Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Các bài Tập toán ôn thi vào lớp 10 thpt
1.BI TP RT GN BIU THC
gii quyt loi toỏn ny ta cn nm vng cỏc kin thc sau
- Cỏc phộp toỏn ca a thc v phõn thc i s.
- Cỏc hng ng thc ỏng nh.
- Cỏc pp a biu thc v dng tớch.
- iu kin biu thc cú ngha.
V cỏc yờu cu khỏc ca dng toỏn l
- Chng minh bt ng thc.
- Gii phng trỡnh hoc bt phng trỡnh .
- So sỏnh hai biu thc.
- Tỡm iu kin biu thc cú giỏ tr nguyờn.
- Tớnh giỏ tr ca biu thc.
- Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr nh nht ca biu thc.
Bi tp ỏp dng
Bài 1: Cho biểu thức : P =

1
a +2
5

+
.
a +3 a+ a 6 2 a

a)
b)

Rút gọn P.
Tìm giá trị của a để P < 1.

x x +3
x +2
x +2
:

+
+
Bài 2: Cho biểu thức: P = 1
x 2 3 x x 5 x + 6 .
x
+
1



a) Rút gọn P.
b)Tìm giá trị của a để P < 0.
x 1
1
8 x 3 x 2
: 1


+
Bài 3: Cho biểu thức: P =
3 x +1 .

9
x

1
3
x

1
3
x
+
1



a)
Rút gọn P.
6
b)
Tìm các giá trị của x để P = .
5


a 1
2 a
:


Bài 4: Cho biểu thức : P = 1 +
a 1 a a + a a 1 .

a
+
1



a)
Rút gọn P.
b)
Tìm giá trị của a để P < 1.
c)
Tìm giá trị của P nếu a = 19 8 3 .
1 + a3

a (1 a ) 2 1 a 3
:
+ a .
a .
Bài 5: Cho biểu thức; P =
1+ a

1+ a
1 a


a) Rút gọn P.
1
b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P- ).
2
x +1


2x + x
x +1
2x + x
.
+
1 : 1 +

Bài 6: Cho biểu thức: P =

2
x
+
1
2
x

1
2
x
+
1
2
x

1





1


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán
a)

Rút gọn P.

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

(

)

1
Tính giá trị của P khi x = . 3 + 2 2 .
2

2 x
1
x
: 1 +
.

Bài 7: Cho biểu thức: P =


x
+
1

x
x
+
x

x

1
x

1



a)
Rút gọn P.
b)
Tìm x để P 0.

2a + 1
1 + a3
a
.

.


a
Bài 8: Cho biểu P =


3


a
+
a
+
1
1
+
a
a


a) Rút gọn P.
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a .
b)

x+2
x +1
x +1
.
+

Bài 9: Cho biểu thức: P = 1 :

x x 1 x + x +1 x 1
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 3.
1 a a

1 + a a

+ a .
a .
Bài 10: Cho biểu thức : P =
1 a
1+ a

a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P < 7 4 3 .
2 x
x
3x + 3 2 x 2
:
+

1 .
Bài 11: Cho biểu thức: P =
x 3 x 9 x 3
x +3

a)
Rút gọn P.
1
b)
Tìm x để P < .
2
c)
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
x3 x

9 x
x 3
x 2
.
1 :


Bài 12: Cho biểu thức : P =

x

9
x
+
x

6
2

x
x
+
3



a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P < 1.
15 x 11 3 x 2 2 x + 3
+


Bài 13: Cho biểu thức : P =
.
x + 2 x 3 1 x
x +3
a) Rút gọn P.
1
b) Tìm các giá trị của x để P = .
2
2
c)
Chứng minh P .
3
2 x
x
m2
+

Bài 14: Cho biểu thức: P =
, với m > 0.
2
x +m
x m 4 x 4m
a) Rút gọn P.
b) Tính x theo m để P = 0.

2


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán


Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

c)

Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x >1.
a2 + a
2a + a

+1.
Bài 15: Cho biểu thức : P =
a a +1
a
a)
Rút gọn P.
b)
Biết a >1. Hãy so sánh P với |P|.
c)
Tìm a để P = 2.
d)
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
a +1
a +1

ab + a
ab + a
+
1 :

+ 1 .

Bài 16: Cho biểu thức P =
ab 1
ab 1
ab + 1
ab + 1

a) Rút gọn P.
3 1
b) Tính giá trị của P nếu a = 2 3 và b =
.
1+ 3
c)
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a + b = 4 .
Bi 17: Cho P =
a)
b)
c)

a a 1 a a +1
1 a + 1
a 1
.

+ a
+

a a
a+ a
a a 1
a + 1


Rút gọn P.
Với giá trị nào của a thì P =7.
Với giá trị nào của a thì P > 6.

a
1


Bài 18: Cho biểu thức: P =

2
2
a


a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của a để P < 0.
c)
Tìm các giá trị của a để P = -2.

(
P=

)

2

a 1
a +1


.

a +1

a

1



2

a b + 4 ab a b b a
Bài 19: Cho biểu thức:
.
.
a+ b
ab
a)
Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b)
Rút gọn P.
c)
Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3 .
x+2
x
1 x 1
:
+

+
Bài 20: Cho biểu thức : P =
.

