
10
10
14
14
19
23
28
28
29
31
31
34

2 ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH 35
2.1 Kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Phan Thị Thoa


2.1.1. Mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được . . . . . . 36
2.1.2. Mở rộng Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Ứng dụng lí thuyết Galoa vào giải một số bài toán dựng hình. 38

2


Lời cảm ơn
Trước khi em trình bày nội dung chính của khóa luận này, em xin đặc
biệt gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Thị Trà, người đã trực tiếp
hướng dẫn chỉ bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làm khóa
luận để em có thể hoàn thành tốt khóa luận của mình.
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, các thầy
cô trong tổ bộ môn hình học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập dưới mái trường thân yêu
này.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn quan tâm động viên và tạo điều kiện tốt nhất để em có
thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn mọi sự giúp đỡ quý báu đó!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Phan Thị Thoa

3


Lời cam đoan
Khóa luận này được hoàn thành là kết quả của quá trình tìm hiểu, học

tập và nỗ lực của bản thân, dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của ThS. Nguyễn
Thị Trà.
Trong khóa luận này em có tham khảo thêm một số tài liệu. Em xin
cam đoan kết quả của khóa luận là không sao chép từ bất cứ khóa luận
nào. Em xin chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Phan Thị Thoa

4


Lời nói đầu
1, Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học có vai trò rất quan trọng trong đời sống xã hội
và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành nghề. Hình học là một phân
nhánh của toán học, trong đó có nhiều dạng toán hay giúp rèn luyện kĩ
năng tư duy logic, tưởng tượng cho người học. Các dạng toán của hình
học thường phức tạp, đòi hỏi người học có khả năng phân tích, quan sát
và tư duy tốt. Điều này được thể hiện rõ trong một số dạng toán của hình
học là toán dựng hình. Các bài toán về dựng hình được giới thiệu cho học
sinh, ngay từ những ngày đầu được làm quen với hình học. Việc giải các
bài toán dựng hình là cực kì quan trọng, có tính ứng dụng cao trong thực
tiễn như kiến trúc, xây dựng, cầu đường, trắc địa...Tuy nhiên có nhiều bài
toán dựng hình để tìm lời giải là không hề đơn giản. Để giải bài toán dựng
hình có rất nhiều phương pháp như dựng hình bằng phương pháp đại số,
phương pháp quỹ tích tương giao,...nhưng có cả những bài toán là không
dựng được một cách chính xác, ví dụ "ba bài toán khó thời cổ đại" mà sự
ra đời của chúng có ảnh hưởng lớn tới sự phát triển của toán học. Ba bài

toán này xuất hiện vào khoảng thế kỉ IV đến thế kỉ VI trước công nguyên,
trải qua thời gian hàng nghìn năm với sự nỗ lực không ngừng, các nhà
toán học trên thế giới vẫn chưa tìm được lời giải cho bài toán. Cho tới
thế kỉ XIX, nhờ có nhà toán học Évariste Galois (1811-1832) với lý thuyết
mang tên ông đưa ra có thể xét tính giải được bài toán dựng hình bằng
thước kẻ và compa, và chứng minh được ba bài toán khó thời cổ đại là
không dựng được bằng thước và compa.
Với sự giúp đỡ của cô hướng dẫn ThS. Nguyễn Thị Trà và từ niềm say
mê, hứng thú của bản thân với hình học, em chọn đề tài " Bài toán dựng
hình và ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình" làm đề tài khóa luận
tốt nghiệp của mình. Qua đây em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về hình học
nói chung và các bài toán dựng hình nói riêng.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

Nội dung khóa luận này gồm 2 chương:
Chương 1: Bài toán dựng hình: Trong chương này em xin giới thiệu
tổng quan các lý thuyết liên quan đến bài toán dựng hình và các phương
pháp dựng hình.
Chương 2: Ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình: Trong chương
này, em trình bày sơ lược về lý thuyết Galois và ứng dụng của nó vào các
bài toán: chia ba một góc, cầu phương hình tròn, gấp đôi thể tích hình lập
phương và bài toán chia đường tròn thành n phần bằng nhau.
2, Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu một cách tổng quan về bài toán dựng hình và một số ứng

dụng lý thuyết Galois trong dựng hình bằng thước kẻ và compa.
3, Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Bài toán dựng hình và ứng dụng lý thuyết Galois
vào dựng hình.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong mặt phẳng và với dụng cụ dựng hình thước
và compa.
4, Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống các tiên đề dựng hình, các khái niệm và kiến thức có liên quan
đến dựng hình.
- Các phương pháp giải bài toán dựng hình.
- Hệ thống một số ứng dụng của lý thuyết Galois trong dựng hình bằng
thước kẻ và compa.
5, Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp.
- Nghiên cứu các sách tham khảo, tài liệu có liên quan.

