Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI-RÚT GỌN BIỂU THỨC
1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a Û x2 = a. Kí hiệu: x = a .
2. Điều kiện để căn thức có nghĩa
A Có nghĩa khi A ³ 0
3. Các công thức biến đổi căn thức
a.

ì A khi A ³ 0
A2 = A = í
î -A khi A < 0

b.

AB = A. B

c.

A
=
B

d.

A2 B = A B

e.

A
B

( A ³ 0; B > 0)

A B = A2 B

A 1
=
B B

( B ³ 0)

( A ³ 0; B ³ 0)

A B = - A2 B

f.

( A ³ 0; B ³ 0)

AB

( A < 0; B ³ 0)
( AB ³ 0; B ¹ 0)

i.


A
A B
=
B
B

k.

C
C ( A m B)
=
A - B2
A±B

m.

C
C( A m B )
=
A - B2
A± B

n.

( B > 0)
( A ³ 0; A ¹ B 2 )
( A ³ 0; B ³ 0; A ¹ B )

A ± 2 B = m ± 2 m.n + n =


(

m± n

)

2

=

m± n

ìm + n = A
với í
î m.n = B

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

1


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:


CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Kiến thức cần nhớ:
I. Hàm số bậc nhất :
1. Dạng tổng quát: y = ax + b
(a ≠ 0 )
2. Tính chất :
+ Đồng biến nếu a > 0
+ Nghịch biến nếu a < 0
3. Đồ thị :
Là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, cắt trục hoành tại
điểm có hoàng độ bằng

-b
.
a

-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị.
+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b.
-Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc a , mà tga = a .
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b.
4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:
Cho hai hàm số : y = ax + b (d)
y = a’x + b’ (d’)
+ Nếu a ≠ a’
ð (d) cắt (d’)
+ Nếu a = a’; b ≠ b’ ð (d) // (d’)
+ Nếu a = a’; b = b’ ð(d) ≡ (d’)
+ Nếu a.a’ = -1
ð (d) ^ (d’)

2
II. Hàm số y = ax (a≠0)
1. Tính chất :
+ Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0
- Hàm số nghịch biến nếu x < 0
+ Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0
- Hàm số nghịch biến nếu x > 0
2. Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với
trục hoành tại gốc toạ độ.
+ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0
+ Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0
+Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

2


Nguyễn Đức Thắng
Mobi: 0969.119.789
Email:
* Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
* Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2.
3. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2
(P):
+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ó a’x2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt
+ Nếu (d) Tiếp xúc (P) ó a’x2 = ax + b có nghiệm kép
+ Nếu (d) và (P) không có điểm chung ó a’x2 = ax+b vô nghiệm

Chú ý: Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
yA = f(xA).
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
III. Các bài toán về lập phương trình đường thẳng:
1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua
điểm M (x0; y0):
Ø Cách giải:
- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b
ð Phương trình đường thẳng cần lập
2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ):
Ø Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :

ì y1 = ax1 + b
í
î y2 = ax2 + b

+ Giải hệ phương trình tìm a và b
ð Phương trình đường thẳng cần lập
3.Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường
cong y = a’x2 (P)
Ø Cách giải :
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Theo bài ra a = k
+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:
a’x2 = kx + b có nghiệm kép ó Δ = 0 (*)
Giải (*) tìm b
Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

3


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) và tiếp xúc
với đường cong y = a’x2 (P)
Ø Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x0; y0) nên ð y0 = a.x0 + b
(1)
2
+ Tiếp xúc với y = a’x nên phương trình :
a’x2 = ax + b có nghiệm kép ó Δ = 0 (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b
ð phương trình đường thẳng cần lập
IV.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ;
(d2): y = a2x + b2 với a 1 ≠ 0; a2 ≠ 0.
-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.
-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.
-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2.

+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung.
+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau.
V.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để
tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
VI.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm
(x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
VII.Vị trí của đường thẳng và parabol
-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2).
-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:
+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = ±

m
a

+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.
VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

4



Nguyễn Đức Thắng
Mobi: 0969.119.789
Email:
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx2= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để
tìm tung độ giao điểm.
Chú ý:
- Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
- Để (d) cắt (P) tại hai điểm:
+Nằm về hai phía trục tung: Phương trình (V) có hai nghiệm trái dấu
+ Nằm về cùng một phía trục tung: Phương trình (V) có hai nghiệm cùng dấu
(Nếu nằm cùng về bên phải Oy thì phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt dương;
Nếu nằm cùng về bên phải Oy thì phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt âm)
IV.Tìm điều kiện để (d) và (P).
phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
a) (d) và (P) cắt nhau
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau
phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau
phương trình (V) vô nghiệm .
X.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0
vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng
với mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.
XI.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số.
1.Ứng dụng vào phương trình.
2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.
3. Tính diện tích hình tạo bởi các đường thẳng hoặc giữa các giao điểm của đường thẳng

và Parabol với điểm bất kì

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

5


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN SỐ
Kiến thức cần nhớ
ì ax + by = c