2
x
x

1
x
+
x
+
1
1

x


a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng P > 0, x 1 .
2 x + x
1
x +2
: 1


Bài 21: Cho biểu thức : P =
x + x +1 .
x

x

1
x

1



a) Rút gọn P.
b) Tính P khi x = 5 + 2 3 .
3x


1

2
1
:
+ 2
Bài 22: Cho biểu thức P = 1 :
.
2+ x 4 x 42 x 42 x





3



Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

a)
b)

Rút gọn P.
Tìm giá trị của x để P = 20.
2
3
3
x y
x

y
x

y
+ xy
:
+
Bài 23: Cho biểu thức P =
.
x y

y

x

x
+
y


a) Rút gọn P.
b) Chứng minh P 0 .

1
3 ab
1
3 ab
a b
.
:
+

Bài 24: Cho biểu thức : P =
.


a + b a a + b b a b a a b b a + ab + b
a) Rút gọn P.
b) Tính P khi a =16 và b = 4.
2a + a 1 2a a a + a a a
.

Bài 25: Cho biểu thức: P = 1 +
2 a 1 .
1


a
1

a
a


a)
Rút gọn P.
6
b)
Cho P=
tìm giá trị của a.
1+ 6
2
c)
Chứng minh rằng P > .
3
x5 x

25 x
x +3
x 5
.
1 :

+
Bài 26: Cho biểu thức: P =
x +5

x 3
x 25
x + 2 x 15
a)
Rút gọn P.
b)
Với giá trị nào của x thì P <1.

( a 1). a b
3 a
3a
1
:

+
Bài 27: Cho biểu thức: P =
.
a b 2a + 2 ab + 2b
a + ab + b a a b b
a) Rút gọn P.
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
1 a +1
a + 2
1
.


:
Bài 28: Cho biểu thức: P =
a a 2

a 1
a 1
a) Rút gọn P.
1
b) Tìm giá trị của a để P > .
6
1
x3 + y x + x y + y 3
1
2
1 1

+
.
+
+
:

Bài 29: Cho biểu thức: P =
.
y x + y x y
x 3 y + xy 3
x
a) Rút gọn P.
b) Cho x.y=16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.

(

)


(

Bài 30: Cho biểu thức P =

a)
b)

x3
2x
1 x

.
.
xy 2 y x + x 2 xy 2 y 1 x

Rút gọn P.
Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y = 625 và P < 0,2.

4

)


¤n thi vµo líp 10 – m«n To¸n

NguyÔn V¨n X¸ – THPT Yªn Phong 2 – BN

x3 − x2y − xy2 + y3
Bài 31 : Cho biểu thức A = 3 2
.

x + x y − xy2 − y3
x− y
a) Rút gọn biểu thức A.( A =
).
x+ y
b) Tính giá trị của A khi cho x = 3;y = 2 ( A = 5− 2 6 ).
c) Với giá trị nào của x thì A = 1. (y = 0 , x ∈ R).
x+ 2
5
1
− 2
+
Bài 32 : Cho biểu thức : B =
.
x + 3 x + x − 6 2− x
x− 4
a) Rút gọn biểu thức B.( B =
).
x− 2
2
6+ 3
b) Tính giá trị của B biết x =
. (B=
).
2+ 3
3
c) Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên. ( x = 1, 4, 3, 0).
x(1− x2 )2 1− x3
1+ x3
Bài 33 : Cho biểu thức : C =

:[(
+
x)(
− x)] .
1+ x2
1− x
1+ x
x
a) Rút gọn biểu thức C. ( C =
).
1+ x2
b) Tính giá trị của C khi x = 3+ 2 2 . ( C = 1+ 2 ).
3+ 5
3− 5
).
;x2 =
2
2
2 + x 4x2 2 − x x2 − 3x
Bài 34 : Cho biểu thức : D = (
.
−
−
):
2 − x x2 − 4 2 + x 2x2 − x3
4x2
a) Rút gọn biểu thức D. ( D =
).
x− 3
b) Tính giá trị của D khi x − 5 = 2 (D = 49).

c) Tìm giá trị của x để cho 3.C = 1. ( x1 =

4x2 − 1+ (2x + 1)(x − 1)
Bài 35 : Cho biểu thức : E =
.
9x2 − 4
2x + 1
a) Rút gọn biểu thức E ( E =
).
3x + 2
−1
−2
b) Tìm x để E > 0. ( x >
hoặc x <
).
2
3
x2 − 9− (4x − 2)(x − 3)
Bài 36 : Cho biểu thức : F =
.
x2 − 6x + 9
5− 3x
a) Rút gọn biểu thức F.( F =
).
x− 3
b) Tìm các giá trị x nguyên cho F là một số nguyên. (x = 4; 2; 5; 1; 7; -1).
1
1
x3 − x
Bài 37 : Cho biểu thức : G =

.
+
+
x − 1− x
x − 1+ x
x −1
a) Rút gọn biểu thức G. ( G = x − 2 x − 1 ).