6


Chương 1
Bài toán dựng hình
1.1
1.1.1.

Các tiên đề về toán dựng hình
Định nghĩa về bài toán dựng hình

Phần hình học trong đó người ta nghiên cứu các phép dựng hình gọi là
hình học dựng hình. Bài toán dựng hình là bài toán trong đó người ta yêu
cầu xây dựng các hình, sao cho thỏa mãn các điều kiện cho trước bằng

cách sử dụng những dụng cụ dựng hình đã quy định trước.

1.1.2.

Các tiên đề chung của hình học dựng hình.

Trước hết, chúng ta đi vào tìm hiểu các tiên đề giúp giải quyết các bài
toán dựng hình.
Tiên đề 1. Mọi hình đã cho được coi là dựng được.
Tiên đề 2. Nếu đã dựng được hai (hay nhiều) hình thì hợp các hình đã
dựng đó là dựng được.
Tiên đề 3. Với hai hình đã dựng ta có thể xác định được hiệu của chúng
có là tập rỗng hay không.
Ví dụ, cho một đường thẳng bất kỳ và các điểm C ,D,E và F là 4 điểm
thẳng hàng theo thứ tự và nằm trên đường thẳng đó. Giả sử các đoạn
thẳng CE và DF là đã dựng được. Khi đó nửa khoảng CD là hiệu của
nửa khoảng CE và DF .

Tiên đề 4. Nếu hiệu của hai hình đã dựng được là một tập không rỗng
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

thì hiệu đó là đã dựng.
Tiên đề 5. Với hai hình đã dựng ta có thể xác lập được rằng giao của
chúng có là tập rỗng hay không.
Ví dụ, Cho trước một đường tròn và một điểm đã dựng thì điểm đó có

thuộc đường tròn hay không là phải xác định được. Với hai đường tròn
cho trước thì ta có thể nói rằng chúng có điểm chung hay không.
Tiên đề 6. Nếu giao của hai hình đã dựng là một tâp khác rỗng thì giao
đó là đã dựng.
Tiên đề 7. Ta có thể dựng được điểm, cho biết là thuộc vào một hình
đã dựng.
Tiên đề 8. Ta có thể dựng được điểm, cho biết là không thuộc vào một
hình đã dựng.
Những tiên đề trên đóng một vai trò quan trọng đối với lý thuyết dựng
hình đồng thời chúng được thừa nhận không chứng minh và được dùng
làm cơ sở logic của hình học dựng hình.

1.1.3.

Các tiên đề về dụng cụ dựng hình.

Khi nói đến bài toán dựng hình thì điều ta quan tâm đến là dụng cụ
để dựng hình. Bộ dụng cụ dựng hình thường dùng nhất là thước thẳng và
compa.
a, Tiên đề về thước một biên
Với thước, có thể cho phép thực hiện được những phép dựng hình sau:
Tiên đề T1 - Dựng đoạn thẳng nối hai điểm đã dựng.
Tiên đề T2 - Dựng đường thẳng đi qua hai điểm đã dựng.
Tiên đề T3 - Dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm
khác đã dựng.
b, Tiên đề về compa
Với compa, có thể cho phép thực hiện được các phép dựng hình sau:
Tiên đề C1 - Dựng đường tròn nếu biết tâm đường tròn và đoạn thẳng
bằng bán kính đường tròn (hay các điểm mút của đoạn thẳng đó) đã dựng.
Tiên đề C2 - Dựng được bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của một

đường tròn khi tâm đường tròn và các điểm mút của cung đó đã dựng.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.4.

Phan Thị Thoa

Các phép dựng hình cơ bản.

