NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN PHƯƠNG

BÀI TẬP
XÁC SUẤT - THỐNG KÊ

Tp. Hồ Chí Minh - 2015


Mục lục
1

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1

2

BIẾN NGẪU NHIÊN

9

3

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

12

4

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

15

5

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

18

Bài tập tổng hợp phần thống kê

21

Đề thi tham khảo

25

Tài liệu tham khảo

27

1


Chương 1
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Định nghĩa xác suất
Bài 1.1. Kiểm tra ba sản phẩm. Gọi là biến cố sản phẩm thứ Ak là sản phẩm tốt. Hãy

biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố Ak :
a) Tất cả đều xấu.
b) Có ít nhất một sản phẩm tốt.
c) Có ít nhất một sản phẩm xấu.
d) Không phải tất cả các sản phẩm đều tốt.
e) Có đúng một sản phẩm xấu.
f) Có ít nhất hai sản phẩm tốt.
Bài 1.2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy 4 sản phẩm từ hộp để
kiểm tra. Gọi A = “có không quá 1 phế phẩm”; B = “có hơn 3 phế phẩm”. a) Mô tả A, B
; A và B có xung khắc với nhau không? Mô tả A + B; A B. b) Tính P(A), P(B),P(A).
Bài 1.3. Một khách hàng chọn mua một hộp gồm 12 sản phẩm. Ông ta chọn ngẫu nhiên
3 sản phẩm của hộp để kiểm tra, nếu không có phế phẩm thì mua hộp sản phẩm đó.
Tính xác suất người đó mua hộp sản phẩm. Biết rằng trong hộp có 4 phế phẩm.
Bài 1.4. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 18 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh
của lớp để lập một ban cán sự, tính xác suất: a) cả 3 đều là nữ. b) cả 3 đều là nữ trong
đó có 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó đoàn thể. c) Giả sử Hà là 1 học sinh
nữ của lớp. Tính xác suất câu a), câu b) nếu có Hà trong ban cán sự.
Bài 1.5. Một hộp có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ.Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ hộp. Tính xác
suất trong 2 bi lấy ra: a) có 1 bi đỏ; b) có bi đỏ; c) có không quá 1 bi đỏ; d) Xét bài toán
khi lấy lần lượt từng bi có hoàn lại và lấy không hoàn lại ra 2 bi.
Bài 1.6. Nhóm 5 sinh viên được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một bàn dài. a) Tính xác suất
nam nữ ngồi xen kẽ nhau biết có 2 sinh viên nam. b) Giả sử có Lan và Hà trong nhóm.
Tính xác suất Lan, Hà được ngồi cạnh nhau.

1


Bài 1.7. Một người có 5 chìa khóa nhưng chỉ có 2 chìa mở được khóa cửa. Người đó
thử từng chìa (thử xong nếu không mở được thì để riêng ra). Tính xác suất để lần thứ
hai người đó mở được khóa.

Bài 1.8. Số điện thoại ở thành phố A là một số gồm 7 chữ số, bắt đầu bằng số 8. Tính
xác suất chọn ngẫu nhiên một số điện thoại của thành phố được một số là: a) số chẵn;
b) có 6 chữ số còn lại khác nhau; c) có 6 chữ số còn lại khác nhau và là số chẵn; d) có 7
chữ số đều khác nhau; e) có 7 chữ số khác nhau và là số chẵn.
Bài 1.9. Có 3 khách hàng đi vào một ngân hàng có sáu quầy phục vụ. Tính xác suất để:
a) cả 3 khách cùng đến một quầy; b) mỗi người đến một quầy khác nhau; c) hai trong
ba người đến một quầy;d) chỉ một khách đến quầy số 1.
Bài 1.10. Một hộp có 3 bi xanh, 7 bi đỏ, 10 bi vàng; một hộp khác có 4 bi xanh, 8 bi đỏ,
6 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 bi. Tính xác suất để: a) hai bi lấy ra màu vàng; b)
hai bi lấy ra cùng màu; c) hai bi lấy ra có 1 bi vàng; d) hai bi lấy ra có bi vàng .
Bài 1.11. Ba công nhân A, B, C có cùng kĩ năng, cùng tay nghề thay nhau sản xuất một
loại sản phẩm. Trong số sản phẩm làm ra sau một tháng có 4 phế phẩm. Tìm xác suất:
a) 3 phế phẩm của A làm còn 1 phế phẩm của B làm; b) một trong 3 người làm ra 3 phế
phẩm.
Bài 1.12. Có 5 sinh viên đi ngẫu nhiên vào 3 phòng. Tính xác suất: a) Phòng thứ nhất
có đúng 2 sinh viên; b) Phòng nào cũng có sinh viên.
Bài 1.13. Tại tầng treat, có 3 người vào một thang máy của khách sạn có 4 lầu (kể từ
lầu 1) và ra các lầu một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất 3 người ra 3 lầu khác nhau.
Bài 1.14. Một cậu bé có các chữ cái N, N, A, H, H xếp thành chữ (không cần nghĩa).
Tìm xác suất cậu bé đó xếp được chữ NHANH.
Bài 1.15. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại từng sản phẩm cho đến khi lấy được sản phẩm tốt thì dừng. Tính xác suất
việc lấy dừng lại ngay sau lần thứ ba.
Bài 1.16. Một công ti có 30 người trong đó có 20 người biết tiếng Anh, 12 người biết
tiếng Pháp, 15 người biết vi tính, 10 người biết tiếng Anh và vi tính, 6 người biết cả
tiếng Anh và tiếng Pháp, 5 người biết tiếng Pháp và vi tính, 2 người biết cả 3 loại. Chọn
ngẫu nhiên một người của công ti đó. Tính xác suất để người được chọn: a) biết ít nhất
1 loại; b) chỉ biết 1 loại; c) biết 2 loại (kĩ năng trên); d) chỉ biết tiếng Anh.
Bài 1.17. Có n người cùng đến một cuộc họp. Tính xác suất để không có 2 người trong
số đó có cùng ngày sinh nhật trong một năm 365 ngày; n là bao nhiêu để xác suất này

nhỏ hơn 0,5.
Bài 1.18. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên một viên đạn trúng bia hình vuông cạnh a. Trong
bia có vẽ một hình tròn nội tiếp. Tính xác suất viên đạn trúng hình tròn.
Công thức cộng, công thức nhân, xác suất có điều kiện
Bài 1.19. Gieo một con xúc xắc đồng chất. Quan sát số chấm xuất hiện ở mặt trên cùng.
¯
Gọi A= “số chấm lớn hơn 3”, B= “số chấm là số chẵn”. Tính P(A|B).
2


Bài 1.20. Một xí nghiệp có 2 máy hoạt động độc lập.Xác suất trong một ngày làm việc
các máy này không hỏng tương ứng là 0,85; 0,92. Tính xác suất trong một ngày làm
việc:
a) xí nghiệp có máy không hỏng.
b) xí nghiệp có không quá 1 máy hỏng.
c) Giả sử trong một ngày làm việc xí nghiệp có máy không hỏng. Tính xác suất khi
đó máy 2 không hỏng.
Bài 1.21. Một lớp học có 60 học sinh trong đó có 30 em giỏi Toán, 25 em giỏi Văn, 15
em giỏi cả 2 môn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp:
a) Tính xác suất chọn được em giỏi ít nhất một môn.
b) Tính xác suất chọn được em giỏi đúng một môn.
c) Giả sử đã chọn được em giỏi Toán. Tính xác suất em đó chỉ giỏi Toán.
Bài 1.22. Một khách sạn có 2 hệ thống: báo cháy và báo khói; hai hệ thống này hoạt
động độc lập. Xác suất để hệ thống báo cháy và báo khói hỏng tương ứng là 0,07; 0,04.
Khách sạn phòng cháy an toàn khi có hệ thống không hỏng. Tính xác suất: a) Khách
sạn phòng cháy an toàn; b) Khách sạn phòng cháy không an toàn; c) Giả sử khách sạn
phòng cháy an toàn. Tính xác suất khi đó hệ thống báo cháy không hỏng.
Bài 1.23. Có 3 xạ thủ cùng bắn độc lập, mỗi người 1 viên đạn vào bia. Xác suất bắn
trúng bia của các xạ thủ này tương ứng là 0,9; 0,8; 0,7. Tính xác suất: a) Bia bị trúng
đạn; b) Bia bị trúng 2 viên. c) Giả sử bia bị trúng 2 viên. Tính xác suất khi đó người