5


¤n thi vµo líp 10 – m«n To¸n

NguyÔn V¨n X¸ – THPT Yªn Phong 2 – BN
53

b) Tính giá trị của biểu thức G khi x =

9− 2 7

.= 9+ 2 7 ( G = 7).

c) Tìm giá trị của x để H = 16.
Bài 38 : Cho biểu thức : K =

a

b

+


−

a+ b

.
ab + b
ab − a
ab
a+ b
a) Rút gọn biểu thức K. ( K =
).
b− a
b) Tính giá trị của K khi a = 4 + 2 3;b = 4 − 2 3 .
a a+ 1
c) Chứng minh rằng nếu =
thì K có giá trị không đổi.
b b+ 5
x −1
1
8 x
3 x−2
−
+
):(1−
).
Bài 39 : Cho biểu thức : L = (
3 x − 1 3 x + 1 9x − 1
3 x +1
x+ x

a) Rút gọn biểu thức L.( L =
).
3 x −1
15 5 + 31
b) Tính giá trị của L khi x = 6 + 2 5 .( L =
).
41
6
9
c) Tìm x khi L = . ( x = 4;x =
).
5
25
x+ 2
x +1
x +1
+
−
).
Bài 40 : Cho biểu thức : M = 1:(
x x −1 x + x + 1 x −1

a) Rút gọn biểu thức M.( M =

x+ x +1

).
x
b) Chứng minh M > 3 với mọi giá trị của x > 0 và x ≠ 1.
3 x−2 2 x+3

−
.
x + 2 x − 3 1− x
x+3
2− 5 x
a) Rút gọn biểu thức N. ( N =
).
x+3
1
b) Tìm giá trị của x khi N = 1/2. ( x =
).
121
Bài 41 : Cho biểu thức : N =

15 x − 11

+

c) Tìm giá trị lớn nhất của N và giá trị tương ứng của x.(MaxN =
Bài 42 : Cho biểu thức : P = (1−

x

x+3

x+2

+
).
1+ x

x − 2 3− x x − 5 x + 6
x−2
a) Rút gọn biểu thức P. ( P =
).
x +1
b) Tìm x để P < 0. ( 4 > x ≥ 0).
1
1
1
1
1
+
) :(
−
)+
Bài 43 : Cho biểu thức : Q = (
.
1− x 1+ x 1− x 1+ x x + 1
):(

+

2
).
3
x+2

6



¤n thi vµo líp 10 – m«n To¸n
a) Rút gọn biểu thức Q.(Q=

NguyÔn V¨n X¸ – THPT Yªn Phong 2 – BN

2x + 1
).
x(x + 1)

b) Tính giá trị của Q khi x = 1+ 2 (Q=

2
).
2

2
c) Tìm giá trị của x khi Q = 3/2.( x = − ).
3
1
2 x−2
1
2
−
):(
−
).
Bài 44 : Cho biểu thức A = (
x +1 x x − x + x −1
x −1 x −1
x −1

a) Rút gọn A.(A=
).
x +1
b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 45: Rút gọn biểu thức
 a −1
1
8 a   3 a −2
−
+
A = 
÷
÷
÷:  1 −
÷,
 3 a − 1 1 + 3 a 9a − 1   3 a + 1 
 2a + a − 1 2a a − a + a  a − a
−
B = 1+ 
÷
÷: 2 a − 1 .
1− a a
 1− a

Bài 46: Rút gọn biểu thức
 x − 5 a   25 − x
x +3
x −5
− 1÷
−

+
M = 
:

÷.
÷  x + 2 x − 15
x +5
x −3÷
 x − 25
 


 (a − 1).( a − b )
3 a
3a
1
−+
+
N = 
.
÷:
a a −b b
a− b÷
 a + ab + b
 2a + 2 ab + 2a
Bài 47: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) m 2 + 5m 2 + 3m – 9.
b) x 2 y + xy 2 + xz 2 + yz 2 + 2xyz.
1   x +1
x −1 

x x −1 x x +1 
+
Bài 48: Rút gọn biểu thức Q =
+  x−
÷.
÷ 
x   x −1
x +1 ÷
x− x
x+ x


1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
M= 2
.
x − 5 x + 6 x − 7 x + 12 x − 9 x + 20 x − 11 + 30
Bài 49: a) Tính:

A=

6 − 2 2 + 12 + 18 − 128 .
b) Phân tích thành nhân tử: B = 4x 3 + 8x 2 + x – 3.

 2a + 1

  1 + a3
a
+
−
a

÷,
Bài 50: Rút gọn biểu thức P =  3
:
÷
÷
÷
 a −1 a + a +1   1 + a

1   a +1
a 
 1
−
−
Q= 
÷.
÷: 
a   a −2
a −1 ÷
 a −1

Bài 51: Rút gọn (loại bỏ dấu căn và dấu giá trị tuyệt đối):
a 2 − 6a + 9 .
Bài 52: Rút gọn biểu thức


a)

( 5 + 1) 2 + ( 5 − 1) 2 .

7

b)

4m 2 − 4m + 1
.
4m − 2


¤n thi vµo líp 10 – m«n To¸n

NguyÔn V¨n X¸ – THPT Yªn Phong 2 – BN

Bài 53: Rút gọn biểu thức
2a 2 + 4
1
1
−
−
A=
,
3
1− a
1+ a 1− a
6 x − 1  x 2 − 36
 6x +1

+ 2
B=  2
; với x ≠ ± 6.
÷:
2
 x − 6 x x + 6 x  12 x + 12
1
1
−
+1 .
Bài 54: Rút gọn biểu thức A =
a −a
a +1
Bài 55: Rút gọn biểu thức
 1
1 
2
1 1  x3 + y x + x y + y 3
+
:
+ + :
A = 
÷
,
3
3
x
y
y÷
x

+
y
x
y
+
y
x
 x



x3
2x
1− x
−
:
B=
.
xy − 2 y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x
Bài 56: Rút gọn biểu thức
A=

(

)

x + y − 4 xy
x− y

;


x y+y x

B=

xy

;