Các phép dựng hình được thực hiện trên cơ sở các tiên đề chung cùng
với các phép dựng hình được nêu ra trong các tiên đề về dụng cụ lựa chọn
để dựng hình được gọi chung là các phép dựng hình cơ bản (đối với bộ
dụng cụ đã cho). Trong mặt phẳng, với bộ dụng cụ dựng hình “Thước và
compa”, những phép dựng hình sau gọi là những phép dựng hình cơ bản:
1, Dựng một đoạn thẳng nối liền hai điểm cho trước.
2, Dựng một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.
3, Dựng một tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm
khác đã dựng.
4, Dựng đường tròn nếu cho tâm đường tròn và đoạn thẳng bằng bán
kính đường tròn (hay các điểm mút của đoạn thẳng đó) đã dựng.
5, Dựng bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của một đường tròn
khi biết tâm đường tròn và các mút của cung đó đã dựng.
6, Dựng bất kỳ một số hữu hạn điểm chung của hai hình đã dựng nếu
các điểm đó tồn tại.
7, Dựng hợp của một số hữu hạn các hình đã dựng.
8, Dựng hiệu của hai hình đã dựng nếu hiệu đó là một tập khác rỗng.

9, Dựng điểm thuộc vào một hình đã dựng cho trước.
10, Dựng điểm cho biết là không thuộc một hình đã dựng nào đó.

1.2

Các bài toán dựng hình cơ bản

Ta thấy rằng việc phân tách thẳng lời giải các bài toán cơ bản kể cả
đối với những bài toán đơn giản cũng sẽ đưa đến một số lớn các bước giải
“logic”. Với những bài toán phức tạp, điều này sẽ dẫn đến kết quả là các
cách trình bày cách dựng của bài toán sẽ trở nên rườm rà và khó theo dõi
được lời giải bài toán.
Vì vậy, trong việc giải các bài toán phức tạp người ta thường sử dụng
các kết quả của bài toán đơn giản và xem chúng như các kết quả đã biết.
Các bài toán đơn giản này được gọi là các bài toán dựng hình cơ bản.
Trong mặt phẳng, với bộ dụng cụ dựng hình "Thước và compa", các bài
toán sau đây được gọi là các bài toán dựng hình cơ bản:
1, Chia đôi một đoạn thẳng cho trước.
2, Chia đôi một góc cho trước.
3, Dựng một góc bằng một góc cho trước.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

4, Dựng trên một đường thẳng cho trước một đoạn thẳng bằng đoạn
thẳng đã cho.
5, Qua một điểm cho trước nằm ngoài đường thẳng, dựng một đường

thẳng song song với đường thẳng đã cho.
6, Qua một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường
thẳng đã cho.
7, Chia đoạn thẳng theo một tỉ lệ đã biết.
8, Dựng tam giác khi biết độ dài ba cạnh của tam giác đó.
9, Dựng tam giác khi biết độ dài hai cạnh và độ lớn của góc xen giữa.
10, Dựng tam giác biết độ lớn hai góc và biết độ dài cạnh kề hai góc
đó.
11, Dựng tam giác vuông khi biết độ dài cạnh huyền và độ dài một
cạnh góc vuông.

1.3
1.3.1.

Giải bài toán dựng hình
Một số khái niệm cơ bản.

Vấn đề đặt ra đối với bài toán dựng hình là ta phải dựng một hình nào
đó thỏa mãn điều kiện cho trước với những dụng cụ quy định đã cho.
Mỗi hình dựng được thỏa mãn tất cả điều kiện của bài toán được gọi
là một nghiệm của bài toán dựng hình.
Tìm nghiệm của bài toán dựng hình là chỉ ra thứ tự một dãy hữu hạn
các phép dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để dựng được hình thỏa
mãn các điều kiện bài toán.
Giải một bài toán dựng hình là ta đi tìm tất cả các nghiệm của bài
toán.

1.3.2.

Các bước giải một bài toán dựng hình


Nói chung, để giải một bài toán dựng hình ta thực hiện theo bốn bước:
phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận.
a, Phân tích
Không phải đứng trước một bài toán dựng hình bất kỳ nào chúng ta
đều thấy được ngay cách dựng. Quá trình tư duy để tìm ra được cách dựng
gọi là bước phân tích. Phân tích là bước quan trọng nhất.Nó giúp ta lập
ra phương án dựng để tìm ra lời giải bài toán cần tìm trên cơ sở xác định

