Phương trình vi phân và các mô hình ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (152.32 KB, 3 trang )
Triệu Thu Hà
MassP 2018
Bài giảng mô hình lây lan dịch bệnh
Ngày 1. Giới thiệu về phép lấy giới hạn, đạo hàm.
Ngày 2. Phương trình vi phân và một số mô hình đơn giản.
1. Phương trình vi phân
(a) Phương trình vi phân cấp 1
• Dạng tổng quát F (x, y, y ) = 0.
• Một số dạng phương trình vi phân cấp 1
– Phương trình tách biến X(x)dx + Y (y)dy = 0.
– Phương trình thuần nhất M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, trong đó M (x, y) và
N (x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc. Đưa phương trình thuần nhất về
phương trình tách biến bằng cách đặt y = xz, trong đó z = z(x) là hàm số
mới phải tìm.
y
y
M (x, y) = xk M (1, ) vàN (x, y) = xk (1, ).
x
x
Phương trình trở thành
xk M (1, z)dx + xk N (1, z)(xdz + zdx) = 0.
dx
N (1, z)
+
dz = 0.
x
M (1, z) + zN (1, z)
– Phương trình tuyến tính cấp một y + p(x)y = q(x).
Để tìm nghiệm tổng quát, ta giải phương trình tuyến tính thuần nhất
y + p(x)y = 0
được nghiệm y = Ce− p(x)dx sau đó dùng biến thiên hằng số Lagrange
y = C(x)e− p(x)dx z và thay vào phương trình.
(b) Phương trình vi phân cấp cao
• Dạng tổng quát F (x, y, . . . , y (n) ) = 0.
• Một số dạng phương trình vi phân cấp cao giải được
– Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0.
Xét phương trình đặc trưng
λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0.
Các trường hợp có thể xảy ra
∗ Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực phân biệt.
Bài giảng MassP 2018 - Mô hình lây lan dịch bệnh
∗ Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực nhưng trong chúng có nghiệm
phức.
∗ Phương trình đặc trưng có nghiệm bội
– Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = f (x).
Các trường hợp có thể xảy ra
∗ Hàm f có dạng là một đa thức cấp m nhân với hàm mũ
f (x) = (b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm )eαx .
Trường hợp 1: α không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Khi đó
y∗ = Qm (x)eαx .
Trường hợp 2: α là nghiệm bội k. Khi đó
y∗ = xk Qm (x)eαx .
∗ Hàm f có dạng
f (x) = eαx [Pm1 (x) cos βx + Pm2 (x) sin βx].
Trường hợp 1: α + iβ không là nghiệm của Phương trình đặc trưng. Khi
đó
(α+iβ)x
(α−iβ)x
y∗ = Q(1)
+ Q(2)
.
m (x)e
m (x)e
Trường hợp 2: α − iβ là nghiệm bội k. Khi đó
(α+iβ)x
(α−iβ)x
y∗ = xk [Q(1)
+ Q(2)
].
m (x)e
m (x)e
2. Một số bài tập luyện tập
Bài 1. Cho phương trình
y + a(x)y = f (x),
trong đó, a(x) ≥ α > 0 và f (x) → 0 khi x → +∞. Chứng minh rằng mỗi nghiệm của
phương trình trên đều dần tới 0 khi x → +∞.
Bài 2. Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình
y =
1
1 + x2 + y 2
đều giới nội trên toàn trục số.
Bài 3. Tìm những đường cong mà góc giữa tiếp tuyến của đường đường cong với trụ Ox
bằng bình phương tung độ tại mọi điểm. Biết rằng đường cong đó đi qua điểm N (0, 1).
Bài 4. Biết rằng tốc độ phân rã của radium tỷ lệ thuận với khối lượng hiện tại của nó.
Hãy tìm quy luật phân rã của radium, nếu biết khối lượng ban đầu của nó và thời gian T
cần thiết để phân rã hết một nửa khối lượng radium ban đầu. Hỏi sau 100 năm sẽ phân
ra hết bao nhiêu phần trăm khối lượng radium ban đầu nếu biết T = 1600.
3. Một số mô hình đơn giản
2
Bài giảng MassP 2018 - Mô hình lây lan dịch bệnh
(a) Mô hình Malthus - Bài toán dân số
y(t) dân số tại thời điểm t, y(0) = y0 dân số tại thời điểm ban đầu. Dự đoán số
người trong tương lai biết tốc độ tăng trưởng dân số là α ∈ R.
Ta có
y(t + ∆t) − y(t)
.
α=
y(t)∆t
Cho ∆t → 0, ta có
α=
y
.
y
(b) Mô hình Logistic.
Xét quần thể cá trong hồ, y(t) là số cá trong hồ tại thời điểm t, y(0) = y0 là thời
điểm ban đầu. Dự đoán số cá trong hồ biết sức chứa môi trường là k (tức là y(t) > k
thì y > 0 và ngược lại). Phương trình
y = αy 1 −
y
.
k
(c) Mô hình dao động điều hòa (mô hình lò xo)
Đặt độ lệch của vật so với vị trí cân bằng là x(t), độ cứng của lò xo là k > 0. Khi
đó, ta có
mx = −kx
Từ đó, ta thu được mô hình của dao động lò xo x + w2 x = 0, trong đó w =
k
.
m
(d) Mô hình Lotka - Volterra (Mô hình thú săn mồi và con mồi)
Giả sử trong một hòn đảo biệt lập mà loài săn mồi sinh sống là sói và nguồn thức
ăn duy nhất của sói là thỏ. Cuộc sống tiếp diễn bình thường, người ta quan sát thấy
số lượng sói và thỏ có sự thay đổi theo thời gian. Đặt x(t) là số lượng quần thể thỏ
sinh sống trên đảo tại thời điểm t, và y(t) là số lượng sói sinh sống tại thời điểm t.
Khi đó, x và y là chỉ số phát triển về số lượng của thỏ và sói trong một khoảng
thời gian. Giả sử α là chỉ số tăng sinh tự nhiên (sinh) của loài thỏ, γ là chỉ số tăng
sinh tự nhiên (chết) của loài sói. Khi đó, ta có mô hình
dx = αx − βxy
dt
dy
= δxy − γy.
dt
3