3+ 2 3 2 2
+
− (3 + 3 − 2 3) ;
3
2 +1
 2 a 

2 1   1 
1
2 a

:
−
−
E =  x − + 2 ÷:  1 − 2 ÷ ;
F =  1 −
÷

÷
÷
÷.

x x   x 

 a +1   a +1 a a + a + a +1
 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
Bài 57: Rút gọn biểu thức
M = 
÷
÷:  x − 3 − 1÷
÷.
x
−
9
x
+
3
x
−
3

 

2 x −9
x − 3 2 x +1
−
−
Bài 58: Rút gọn biểu thức

P=
.
x−5 x +6
x − 2 3− x
C=

1
1
15
;
( 6 + 5) 2 −
120 −
2
4
2

D=

x+2−4 x −2 + x+2+4 x−2
.
2 ( x − 2)

Bài 59: Rút gọn biểu thức

P=

Bài 60: Rút gọn biểu thức

A = (2x 2 -5x y +3y):(x y - y).


Bài 61: Thực hiện phép tính:

A=

Bài 62: Rút gọn biểu thức



x  
1
2 x
:  −
−
M =  1 +
÷
÷
÷
÷.
 1+ x   x −1 x x + x − x −1 
 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
−
−
: 
−
M = 
÷
÷.
÷

x +1 x −1   x −1
x −1 ÷
 x −1

 2x +1
1  
x+4 
−
M=  3
÷:  1 −
÷.
x −1   x + x +1 
 x −1

Bài 63: Rút gọn biểu thức
Bài 64: Rút gọn biểu thức

M=

4+ 7 + 4− 7 − 2 ,

1
x +1
+
.
x + x x x+x x
2

8



¤n thi vµo líp 10 – m«n To¸n

NguyÔn V¨n X¸ – THPT Yªn Phong 2 – BN

)

(

x+4 x−4 + x−4 x−4 :

x 2 − 8 x + 16
.
x2

Bài 65: Rút gọn biểu thức

M=

Bài 66: Rút gọn biểu thức

 x+2
x +1
x +1 
+
−
M = 1: 
÷
÷.
 x x −1 x + x +1 x −1 


Bài 67: Rút gọn biểu thức

P=

Bài 68: Rút gọn biểu thức

 n m+ n

m
n
m+n

 :
−
m
+
−
P=

÷.

  m.n + n
n− m
m.n − m
m.n 



x+2−4 x−2 + x+ 2+4 x−2

; với x > 2.
2 ( x − 2)

(

)

với m > 0 ; n > 0 ; m ≠ n
x −1− 2 x − 2
.
x −1 − 2

Bài 69: Rút gọn biểu thức

A=

Bài 70: Rút gọn biểu thức

3a + 9a − 3
a −2
1
−
+
−1.
a+ a −2
a −1
a +2


x   1

2 x
:
M =  1 +
÷

÷
÷
÷.
 1+ x   x −1 x x + x − x −1 
2x 2 − 5 x y + 3 y
A=
.
x y−y
B=

Bài 71: Rút gọn biểu thức

 x 3 − 1  x 3 + 1  x ( 1 − x )
B= 
.
+ x ÷
− x ÷:
x2 − 2
 x −1
 x + 1

2 2

Bài 72: Rút gọn biểu thức


P=

(

1

21 x

+

1

) 2( 1− a )

Bài 74: Rút gọn biểu thức
Bài 75: Rút gọn biểu thức
Bài 76: Rút gọn biểu thức
Bài 77: Rút gọn biểu thức

a2 + 2
x2 − 2 .

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
.
x−5 x −6
x − 2 3− x
1

1
+
M=
.
x + 2 x −1
x − 2 x −1
a
1
a +1
+
−
M=
.
a −1
a +a
a

a   a −1
a +2
a +2 
:
−
−
M =  1 −
÷

÷.
÷
a +1 a − a − 2 ÷
 1+ a   a − 2


 x
x +3 x   x + 2 x 3 x −3
+
+ 1÷
M = 
÷:  x + 1 − x − 1 ÷
÷.
x −9
 x −3
 

a − 9  2a − 2
a −1
a −1 
: 
−
−
M=
÷.
a a −1  a a −1 a + a −1 a + a + 1 ÷


Q=
Bài 73: Rút gọn biểu thức

−

9



Ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Bi 78: Rỳt gn biu thc
Bi 79: Rỳt gn biu thc
Bi 80: Rỳt gn biu thc
Bi 81: Rỳt gn biu thc

Bi 83: Rỳt gn biu thc.

M=

Bi 86: Rỳt gn biu thc

2

3) + 12 x 2
2

( x + 2)

8x .
x

x+ y x+ y
x
y
:
+

M=

ữ.
xy xy y xy
xy + x ữ

x +1
x 1 8 x x x 3
1


:

M =
ữ

ữ.