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

mối quan hệ giữa các yếu tố cho trước và các yếu tố phải tìm làm cơ sở để
tiến hành các bước dựng. Khi phân tích chúng ta nên:
- Giả sử hình cần dựng là dựng được và phác vẽ hình đó, thiết lập mối liên
hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần dựng.
- Chúng ta thường đưa việc dựng một hình về dựng các bộ phận của nó
hoặc các bộ phận phụ nên chúng ta thường phải thêm các yếu tố mới (vẽ
thêm hình phụ) để tìm cách dựng. Việc định hướng lựa chọn các yếu tố
mới phụ thuộc vào hướng đưa về các bài toán dựng hình cơ bản. Tức để để
dựng được hình G thường phân tích quy về dựng hình G1 , quy việc dựng
hình G1 về dựng hình G2 ...Sau một số hữu hạn bước dẫn đến dựng hình
Gn , trong đó Gn là hình cơ bản đã biết cách dựng.
Một bài toán dựng hình phân tích theo các cách khác nhau sẽ cho ta
những cách dựng khác nhau.
b, Dựng hình

Dựng hình là bước dựa vào bước phân tích chỉ ra một số hữu hạn và
có thứ tự các phép dựng cơ bản hay các bài toán dựng hình cơ bản (thích
ứng với bộ dụng cụ đã chọn) để sau khi thực hiện thì hình đã cho là dựng
được.
Bước dựng hình gồm 2 phần:
+ Phần trình bày bằng ngôn ngữ: Kể theo thứ tự nhất định các phép dựng
hình cơ bản ta cần thực hiện được suy ra từ bước phân tích trước đó.
+ Phần dựng hình bằng dụng cụ đã chọn: Trên hình vẽ cần dựng phải để
lại đầy đủ các vết dựng.
c, Chứng minh
Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem hình đó đã thỏa
mãn các điều kiện của bài toán hay chưa? Chứng minh là bước nhằm xác
lập rằng hình đã dựng thỏa mãn tất cả các giả thiết của bài toán. Thông
thường, để chứng minh ta dựa vào bước dựng hình. Nếu cách dựng đã rõ
ràng thì bước chứng minh sẽ trở nên đơn giản.
d, Biện luận
Biện luận là tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho, xem xét những
yếu tố đã cho phải thỏa mãn điều kiện gì để có thể dựng được hình phải
tìm và nếu dựng được thì sẽ có bao nhiêu nghiệm hình. Để biện luận ta
căn cứ vào thứ tự mỗi bước dựng đó xét xem phải thỏa mãn điều kiện gì
thì bước này thực hiện được và chỉ rõ dựng được bao nhiêu nghiệm hình.
Cuối cùng ta tổng hợp các bước để kết luận điều kiện dựng được và số

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa


nghiệm của bài toán. Như vậy, biện luận là thiết lập điều kiện giải được
và xác định số nghiệm của bài toán.
Ví dụ 1.3.1. Dựng ∆ABC biết độ dài đường cao AK bằng h, độ dài
đường trung tuyến AN bằng n và độ dài đường phân giác AD bằng d.
Lời giải
Phân tích

Trước hết ta giả sử ∆ABC đã dựng được thỏa mãn yêu cầu bài toán
có độ dài các cạnh AK = h, AD = d và AN = n.
Ta nhận thấy ∆AKD và ∆AKN dựng được vì biết độ dài cạnh huyền và
độ dài một cạnh góc vuông.
Gọi điểm E là giao của đường phân giác AD với đường tròn (O, OA) ngoại
tiếp ∆ABC .
Ta thấy điểm E dựng được vì E là giao của đường thẳng AD với đường
thẳng ∆ đi qua điểm N và vuông góc với đoạn thẳng KN .
Ta có đường tròn (O, OA) ngoại tiếp ∆ABC dựng được vì điểm O là giao
của đường thẳng ∆ với đường trung trực của đoạn thẳng AE .
Khi đó các điểm B, C nằm trên đường thẳng KN và nằm trên đường tròn
(O, OA) ngoại tiếp ∆ABC .
Do vậy ∆ABC là dựng được.
Dựng hình
Dựng các đoạn thẳng có độ dài h, n và d.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

