PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH, XÁC ĐỊNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Phương pháp
1
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG :

---oOo--n

- Bước 1: Biến đổi f  x về dạng: f  x 

� f  x , với f  x
i 1

i

i i

có nguyên hàm trong

bảng công thức và  i là hằng số.
n

- Bước 2: Khi đó:

n

f  x dx  �
f  x dx .
� f  x dx  � �
�
i 1

i i

i 1

i

i

II. CHÚ Ý QUAN TRỌNG :
Điểm mấu chốt là phép phân tích trong bước 1, các em có thể rút ra ý tưởng riêng cho
mình từ một vài minh hoạt sau :





1.

Với f  x  x3  2

2.

Với f  x 


3.
4.
5.

2

 x6  4x3  4

(Khai triển hằng đẳng thức).

x2  4x  5
2
(Thực hiện chia đa thức).
 x 3
x1
x1
1
1
1


Với f  x  2
(Tách làm 2 phân thức).
x  5x  6 x  3 x  2
1
1

3  2x  2x  1 (Trục căn thức).
Với f  x 
2x  1  3  2x 2








Với f  x  2x  3x



2

 4x  2.6x  9x (Khai triển hằng đẳng thức).

3
Với f  x  8cos x.sin x  2  cos 3x  3cos x sin x (Hạ bậc cos3 x )
 2cos 3x sin x  6cos x sin x
(Khai triển, rút gọn)
 sin 4x  sin 2x  3sin 2x
 sin 4x  2sin 2x
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ :

6.

1.

Dạng 1: Tính tích phân bất định : I = �
x  ax +b dx , với a  0.



1
1
�
ax  �
 ax  b  b�
�.
a
a�

 1

1
�.
� ax  b  1 �
 �
ax

b

b
ax

b

ax

b







�
�
�
a
a�

- Sử dụng đồng nhất thức : x 
- Ta được : x  ax  b



 1

1�
ax  b
dx  �
ax  b dx�


�
�
a�
 1

1
 2�

ax

b
d
ax

b

ax

b
d  ax  b �






�
�
�
a �
- Ta xét 3 trường hợp :
1
2
1
+ Với   2 , ta được : I  2 �
ax  b d  ax  b  �
ax  b d  ax  b �



�
�
a �
1 �
1 �
ln ax  b 
 C.
Suy ra : I  2 �
ax  b�
a �
�

- Khi đó : I 

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 1/10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

1
1 �
d
ax

b


ax

b
d  ax  b �




�
2 �
�
a �

+ Với   1 , ta được : I 

1 �
ax  b  ln ax  b �
� C .
a2 �
 1
�ax  b   2
ax  b �



1 �
� C .

+ Với  ��\  2; 1 , ta được : I  2

�
 2
 1 �
a
�
�
Suy ra : I 

VÍ DỤ 1 : Tính tích phân bất định : I = �
x  1  x

2014

dx .

- Sử dụng đồng nhất thức : x  1   1  x .
- Ta được : x  1  x

�
1   1  x �
�
� 1  x

2014

 1  x
�
 �
 1  x
 1  x



2014

- Khi đó : I 

2014

2015

2015

* Mở rộng : Để tính I 

dx  �
 1  x
d  1  x 

 1  x


  1  x

2014

  1  x

2015

.


dx

 1  x
�

2015

d  1  x

2016

 C.

2016

x  1  x
�

2015

2014

2014

dx , ta có dùng phương pháp đổi biến số.

- Đặt u  1  x � du   dx .
- Suy ra : I   �
 1  u u


2014

- Vậy : I

 1  x


2015

2015



du   �
u

 1  x


2014

u

2015



u2015
u2016

du  

C
2015 2016

2016

2016

C.

1
dx , với x2 +px +q =0
Dạng 2: Tính tích phân bất định : I = �2
x +px +q
có hai nghiệm phân biệt lần lượt là a và b.
1
1
1  x  b   x  a
1 �1
1 �


�


- Biến đổi: 2
�
�
a  b �x  a x  b �

x  px  q  x  a  x  b a  b  x  a  x  b
2.

- Suy ra : I 

�d  x  a d  x  b
� dx
1
dx � 1
�



�
�
�
�
a b�
x

a
x

b
a

b
x

a

x b
�
�
�



�
�
�
�



1
ln x  a  ln x  b  C
ab
1
x a
ln
 C.
- Vậy : I 
ab
x b


1
VÍ DỤ 2 : Tính tích phân bất định : I = �2
dx .
x  4x +3

1
1
1 �1
1 �
dx  �
dx  �

Ta có : I  �2
�
�dx
2
x

3
x

1
x  4x  3
x

3
x

1



�
�
BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN


Trang 2/10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

1
1
x 3
ln x  3  ln x  1  C  ln
 C.
2
2
x1
* Mở rộng : Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số
các phương pháp cơ bản để tính tích phân hàm số hữu tỉ. chúng ta sẽ đi xem xét kỹ hơn
trong chủ đề “Tích phân bất định của hàm số hữu tỉ”.
1
dx .
3.
Dạng 3: Tính tích phân bất định : I = �
x +a + x +b
- Ta dùng phương pháp trục căn thức :



Suy ra : I 




1
x a 

x b
1



x a  x b
1

x a x b
ab





x a 

x b





1
dx


x  a  x  b dx
�x  a  x  b
a  b�
3
3�
�
2
2
1
1
�
�
 x  a   x  b � C
1
1 �
2  x  b 2 dx 

x

a




�
�
�
�
3

3
a b�
a

b
�
�
�
�
� 2
2 �
3
3�
2
�
x  a   x  b � C .