thứ nhất bắn trúng bia. d) Giả sử bia bị trúng đạn. Tính xác suất khi đó chỉ có một xạ
thủ bắn trúng.
Bài 1.24. Một ngân hàng phát hành 3 loại thẻ tín dụng A, B, C. Tỉ lệ khách hàng của
ngân hàng sử dụng các loại thẻ tín dụng đó tương ứng là 25%, 40%, 30%. Trong đó có
10% dùng cả hai loại thẻ A và B; 12% dùng cả B và C; 7% dùng cả A và C và 5% dùng
cả 3 loại thẻ. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng của ngân hàng được người dùng thẻ
tín dụng của ngân hàng. Tính xác suất khách hàng đó dùng 2 loại thẻ trong đó có thẻ
A.
Bài 1.25. Tại một trạm xăng có sáu bơm xăng được đánh số từ 1 đến 6. Một khách
hàng vào trạm xăng và chọn ngẫu nhiên một bơm xăng. Gọi Ei = “khách chọn bơm
thứ i” và giả sử P(E1 ) = P(E6 ) = 0, 1; P(E2 ) = P(E5 ) = 0, 15; P(E3 ) = P(E4 ) = 0, 25. Đặt
A = E2 + E4 + E6 ; B = E1 + E2 + E3 ; C = E2 + E3 + E4 + E5 . Các biến cố A và B; A và C có
độc lập với nhau không?
Bài 1.26. Tung đồng thời 2 con xúc xắc. a) Hai biến cố A= “ tổng số chấm xuất hiện
trên 2 con xúc xắc là chẵn” và B= “ tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là lẻ” có
độc lập với nhau không. b) Biến cố con thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm và biến cố con
thứ 2 xuất hiện mặt 6 chấm có độc lập với nhau không.
Bài 1.27. Một chủ khách sạn gửi ngẫu nhiên 3 chiếc mũ bị bỏ quên cho 3 vị khách vì
ông ta không biết rõ mũ nào của ai. Tính xác suất : a) không ai nhận được mũ của
mình; b) có đúng i người (i = 1, 2, 3) nhận được mũ của mình.
3


Bài 1.28. Xác suất để một bình acquy đảm bảo cho một ôtô mới hoạt động trên 10000km
là 0,8; trên 20000km là 0,4; trên 30000km là 0,1. Nếu một bình acquy đã đảm bảo cho
một ôtô mới hoạt động trên 10000km thì xác suất để nó đảm bảo cho ôtô hoạt động tất
cả trên 20000km là bao nhiêu? Xác suất để nó đảm bảo cho ôtô hoạt động thêm trên
20000km nữa là bao nhiêu?
Bài 1.29. Số liệu thống kê về nhân viên của một công ti được cho:
Nam

Nữ

Độc thân
30
20

Có gia đình
25
15

a) Tính tỉ lệ nhân viên của công ti còn độc thân.
b) Giả sử chọn được nhân viên công ti là độc thân. Tính xác suất người đó là nữ.
c) Giả sử chọn được nhân viên công ti là nam. Tính xác suất người đó đã có gia
đình.
Bài 1.30. Có 2 hộp bi.Hộp 1 có 3 bi đỏ, 5 bi xanh và 6 bi vàng. Hộp 2 có 5 bi đỏ, 4 bi
xanh và 7 bi vàng.
1. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi:
a) Tính xác suất lấy được 2 bi không cùng màu đỏ.
b) Giả sử lấy được 2 bi không cùng màu đỏ. Tính xác suất 2 bi đó cùng màu
vàng.
2. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 2 bi. Tính xác suất trong các bi lấy ra có 2 bi đỏ.
Bài 1.31. Xác suất để một sinh viên thi đạt yêu cầu môn xác suất mỗi lần là 0,5. Nếu
lần đầu bị trượt thì được thi lại 1 lần. Xác suất sinh viên không bỏ thi lần đầu, thi đạt
yêu cầu môn xác suất là bao nhiêu.
Bài 1.32. Để trở thành nhân viên của công ti A một người phải trải qua 2 lần phỏng
vấn. Xác suất người đó đạt yêu cầu lần phỏng vấn thứ nhất là 0,7 và đạt yêu cầu lần
phỏng vấn thứ hai là 0,6. Nếu lần phỏng vấn thứ nhất đạt yêu cầu thì xác suất người
đó đạt yêu cầu ở lần phỏng vấn thứ hai là 0,85. Tính xác suất: a) trong 2 lần phỏng vấn
người đó có lần đạt yêu cầu; b) người đó đạt yêu cầu lần phỏng vấn thứ nhất nhưng
không đạt yêu cầu ở lần phỏng vấn thứ hai. c) Giả sử trong 2 lần phỏng vấn có lần

người đó đạt yêu cầu. Tính xác suất khi đó người đó chỉ đạt yêu cầu lần 1.
Bài 1.33. Trong đợt đấu giải tennis, A sẽ gặp B và sau đó A sẽ gặp C. Xác suất A thắng
B là 0,6 và xác suất A thắng C là 0,7. Nếu A đã thắng B thì xác suất A thắng C là 0,85.
Tính xác suất: a) A thắng cả B lẫn C; b) A chỉ thắng được 1 trong hai đội; c) A thắng ít
nhất một đội.
Bài 1.34. Trong 6 thùng hàng có 2 thùng không đạt chất lượng. Lấy lần lượt từng
thùng kiểm tra cho đến khi phát hiện ra 2 thùng không đạt chất lượng. Tính xác suất
việc kiểm tra dừng sau khi kiểm tra thùng thứ 3.

4


Bài 1.35. Xác suất bắn trúng tàu địch của một khẩu pháo tỉ lệ nghịch với khoảng cách
bắn. Xác suất khẩu pháo bắn viên đầu trúng tàu địch ở khoảng cách 4 km là 0,6. Nếu
bị trượt,khẩu pháo bắn viên thứ hai ở khoảng cách 5 km và nếu lại bị trượt nữa khẩu
pháo bắn viên thứ ba ở khoảng cách 8 km. Tính xác suất khẩu pháo bắn trúng tàu địch.
Bài 1.36. Một sinh viên muốn hoàn thành khoá học phải thi đậu 3 kì thi với nguyên
tắc cứ đậu được kì thi này thì mới được thi kì sau. Xác suất sinh viên đó đậu kì đầu là
0,9. Nếu đậu được kì thi đầu thì xác suất đậu được kì thi thứ hai là 0,8, tương tự nếu
đậu kì thi thứ hai thì xác suất đậu kì thi thứ ba là 0,7.
a) Tính xác suất để sinh viên đó đậu cả 3 kì thi.
b) Giả sử sinh viên đó không hoàn thành khóa học, tính xác suất người đó bị trượt
ở kì thi thứ hai .
Công thức Bernoulli
Bài 1.37. Xác suất tiêu thụ điện trong một ngày không quá mức quy định của một nhà
máy là 0,75. Tính xác suất trong 5 ngày liên tiếp nhà máy đó có 3 ngày tiêu thụ điện
không quá mức quy định.
Bài 1.38. Tỉ lệ phế phẩm của một máy là 10%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 7 sản phẩm
của máy. Tính xác suất trong 7 sản phẩm có: a) 3 phế phẩm; b) có phế phẩm.
Bài 1.39. Tín hiệu được phát 4 lần với xác suất thu được mỗi lần là 0,3.