Dựng ∆AKD có độ dài cạnh góc vuông AK = h và độ dài cạnh huyền

AD = d.
Dựng ∆AKN có độ dài cạnh góc vuông AK = h và độ dài cạnh huyền
AN = n.
Dựng đường thẳng ∆ đi qua điểm N và vuông góc với đoạn thẳng KN .
Dựng điểm E = AD ∩ ∆.
Dựng đường thẳng ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng AE .
Dựng điểm O = ∆ ∩ ∆ .
Dựng đường tròn C(O, OA).
Dựng các điểm B, C là giao của đường tròn C(O, OA) với đường thẳng
KN .
Dựng các đoạn thẳng AB, BC và AC .
Khi đó ta có ∆ABC cần dựng.
Chứng minh
Xét ∆ABC có AK⊥BC (do AK⊥KN ) và độ dài AK = h
Do đó, AK là đường cao ứng với đỉnh A của ∆ABC cần dựng.
Mặt khác, ∆OBC cân tại O có ON ⊥BC .
Suy ra ON là đường trung tuyến của ∆OBC .
Hay N là trung điểm của đoạn thẳng BC .
Xét ∆ABC có độ dài đoạn thẳng AN = n và AN là đường trung tuyến
(do N là trung điểm của BC ).
Do đó, AN là đường trung tuyến ứng với đỉnh A của ∆ABC cần dựng.
Theo cách dựng, dễ dàng thấy điểm E = ∆ ∩ (O, OA) (∆ là đường thẳng
qua điểm N và điểm O).
Suy ra E là trung điểm của cung nhỏ BC hay BAE = CAE .
Ta có độ dài AD = d và BAD = CAD (do BAE = CAE ).
Do đó, AD là đường phân giác ứng với đỉnh A của ∆ABC cần dựng.
Vậy ∆ABC cần dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biện luận
Xét ∆ABC có đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác xuất
phát từ một đỉnh lần lượt là AK , AN và AD nên ta luôn có


AK ≤ AD ≤ AN.
- Nếu h = d = n thì dựng được vô số nghiệm hình, tam giác cần dựng là
tam giác cân.
- Nếu n > d > h thì bài toán có duy nhất nghiệm hình.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

- Các trường hợp còn lại bài toán đã cho vô nghiệm hình.
Trong bước dựng hình ta thấy:
- Các bước dựng hình phải là các phép dựng hình cơ bản hoặc các bài toán
dựng cơ bản.
- Với mỗi bước dựng hình nếu cần có thể viết thêm điều kiện có thể dựng
được các phép dựng ấy.
- Các bước dựng hình phải theo một thứ tự nhất định, tránh lộn xộn.
- Số các bước dựng phải là hữu hạn.

1.4

Một số phương pháp giải bài toán dựng hình

Đứng trước một bài toán dựng hình, muốn xác định xem hình cần dựng
có thể dựng bằng phương pháp nào, thì ta cần biết những dấu hiệu đặc
trưng nhất của bài toán giải được bằng phương pháp này hay phương
pháp khác. Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng của nó. Một số
phương pháp dựng hình thường được sử dụng là: phương pháp biến hình,

phương pháp quỹ tích tương giao và phương pháp đại số.

1.4.1.

Dựng hình bằng phương pháp phép biến hình

Các phép biến hình bao gồm: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,
phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự....
Nguyên tắc chung của việc sử dụng phương pháp sử dụng phép biến
hình: Để dựng hình F người ta thường quy về việc dựng một số điểm thuộc
hình F . Giả sử ta cần dựng điểm A, ta tìm điểm A là ảnh của điểm A
qua phép biến hình f nào đó, trong đó điểm A là điểm dễ dựng hơn, sau
đó bằng phép biến hình ngược lại ta tìm được điểm A cần dựng.
Ví dụ 1.4.1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A, B cách nhau qua một con sông
(xem rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định
xây một chiếc cầu M N bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với bờ
sông) như hình vẽ. Xác định vị trí của cây cầu M N sao cho độ dài từ A
đến B qua cây cầu là ngắn nhất. Biết chiều rộng của bờ sông là d.
Lời giải

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

- Phân tích
Giả sử đã dựng được vị trí cây cầu cần dựng thỏa mãn yêu cầu bài
toán.

Ta tịnh tiến điểm A theo vectơ cố định vuông góc với bờ sông và có độ
−−→ −−→
dài bằng d ta được điểm A1 cố định với AA1 = M N
Suy ra AM = A1 N .
Ta có AM + M N + N B = A1 N + M N + N B ≥ A1 B + M N .
Trong đó A1 B và M N có độ dài cố định.
Do đó, N là giao điểm của đoạn thẳng A1 B cố định với đường thẳng b.
- Dựng hình
Từ điểm A ta tịnh tiến một khoảng bằng d theo vectơ vuông góc với bờ
sông ta được điểm A1 .
Dựng đoạn thẳng A1 B .
Dựng giao điểm N của đoạn thẳng A1 B và đường thẳng b.
Dựng điểm M sao cho M N ⊥a tại M .
Đoạn M N chính là vị trí cây cầu cần dựng.
- Chứng minh
Theo cách dựng ta có M N ⊥a, M N ⊥b và độ dài đoạn thẳng M N = d .
Từ đó dễ dàng suy ra AA1 N M là hình bình hành nên AM = A1 N .
Ta có AM + M N + N B = A1 N + M N + N B = A1 N + N B + d.
Mà A1 N + N B có độ dài nhỏ nhất do các điểm A1 , N và B là các điểm
thẳng hàng và N nằm giữa A1 và B .
Do đó AM + M N + N B có độ dài nhỏ nhất.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