Ø Dạng tổng quát : í
î a ' x + b' y = c '
Ø Số các nghiệm của hệ:
a b
¹ Û Hệ có nghiệm duy nhất
a ' b'
a b c
+ Nếu = ¹ Û Hệ vô nghiệm
a' b' c'
a b c

+ Nếu = = Û Hệ có vô số nghiệm
a ' b ' c'

+ Nếu

Ø Các phương pháp giải hệ phương trình:
1. Phương pháp thế:
- Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn
(chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia
- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y
- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x
KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
2. Phương pháp cộng :
- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn
- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử
- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại
KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
3. Chú ý :
ì ax + by = c

Với hệ phương trình í
î a ' x + b' y = c '
+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế
+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ
+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế
+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ± 1 và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm
BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006

Mobi: 01234.18.98.58

6


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 ẨN

ìax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (1)
1. Hệ phương trình dạng: í
(2)
îax + by + c = 0
Phương pháp giải:
- Từ (2) rút x theo y (hoặc y theo x) thay vào phương trình (1)
- Giải phương trình bậc hai, từ đó suy ra: x, y
- Kết luận
2
2
= d (1)
ïìax + bxy + cy
2. Hệ phương trình dạng: í 2
d,d' ¹ 0
2
ïîa'x + b' xy + c' y = d ' (2)
Phương pháp giải:

- Khử hệ số tự do: Nhân (1) với d’, (2) với d. Sau đó trừ vế cho vế hai phương trình

- Đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai: mx 2 + nxy + py 2 = 0
Phương pháp giải:

+ Đặt x=ty: Khi đó, phương trình trở thành: y 2 ( mt 2 + nt + p ) = 0
TH1: Nếu y=0 Þ x = 0 . Thay vào (1), ta thấy (x, y) = (0,0) không phải là nghiệm
TH2: Giải phương trình mt 2 + nt + p = 0 . Giả sử có nghiệm là t0, suy ra x= t0y

y2 =

d
. Từ đó suy ra x,y
at + bt 0 + c
2
0

3. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
(Hệ phương trình mà khi đổi vai trò hai ẩn thì mỗi phương trình trong hệ không thay
đổi: P(x,y)=P(y,x))
Phương pháp giải:
- Đặt S=x+y, P=xy. Đưa về hệ phương trình mới ẩn S,P
- Giải hệ phương trình ẩn S,P

ìx + y = S
- Giải hệ phương trình: í
. x, y là nghiệm phương trình: X 2 - SX + P = 0
î xy = P
4. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
(Hệ phương trình mà khi đổi vai trò hai ẩn thì phương trình này trở thành phương trình

kia).
Phương pháp giải: Trừ về cho vế (nhân liên hợp) để xuất hiện: (x-y) H(x,y)=0
Giải hệ phương trình trong các trường hợp: x-y=0 và H(x,y)=0
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

7


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
Kiến thức cần nhớ
I.Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 )
Trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số
1. Giải phương trình bậc hai
* Khi c = 0 khi đó

éx = 0
(1) Û ax + bx = 0 Û x ( ax+b ) = 0 Û êê
b
x=a
ë
* Khi b = 0 khi đó
-c

(1) Û ax 2 + c = 0 Û x 2 =
a
2

-c
-c
³ 0 thì x = ±
.
a
a
-c
-Nếu
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
a
* Cách giải tổng quát:
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
-Nếu

D = b2 - 4ac
D > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân
biệt

D ' = b'2 - ac
D ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân
biệt

-b + D
-b - D
-b'+ D '

-b'- D '
; x2 =
x1 =
; x2 =
2a
2a
a
a
D = 0 : phương trình có nghiệm kép
D ' = 0 : phương trình có nghiệm kép
-b
-b'
x1 = x 2 =
x1 = x 2 =
2a
a
D < 0 : phương trình vô nghiệm
D ' < 0 : phương trình vô nghiệm
2. Hệ thức vi ét – Áp dụng:
a)Định lý vi ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 Thì:
x1 =

x1 + x2 =
x1.x2 =

-b
a

c
a


b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

8


Nguyễn Đức Thắng
Mobi: 0969.119.789
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
+ Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 =
+ Nếu a – b + c = 0 th ì x1 = -1; x2 =