x +1 x 1 ữ
x 1 ữ
x 1
x 1

2x +1
1 1 x + 4

M= 3
ữ:
ữ.
x

1

x

1

x + x +1
M=

Bi 85: Rỳt gn biu thc

(x

M=

Bi 82: Rỳt gn biu thc

Bi 84: Rỳt gn biu thc

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

2

+

1
x +1
+
.
x + x x x +x+ x

2


2

(

)

x+4 x4 + x+4 x4 :

x 2 8 x + 16
.
x2

15 x 11 3 x 2 2 x + 3
+

.
x + 2 x 3 1 x
x +3
1
1

M = x 3+
ữ: x 1
ữ.
x 1
x 1

1
1

4a 2 4
+
P=
; M=
.
5 2
5+ 2
ac c + a 1
M=

2. Hàm số và đồ thị
Bài 87: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng (d1 ) y = 2 x 5;(d 2 ) y = x + 2;(d 3 ) y = a.x 12 đồng
quy tại một điểm.
Bài 88: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y =1 luôn đi qua một điểm cố định.
1 2
Bài 89: Cho (P) y = x và đờng thẳng (d) y = a.x+b. Xác định a và b để đờng
2
thẳng (d) đi qua điểm
A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 90: Cho hàm số y = x 1 + x + 2 .
a) Vẽ đồ thị hàn số trên.
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x 1 + x + 2 = m .
Bài 91: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x+m.
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d).
x2
Bài 92: Cho (P) y =
và (d) y = x+m.
4

a) Vẽ (P).
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P)
tại điẻm có tung độ bằng 4.

10


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm
của (d') và (P).
Bài 93: Cho hàm số : y = (m-2)x+n (d) .Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của
hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4).
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 2+ 2 .
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3 = 0.
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y =1.
Bài 94: Cho hàm số y = x 2 (P) và hàm số y = x+m (d).
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P).
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao
cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2 .
Bài 95: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1).
a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số y = a.x 2 (P) đi qua A.
c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 ).

d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trục tung .
Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC.
1 2
Bài 96: Cho (P) y = x và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ
4
lầm lợt là -2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d).
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x [ 2;4] sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x [ 2;4] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4;
y B ) tính y A; ; y B )
x2
và điểm M (1;-2).
4
Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m.
CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi .
Gọi x A ; xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị
nhỏ nhất và tính giá trị đó.
Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ
giác AA'B'B.
*Tính S theo m.
*Xác định m để S = 4(8 + m 2 m 2 + m + 2 ) .

Bài 97: Cho (P) y =
a)
b)
c)
d)


Bài 98: Cho hàm số y = x 2 (P).
a) Vẽ (P).
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình
đờng thẳng AB.

11


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).
1 2
Bài 99: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y = x
và đờng thẳng (d)
4
y = mx 2m 1 .
a) Vẽ (P).
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm .
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
1 2
Bài 100: Cho (P) y = x
và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số
4
góc m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B, m R .
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất.
3
x2

Bài 101: Cho (P) y =
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ;1 ) có hệ số góc là m.
2
4
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d) .
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) .
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
x
x2
Bài 102: Cho (P) y =
và đờng thẳng (d) y = + 2 .
2
4
a) Vẽ (P) và (d).
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song
song với (d).
Bài 103: Cho (P) y = x 2 .
a) Vẽ (P).
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình
đờng thẳng AB.
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).
Bài 104: Cho (P) y = 2x 2 .
a) Vẽ (P).
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x =1 và điểm B có hoành độ x = 2. Xác định
các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y = mx+n tiếp xúc với (P) và song song
với AB.
Bài 105: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
(d1 ) x + y = m;(d 2 )mx + y = 1 cắt nhau tại một điểm trên (P) y = 2x 2 .
Bài 105: Cho hàm số : y = 2x 2 (P).

a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ.
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y = mx 1 theo m.
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P).
Bài 106 : Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2 x + m .
1.Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm.
b)Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x = -1. Tìm
toạ độ A và B.

12


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

2.Trong trờng hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. Tìm
toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I c a MN khi m
thay đổi.
Bài 107: Cho đờng thẳng (d) 2(m 1) x + (m 2) y = 2 .
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y = x 2 tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m.
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max.
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi .
Bài 108: Cho (P) y = x 2 .
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông
góc với nhau và tiếp xúc với (P).
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2 .
3

Bài 109: Cho đờng thẳng (d) y = x 3 .
4
a) Vẽ (d).
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ.
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d).
Bài 110: Cho hàm số y = x 1 (d).
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d).
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình x 1 = m .
Bài 111: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d) y = (m 1) x + 2 ; (d') y = 3 x 1 .
a) Song song với nhau;
b) Cắt nhau;
c) Vuông góc với
nhau.
3. Giải toán bằng cách lập phơng trình
1. chuyển động
Bài 112: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều
nhau. Sau 1h40 thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca
nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 113: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 km. Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A
với vận tốc 10 Km/h. Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h.
Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Bài 114: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h. Sau đó một thời gian,
một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay
đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B. Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB,
ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km. Tính
quãng đờng AB.
Bài 115: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h. Khi đến
B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h. Tính
quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 116: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó

ngợc từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng
cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca
nô là không đổi .
Bài 117: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và
một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ,

13


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đ ờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi .
Bài 118: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A
mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài
30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 119: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ
B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách
giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h .
Bài 120: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng
và một đoạn đờng dốc. Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng
ứng là 40 km/h và 20 km/h. Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là
110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài
quãng đờng ngời đó đã đi.
Bài 121: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 30
3
km/h, xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc
quãng đờng AB, xe con tăng vận
4

tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B
sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 122: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định.
Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn
hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời
gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 123: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40
Km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng
AB, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại. Do đó ô tô đến
tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 124: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với
vận tốc 20 Km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40
phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô
đến B cùng một lúc .
Bài 125: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một
ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết
rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 126: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km.
Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km.
Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
Bài 127: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km, cả đi và về mất 8 giờ 20
phút. Tính vận tốc của tầu khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 128: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc
ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A
20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 129: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài
120 Km trong một thời gian đã định. Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên
để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại.
Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .


14


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Bài 130: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy
định. Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B
đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài131: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B
30 Km, ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang
đi, nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc
của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
2. Năng suất
Bài 132: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu
mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít
hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao
lâu?
Bài 133: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhng
do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã
hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy. Tính
số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 134: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá,
nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1
tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định.
Bài 135: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc
bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc
đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 136: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ

2
thì hoàn thành đợc
mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong
3
mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu?
Bài 137: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã
định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác,
tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau
bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 138: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ
nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc. Hỏi mỗi ngời
làm công việc đó trong mấy giờ thì xong.
3. Thể tích
Bài 139: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5
giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4
giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 140: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ
48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ
30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 141: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy
1
định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m3. Sau khi bơm đợc
thể tích bể chứa, máy
3
bơm hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đợc 15 m3. Do vậy so với quy định,
bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.

15



Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Bài 142: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30
phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy
1
tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc
bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
5
Bài 143: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút
sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ.
Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
4. Các bài tập về phơng trình bậc hai
Bi 144: Gii cỏc phng trỡnh, bt phng trỡnh:
1) x 2 + 6x - 91 = 0.
2) x 2 4 x + 4 + x = 8.
3) | 2x 1| = | 2x -3 |.
1
4) (x 2 +x - 1).(x +1)x = 56.
5) x 4 = 4 x .
6) x + = -2 .
x
7) x 5 = x 7 .
8) x 1 + 4 x 5 11 + x + 8 x 5 = 4 .
*9) Gii bt phng trỡnh

x+ x +

x x >


5

(

)

2

3
2

x
.
x+ x

Bài 145: Cho phơng trình : m 2 x 2 1 = 2 x + m 2 .
a) Giải phơng trình khi m = 2 + 1 .
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 2 .
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất.
Bài 146: Cho phơng trình: ( m 4 ) x 2 2mx + m 2 = 0 (x là ẩn ).
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2 . Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt.
c) Tính x12 + x22 theo m.
Bài 147: Cho phơng trình: x 2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (x là ẩn ).
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Chứng minh biểu thức M= x1 (1 x2 ) + x2 (1 x1 ) không phụ thuộc vào m.
Bài 148: Tìm m để phơng trình:
a) x 2 x + 2( m 1) = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt.

b) 4 x 2 + 2 x + m 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
c) m 2 + 1 x 2 2( m + 1) x + 2m 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài 149: Cho phơng trình: x 2 ( a 1) x a 2 + a 2 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mọi a.
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm giá trị của a để x12 + x22 đạt giá
trị nhỏ nhất.
1 1 1
Bài 150: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: + = .
b c 2
x 2 + bx + c = 0
CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm 2
.
x + cx + b = 0
Bài 151:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số
chung:

(

)

16


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

2 x 2 ( 3m + 2 ) x + 12 = 0(1)

.

4 x 2 ( 9m 2 ) x + 36 = 0(2)
Bài 152: Cho phơng trình: 2 x 2 2mx + m 2 2 = 0 .
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình.
Bài 153: Cho phơng trình bậc hai tham số m: x 2 + 4 x + m + 1 = 0 .
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện
x12 + x22 = 10 .
Bài 154: Cho phơng trình x 2 2( m 1) x + 2m 5 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu
gì ?
x 2 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số).
Bài 155: Cho phơng trình
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình.
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ
thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m.
c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 156: Cho phơng trình ( m 1) x 2 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số.
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1 .
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy
tính tổng hai nghiêm của phơng trình .
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
x1 x2 5
+ + = 0.
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:
x2 x1 2
Bài 157: Cho phơng trình: x 2 mx + m 1 = 0 (m là tham số).
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu
có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng.

b) Đặt A = x12 + x22 6 x1 x2 .
Chứng minh A = m 2 8m + 8 .
Tìm m để A = 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng.
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
Bài 158: Cho phơng trình x 2 2mx + 2m 1 = 0 .
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2( x12 + x22 ) 5 x1 x2 .
CMR A = 8m 2 18m + 9 .
Tìm m sao cho A = 27.
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 159: Giả sử phơng trình a.x 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Đặt
S n = x1n + x2n (n nguyên dơng).

17


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

a) CMR a.S n + 2 + bS n +1 + cS n = 0 .
5

5

1+ 5 1 5
+

b) áp dụng Tính giá trị của : A=

2 .
2



Bài 160: Cho f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1.
a) CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x)
= 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2.
Bài 161: Cho phơng trình : x 2 2( m + 1) x + m 2 4m + 5 = 0 .
a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng.
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng
nhau và trái dấu nhau.
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x12 + x22 theo m.
Bài 162: Cho phơng trình x 2 4 x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phơng
trình , hãy tính giá trị của biểu thức : M =

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
.
5 x1 x23 + 5 x13 x2

Bài 163: Cho phơng trình bậc hai x x 2( m + 2 ) x + m + 1 = 0 .
1
a) Giải phơng trình khi m = .
2
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để :
x1 (1 2 x2 ) + x2 (1 2 x1 ) = m 2 .
Bài 164: Cho phơng trình x 2 + mx + n 3 = 0