a) Tính xác suất nơi thu nhận được tín hiệu đó.
b) Nếu muốn nơi thu nhận được tín hiệu đó với xác suất lớn hơn 0,8 thì cần phải
phát tín hiệu đó tối thiểu là bao nhiêu lần.
Bài 1.40. Có 10 hộp sản phẩm cùng loại,mỗi hộp có 6 sản phẩm loại A; 2 sản phẩm
loại B. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 sản phẩm. Tính xác suất trong các sản phẩm lấy ra
có: a) 3 sản phẩm loại B. b) có sản phẩm loại B.
Bài 1.41. Hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của máy 1 là 0,05;
của máy 2 là 0,03. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẫm của máy 1 và 5 sản phẩm của máy 2 để
kiểm tra. Tính xác suất trong các sản phẩm lấy ra: a) có phế phẩm; b) có 2 phế phẩm.
Bài 1.42. Có hai loại máy bay: loại 5 động cơ và loại 3 động cơ. Xác suất để mỗi động
cơ trên máy bay bị hỏng là 3%, sự hỏng của các động cơ là độc lập. Máy bay vẫn tiếp
tục bay khi có hơn nửa số động cơ hoạt động. Hỏi loại máy bay 5 động cơ thích hợp
hơn hay loại 3 động cơ thích hợp hơn.
Bài 1.43. Hai vận động viên ngang sức thi đấu với nhau. Hỏi thắng 2 trong 3 lần đấu
dễ hơn hay thắng 3 trong 4 lần đấu dễ hơn.
Bài 1.44. Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại 1 và một lô hàng có tỉ
lệ sản phẩm lại 1 là 60%. Lấy không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm và lấy có hoàn lại từ
lô hàng ra n sản phẩm. Số n tối thiểu là bao nhiêu để xác suất có ít nhất một sản phẩm
loại 1 (từ hộp và từ lô hàng) tối thiểu là 99%.

5


Bài 1.45. Cho một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán: Giả sử rằng trong
một phiên giao dịch xác suất giá cổ phiếu A tăng lên một đơn vị là p; giảm một đơn vị
là 1 - p, sự thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập. Tính xác suất giá cổ phiếu A:
a) sau hai phiên giao dịch sẽ bằng thời điểm ban đầu. b) sau ba phiên giao dịch tăng
một đơn vị. c) Biết rằng sau 6 phiên giao dịch giá cổ phiếu A tăng, tính xác suất có ít
nhất 1 phiên giảm giá trong 6 phiên giao dịch này.
Bài 1.46. Xác suất trong một phiên giao dịch giá cổ phiếu A tăng lên một đơn vị là 0,4;

giảm xuống một đơn vị là 0,5 và không thay đổi là 0,1. Sự biến động giá của các phiên
giao dịch là độc lập. Giá cổ phiếu A không giảm sau 2 phiên giao dịch đầu tiên. Tính
xác suất khi đó có ít nhất một phiên giảm giá.
Bài 1.47. Một xí nghiệp có hai phân xưởng 1 và 2. Phân xưởng 1 có 10 máy, phân xưởng
2 có 8 máy. Các máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ngày làm việc mỗi máy của
phân xưởng 1 và 2 hỏng tương tứng là 0,01; 0,02. Tính xác suất trong một ngày làm
việc: a) Xí nghiệp có máy hỏng; b) Xí nghiệp có 2 máy hỏng. c) Giả sử xí nghiệp có máy
hỏng, khi đó khả năng chỉ có 1 máy hỏng là bao nhiêu.
Bài 1.48. Ngân hàng H cần tuyển 1 nhân viên. Có 1 sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, 4
sinh viên tốt nghiệp loại khá, 5 sinh viên tốt nghiệp loại trung bình dự tuyển vào ngân
hàng H. Xác suất để một sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, khá, trung bình được tuyển vào
ngân hàng này tương ứng là 0,9; 0,7; 0,5. Tính xác suất để người được tuyển tốt nghiệp
loại khá.
Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes
Bài 1.49. Trong kho có 44% sản phẩm của công ti A còn lại là sản phẩm của công ti B.
Tỉ lệ phế phẩm của A, B tương ứng là 5%, 4%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho.
a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là chính phẩm (không là phế phẩm).
b) Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm, nhiều khả năng sản phẩm đó của công ti nào.
Bài 1.50. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ làm ra chính phẩm của máy
thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,85. Sản phẩm do hai máy làm ra sau ca sản xuất
được để vào kho và số sản phẩm của máy thứ nhất gấp 3 số sản phẩm của máy hai.
Lấy một sản phẩm trong kho để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra không là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy
thứ hai sản xuất ra.
Bài 1.51. Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều, tối, trong đó
50% sản phẩm được sản xuất ca sáng, 40% sản phẩm sản xuất ca chiều, 10% sản phẩm
sản xuất ca tối. Tỉ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là: 3%, 4%, 5%. Lấy một sản
phẩm để kiểm tra được phế phẩm, tính xác suất sản phẩm đó của: ca sáng; ca chiều;
ca tối.

Bài 1.52. Một học viên thi kết thúc khóa học tiếng Anh được đánh giá theo 4 mức: rất
tốt, tốt, trung bình, kém. Tỉ lệ học viên thi kết thúc khóa học tiếng Anh tại một trường
đạt mức rất tốt, tốt, trung bình tương ứng là 12%, 48%, 35%, còn lại là mức kém. Gọi
ngẫu nhiên một học viên của khóa học tiếng Anh này. Tính xác suất học viên này đạt
kết quả rất tốt hoặc tốt.
6


Bài 1.53. Một hộp có 7 bi đỏ, 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp bỏ ra ngoài, sau đó
lấy tiếp 1 bi trong các bi còn lại.
a) Tính xác suất bi lấy sau là bi vàng.
b) Giả sử bi lấy ra sau là bi đỏ.Tính xác suất bi lấy ra lần đầu là bi đỏ.
Bài 1.54. Có 2 hộp sản phẩm. Hộp một có 6 sản phẩm loại A, 2 sản phẩm loại B. Hộp
hai có 5 sản phẩm loại A, 3 sản phẩm loại B.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 sản phẩm bỏ vào một hộp thứ ba (không có sản
phẩm nào).Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất lấy
được sản phẩm loại A.
b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một 2 sản phẩm và từ hộp hai 1 sản phẩm bỏ vào một
hộp thứ ba (không có sản phẩm nào). Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 2
sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 sản phẩm khác loại.
Bài 1.55. Trong kho chứa 10 hộp sản phẩm của máy 1, mỗi hộp chứa 80% sản phẩm
loại A; 8 hộp sản phẩm của máy 2, mỗi hộp chứa 70% sản phẩm loại A.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ kho và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm.Tính
xác suất lấy được sản phẩm loại A.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ kho và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên lần lượt có
hoàn lại ra 3 sản phẩm. Tính xác suất trong 3 đó có sản phẩm loại A.
Bài 1.56. Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ, hộp 2 có 12 bi trong đó có 4
bi đỏ.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy tiếp 2 bi của hộp 1. Tính
xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi đỏ.

b) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy 1 bi của hộp 2. Giả sử bi
lấy ra này là bi đỏ, tính xác suất bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là bi đỏ.
Bài 1.57. Một hộp có 10 quả bóng bàn. Ngày thi đấu thứ nhất lấy 3 quả ra sử dụng sau
đó lại để vào hộp. Ngày thi đấu thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 quả từ hộp này ra sử dụng.
a) Tính xác suất trong 3 quả sử dụng ngày thứ hai có quả đã sử dụng trong ngày
thi đấu thứ nhất.
b) Giả sử trong 3 quả sử dụng ngày thứ hai có quả đã sử dụng trong ngày thi đấu
thứ nhất. Tính xác suất khi đó có 2 quả đã sử dụng ở ngày thứ nhất.
Bài 1.58. Trong một vùng dân cư tỉ lệ nữ là 55%, có một nạn dịch bệnh truyền nhiễm
với tỉ lệ mắc của nam là 6% và của nữ là 2%. Kiểm tra ngẫu nhiên một người của vùng
được người mắc dịch bệnh, tính tỉ lệ người mắc bệnh đó là nam.
Bài 1.59. Tỉ lệ sản phẩm loại A do một máy sản xuất ra là 85%, còn lại là loại B. Sản
phẩm được sản xuất ra do một trạm tự động phân loại. Tuy nhiên khả năng nhận biết
đúng một sản phẩm loại A và một sản phẩm loại B của trạm tương ứng là 90% , 80%.
a) Tính xác suất một sản phẩm được phân loại là B.
7


b) Nếu một sản phẩm được phân loại là B thì khả năng nó không đúng là bao nhiêu?
c) Tính xác suất một sản phẩm của máy được phân loại nhưng không đúng với loại
của nó.
Bài 1.60. Một đài dự báo khí tượng thuỷ văn muốn xét khả năng dự báo thời tiết của
mình. Từ số liệu đã có chỉ ra rằng: Xác suất dự báo có nắng trong ngày không mưa là
0,8; có nắng trong ngày mưa là 0,4; xác suất một ngày sẽ không mưa là 0,6. Giả sử đã
có dự báo là ngày có nắng, tính xác suất ngày đó là ngày mưa.
Bài 1.61. Một nhà máy có 2 dây chuyền sản xuất cùng một loại sản phẩm. Xác suất
để mỗi sản phẩm được sản xuất ra bởi các dây chuyền này là phế phẩm, tương ứng là
0,04; 0,03. Sản phẩm của mỗi dây chuyền sản xuất ra được đóng hộp riêng, mỗi hộp 10
sản phẩm. Biết năng suất của dây chuyền thứ hai gấp 3 lần năng suất của dây chuyền
thứ nhất. Lấy ngẫu nhiên một hộp sản phẩm của nhà máy kiểm tra. Tính xác suất hộp

sản phẩm đó có chứa phế phẩm.

8


Chương 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
Bài 2.1. Một khách hàng mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm cùng loại từ một hộp có 8 sản
phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B.
1. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A mà khách mua được.
2. Một sản phẩm loại A giá 15 ngàn, một sản phẩm loại B giá 10 ngàn.
a) Lập bảng phân phối xác suất số tiền khách phải trả X khi mua ngẫu nhiên 2
sản phẩm từ hộp. Từ đó tìm khả năng khách không mua được 2 sản phẩm
khi chỉ còn lại 26 ngàn.
b) Tìm số tiền khách phải trả nhiều khả năng nhất và số tiền trung bình khách
phải trả khi mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp.
c) Lập hàm phân phối xác suất số tiền khách phải trả khi mua 2 sản phẩm.Từ
đó tìm MedX.
Bài 2.2. Cho 2 hộp sản phẩm. Hộp 1 có 12 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm Hộp 2 có
10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm của hộp 1. Gọi X1 là số phế phẩm lấy được. Lập bảng
phân phối xác suất của X1 .
b) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 sản phẩm. Gọi X2 là số phế phẩm có được. Lập bảng
phân phối xác suất của X2 .
c) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X3 là số phế phẩm
có được. Lập bảng phân phối xác suất của X3 .
d) Từ hộp thứ nhất lấy 2 sản phẩm bỏ vào hộp thứ hai . Sau đó từ hộp thứ hai lấy
ra 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối của số chính phẩm lấy ra.
e) Lập hàm số phân phối của các biến ngẫu nhiên trong các trường hợp trên.
Bài 2.3. Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng

đích hoặc hết đạn thì thôi. Biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm
phân phối xác suất của số viên đạn đã bắn.
Bài 2.4. Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn cả 3 viên vào một cái bia. Biết rằng xác
suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,8. Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn
trúng bia.
9


Bài 2.5. Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất trong thời gian t các bộ
phận bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,15; 0,2.
a) Tìm phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng X trong thời gian t .
b) Lập hàm phân phối của X;tìm ModX; MedX.
c) Tính xác suất trong thời gian t có không quá một bộ phận bị hỏng.
Bài 2.6. Một hộp có 10 lọ thuốc trong đó có 2 lọ kém phẩm chất.Người ta kiểm tra từng
lọ thuốc cho đến khi phát hiện ra 2 lọ kém phẩm chất thì dừng. Gọi X là số lần kiểm
tra. Tìm phân phối xác suất của X.
Bài 2.7. Cho 2 máy, tỉ lệ sản phẩm loại 1 của máy thứ i là 10i%(i=1,2). Cho mỗi máy
sản xuất 2 sản phẩm.
a) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại 1 trong 4 sản phẩm sản sản
xuất ra.
b) Tìm số sản phẩm loại 1 tin chắc nhất;số sản phẩm loại 1 trung bình có trong 4
sản khi sản xuất ra.
Bài 2.8. Sản phẩm của nhà máy phẩm sản xuất ra được đóng thành kiện mỗi kiện 5
sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong mỗi kiện.Cho biết phân phối xác suất
của X:
X
P

2
0,3


3
0,5

4
0,2

a) Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại từ một kiện ra 2 sản phẩm để kiểm tra.
Tìm phân phối xác suất Y các sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm này.
b) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất ra,lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản
phẩm thì thấy có 1 sản phẩm loại I. Tìm xác suất để trong kiện này còn lại 2 sản
phẩm loại I.
Bài 2.9. Một hộp có 5 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩm
trong hộp này. Mọi giả thiết về số phế phẩm trong hộp là đồng khả năng. Lấy ngẫu
nhiên không hoàn lại lần lượt từ hộp ra 2 sản phẩm thấy có 1 phế phẩm.
a) Tìm số phế phẩm trung bình của hộp sản phẩm.
b) Nếu lấy thêm một sản phẩm nữa từ hộp thì khả năng lấy được phế phẩm là bao
nhiêu.
Bài 2.10. Một hộp có 4 bi đỏ, 6 bi vàng, 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp nếu lấy
mỗi bi đỏ được 2 điểm, mỗi bi xanh bớt đi 1 điểm, mỗi bi vàng được 0 điểm. Gọi X là
tổng số điểm có được khi lấy 3 bi. Lập bảng phân phối xác suất của X; tính EX; VX.
Bài 2.11. Cho biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) là tuổi thọ của một loại thiết bị có
x
cxe− 2 x > 0
hàm mật độ xác suất: f (x) =
0
x ≤ 0.
Tìm c; Tìm hàm phân phối xác suất của X; Tìm xác suất để trong 6 thiết bị này hoạt
động độc lập có 3 thiết bị có tuổi thọ ít nhất 5 tháng; Tìm tuổi thọ trung bình của thiết
bị; Tuổi thọ có thể hi vọng của thiết bị là bao nhiêu.

10


Bài 2.12. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: f (x) =
Nếu EX = 0,6, tính P X <

1
2

ax + bx2 x ∈ (0; 1)
0
x (0; 1)

; tìm ModX, MedX; VX.

Bài 2.13. Có 2 hộp sản phẩm; hộp 1 có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; hộp 2 có 8 chính
phẩm, 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tìm
xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kì vọng của nó nhỏ hơn 1.
Bài 2.14. Theo thống kê, xác suất để một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm
nữa là 0,995. Một công ti bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người
ở độ tuổi đó với giá 100 ngàn đồng và nếu người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi
thường là 10 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ti khi bán mỗi thẻ bảo
hiểm loại này là bao nhiêu?
Bài 2.15. Một công ti bảo hiểm sẽ chi một lượng tiền là A nếu biến cố E xuất hiện trong
năm. Nếu công ti ước lượng E xuất hiện trong năm với xác suất p thì một khách hàng
cần phải mua bảo hiểm mức bao nhiêu để kì vọng lợi tức của công ti sẽ là 10
Bài 2.16. Nhu cầu hàng ngày về một loại thực phẩm tươi sống có bảng phân phối xác
suất:
Nhu cầu (kg)
P


30
0,15

31
0,2

32
0,35

33
0,15

34
0,1

35
0,05

Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 2,5 ngàn và bán ra với giá 4 ngàn. Nếu bị ế cuối
ngày phải bán hạ giá còn 1,5 ngàn mới bán hết được. Phải đặt mua hàng ngày bao
nhiêu kg thực phẩm để có lãi nhất.