Email:

c
a
-c
a

ìu + v = S 2
Chú ý: Nếu có hai số u và v sao cho í
S ³ 4P thì u, v là hai nghiệm của
î uv = P
phương trình x2 – Sx + P = 0.
II. Một số dạng bài tập về phương trình bậc 2
1. Bài tập về số nghiệm của phương trình bậc hai:
Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ó Δ > 0 (Δ’ > 0)
+ Phương trình có nghiệm kép
óΔ=0
(Δ’ = 0)
+ Phương trình vô nghiệm
óΔ<0
(Δ’< 0)

(

Ø Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = 0

)

é a = 0; b ¹ 0

có 1 nghiệm ó ê
ëa ¹ 0; D = 0

2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:
ìD ³ 0

ó ïí c > 0
ï
îa

ì

ï D³0
ï c
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : ó ïí > 0
ï a
ï- b > 0
îï a

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:
ì
ï D³0
ï c
ó ïí > 0
ï a
ï- b < 0
ïî a

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

9


Nguyễn Đức Thắng
Mobi: 0969.119.789
Email:
ó a.c < 0
3.Bài tập: dạng thành lập một hệ thức đối xứng giữa các nghiệm
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0

Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm của phương trình bậc hai thường gặp :
a) x12 + x22

b) x13 + x23

c)

1 1
+
x1 x2

..v..v

Cách giải:
-b
ì
ï x1 + x2 = a
Bước1: Nêu tổng và tích hai nghiệm í
c
ï x1.x2 =
a
î

Bước 2:Biến đổi các hệ thức đối xứng này như sau :
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2
x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)
1 1
x +x
+
= 1 2

x1 x2
x1.x2

Bước 3: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng
4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức:
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0
+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm
-b
ì
ï x1 + x2 = a
+ Bước 2: Nêu hệ thức vi et : í
c
ï x1.x2 =
a
î

(1)
(2)

+ Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3)
+ Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m.
Một số dạng khác:
1
1
a) ax1 + bx 2 = g; b) x12 + x 2 2 = m; c)
+
=n
x1 x 2

d) x12 + x 2 2 ³ h;


e) x13 + x 23 = t; ...

Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương
trình.
5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham
số:
Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

10


Nguyễn Đức Thắng
Mobi: 0969.119.789
Email:
Cách giải:
+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm ( D ³ 0 )
+ Bước 2: Lập S , P

(x1 + x2 =

-b
c
), x1.x2 =
theo tham số m
a
a


+ Bước 3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m
+ Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm.
6.Bài tập dạng so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kì:
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( D ³ 0 )
Bước 2: Áp dụng Vi- et tính x1 + x2 ; x1.x2
(*)
+Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm > a
ì( x - a ) + ( x2 - a ) > 0
Þí 1
î ( x1 - a ).( x2 - a ) > 0

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m
+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < a
ì( x - a ) + ( x2 - a ) < 0
Þí 1
î ( x1 - a ).( x2 - a ) > 0

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m
+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó một nghiệm x1 > a
nghiệm kia x2 < a Þ ( x1 - a ).( x2 - a ) > 0
Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m
Hoặc có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:
· Nếu a. f (a ) < 0 Þ x1 < a < x2

ì
ïD > 0
ï
· Nếu íaf (a ) > 0 Û a < x1 < x 2

ï -b
ï >a
î 2a
ì
ïD > 0
ï
· Nếu íaf (a ) > 0 Û x1 < x 2 < a
ï -b
ï î 2a

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

11


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0). Đặt t = x2 (t ³ 0) ta được PT
at2 + bt + c = 0. GiảI PT ẩn t, từ đó suy ra nghiệm của PT đã cho.
2. PT chứa ẩn ở mẫu thức.
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của PT.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử

mẫu.
Bước 3: Giải PT vừa nhận được.
Bước 4: Trong các giá trị tìm được, giá trị thoả
mãn ĐKXĐ là Ng của PT.
a x + b1 a 2 x + b 2 a 3x + b3 a 4 x + b 4
Dạng 1: 1
+
=
+
c1
c2
c3
c4
Trong đó a1 = a 2 = a 3 = a 4 ;b1 ± c1 = b2 ± c 2 = b3 ± c3 = b 4 ± c 4
Phương pháp giải:
- Nếu b1 + c1 = b 2 + c 2 = b3 + c3 = b4 + c 4 thì cộng 2 vào 2 vế, quy đồng mẫu số.
- Nếu b1 - c1 = b 2 - c 2 = b3 - c3 = b 4 - c 4 thì trừ 2 vế cho 2, quy đồng mẫu số.
Chú ý: Nếu mỗi về có n phân thức thì hoặc cộng với n hoặc trừ cho n haivế của phương
trình.
a x + b1 a 2 x + b2 a 3 x + b3 a 4 x + b4
Dạng 2: 1
+
+
+
=e
c1
c2
c3
c4

