ĐỀ THI kết THÚC học phần hình học vi phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (66.9 KB, 4 trang )
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI KẾT THÚC Học phần Hình học vi phân
Thời gian thi: 90 phút
Hệ: Đại học Sư phạm Toán liên thông
Câu 1 (2 điểm)
Nêu định nghĩa và các tính chất của đạo hàm của hàm số theo một véc tơ tiếp xúc.
Câu 2 (2 điểm)
(
)
1
n
Cho U là tập mở trong E n , với toạ độ afin x ,..., x của E n thì mọi θ ∈Ω1 (U )
viết được duy nhất dưới dạng θ =
n
∑ ϕi dx
i =1
i
, ϕi ∈ F(U) và d
(
n
∑ ϕi dx
i =1
i
)=
n
∑
i =1
dϕi ∧ dx i .
Chứng minh rằng ánh xạ d : Ω1 (U ) → Ω 2 (U ) thoả mãn các tính chất sau:
a) d là R- tuyến tính.
b) d (ϕθ ) = dϕ ∧ θ + ϕ dθ với ϕ ∈Ω0 (U ),θ ∈Ω1 (U ).
Câu 3 (2 điểm)
Xét trường mục tiêu song song { E1 , E2 , E3 }
ur ur ur
ứng với mục tiêu afin O, e1 , e2 , e3
{
}
của E 3 với toạ độ (x,y,z) cho các trường vectơ
Z = xyE1 + e z E2 − y 2 E3 ; T = yE1 + xE2 . Hãy tính DZ ( DZ T ), DZ ( Z + xT ) .
Câu 4 (2 điểm)
Tính độ cong và độ xoắn của cung sau trong E 3
ρ : t a ρ (t ) = (cos3t ,sin 3 t , cos 2t ).
Câu 5 (2 điểm)
Trong ¡ 3 cho cung (γ ) có tham số hóa:
ρ(t) = (t2, 1 − t, t3 − 5)
Tìm các điểm trên (γ ) sao cho mặt phẳng mật tiếp của (γ ) tại các điểm đó song song với
mặt phẳng có phương trình 3x − 3y + z − 2 = 0.
.
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Học phần: Hình học vi phân
Thời gian thi: 90 phút
Hệ, ngành: Đại học Sư phạm Toán liên thông
Nội dung đáp án
Điểm
n
Cho U mở trong E , ϕ là một hàm số trên U. α p ∈ TpU . Nếu có đạo
ur
0.5
hàm tại t = 0 của hàm số t a ϕ ( p + tα ) thì ký hiệu đạo hàm đó là α p [ϕ ]
Câu hỏi
Câu 1
(2 điểm)
và gọi là đạo hàm của hàm số ϕ theo vectơ tiếp xúc α p hay đạo hàm
ur
của hàm số ϕ theo vectơ α đặt tại p. Ta có X [ψ ]( p)
Các tính chất: Với ϕ ,ψ là các hàm số khả vi trên U, α p , β p ∈ TpU ,
k ∈ R thì ta có
a) α p [ϕ +ψ ] = α p [ϕ ] + α p [ψ ] ; b) (α p + β p )[ϕ ] = α p [ϕ ] + β p [ϕ ]
n
n
i =1
i =1
0.5
0.5
c) (kα p )[ϕ ] = kα p [ϕ ] ; d) α p [ϕψ ] = α p [ϕ ].ψ ( p ) + ϕ ( p)α p [ψ ]
Câu 2
(2 điểm)
0.5
1
i
i
Giả sử θ ,θ1 ∈ Ω (U ), θ = ∑ ϕi dx , θ1 = ∑ ηi dx , ∀α ,β ∈ R
Ta có:
Ý
a
d (αθ + βθ1 ) = d
n
∑
i =1
(
n
∑ αϕi dx
i =1
i
+
n
∑
i =1
) (
βηi dx = d
i
n
n
i =1
i =1
n
∑ (αϕi +
i =1
0.5
)
βηi )dx =
i
d (αϕi + βηi ) ∧ dx i = α ∑ dϕi ∧ dx i + β ∑ dηi ∧ dx i = α dθ + β dθ1
0.5
Do đó d là R- tuyến tính.