11


Chương 3
CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG
DỤNG
Bài 3.1. Bài toán của Samuel-Pepys đặt cho Newton: Xác suất của biến cố nào sau đây

lớn hơn: A= “Có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 khi gieo con xúc xắc 6 lần”; B= “Có ít
nhất 2 lần xuất hiện mặt 6 khi gieo con xúc xắc 12 lần”; C= “ Có ít nhất 3 lần xuất hiện
mặt 6 khi gieo con xúc xắc 18 lần”.
Bài 3.2. Một công ti sản xuất một loại máy. Theo nghiên cứu của công ti có 95% máy
sản xuất ra là đạt chuẩn. Một đại lí mua 100 máy của công ti. Tính xác suất trong 100
máy đại lí mua có: a) 2 máy không đạt chuẩn; b) ít nhất 10 máy không đạt chuẩn.
Bài 3.3. Công ti bay A luôn bán vé cho khách vượt quá số ghế của mỗi chuyến bay vì
luôn có khách đặt vé nhưng không bay. Giả sử tỉ lệ khách đặt vé nhưng không bay là
2%. Với chuyến bay có 190 ghế nhưng đã bán 200 vé thì xác suất chuyến bay thiếu chỗ
là bao nhiêu.
Bài 3.4. Một nhà sản xuất cho biết khoảng 20% dụng cụ điện mà họ sản xuất ra đòi hỏi
phải sửa chữa trong vòng một năm sau khi bán. Mua ngẫu nhiên 20 dụng cụ loại này.
a) Tính xác suất trong đó có 6 dụng cụ không phải sửa chữa sau khi mua trong
vòng 1 năm.
b) Tìm số dụng cụ này không phải sửa chữa sau khi mua trong vòng 1 năm có thể
hi vọng; Tìm trung bình, phương sai của số dụng cụ này không phải sửa chữa
trong thời hạn trên.
Bài 3.5. Có 20 kiện hàng, mỗi kiện có 7 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy
ngẫu nhiên mỗi kiện một sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong
các sản phẩm lấy ra. Tính xác suất trong các sản phẩm lấy ra có hơn 2 sản phẩm loại
A. Tính EX, VX.
Bài 3.6. Trong 20 giấy báo thuế thu nhập có 3 giấy mắc sai sót. Lấy ngẫu nhiên 5 giấy
để kiểm tra. Tìm phân phối xác suất của số giấy có sai sót trong các tờ lấy ra. Tìm trung
bình và phương sai của nó.
Bài 3.7. Một lô hàng có 50 thiết bị cùng loại. Lô hàng sẽ được xuất xưởng, nếu bốc
ngẫu nhiên 5 sản phẩm kiểm tra có không quá 2 sản phẩm loại B. Tính xác suất lô
hàng được xuất xưởng, biết rằng lô hàng có 10% sản phẩm loại B.
12



Bài 3.8. Gọi X là thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiền của khách hàng
tại một ngân hàng. Giả sử X ∼ N(18, 16). Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền lại cho ngân
hàng: a) trong khoảng 13 tháng đến 25 tháng; b) ít hơn 8 tháng; c) không ít hơn một
năm; d) Với khoảng thời gian tối thiểu là bao nhiêu để có 99,5% khách hàng trả tiền lại
cho ngân hàng.
Bài 3.9. Giả sử X ∼ N(5; σ2 ). Nếu P(X>9) = 0,2, tính σ2 .
Bài 3.10. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn. Theo đánh giá của Ủy ban đầu tư thì khả năng đầu tư vào dự án cho lãi
suất cao hơn 20% là 15,87% và khả năng cho lãi suất cao hơn 25% là 2,28%.
a) Tính khả năng đầu tư vào dự án có lãi suất trên 15%.
b) Tính khả năng đầu tư vào dự án bị lỗ.
Bài 3.11. Tuổi thọ của một loại động cơ có phân phối chuẩn trung bình 10 năm và
độ lệch tiêu chuẩn 2 năm. Nhà sản xuất sẽ thay thế động cơ hỏng trong thời gian bảo
hành. Thời gian bảo hành sẽ là bao nhiêu nếu nhà sản xuất chỉ muốn thay thế 3% động
cơ trong thời gian này
Bài 3.12. Một nhà đầu tư dự định đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng A hay ngân
hàng B nhưng phải đảm bảo lợi nhuận tối thiểu là 10%. Giả sử lợi nhuận đầu tư (đơn
vị %) vào cổ phiếu của A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 14 độ lệch
tiêu chuẩn 2; của B là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 13 độ lệch tiêu
chuẩn 1. Theo bạn nhà đầu tư nên đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng nào.
Bài 3.13. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là X (đơn vị: năm) với X N(4,2; 2,25). Khi bán
một bóng đèn được lãi 100 ngàn đồng, song nếu bóng đèn phải bảo hành thì lỗ 300
ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi bán mỗi bóng đèn là 30 ngàn đồng thì cần
quy định thời gian bảo hành là bao lâu.
Bài 3.14. Số yêu cầu phục vụ tại một một tổng đài có phân phối Poisson với trung bình
4 yêu cầu trong 1 giờ.
a) Tính xác suất tổng đài có 10 yều cầu trong 2 giờ.
b) Nếu người trực tổng đài phải nghỉ ăn trưa mất 30 phút thì xác suất người đó
không bị mất yêu cầu nào là bao nhiêu. Theo bạn nhiều khả năng nhất có bao
nhiêu yêu cầu tổng đài phục vụ trong khoảng thời gian này.

Bài 3.15. Số phương tiện giao thông đi qua một trạm kiểm soát là biến ngẫu nhiên có
phân phối Poisson, trung bình 1 phút có 2 phương tiện đi qua trạm này. Tính xác suất:
a) Có 6 phương tiện giao thông đi qua trạm trong 3 phút; có từ 3 đến 4 phương tiện
giao thông qua trạm trong 2 phút.
b) Xác định khoảng thời gian t (tính bằng phút) để trong khoảng thời gian này, xác
suất có ít nhất 1 phương tiện giao thông đi qua trạm trên 0,95.
Bài 3.16. Một trạm cho thuê xe tắc xi có 3 xe. Hàng ngày phải nộp thuế 8 USD cho 1
xe (dù xe có được thuê hay không). Mỗi chiếc xe được thuê với giá 20 USD. Giả sử yêu
cầu thuê xe của trạm là X có phân phối Poisson với tham số λ = 2, 8.
13


a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm (nếu không ai thuê thì bị lỗ là 24
USD). Tìm phân phối xác suất của Y từ đó tính số tiền trung bình thu được của
trạm trong 1 ngày.
b) Giải bài toán trong trường hợp có 4 xe.
c) Trạm nên có 3 hay 4 xe.
Bài 3.17. Chiều cao của một loại cây lấy gỗ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
chiều cao trung bình là 20m và độ lệch tiêu chuẩn là 2,5m. Cây đạt tiêu chuẩn khai
thác là cây có chiều cao tối thiểu là 15m. Hãy tính tỉ lệ cây đạt tiêu chuẩn khai thác.
Nếu cây đạt tiêu chuẩn sẽ lãi 100 ngàn đồng, ngược lại cây không đạt tiêu chuẩn sẽ
lỗ 30 ngàn đồng. Người ta khai thác ngẫu nhiên 1 lô 100 cây. Tính tiền trung bình và
phương sai của số tiền lãi của lô cây đó.
Bài 3.18. Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên một
trong hai máy và với máy đã chọn sản xuất 10 sản phẩm. Nếu trong 10 sản phẩm sản
xuất ra có từ 9 sản phẩm loại I trở lên thì được nâng bậc thợ. Giả sử đối với công nhân
A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại I đối với hai máy tương ứng là 0,7 và 0,9.
Tính xác suất để công nhân A được nâng bậc thơ.
Bài 3.19. Tổng doanh số mỗi tuần của một khách sạn là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với trung bình 2200 USD và độ lệch tiêu chuẩn 230 USD. Tính xác suất:

a) Tổng doanh số của cả 2 tuần sau không vượt quá 5000 USD.
b) Doanh số vượt quá 2000 USD ít nhất 2 trong 5 tuần sau.
Giả sử doanh số từng tuần của một khách sạn là độc lập với nhau.
Bài 3.20. Số điểm của Hùng và Minh chơi Bowling tương ứng có phân phối chuẩn
N(170; 202 ); N(160; 152 ). Nếu Hùng và Minh mỗi người chơi một lần và giả sử điểm của
họ là độc lập với nhau. Tính xác suất:
a) Minh cao điểm hơn.
b) Tổng số điểm của họ trên 350.
Bài 3.21. Trong một lần thi trắc nghiệm, mỗi thí sinh nhận được một đề thi gồm 10 câu
hỏi, mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó chỉ có một cách trả lời đúng. Kết quả trả lời các
câu hỏi không ảnh hưởng đến kết quả của câu khác. Điểm bài thi bằng tổng số câu trả
lời đúng.
a) Thí sinh A không thuộc bài và trả lời các câu hỏi một cách ngẫu nhiên (trả lời một
cách cầu may). Tính xác suất để thí sinh này đạt yêu cầu? (từ 5 điểm trở lên).
b) Thí sinh B trả lời đúng được 3 câu. Các câu còn lại trả lời một cách ngẫu nhiên
(cầu may). Tính xác suất để thí sinh này đạt yêu cầu.
c) Số câu hỏi của đề thi là bao nhiêu để cho xác suất một thí sinh không thuộc bài
và làm bài theo cách trả lời ngẫu nhiên các câu hỏi (trả lời một cách cầu may) đạt
yêu cầu khi thi không quá 0,001. (Cho biết số câu hỏi là một số chẵn và thí sinh
trả lời đúng được ít nhất một nửa số câu hỏi của đề thi thì đạt yêu cầu).

14


Chương 4
ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Bài 4.1. Điều tra chỉ tiêu X (tính bằng %) của một số sản phẩm cùng loại được kết quả
cho trong bảng:
xi
ni


0-5
7

5 - 10
12

10 - 15
20

15 - 20
25

20 - 25
18

25 - 30
12

30 - 35
5

35 - 40
1

a) Những sản phẩm có chỉ tiêu X không quá 10% là loại 2. Hãy ước lượng tỉ lệ sản
phẩm loại 2 với độ tin cậy 96
b) Nếu muốn ước lượng lệ sản phẩm loại 2 đạt độ tin cậy 96% và độ chính xác 6,5%
thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa.
c) Hãy ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%.

d) Nếu muốn ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính xác
0,95% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa.
e) Nếu muốn ước lượng lệ sản phẩm loại 2 đạt độ tin cậy 96%, độ chính xác 6,5%
và ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%, độ chính xác 0,95% thì cần
điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa.
Bài 4.2. Một nghiên cứu thị trường của một công ti buôn bán điện tử về sở thích xem
TV của dân cư một thành phố. Điều tra ngẫu nhiên 140 người của thành phố cho thấy
số giờ xem TV trung bình của mỗi người trong một tuần lễ là:x = 15, 3; độ lệch tiêu
chuẩn s = 3,8 và có 30 người xem tin đêm ít nhất 3 lần trong một tuần. Với độ tin cậy
95%, hãy ước lượng:
a) Thời gian xem TV trung bình của mỗi người dân thành phố đó trong một tuần.
b) Tỉ lệ người dân xem tin đêm ít nhất 3 buổi một tuần.
c) Kích thước mẫu điều tra là bao nhiêu nếu với độ tin cậy 95% công ti muốn ước
lượng thời gian xem TV trung bình của mỗi người dân ở đó chính xác đến 0,3 giờ
và tỉ lệ người xem tin đêm ít nhất 3 buổi một tuần chính xác tới 3,5%.
Bài 4.3. Để đánh giá mức tiêu thụ điện (tính bằng 100kw/tháng) của mỗi hộ gia đình
ở vùng A trong mùa khô, công ti điện lực vùng này tiến hành điều tra 400 hộ kết quả
cho trong bảng:
15


Mức tiêu thụ
Số hộ gia đình

0-1
20

1-2
110


2-3
150

3-4
64

4-5
46

5-6
10

a) Hãy ước lượng mức tiêu thụ điện trung bình của mỗi hộ gia đình ở vùng A trong
6 tháng mùa khô với độ tin cậy 95%.
b) Những hộ có mức tiêu thụ điện trên 400 kwh/tháng là những hộ có mức tiêu
thụ điện cao. Hãy ước lượng hộ có mức tiêu thụ điện cao với độ tin cậy 95%, biết
vùng này có 10000 hộ.
c) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức tiêu thụ điện trung bình tối đa một tháng
của vùng. Biết vùng này có 10000 hộ.
Bài 4.4. Quan sát năng suất của 100 công nhân trong một xí nghiệp người ta tính được
năng suất trung bình của một công nhân ở mẫu này là x¯ = 12 sản phẩm/ngày và
phương sai mẫu s2 = 25;
a) Ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong một xí nghiệp này với
độ tin cậy 99%;
b) Muốn ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong xí nghiệp với độ
tin cậy 95% thì độ chính xác là bao nhiêu?
c) Muốn ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong xí nghiệp với
độ tin cậy 99% và độ chính xác 0,8 thì cần quan sát năng suất của bao nhiêu công
nhân nữa?
Bài 4.5. Theo dõi số hàng bán được mỗi ngày (kg/ngày) ở một trung tâm thương mại,

ta được kết quả ghi ở bảng sau:
Số hàng bán được
Số ngày

1900-1950
2

1950-2000
10

2000-2050
8

2050-2100
5

Hãy ước lượng phương sai của lượng hàng bán được mỗi ngày với độ tin cậy 95%.
Bài 4.6. Mẫu điều tra về trọng lượng của một loại trái cây (đơn vị:gam) cho kết quả
trong bảng:
X
ni

(0; 5]
5

(5; 10]
7

(10; 15]
13


(15; 20]
22

(20; 25]
30

(25; 30]
18

(30; 35]
10

a) Những trái cây có trọng lượng hơn 25 gam là loại A. Hãy ước lượng tỉ lệ trái cây
loại A với độ tin cậy 98%.
b) Nếu sử dụng mẫu này để ước lượng tỉ lệ trái cây loại A đạt độ chính xác là 8%
thì đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu?
c) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây loại A đạt độ tin cậy 96% và độ chính xác 5%
thì cần điều tra thêm bao nhiêu trái cây nữa?
d) Những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 10 gam là phế phẩm. Hãy ước lượng tỉ lệ
trái cây phế phẩm với độ tin cậy 95%.
16


Bài 4.7. Kết quả quan sát về hàm lượng vitamin C của một loại trái cây cho trong bảng:
Hàm lượng vitamin C (%)
Hàm lượng vitamin C (%)
Số trái

[5; 7]