a1 = a 2 = a 3 = a 4 ;b1 - kc1 = b 2 - lc2 = b3 - mc3 = b 4 - nc4 và k+l+m+n=e
Phương pháp giải:
- Cộng cả 2 vế với –e:

a1x + b1
a x + b2
a x + b3
a x + b4
-k+ 2
-l+ 3
-m+ 4
-n =0
c1
c2
c3
c4

- Quy đồng mẫu số.
1
1
1
Dạng 3:
+
+ ... +
=b
( x + a )( x + 2a ) ( x + 2a )( x + 3a )
( x + na ) éë x + ( n + 1) a ùû
Phương pháp giải:
1
1

1
+
+ ... +
=b
( x + a )( x + 2a ) ( x + 2a )( x + 3a )
( x + na ) éë x + ( n + 1) a ùû

ù
1é 1
1
1
1
1
1
Û ê
+
+ ... +
=b
a ë x + a x + 2a x + 2a x + 3a
x + na x + (n + 1)a úû
é 1
ù
1
na
Ûê
= ab Û
= ab
ú
( x + a )( x + (n + 1)a )
ë x + a x + (n + 1)a û

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

12


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

Û ab éë( x + a )( x + (n + 1)a ) ùû = na
+ Giải phương trình bậc hai.
Dạng 4:

ax 2 + b1x + c ax 2 + b3 x + c
bx
bx
+ 2
= d hoặc 2 1
+ 2 3
=d
2
ax + b2 x + c ax + b4 x + c
ax + b2 x + c ax + b 4 x + c

Phương pháp giải:
+ Kiểm tra x=0 có phải là nghiệm;

+ Chia cả tử và mẫu cho x;
c
+ Đặt t = ax + , Giải phương trình ẩn t được nghiệm t0
x
c
+ Giải phương trình t 0 = ax +
x
3. Phương trình tích.
- Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
- Giải PT tích.
4. Phương trình bậc 4:
Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4 + bx + c = 0 (a ¹ 0)
Phương pháp giải:
Đặt : x2 = y ³ 0 , ta có Pt : ay2 + by + c = 0 (2)
- Nếu phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm thì phương trình (1) vô
nghiệm;
- Nếu phương trình (2) có nghiệm kép và bằng 0 thì phương trình (1) có một
nghiệm
- Nếu phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc nghiệm kép dương thì phương
trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
- Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 thì phương
trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
- Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương thì phương trình (1) có 4
nghiệm phân biệt
Dạng 2: Pt có hệ số đối xứng dạng : ax4 + bx3 ± cx2 + bx + a = 0
(a ¹0)
Phương pháp giải:
+ Vì x = 0 không phải nghiệm , nên ta chia 2 vế Pt cho x2 ,
Ta được Pt sau : a (x2 +
+ Đặt : y = ( x

± 1 ),
x

1
)+b(x
x2

±1 ) + c = 0
x

giải Pt ẩn y suy ra nghiệm x

Dạng 3: Phương trình dạng ax 4 + bx3 + cx 2 ± kbx + k 2a = 0 , Trong đó a ¹ 0
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

13


Nguyễn Đức Thắng
Mobi: 0969.119.789
Phương pháp giải:
-Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm

Email:

- Chia cả hai vế cho x 2 ¹ 0 ta được

æ 2 k2 ö
1 k 2a
kö
æ
ax + bx + c ± kb + 2 = 0 Û a ç x + 2 ÷ + b ç x ± ÷ + c = 0
x x
x ø
xø
è
è
2

k2
k2
k
2
2
2
Đặt y = x ± , ta có y = x + 2 ± 2k Û x + 2 = y2 m 2k
x
x
x
Khi đó phương trình trở thành:
a ( y2 m 2k ) + by + c = 0

k
x
Dạng 4: PT dạng : (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = m (1),
Trong đó a + b = c + d
Phương pháp giải:

- Giả sử có nghiệm y0 , giải phương trình y0 = x ±

(

)(

)

Ta có (1) Û éë x 2 +(a+b)x+ab x 2 +(c+d)x+cd ùû = m
+ Đặt y = x 2 +(a+b)x . Khi đó phương trình trở thành

Ay2 + By + C = 0 (2)
+ Giải (2), giả sử có nghiệm y0
+ Giải y0= x 2 +(a+b)x +ab
Dạng 5: Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c
Phương pháp giải:
a+b
Đặt y = x +
. Khi đó phương trình trở thành
2
4

4

2

4

a-bö æ
a-bö

æ
æa-bö 2
æa-bö
4
ç y + 2 ÷ + ç y - 2 ÷ = c Û 2t + 12 ç 2 ÷ t + 2 ç 2 ÷ = c
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải
Dạng 6: Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = mx2 (1). Trong đó ab=cd
Phương pháp giải:

(

)(

)

Phương trình (1) Û éë x 2 +(a+b)x+ab x 2 +(c+d)x+cd ùû = mx 2
- Kiểm tra x=0 có phải là nghiệm
- Chia cả hai vế cho x 2 ¹ 0 , ta được
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

14

Nguyn c Thng

Mobi: 0969.119.789

Email:

ộổ
ab ửổ
cd ử ự
ờỗ x+(a+b)+ ữỗ x+(c+d)+ ữ ỳ = m
x ứố
x ứỷ
ởố
ab
t y=x+
khi ú phng trỡnh tr thnh
x
( y+a+b )( y+c+d ) = m
- Gi s phng trỡnh cú nghim y0. Gii phng trỡnh
ab
y0 =x+
x
Dng 7: Phng trỡnh dng:

a ( ax 2 + bx + c ) + b ( ax 2 + bx + c ) + c = x
2

Phng phỏp gii:

2
ùỡay + by + c = x (1)
t y = ax + bx + c . Khi ú ta cú h phng trỡnh: ớ 2
.
ùợax + bx + c = y (2)
2

õy l h phng trỡnh i xng loi 2.
Ly (1) tr (2) v theo v ta cú:

ộx = y
(x-y)(ax+ay+b+1)=0 ờ
ởax + ay + b + 1 = 0
5. Phng trỡnh v bt phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i
Dng 1: Phng trỡnh dng f(x) = g(x) (1)
Phng phỏp gii:

ộf(x) = g(x)
Phng trỡnh (1) ờ
ởf(x) = -g(x)
Dng 2: Phng trỡnh dng f(x) = g(x) (1)
Phng phỏp gii:
Cỏch 1:
Bỡnh phng hai v ta c phng trỡnh h qu: f 2 (x) = g2 (x)
Gii phng trỡnh trờn, th li nghim

ỡg(x) 0
ù
Cỏch 2: PT (1) ớ ộf(x) = g(x)
ù ờf(x) = -g(x)

ợở
TT Gia s v Luyn thi Thnh t xúm Phng, Tõy M, T Liờm, H Ni
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

15


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

é ìf(x) ³ 0
êí
îf(x) = g(x)
Cách 3: PT (1) Û ê
ê ìf(x) < 0
êí
ëê î -f(x) = g(x)
Dạng 3: Phương trình dạng f(x) + g(x) = h(x) (1)
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp chia khoảng
- Sử dụng bất đẳng thức: a - b £ a + b dấu “=” khi ( a + b ) b ³ 0

a + b ³ a + b dấu “=” khi ab ³ 0
Dạng 4: Bất phương trình dạng: f(x) ³ g(x) (1)
Phương pháp giải:
- Bình phương hai vế;

- Xét dấu
Dạng 5: Bất phương trình dạng f(x) ³ g(x) (1)
Phương pháp giải:

é f(x) ³ g(x)
Bất phương trình (1) Û ê
ë f(x) £ -g(x)
Dạng 6: Bất phương trình dạng f(x) £ g(x) (1)
Phương pháp giải:

ìf(x) £ g(x)
Bất phương trình (1) Û í
î -g(x) £ f(x)
6. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức
Dạng 1: Phương trình dạng

f(x) = g(x) (1)

Phương pháp giải:

ìf(x) = g(x)
Phương trình (1) Û í
îg(x) ³ 0
Dạng 2: Phương trình dạng

f(x) = g(x) (1)

Phương pháp giải:

ìg(x) ³ 0

Phương trình (1) Û í
2
îf(x) = g (x)
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

16


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Dạng 3: Phương trình dạng

Email:

f(x) + g(x) = h(x) (1)

Phương pháp giải:
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được phương trình hệ quả:

f(x) + g(x) + 2 f(x)g(x) = h(x) Û 2 f(x)g(x) = h(x) - f(x) - g(x)
Giải phương trình dạng

f(x) = g(x)

Dạng 4: Phương trình dạng: a.f (x) + b.g(x) + c f (x).g(x) = 0 (1)

ìf (x) = 0
Phương pháp giải: - Nếu f(x)=0 khi đó (1) Û í
îg(x) = 0
- Nếu f (x) ¹ 0 chia cả hai vế của phương trình cho f (x) ta được
a + b.

g(x)
g(x)
g(x)
+ c.
= 0 Đặt t=
;t³0
f (x)
f (x)
f (x)

Khi đó phương trình trở thành: bt 2 + ct + a = 0 . Giả sử có nghiệm t0 mà t 0 ³ 0
- Giải phương trình t 0 =

g(x)
f (x)