Ta
có
Ý d (ϕθ ) = d
b
n
θ = ∑ ϕi dxi
θ ∈ Ω1 (U ) ,
(
n
∑ ϕϕi dx
i =1
n
n
i =1
i =1
i
)=
i =1
n
∑
i =1
nên
n
ϕθ = ∑ ϕϕi dx i .
i =1
n
n
i =1
i =1
Do
đó
d (ϕϕi ) ∧ dx i = ∑ ϕi dϕ ∧ dx i + ∑ ϕ dϕi ∧ dx i =
0.5
0.5
dϕ ∧ ∑ ϕi dx i + ϕ ∑ dϕi ∧ dx i = dϕ ∧ θ + ϕ dθ
Câu 3
(2 điểm)
Áp dụng công thức tính đạo hàm thuận biến của trường vectơ T dọc
trường vectơ Z đối với trường mục tiêu song song { E1 , E2 , E3} ứng với
3
hệ toạ độ afin (x,y,z) trong E 3 , DZ T = i∑=1 Z[ϕi ]Ei (trong đó T =
3
∑ ϕi Ei ,
i =1
3
Z = ∑ ψ i Ei ). DZ T = Z [y]E1 + Z [x]E2 =
i =1
∂y
∂x
∂y
∂x
∂x
z ∂y
− y 2 ÷ E1 + xy + e z
− y 2 ÷E2 = e z E1 + xyE2
= xy + e
∂y
∂z
∂y
∂z
∂x
∂x
z
DZ ( DZ T ) = Z [e ]E1 + Z [xy]E2 =
z
z
∂e z
z ∂e
2 ∂e
+e
−y
xy
∂y
∂z
∂x
− y 2e z E1 + ( xy 2 + xe z ) E2 .
∂xy
∂xy
∂xy
+ ez
− y2
÷E1 + xy
÷E2 =
∂y
∂z
∂x
0.5
0.5
Ta có Z + x .T = 2xy E1 + (e z + x 2 ) E2 − y 2 E3
DZ ( Z + xT ) = Z[2xy]E1 + Z [e z + x 2 ]E2 + Z [-y 2 ]E3
∂ ( 2 xy )
∂ ( 2 xy )
∂ ( 2 xy )
+ ez
− y2
= xy
∂x
∂y
∂z
÷E1
∂ ( e z + x2 )
∂ ( e z + x2 )
∂ ( e z + x2 )
z
2
+ xy
+e
−y
∂
x
∂
y
∂z
÷E2 +
÷
∂ ( − y2 )
∂ ( − y2 )
∂ ( − y2 )
z
2
÷E3 =
+ xy
+e
−y
÷
∂
x
∂
y
∂
z
2
z
2
2 z
z
(2 xy + 2 xe ) E1 + (2 x y − y e ) E2 − 2e yE3 .
Câu 4
(2 điểm)
0.5
0.5
Áp dụng công thức tính độ cong và độ xoắn ta tính
ρ ' (t ) = ( −3cos 2t sin t ,3sin 2 t cos t , −2sin 2t ) .
ρ '' (t ) = ( 3sin t sin 2t − 3cos 3t ,3sin 2t cos t − 3sin 3 t , −4cos2t ) .
15
15
ρ ''' (t ) = .cost.sin 2t + 6cos t sin 2t , − sin t sin 2t + 6cos tcos2t,8sin 2t ÷.
2
2
(ρ
'
0.5
3
9
3
∧ ρ '' ) = sin 4t.sin t + 3sin 2t.sin t , sin 4t.cost − 3sin 2t.cost , − sin 2 2t ÷
2
4
2
ρ ' (t ) ∧ ρ '' (t ) =
2
3
15 2
5
125 3
sin 2t ; ρ ' (t ) = sin 2t ; ρ ' (t ) =
sin 2t
4
2
8
ρ ' (t ) ∧ ρ '' (t ) =
225 4
9
sin 2t , ( ρ '(t ) ∧ ρ '' (t ) ) ρ ''' (t ) = sin 3 2t .
16
2
3
.
+) k (t ) =
25sin t cos t
4
+) τ (t ) =
25sin t cos t
0.5
0.5
0.5
Câu 5
(2 điểm)
Trong ¡
3
điểm song chính quy t, ta có ρ (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) .
x − x(t ) y-y(t) z-z(t)
'
y ' (t ) z ' (t ) = 0
Phương trình mặt phẳng mật tiếp là: x (t )
x '' (t )
y '' (t ) z '' (t )
Áp dụng công thức trên với ρ(t) = (t2, 1 − t, t3 − 5) ta tìm được phương
0.5
trình mặt phẳng mật tiếp là
x − t 2 y-1+t
z-t 3 + 5
2t
2
3t 2
6t
-1
0
0.5
=0
Vì mặt phẳng mật tiếp của (γ ) tại các điểm đó song song với mặt phẳng
0.5
có phương trình.
3x − 3y + z − 2 = 0.
Nên xác định được các giá trị của t ứng với các điểm thỏa mãn đầu bài.
Tổng
0.5
10