5

(7; 9]
10

(9; 11]
20

(11; 13]
35

(13; 15](15; 17]
25

5

a) Hãy ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình trong một trái cây với độ tin cậy
95%.
b) Những trái có hàm lượng vitamin C trên 11% là loại A. Hãy ước lượng tỉ lệ trái
cây loại A với độ tin cậy 98%.
c) Muốn ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình của loại trái cây này đạt độ
chính xác là ε1 = 0, 3% và ước lượng tỉ lệ trái cây loại A đạt độ chính xác ε2 = 5%
với cùng độ tin cậy 95% thì cần phải quan sát bao nhiêu trái cây loại này nữa?
Bài 4.8. Điều tra mức tiêu hao nhiên (l/100km) liệu của một loại xe ô tô cho kết quả
như sau:
Lượng tiêu hao
Số chuyến xe

[35; 40]
14


(40; 45]
20

(45; 50]
36

(50; 55]
22

(55; 60]
8

a) Hãy ước lượng mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe này với độ tin cậy
95%.
b) Nếu xe có mức tiêu hao nhiên liệu trên 55 lít/100km thì cần đưa kiểm tra kĩ thuật.
Hãy ước lượng tỉ lệ xe cần đưa kiểm tra kĩ thuật với độ tin cậy 96%.
c) Nếu sử dụng mẫu này để ước lượng mức tiêu hao nhiên liệu trung bình đạt độ
chính xác 0,8 lít/100km thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu?
d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ xa cần đưa kiểm tra kĩ thuật đạt độ chính xác 2% và
ước lượng mức tiêu hao nhiên liệu trung bình đạt độ chính xác là 0,5 lít/100lm
với cùng độ tin cậy 96% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu chuyến xe nữa?

17


Chương 5
KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG
KÊ
Bài 5.1. Ở một nước, một đảng chính trị tuyên bố rằng có ít nhất 45% cử tri sẽ bỏ phiếu

bầu cho ông A là ứng cử viên của họ. Chọn ngẫu nhiên 200 người hỏi ý kiến có 80
người sẽ bầu cho ông A. Với mức ý nghĩa 5% hãy xem tuyên bố trên có đúng không?
Bài 5.2. Nếu áp dụng phương pháp công nghệ thứ nhất thì tỉ lệ phế phẩm là 8%, còn
áp dụng phương pháp công nghệ thứ hai thì trong 100 sản phẩm có 3 phế phẩm. Với
mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng áp dụng phương pháp công nghệ thứ hai cho tỉ lệ
phế phẩm thấp hơn không?
Bài 5.3. Một công ti tuyên bố rằng 60% khách hàng ưa thích sản phẩm của công ti.
Điều tra 400 khách hàng có 230 người ưa thích sản phẩm của công ti này. Với mức ý
nghĩa 5%, hãy xem tỉ lệ trong tuyên bố trên của công ti có cao hơn thực tế không?
Bài 5.4. Lô hàng là đủ tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỉ lệ phế phẩm của nó không vượt
quá 3%. Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của lô hàng thấy có 14 phế phẩm. Với mức
ý nghĩa 2% lô hàng có được phép xuất khẩu không?
Bài 5.5. Để kiểm tra lượng nước ngọt được đóng vào chai 2 lít được sản xuất tại một
nhà máy người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 chai nước ngọt loại này của nhà máy và tính
được lượng nước ngọt trung bình 1,99 lít; độ lệch tiêu chuẩn 0,05 lít. Với mức ý nghĩa
2% hãy xem lượng nước ngọt đóng trong chai loại này có bị thiếu không.
Bài 5.6. Thời gian trước số tiền gửi tiết kiệm bằng ngoại tệ trung bình của mỗi khách
hàng là 1000 USD. Để đánh giá xem xu hướng này còn giữ nguyên hay không người
ta kiểm tra ngẫu nhiên 64 sổ tiết kiệm và tính được số tiền gửi trung bình là 990 USD,
độ lệch tiêu chuẩn 100 USD.
a) Với mức ý nghĩa 5%, hãy xem số tiền gửi tiết kiệm có thay đổi không.
b) Với mức ý nghĩa 5%, hãy xem số tiền gửi tiết kiệm có giảm so với trước không.
Bài 5.7. Điều tra trọng lượng của một loại trái cây (đơn vị: gam) kết quả cho trong
bảng:
xi
ni

2 - 10
5


10 - 15
25

15 - 20
48
18

20 - 25
35

25 - 30
17

30 - 35
10


a) Có báo cáo cho rằng trọng lượng trung bình của một trái cây là 20 gam. Cho nhận
xét về báo cáo đó với mức ý nghĩa 5%.
b) Có ý kiến cho rằng trước đây trọng lượng trung bình của một trái cây là 15 gam
nay do áp dụng phương pháp sản xuất mới làm cho trọng lượng trung bình của
các trái cây tăng lên. Cho nhận xét vế ý kiến đó với mức ý nghĩa 5%.
c) Trái cây có trọng lượng lớn hơn 20 gam là cây loại A. Có ý kiến cho rằng tỉ lệ trái
cây loại A thấp hơn tỉ lệ trái cây còn lại. Nếu chấp nhận ý kiến đó thì mức ý nghĩa
có thể tối thiểu là bao nhiêu.
Bài 5.8. Trọng lượng của một sản phẩm do máy sản xuất ra là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn. Nghi ngờ độ đồng đều về trọng lượng sản phẩm có xu hướng giảm sút
người ta cân thử 12 sản phẩm được s2 = 11, 41 (gam2 ). Với mức ý nghĩa 5% hãy cho kết
luận về nghi ngờ trên, biết rằng bình thường độ phân tán của trọng lượng sản phẩm
là 10 (gam2 ).

Bài 5.9. Chủ hãng sản xuất một loại thiết bị đo cho biết sai số đo của thiết bị loại này có
độ lệch tiêu chuẩn bằng 5mm. Kiểm tra một mẫu 15 thiết bị loại này cho thấy phương
sai mẫu s2 = 33. Với mức ý nghĩa 5%, cho nhận xét về ý kiến trên của chủ hãng. Biết
sai số đo của thiết bị có phân phối chuẩn.
Bài 5.10. Kiểm tra chất lượng sản phẩm của cùng một loại do hai nhà máy A và B sản
xuất ra kết quả cho trong bảng:
Nhà máy
A
B

Số sản phẩm được kiểm tra
1800
1200

Số phế phẩm
54
30

Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng chất lượng sản phẩm của hai nhà máy là như nhau
không?
Bài 5.11. Để đánh giá tỉ lệ học sinh đỗ kì thi tốt nghiệp Trung học cơ sở (THCS) của
hai tỉnh A và B, người ta điều tra ngẫu nhiên được :
Tỉnh
A
B

Số em thi THCS
198
210


Số em đỗ
173
195

Với mức ý nghĩa 4%, hãy xem:
a) Tỉ lệ đỗ kì thi THCS của hai tỉnh có khác nhau không?
b) Tỉ lệ đỗ kì thi THCS của B cao hơn A không?
Bài 5.12. Để so sánh hiệu quả của hai loại phân A và B đối với năng suất cà chua,
người ta điều tra năng suất cà chua (đơn vị : quả) khi bón A, B cho kết quả:
Loại phân
A
B

Số cây
41
61

Năng suất trung bình
32,2
28,4

Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận:
19

Độ lệch tiêu chuẩn
8,5
9,3


a) Hiệu quả của hai loại phân A, B khác nhau?

b) Loại phân A hiệu quả hơn loại phân B?
Bài 5.13. Để so sánh năng suất của 2 loại máy H1, H2, người ta điều tra thời gian (tính
bằng phút) cần để sản xuất ra một sản phẩm cùng loại của hai loại máy này kết quả
cho trong bảng sau
Loại máy
H1
H2

Số sản phẩm
100
100

Trung bình mẫu
57
52

Độ lệch chuẩn mẫu
13,59
14,46

a) Dựa và kết quả điều tra nói trên, với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết loại máy H2
có cho năng suất cao hơn loại máy H1 không.
b) Nếu bác bỏ báo cáo: Năng suất của 2 loại máy là như nhau, thì mức ý nghĩa có
thể tối thiểu là bao nhiêu?