Dạng 5: Phương trình dạng a ( f (x) + g(x) ) + b

(

)

f (x) ± g(x) ± 2a f (x).g(x) + c = 0

Phương pháp giải:
Đặt t = f (x) ± g(x) khi đó phương trình trở thành:
at2+bt+c=0. Giả sử có nghiệm t0
- Giải phương trình t 0 = f (x) ± g(x) (Dạng 3)
Dạng 6: Phương trình dạng:
(1)
Phương pháp giải:

x + a 2 - b + 2a x - b + x + a 2 - b - 2a x - b = cx + d

Phương trình (1) Û ( x - b + a) 2 + ( x - b - a) 2 = cx + d

x-b+a +

x - b - a = cx + d .

(

)

Đặt t = x - b; t ³ 0 . Khi đó phương trình trở thành: t + a + t - a = c t 2 + b + d .
Sử dụng phương pháp phân khoảng để giải phương trình trên.
Dạng 7: Phương trình dạng: b. n bx - a = x n + a
Phương pháp giải:
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

17

Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

ìï x n - by + a = 0
Đặt y = bx - a khi đó ta có hệ phương trình: í n
. Đây là hệ phương trình
ïî y - bx + a = 0
n

đẳng cấp bậc 2.

éx = y
Trừ vế cho vế ta được: ( x - y ) F(x, y) = 0 Û ê
ë F(x, y) = 0
- Với x=y
- Với F(x,y) = 0
ax + b = r(ux + r)2 + dx + c . Trong đó u=ar+d; v=br+e;

Dạng 8: Phương trình dạng
a,u,r ¹ 0
Phương pháp giải:

Đặt uy + v = ax + b . Từ đó ta có hệ:

ì uy + v = r ( ux + v )2 + dx + e
ìuy + v = r ( ux + v )2 + dx + e

ï
ï
. Trừ vế cho vế ta được
Û
í
í
2
2
ïîax + b = ( uy + v )
ïîux + v = r ( uy + v ) + dx + e
éx = y
u(x - y) [ ru(x + y) + 2rv + 1] = 0 Û ê
ë ru(x + y) + 2rv + 1 = 0
Dạng 9: Phương trình dạng

n

a - f(x) + m b + f(x) = c

ìu n + v m = a + b
.
Phương pháp giải: Đặt u = a - f(x) ; v = b + f(x) Khi đó ta có hệ: í
u
v
c
+
=
î
Giải hệ bằng phương pháp thế.
n

Dạng 10:

m

f(x) + a ± f(x) = b

Phương pháp giải:
Nhân lượng liên hợp vế trái của phương trình ra suy ra:

f(x) + a m f(x) =

a
b

ì f(x) + a ± f(x) = b
ï
Khi đó ta có hệ: í
a . Sử dụng phương pháp cộng đại số giả hệ
f(x)
+
a
m
f(x)
=
ï
î
b
phương trình trên.
Dạng 11: Phương trình dạng:

f(x) ± g(x) = m ( f(x) - g(x) ) (1)

Phương pháp giải:

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

18


Nguyễn Đức Thắng
Phương trình (1) Û

(

Mobi: 0969.119.789

) (

f(x) ± g(x) é m
ë

Email:

)

f(x) m g(x) - 1ù = 0
û

é f(x) ± g(x) = 0
Ûê
ê m f(x) m g(x) - 1 = 0
ë

(

)

Dạng 12: Bất phương trình dạng

f (x) ³ g(x) (1)

Phương pháp giải:

ìg(x) ³ 0
Bất phương trình (1) Û í
îf (x) ³ g(x)
Dạng 13: Bất phương trình dạng

f (x) ³ g(x) (1)

Phương pháp giải:

é ìf (x) ³ 0
êí
îg(x) < 0
Bất phương trình (1) Û ê
ê ìg(x) ³ 0

êí
2
ëê îf (x) ³ g (x)
Dạng 14: Bất phương trình dạng

f (x) £ g(x) (1)

Phương pháp giải:

ìf (x) ³ 0
ï
Bất phương trình (1) Û íg(x) ³ 0
ïf (x) £ g 2 (x)
î
Dạng 15: Bất phương trình

ax 2 + bx + c ³ px 2 + qx + r hoặc ax 2 + bx + c £ px 2 + qx + r
a b
=
p q
Phương pháp giải:
trong đó

Đặt t = px 2 + qx + r ; t ³ 0 khi đó bất phương trình (1) trở thành bất phương trình bậc
hai ẩn t

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

19


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Các kiến thức cần nhớ:
m
là số nguyên khi và chỉ khi n là ước của m.
n
m
m
mà a, b,c, x, yÎ ¢ thì
là số nguyên
- Nếu: cy = ax + b +
n
n
- Số chính phương không tận cùng bằng 2,3,7,8
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì cũng chia hết cho p2
- Số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia cho 8 dư 0, 1 hoặc 4
- Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n.
- Không tồn tại một số chính phương nằm giữa: a2 và (a+1)2
- Nếu

a = b, b Î N* thì a là số chính phương.