- Biện luận

Bài toán đã cho có duy nhất một nghiệm hình.
Ví dụ 1.4.2. Trong mặt phẳng cho góc nhọn xOy và một điểm E thuộc
miền trong của góc này. Hãy tìm trên Ox một điểm M và trên Oy một
điểm N sao cho ∆EM N có chu vi bé nhất.
Lời giải
- Phân tích
Giả sử đã dựng được các điểm M ∈ Ox; N ∈ Oy sao cho ∆EM N có
chu vi bé nhất.

Gọi P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với E qua Ox, Oy và các điểm
M1 = P Q ∩ Ox; N1 = P Q ∩ Oy .
Ta có

EM + M N + N E = P M + M N + N Q ≥ P Q = P M1 + N1 M1 + N1 Q
= EM1 + M1 N1 + N1 E.
Do ∆EM N có chu vi bé nhất nên M ≡ M1 , N ≡ N1 .
Hay M, N lần lượt là giao điểm của P Q với các trục Ox, Oy .
- Dựng hình
Dựng P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với E qua trục Ox và Oy .
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

Dựng đoạn thẳng P Q.
Dựng các điểm M = P Q ∩ Ox và N = P Q ∩ Oy .
Khi đó M , N là điểm cần dựng.
- Chứng minh

Lấy M là điểm bất kỳ thuộc Ox, N là điểm bất kỳ thuộc Oy .
Ta có

EM + M N + N E = P M + M N + N Q ≥ P Q
= P M + MN + NQ
= EM + M N + N E.
Do đó, ∆EM N có chu vi nhỏ nhất.
- Biện luận
Với xOy < 90o thì bài toán đã cho có một nghiệm hình (do đoạn thẳng
P Q luôn cắt các tia Ox, Oy tại một điểm duy nhất).
Ví dụ 1.4.3. Dựng một tam giác đều sao cho ba đỉnh của nó nằm trên
ba đường thẳng đôi một song song cho trước.
Lời giải

- Phân tích
Giả sử cho trước ba đường thẳng đôi một song song a, m và n.
Lấy A là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Giả sử đã dựng được
tam giác đều AM N thỏa mãn yêu cầu bài toán với M ∈ m và N ∈ n.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

Dựng AP ⊥m tại điểm P . Xét

o

Q60

A :M →N
P →P .
o

Suy ra Q60
A : MP → NP .
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và P .
o
Như vậy, phép Q60
A biến đoạn thẳng AP thành đoạn thẳng AP và đường
thẳng m cũng quay một góc 60o đến vị trí đường thẳng ∆.
Dễ dàng chứng minh rằng AP ⊥∆.
Ta có N = n ∩ ∆ với ∆ là đường thẳng xác định khi cho trước điểm A.
Nên điểm N dựng được, khi đó dễ dàng dựng được điểm M .
Vậy ta dựng được tam giác đều thỏa mãn bài toán.
- Dựng hình
Trên đường thẳng a lấy một điểm A tùy ý, dựng AP ⊥m tại điểm P .
Dựng đoạn thẳng AP sao cho P AP = 60o và độ dài đoạn thẳng AP =
AP .
Dựng đường thẳng ∆ sao cho ∆ là đường thẳng đi qua P và vuông góc
với đoạn thẳng AP .
Dựng điểm N = ∆ ∩ n.
Dựng đường thẳng AM sao cho M AN = 60o , cắt đường thẳng m tại điểm
M.
Dựng các đoạn thẳng AN , AM và M N .
Ta được ∆AM N cần dựng.
- Chứng minh
Ta có P AP = M AN = 60o ( theo cách dựng hình).
Suy ra M AP = N AP .
Từ đó ta dễ dàng chứng minh ∆AP N = ∆AP M (g.c.g).

Suy ra AN = AM (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
Nên ∆AM N cân, lại có M AN = 60o .
Vậy ∆AM N là tam giác đều.
- Biện luận
Bài toán đã cho có duy nhất một nghiệm hình.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.2.