(1)
(n , m là tham số).
Cho n = 0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ :
x1 x2 = 1
.
2
2
x1 x2 = 7
Bài 165: Cho phơng trình: x 2 2( k 2) x 2k 5 = 0 ( k là tham số).
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của k sao cho x12 + x22 = 18 .
Bài 166: Cho phơng trình ( 2m 1) x 2 4mx + 4 = 0
(1).
a) Giải phơng trình (1) khi m =1.
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì.
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m.
Bài 167:Cho phơng trình : x 2 ( 2m 3) x + m 2 3m = 0 .
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6 .
5. Hệ phơng trình

18


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Bài 168: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) thoả

( m + 1) x y = m + 1
mãn điều kiện tổng x + y nhỏ nhất:

x + ( m 1) y = 2
.
Bài 169: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
x y = 2
x +1 = y
y +1 = x 1

a)
;
b) x y
;
c)
.
2 y 5 = x
y = 3x 12
4 + 4 = 1
2 x + by = 4
Bài 170: Cho hệ phơng trình :
.
bx ay = 5
a) Giải hệ phơng trình khi a = b .
b) Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2);
* ( 2 1; 2 );
* Để hệ có vô số nghiệm.
mx y = 2m
Bài 171: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:
.

4 x my = 6 + m
x + ay = 1
Bài 172: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :
.
axã+ y = 2
a) Có một nghiệm duy nhất .
b) Vô nghiệm.
(a + 1) x y = 3
Bài 173: Cho hệ phơng trình :
.
a.x + y = a

a) Giải hệ phơng rình khi a = - 2 .
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn điều kiện x +
y > 0.
x 2 + xy + y 2 = 19
2 x 2 xy + 3 y 2 = 13
Bài 174: Giải hệ phơng trình sau: a)
; b) 2
.
2
x xy + y = 1
x 4 xy 2 y = 6

x 1 + y 2 = 1
Bài 175*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:
2
( x y ) + m( x y 1) x + y = 0
.
a 3 + 2b 2 4b + 3 = 0

Bài 176*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình : 2
. Tính a 2 + b 2 .
2 2
a
+
a
b

2
b
=
0

6. Hình học
Bài 177: Cho hai đờng tròn tâm O và O có R > R tiếp xúc ngoài tại C. Kẻ các đờng
kính COA và COB. Qua trung điểm M của AB , dựng DE AB.
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O tại F. CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng.
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O tại G. CMR EC đi qua G.

19


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O, vị trí của AE với đờng tròn ngoại
tiếp tứ giác MCFE.
Bài 178: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R. Dựng Cx, Dy vuông góc với CD. Từ

điểm E bất kì trên nửa đờng tròn, dựng tiếp tuyến với đờng tròn, cắt Cx tại P, cắt Dy
tại Q.
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED .
R
POQ 25
=
b) Tính tích CP.DQ theo R.
c) Khi PC= . CMR
.
2
CED 16
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông
CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD.
Bài 179: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB, COD vuông góc với
nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx
với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey.
a) Chứng minh I, F, E, O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 180: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn. Qua A dựng tiếp
tuyến Ax. Trên Ax lấy một điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB.
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc.
b) Gọi E là trung điểm của QO, tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK Ax, BK cắt QO tại H. CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích
của điểm H.
Bài 181: Cho (O, R) và (O , R ) (với R > R ) tiếp xúc trong tại A. Đờng nối tâm cắt đờng
tròn O và đờng tròn O tại B và C. Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc
với BC. Nối A với M cắt đờng tròn O tại E .
a) So sánh AMO với NMC
(- đọc là góc).

b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng và OP = R ; OP = R .
c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O .
Bài 182: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính
OB. Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D.
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC AD ; OD AC.
c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B.
Bài 183: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Các đờng cao AD, BK
cắt nhau tại H, BK kéo dài cắt đờng trong tại F. Vẽ đờng kính BOE.
d) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
e) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng.
BH
f) CMR OI =
và H, F đối xứng nhau qua AC.
2
Bài 184: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm
cố định A và B. Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta
kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ (P, Q là các tiếp điểm ).
a) Tính các góc của MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45 0 .
b) Gọi I là trung điểm AB. CMR 5 điểm M, P, Q, O, I cùng nằm trên một đờng tròn.
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d.

20


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Bài 185: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác trong của góc A cắt cạnh

BC tại E và cắt đờng tròn tại M.
a) CMR OM BC.
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A. CMR Ax đi qua một điểm cố định.
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB .
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác).
Bài 186: Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong ABC và tiếp
xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH,
MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao
điểm của MC, IH.
a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc.
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK.
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc. Suy ra PQ // BC.
Bài 187: Cho ABC (AC > AB ; BA C > 900). I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB,
AC. Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng
tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) CMR ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc.
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy.
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF. Hãy so sánh
độ dài các đoạn thẳng DH, DE .
Bài 188: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R 2 , một đờng thẳng (d) quay
quanh A cắt (O) tại M, N; gọi I là trung điểm của đoạn MN.
a) CMR OI MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới
hạn B, C thuộc (O).
b) Tính theo R độ dài AB, AC. Suy ra A, O, B, C là bốn đỉnh của hình vuông.
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB, AC và cung nhỏ BC
của (O).
Bài189: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của cung AB. Trên
cung AC lấy điểm F bất kì. Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
a) AFC và BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?

b) CMR FEC vuông cân.
c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn.
CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc.
Bài190: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB, CD vuông góc với nhau. E là một
điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E B; E D ). EC cắt AB ở M, EA cắt CD ở N.
a) CMR AMC đồng dạng ANC. b) CMR: AM.CN = 2R2. c) Giả sử AM=3MB. Tính tỉ
số

CN
.
ND

Bài 191: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB. Gọi H, I lần lợt là
hai điểm chính giữa các cungAM, MB; gọi Q là trung điểm của dây MB, K là giao
điểm của AM, HI.
a)Tính độ lớn góc HKM.
b)Vẽ IP AM tại P, CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O).
c) Dựng hình bình hành APQR. Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng
tròn (O) đờng kính AB.