Một số dạng toán:
Dạng 1: axy+bx+cy+d=0
Phương pháp giải:
- Phân tích thành tích: Nhân cả hai vế với a
ax(ay + b) + c(ay + b) = bc - ad Û ( ay + b )( ax + c ) = bc - ad
-Suy ra: ay+b và ax+c là ước của bc-ad đồng thời tích của chúng bằng bc-ad
Chú ý: Ta có thể giải bằng cách rút y theo x như sau:
-bx - d
bc - ad
y=
Û ay = -b +
. Từ đó suy ra ax+c là phải là ước của bc-ad
ax + c
ax + c
Dạng 2: ax 2 + by2 = c
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất chia hết của số chính phương
Dạng 3: ax 2 + by 2 + cx + d = 0 (hoặc ax 2 + by 2 + cy + d = 0 )
Phương pháp giải:

ax 2 + by 2 + cx + d = 0 Û ( 2ax ) + 4bay 2 + 4cax + 4ad = 0 Û ( 2ax + c ) - 4aby2 = 4ad
2

2

Dạng 4: ax 2 + by2 + cxy + d = 0
Phương pháp giải:

4ax 2 + 4aby2 + 4acxy + 4ad = 0 Û (2ax + cy)2 + ( 4ab - c2 ) y2 = -4ad

Phân tích thành tích
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

20


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

Dạng 5: ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 (1)
Phương pháp giải:

ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 Û ax 2 + ( cy + d ) x + by 2 + ey + f = 0 (2)
Ta xem phương trình (2) là phương trình ẩn x. Để phương trình (1) có nghiệm nguyên

(

)

thì phương trình (2) có D ³ 0 Û ( cy + d ) - 4a by 2 + ey + f ³ 0 (hoặc D là số chính
2

phương: Đặt D = k 2 )

a
c m
Dạng 6:
+
=
bx dy n
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu số, biến đổi về dạng 1
Dạng 7: a x + b y = c
Phương pháp giải:
- Ta có: a x = c - b y Þ a 2 x = c + 2b cy + b 2 y . Do x, y nguyên nên
nguyên (Nếu c = k 2 .l ta viết
- Đặt

cy = cp (hoặc

cy là số

cy = k my ). Tức là cy (hoặc m.y )là số chính phương.

my = mp Þ y = mp 2 , tương tự ta suy ra: x = mq 2 ) hay

y = cp 2 Tương tự, ta cũng suy ra: x = cq 2
- Từ đó ta có phương trình: aq + bp = 1 hoặc aq + bp = k
- Tìm giá trị a, b. Từ đó tìm x,y

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

21


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC- BÀI TOÁN MIN,MAX
Kiến thức cần nhớ:
- Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức :
·
A2 n ³ 0"n Î ¥ với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0
· 2n A ³ 0 ; "A ³ 0; "n Î ¥ ; dấu bằng xảy ra khi A = 0
·
A + B ³ A + B Với A ³ 0; B ³ 0
Dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không
·
A - B £ A - B với A ³ B ³ o dấu bằng xảy ra khi B = 0
- Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối
· A ³ 0 Với A bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0
·

A + B ³ A + B dấu bằng xảy ra khi A và cùng dấu

· A - B £ A - B Dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu và A> B
- Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) :
+ Bất đẳng thức Côsi cho n số không âm: Cho các số: a 1 ,a 2 ,...,a n ³ 0
a + a 2 + ... + a n

n
a1a 2 ...a n £ 1
.Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = ... = a n
n
+ Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu dưới các dạng sau :
a +b
³ ab
2
2
( a + b ) ³ 4ab
a 2 + b2 ³

(a + b)

Với a và b là các số không âm
Với a và b là các số bất kỳ
2

Với a và b là các số bất kỳ

2

Dấu bằng xảy ra khi a = b
- Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) :
+ Cho hai bộ các số thực: a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn .

Khi đó : ( a1b1 + a2b2 + ... + an bn ) £ ( a12 + a22 + ... + an2 )( b12 + b22 + ... + bn2 ) .Dấu bằng xảy ra khi :
2

a1 a2

a
= = ... = n với ai , bi khác 0 và nếu ai = 0 thì bi tương ứng cũng bằng 0
b1 b2
bn

+ Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số :
2
( ax + by ) £ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) Dấu bằng xảy ra khi ay = bx
- Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức :
Với mọi n Î ¥
a ³ b Þ a 2 n +1 ³ b 2 n +1
2n
2n
Với mọi n Î ¥
a ³b³0Þ a ³b
2n
2n
Với mọi n Î ¥
a£b<0Þa ³b
n
m
0 < a < 1 Þa Với n > m
n
m
a >1 Þa >a
Với n > m
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

22


Nguyn c Thng
Mobi: 0969.119.789
Mt s bi toỏn v min,max:

Email:

Dng 1: P(x) = ax 2 + bx + c
Phng phỏp gii:
TH1: Nu a>0:

b ử -D
-D
b
ổ
khi x = P(x) = a ỗ x + ữ +
ị Pmin =
2a
2a ứ 4a
4a
ố
TH2: Nu a<0:
b ử -D
-D
b
ổ
khi x = P(x) = a ỗ x + ữ +

ị Pmax =
2a
2a ứ 4a
4a
ố
a 'x 2 + b 'x + c '
Dng 2: P =
ax 2 + bx + c
Phng phỏp gii:
Nhõn chộo, bin i v phng trỡnh bc 2: (a '- Pa)x 2 + (b'- Pb)x + c'- Pc = 0 (*)
TH1: Nu a '- Pa = 0 . T ú suy ra P v x.
TH2: Nu a '- Pa ạ 0 . Phng trỡnh (*) cú nghim D 0 . Gii bt phng trỡnh bc 2
n P.
+ Nu P m ị Pmin = m , thay tr li (*) ta suy ra c x.
+ Nu P Ê M ị Pm ax = M , thay tr li (*) ta suy ra c x.
Chỳ ý:
+ Ngoi phng phỏp min giỏ tr, trong trng hp: ax 2 + bx + c 0, "x ẻ Ă chỳng ta
cú th tỏch:

a 'x 2 + b'x + c'
(px + q) 2
Tỡm min: P =
=m+ 2
ax 2 + bx + c
ax + bx + c
a 'x 2 + b' x + c'
(a x + b ) 2
=M- 2
Tỡm max: P =
ax 2 + bx + c

ax + bx + c
a 'x 2 + b'x + c'
b' c'
1
+Nu P cú dng: P =
=
a
'
+
+
.
t
y
=
. Khi ú
x2
x x2
x
P = a '+ b' y + c'y 2 . Gii nh dng 1
a 'x 2 + b'x + c'
py2 + qy + r
+Nu P cú dng: P =
. t y = x - a . Khi ú P =
. t
2
y2
( x-a )
t=

1

ị P = p + qt + rt 2 . Gii nh dng 1
y
TT Gia s v Luyn thi Thnh t xúm Phng, Tõy M, T Liờm, H Ni
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

23


Nguyễn Đức Thắng

Mobi: 0969.119.789

Email:

a x +b
c x +d
Phương pháp giải:

Dạng 3: P =

- Nhân chéo, biểu thị

x ³0Þ

- Do

x theo P:

x=

b - Pd
.
Pc - a

b - Pd
³ 0 . Giải bất phương trình ta suy ra min,max
Pc - a

Chú ý:

b - Pd
³ a . Giải bất phương trình ta suy ra min,max
Pc - a
a
+ Nếu P có dạng: P =
(a>0). Khi đó:
b x +c

+ Nếu

x ³a Þ

(
Û (b

)
x + c)

Pmin Û b x + c

Pmax

max

min

a 'x + b' x + c'
ax + b x + c
Phương pháp giải:
Dạng 4: P =

a ' t 2 + b't + c'
Đặt x = t, t ³ 0 . Khi đó P trở thành: P =
;t³0
at 2 + bt + c
Nhân chéo, biến đổi về phương trình bậc 2: (a '- Pa)t 2 + (b'- Pb)t + c'- Pc = 0 (*)
ìD ³ 0
Phương trình (*) có nghiệm t ³ 0 Û í
. Từ đó suy ra min, max
S
³
0
î

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

24

Nguyễn Đức Thắng
Mobi: 0969.119.789
Email:
CHUYÊN ĐỀ 7: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình :
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng
đã biết.
c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số
để trả lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất
một ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến
thức thực tế....
Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab = 10a + b ( víi 0+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc = 100a + 10b + c ( víi 0+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:

1 1
+ .

x y

Dạng 2: Toán chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
S = v.t; v =

s
s
.
;t =
t
v

Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 tì vận tốc ca nô khi xuôi dòng
nước
là
v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v1 - v2
Dạng 3: Toán làm chung công việc
Những kiến thức cần nhớ:
TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội
Office: 0466758006
Mobi: 01234.18.98.58

25