Phan Thị Thoa

Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao

Hình là một tập hợp các điểm, nên thông thường việc dựng các hình
ta quy về việc dựng một số hữu hạn điểm. Chẳng hạn muốn dựng một đa
giác ta quy về việc dựng các đỉnh của nó hay dựng một đường tròn có bán
kính cho trước ta dựng tâm,...Một điểm thường có thể coi là giao điểm của
2 đường hay có thể nói một điểm xác định bởi hai điều kiện. Trong phần
phân tích ta giả sử với các điều kiện γ1 và γ2 thì quỹ tích các điểm cần
dựng là hình G1 , G2 . Một điểm bất kỳ thỏa mãn 2 điều kiện γ1 và γ2 vậy
nó là giao điểm của quỹ tích G1 , G2 .
Phương pháp dựng điểm nhờ giao của hai quỹ tích gọi là dựng hình
bằng phương pháp quỹ tích tương giao. Với việc sử dụng phương pháp
trên thì phần biện luận của bài toán sẽ trở nên đơn giản và rõ ràng hơn.
Ta chỉ cần tìm điều kiện để G1 và G2 giao nhau và xét xem chúng giao
nhau sẽ có bao nhiêu giao điểm.

Ví dụ 1.4.4. Dựng đường tròn đi qua một điểm M cho trước và tiếp xúc
với 2 đường thẳng song song m và n cố định.
Lời giải

- Phân tích
Gọi h là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n.
h
Do đó, bán kính đường tròn cần phải dựng là .
2
Bài toán đã cho quy về việc dựng tâm đường tròn sao cho thỏa mãn:
+ Cách đều hai đường thẳng m và n: quỹ tích là đường thẳng đi qua
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

trung điểm của đoạn thẳng vuông góc với 2 đường thẳng song song m, n
và song song với hai đường thẳng đó (quỹ tích G1 ).
h
h
+ Cách đều điểm M một khoảng : là đường tròn C(M, ) (quỹ tích
2
2
G2 ).
- Dựng hình
Từ một điểm A tùy ý trên đường thẳng m dựng AB⊥n tại B .
Dựng trung điểm C của đoạn thẳng AB .
Dựng đường thẳng ∆ đi qua điểm C và song song với đường thẳng m.

h
Dựng đường tròn C(M, ).
2
h
Dựng điểm I1 là giao của đường tròn C(M, ) với đường thẳng ∆.
2
h
Dựng đường tròn C1 (I1 , ).
2
h
Khi đó, đường tròn C1 (I1 , ) là đường tròn cần dựng.
2
- Chứng minh
h
Theo cách dựng ta có đường tròn C(M, ) cắt ∆ tại I1 .
2
h
h
Do đó, I1 M = hay M ∈ C1 (I1 , ).
2
2
Mặt khác, vì I1 ∈ ∆ là đường thẳng cách đều đường thẳng m và n một
h
đoạn .
2
h
Hay d(I1 , m) = d(I1 , n) =
2
h
Do đó, đường tròn C1 (I1 , ) là đường tròn thỏa mãn bài toán.

2
- Biện luận
+ Nếu điểm M nằm trong 2 đường thẳng m và n thì đường tròn
h
C(M, ) cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm I1 , I2 . Bài toán có hai nghiệm
2
h
h
hình là đường tròn C1 (I1 , ) và đường tròn C2 (I2 , ).
2
2
h
+ Nếu điểm M nằm trên đường thẳng m hoặc n thì đường tròn C(M, )
2
cắt đường thẳng ∆ tại một điểm duy nhất, bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu điểm M nằm ngoài khoảng đường thẳng m và n thì đường tròn
h
C(M, ) không cắt đường thẳng ∆. Bài toán không có nghiệm hình.
2
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

Ví dụ 1.4.5. Dựng ∆ABC biết độ dài cạnh BC bằng a, độ dài đường
trung tuyến AN bằng n và độ dài đường cao AK bằng h.
Lời giải