21


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Bài 192: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều. Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox,
Oy cắt cạnh AB, AC lần lợt tại M, N.
a) CMR OBM đồng dạng NCO, từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN.

b) CMR: MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC.
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định, khi góc xOy quay
xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC.
Bài193: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R (
M A, B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng tròn đó. Đờng Mz cắt Ax, By
lần lợt tại N và P. Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D. Chứng
minh:
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP.
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC.
c) AD.BC = 4R2 .
d) Xác định vị trí M để tứ giác ABCD có diện tích nhỏ nhất.
Bài 194: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa
cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N.
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn.
b) IC và AD cắt nhau tại E; ID và BC cắt nhau tại F. CMR EF // AB.
Bài 195: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B ( B C ) và
vẽ đờng tròn tâm (O) đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây
cung DE vuông góc với AB, DC cắt đờng tròn (O) tại I.
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng.
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O) và MI2 = MB.MC. (Lớp10- bộ đề toán)
Bài 196: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên
một nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M
và tiếp xúc với đờng kính AB tại N. Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm thứ
hai C, D.
a) Chứng minh : CD // AB.
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một
điểm K cố định.
c) CMR : KM.KN không đổi.
Bài 197: Cho một đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho

C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các
điểm chính giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N ; giao điểm của MN với AC, AD lần lợt
là H, I ; giao điểm của MD với CN là K.
a) CMR: NKD; MAK cân. b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH // AD.
b) So sánh góc CAK với góc DAK.
Bài 198: Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d)
vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia
CM cắt đờng thẳng d tại D; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; tia DB cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc.
b) CMR: Tích CM.CD không phụ thuộc vị
trí của M.
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi
M di động.

22


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Bài 199: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Một điểm M nằm trên cung AB;
gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp
tuyến tại A của đờng tròn (O) tại điểm K. Các tia AH; BM cắt nhau tại S.
a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố
định.
b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA).
c) Đờng tròn đi qua B, I, S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N. CMR đờng thẳng

MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.
d) Xác định vị trí của M sao cho MK A = 900 .
Bài 200: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của
cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây
AD và PC kéo dài cắt nhau tại I; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR:
a) Góc CID bằng góc CKD. b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc.
c) IK // AB.
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A.
Bài 201: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, kẻ tiếp tuyến
chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O 1), (O2) lần lợt tại các điểm B, C và cắt Ax
tại điểm M. Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E.
a) CMR: M là trung điểm của BC.
b) CMR: O1MO2 vuông.
c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng ; C, A, D thẳng hàng.
c)
Gọi I là trung điểm của DE CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO 1O2 tiếp
xúc với đờng thẳng d.
Bài 202: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R 2 cố định và một điểm M di động
trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác
MAB; gọi P, Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH, BH với đờng tròn
(O); S là giao điểm của các đờng thẳng PB, QA.
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O).
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại
sao ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi .
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH, PQ . Chứng minh I chạy trên một đờng tròn cố định.
Bài 203: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P
sao cho AP > R. Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ).
a) CMR : BM // OP.
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N. Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại

sao ?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP; I là giao điểm của ON với PM; J là giao điểm
của PN với OM. CMR: K, I, J thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O).
Bài 204: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau. Trong đoạn
thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O), đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm
thứ hai N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở
điểm P.
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc.
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR:
CM.CN không đổi.
d) CMR: khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định.

23


Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nguyễn Văn Xá THPT Yên Phong 2 BN

Bài 205: Cho hai đờng tròn (O), (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đờng thẳng
AO, AO cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đờng tròn (O) lần lợt
tại các điểm thứ hai E , F.
a) CMR: B, F, C thẳng hàng, tứ giác CDEF nội tiếp đợc.
b) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
c) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O), (O).
Bài 206: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn (M khác A và B). Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng
trung trực của đoạn AB tại I. Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D
( D nằm trong góc BOM ).

a) CMR các tia OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM, BOM.
b) CMR: CA và DB vuông góc với AB.
c) CMR: AMB đồng dạng COD .
d) CMR: AC.BD = R2.
Bài 207: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn.
Gọi các điểm chính giữa của các cung AM, MB lần lợt là H, I . Các dây AM và HI cắt
nhau tại K.
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi.
b) Hạ . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R).
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB. Vẽ hình bình hành APQS. Chứng minh S
thuộc đờng tròn (O;R).
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng
tròn cố định.
Bài 208: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn
sao cho cung AC < 900 và CO D = 900 . Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C
là điểm chính chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt tại E và F.
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR: D là điểm chính giữa của
cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lợt
tại I, K. CMR các tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M,
O, B, K, S cùng thuộc một đờng tròn.
Bài 209: Cho ABC (AB = AC), một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp
xúc với AB, AC tại B, C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC. Trên
cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng
ứng BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc.
b) CMR : MI2 = MH . MK.
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc. Suy ra PQ MI.

d) CMR nếu KI = KB thì IH
= IC.

24