20


Bài tập tổng hợp phần thống kê
Bài 1. Điều tra thu nhập của 220 gia đình ở một vùng thu được số liệu sau:

Thu nhập
Số gia đình

4
1

4,5
13

5
24

5,5
46

6
58

6,5
37

7
26

7,5
13

8
2


Cho biết thu nhập của các hộ gia đình có phân phối chuẩn.
a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số gia đình có thu nhập không quá 5 chục triệu
đồng/năm. Cho biết vùng đó có 5000 hộ gia đình.
b) Nếu trước đó 2 năm thu nhập bình quân của các hộ gia đình trong vùng là 4,5
chục triệu đồng/năm thì với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng mức sống vật chất
của các gia đình ở vùng đó được nâng lên hay không.
c) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của một hộ gia đình trong vùng một
năm với sai số không quá 1 triệu đồng và độ tin cậy 96% thì cần điều tra thêm
bao nhiêu hộ nữa.
Bài 2. Khảo sát về thu nhập (chục triệu đ/năm) của các nhân viên công ti A, người ta
thu được bảng số liệu sau:
Thu nhập
Số người

24-32
8

32-40
13

40-48
31

48-56
45

56-64
28

64-72

10

72-80
5

a) Những nhân viên có thu nhập trên 56 triệu đ/năm là những người có thu nhập
cao. Hãy ước lượng số người có thu nhập cao của công ti A với độ tin cậy 98%.
Biết tổng nhân viên làm việc của công ti A là 3000 người.
b) Nếu công ti báo cáo mức thu nhập trung bình của một người là 40 triệu đ/tháng
thì có chấp nhận được không, với mức ý nghĩa 3%.
c) Nếu dùng mẫu trên để ước lượng thu nhập trung bình của một nhân viên công
ti A với độ chính xác 10 triệu đ/năm thì đạt độ tin cậy là bao nhiêu.
d) Có người cho rằng tỉ lệ nhân viên của công ti A có thu nhập cao là 20%. Hãy xem
tỉ lệ đó có thấp hơn thức tế không, với mức ý nghĩa 5%.
Bài 3. Trong kho để rất nhiều sản phẩm của xí nghiệp A, lấy ngẫu nhiên các sản phẩm
để cân cho kết quả:
X (gam)
ni

800-850
5

850-900
10

900-950
20

950-1000
30

21

1000-1050
15

1050-1100
10

1100-1150
10


a) Có người nói rằng: “Nhờ áp dụng cải tiến kĩ thuật làm trọng lượng trung bình
của sản phẩm lớn hơn 1000 gam”. Với mức ý nghĩa 5%, nhận định trên có chấp
nhận được không.
b) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình các sản phẩm với độ tin cậy 98%.
c) Các sản phẩm có trọng lượng X > 1050 gam là loại 1. Nếu muốn ước lượng tỉ lệ
sản phẩm loại 1 với độ tin cậy 80% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao
nhiêu sản phẩm nữa.
d) Giả sử trong kho có để lẫn 1000 sản phẩm của xí nghiệp B và trong 100 sản phẩm
lấy ra từ kho có 9 sản phẩm của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sản phẩm của xí
nghiệp A trong kho với độ tin cậy 90%.
Bài 4. Trong một đợt kiểm tra các cây cùng loại và cùng độ tuổi trong một vườn ươm,
người ta chọn được một mẫu gồm số cây và chiều cao cho trong bảng:
Chiều cao (m)
Số cây

[180; 200]
10


(200; 210]
15

(210; 220]
30

(220; 230]
35

(230; 240]
30

a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của cây trong vườn ươm với độ tin cậy 96%.
b) Với độ tin cậy 97%, hãy ước lượng tỉ lệ cây không đạt tiêu chuẩn trong vườn ươm.
Biết rằng cây đạt tiêu chuẩn là cây có chiều cao lớn hơn 210 cm.
c) Với số liệu bảng thống kê trên, nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của
cây trong vườn ươm đạt độ tin cậy 98% và độ chính xác 18mm thì cần phải khảo
sát thêm bao nhiêu cây nữa?
d) Có người cho rằng chiều cao trung bình của cây trong vườn ươm là 225 cm. Cho
nhận xét về ý kiến đó với mức ý nghĩa 5%.
e) Theo báo cáo của người phụ trách vườn ươm, tỉ lệ cây đạt tiêu chuẩn là 95
Bài 5. Có số liệu thống kê về thu nhập (X: triệu đồng/tháng) của 100 nhân viên ở công
ty như sau:
X
ni

[1; 3]
3

(3; 4]

6

(4; 5]
19

(5; 6]
24

(6; 7]
25

(7; 8]
10

(8; 9]
8

(9; 13]
9

a) Hãy tính các đặc trưng số: trung bình, phương sai mẫu hiệu chỉnh và độ lệch tiêu
chuẩn của mẫu trên.
b) Ước lượng thu nhập trung bình của các nhân viên ở công ty với độ tin cậy 97%.
c) Những người có thu nhập tử 7 triệu đồng/tháng trở lên được xem là người có
thu nhập cao. Hãy ước lượng tỉ lệ những người có thu nhập cao với độ tin cậy
95%.
d) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình có độ chính xác 0,45
triệu đồng thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu %?

22



e) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ những người có thu nhập cao có độ chính
xác 7% thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu %?
f) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ những người có thu nhập cao có độ chính xác 6% và
độ tin cậy 98% thì cần khảo sát thêm bao nhiêu người nữa?
g) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình có độ chính xác 0,3 triệu đồng và độ
tin cậy 98% thì cần khảo sát thêm bao nhiêu người nữa?
h) Ước lượng thu nhập trung bình của các nhân viên có thu nhập cao, với độ tin cậy
99%. Giả sử thu nhập của các nhân viên có thu nhập cao tuân theo phân phối
chuẩn.
i) Ước lượng phương sai của thu nhập của các nhân viên có thu nhập cao, với độ
tin cậy 99%. Giả sử thu nhập của các nhân viên có thu nhập cao tuân theo phân
phối chuẩn.
j) Theo thống kê tổng thể năm trước ở công ty này, người ta thấy thu nhập trung
bình của các nhân viên là 5,5 triệu đồng/tháng. Hãy so sánh thu nhập trung bình
của các nhân viên ở 2 năm, với mức ý nghĩa 5%.
k) Ban giám đốc công ty này cho rằng tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao của công ty
trong năm nay là 28%. Hãy cho nhận xét về đánh giá của Ban giám đốc, với mức
ý nghĩa 4%.
l) Có tài liệu cho rằng phương sai của thu nhập các nhân viên là 5. Hãy đánh giá
về nhận định trên với mức ý nghĩa 5%.
Bài 6. Để khảo sát đường kính của một chi tiết máy người ta kiểm tra một số sản phẩm
của hai nhà máy. Trong kết quả sau đây, X là đường kính của chi tiết máy I sản xuất
cong Y là đường kính của chi tiết máy do nhà máy II sản xuất. Những sản phẩm có chi
tiết máy nhỏ hơn 19cm được xếp vào loại C.
X(cm)
Số sản phẩm

11-15

9

15-19
19

19-23
20

23-27
26

27-31
16

31-35
13

35-39
18

Y(cm)
Số sản phẩm

13-16
7

16-19
9

19-22

25

22-25
26

25-28
18

28-31
15

31-34
11

a) Có thể kết luận rằng đường kính trung bình của một chi tiết máy do hai nhà máy
sản xuất bằng nhau hay không với mức ý nghĩa 1%?
b) Có thể cho rằng đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy I sản
xuất lớn hơn đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy II sản xuất
hay không với mức ý nghĩa 5%?
c) Xét xem đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy II sản xuất có
nhỏ hơn đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy I sản xuất hay
không với mức ý nghĩa 2%?
d) Với mức ý nghĩa 4%, tỉ lệ sản phẩm loại C do hai nhà máy sản xuất co như nhau
không?
23