- Phân tích
Giả sử đã dựng được ∆ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có độ dài BC = a có thể dựng được ngay; do đó bài toán trên quy về
việc dựng điểm A.
Điểm A cần dựng thỏa mãn 2 điều kiện:
+ Điểm A cách đường thẳng BC một khoảng bằng h (do độ dài AK = h):
Qũy tích các điểm A là đường thẳng song song với BC và cách BC một
khoảng bằng h (quỹ tích G1 ).
+ Điểm A cách điểm N một khoảng bằng n: Qũy tích các điểm A là đường
tròn C(N, n) (quỹ tích G2 ).
Do đó, dựng được điểm A. Vậy ∆ABC dựng được.
- Dựng hình
Trên 1 đường thẳng bất kỳ, dựng đoạn thẳng BC có độ dài BC = a.
Dựng trung điểm N của đoạn thẳng BC .
Dựng đường tròn C(N, n).
Dựng đường thẳng d song song với đường thẳng BC và cách đường thẳng
BC một khoảng bằng h.
Dựng giao điểm A của đường thẳng d với đường tròn C(N, n).
21


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

Dựng các đoạn thẳng AB và AC .
Ta được ∆ABC là tam giác cần dựng.
- Chứng minh
Thật vậy, ∆ABC có độ dài BC = a (theo cách dựng).
Ta có, A = d∩C(N, n) nên A ∈ C(N, n) do đó độ dài đoạn thẳng AN = n.

Mặt khác, A ∈ d nên AK = h (với AK⊥BC tại K ).
Vậy ∆ABC đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Biện luận
+ Nếu h < n: Đường thẳng d cắt đường tròn C(N, n) tại 4 điểm (vì quỹ
tích những điểm cách đường thẳng BC một khoảng bằng h là 2 đường
thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng h). Ta có 4 tam
giác, nhưng cả 4 tam giác này đều bằng nhau nên ta coi là có 1 nghiệm
hình.
+ Nếu h = n: Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn C(N, n). Bài toán
có một nghiệm hình là tam giác cân.
+ Nếu h > n: đường thẳng d và đường tròn C(N, n) không cắt nhau. Bài
toán đã cho không có nghiệm hình.
Ví dụ 1.4.6. Dựng ∆ABC cân biết góc ABC =γ và tổng độ dài cạnh bên
AC với cạnh đáy AB bằng n.
Lời giải

- Phân tích
Giả sử đã dựng được ∆ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có ∆ABC cân tại C nên CBA = CAB = γ .
Trên đường thẳng AB lấy điểm D sao cho BC = BD và B nằm giữa A
22


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phan Thị Thoa

với D.
Suy ra ∆BCD cân tại B .
γ

Do đó, C DB = DCB = (do BDC + DCB = ABC = γ ).
2
Vậy ∆ADC là dựng được do biết độ dài AD = n (DA = DB + BA =
γ
AB + BC ), các góc C DA = và CAD = γ .
2
Như thế ta xác định được các đỉnh A, C của ∆ABC .
Xét điểm B thỏa mãn các điều kiện:
+ B ∈ AD: quỹ tích là đường thẳng AD (quỹ tích G1 ).
+ Độ dài đoạn thẳng BD = BC : là các điểm cách đều điểm C và điểm
D, quỹ tích là các điểm nằm trên đường thẳng ∆ là trung trực của đoạn
thẳng CD (quỹ tích G2 ).
Vậy B dựng được, do đó dựng được ∆ABC .
- Dựng hình
γ
Dựng ∆ACD biết AD = n, ADC = và CAD = γ .
2
Dựng đường thẳng ∆ là trung trực của đoạn thẳng CD.
Dựng giao điểm B của đoạn thẳng AD với đường thẳng ∆.
Dựng các đoạn thẳng AB và BC .
Khi đó ta có ∆ABC là tam giác cần dựng.
- Chứng minh
Theo cách dựng ta có B ∈ ∆- trung trực của đoạn CD nên BC = BD.
γ
Do đó, ∆BCD cân tại B hay BDC = DCB = .
2
Ta có ABC = BAD + BDA = γ .
Vậy ∆ABC cân tại C (do ABC = ACB = γ ).
Lại có độ dài AB + AC = AB + BD = AD = n.
Do vậy, ∆ABC đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Biện luận
+ Nếu γ ≥ 90o : ∆ABC đã cho là không dựng được, bài toán không có
nghiệm hình.
+ Nếu γ < 90o : đường trung trực của đoạn thẳng CD cắt đường thẳng
AD tại duy nhất một điểm B . Bài toán có một nghiệm hình.

1.4.3.

Dựng hình bằng phương pháp đại số

Việc dựng hình G thường được quy về dựng một số đoạn thẳng. Độ
dài đoạn thẳng cần dựng được biểu diễn qua những độ dài đoạn thẳng đã

23