- Vậy : I 
�
3  a  b �
�
- Suy ra : I 

1
dx .
VÍ DỤ 3 : Tính tích phân bất định : I = �
x +2 + x  3
Ta có : I 

1


�x  2 

x 3

dx 





x 2  x 3
1
dx

x  2  x  3 dx
�
5
5�

3
3�
2 �
x

2

x

3





� C .
15 �
�
�
* Mở rộng : Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số
các phương pháp cơ bản để tính tích phân hàm số vô tỉ. chúng ta sẽ đi xem xét kỹ hơn
trong chủ đề “Tích phân bất định của hàm số vô tỉ”.

Suy ra : I 

4.

Dạng 4: Tính tích phân bất định của hàm mũ, logarit … :
1
VÍ DỤ 4 : Tính tích phân bất định : I = � x dx .
1+e



d 1  ex
�
1
1  ex  ex
ex �
Ta có : I  � x dx  �
dx  �

1
dx  �
dx  �
�
x �
1 e
1  ex
1

e
1  ex
�
�
x
Suy ra : I  x  ln 1  e  C .



5.

Dạng 5: Tính tích phân các hàm lượng giác :
1
dx .
VÍ DỤ 5 : Tính tích phân bất định : I = �
sinx.cos2x
1
sin2 x  cos2 x
sin x
1
Ta có : I  �

dx

dx

dx

dx
�sin x cos2 x
�
�
sin x
sin x cos2 x
cos2 x
BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 3/10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

� x�
d�
tan �
d  cos x
2�
sin x
1
�

Suy ra : I  � 2 dx  �
�
dx   � 2
�
x
x
x
cos x
cos x
cos2
tan
tan
2
2
2
1
x
 ln tan  C .
Vậy : I 
cos x
2
* Ghi nhớ : Từ phép tính tích phân trên, ta có công thức tích phân cần nhớ :
1
x
I �
dx  ln tan  C .
sin x
2
1
2


cos3x
VÍ DỤ 6 : Tính tích phân bất định : I = �
dx .
sinx
3
2
1  sin2 x cos x
cos
x
cos
x
.cos
x
Ta có : I 
dx
�sin x dx  � sin x dx  � sin x
d  sin x
�cos x
�

sin
x
cos
x
dx

�
sin x.d  cos x
Suy ra : I  �

�
�
�
sin
x
sin
x
�
�
1
Vậy : I  ln sin x  sin2 x  C .
2
sin4xdx .
VÍ DỤ 7 : Tính tích phân bất định : I = �



2



�
1  cos 2x �
1
Ta có : I  �
sin xdx  �
1  2cos 2x  cos2 2x dx
�
�dx  �
4

� 2
�
�
�
1 �
1  cos 4x �
1�
1� 1
1  2cos 2x 
x  sin 2x  �x  sin 2x�
Suy ra : I  �
� C
�
�dx  �
4 �
2
4�
2� 4
�
�
�



4



3
1

1
x  sin 2x 
sin 4x  C .
8
4
32
cos4xdx .
* Mở rộng : Cách làm trên cũng có thể áp dụng cho tích phân I = �
Vậy : I 

2

�
1  cos 2x �
1
Ta có : I  �
cos xdx  �
1  2cos 2x  cos2 2x dx
�
�dx  �
4
� 2
�
�
�
1 �
1  cos 4x �
1�
1� 1
1  2cos 2x 

x  sin 2x  �x  sin 2x�
Suy ra : I  �
� C
�
�dx  �
4 �
2
4
2
4
�
�
�
�
�



4

Vậy : I 



3
1
1
x  sin 2x 
sin 4x  C .
8

4
32

1
VÍ DỤ 8 : Tính tích phân bất định : I = � 4 dx .
cos x
1
1
dx
1  tan2 x d  tan x
Ta có : I  � 4 dx  � 2 � 2  �
cos x
cos x cos x





BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 4/10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

�
d  tan x  �
tan2 xd  tan x  tan x 

Vậy : I  tan x 

1
tan3 x  C
3

1
tan3 x  C .
3

4

1
VÍ DỤ 9 : Tính tích phân xác định : I =
dx .
�
4
0 cos x

4

� 4
1
Theo VÍ DỤ 8, ta có : I  �
tan x  tan3 x�  .
�
3
�
�0 3
cos3xdx .

VÍ DỤ 10 : Tính tích phân bất định : I = �
cos3 xdx 
Ta có : I  �
Vậy : I 

�
1
1 �1
cos
3
x

3cos
x
dx

sin
3
x

3sin
x


�
� C
4�
4 �3
�


1
3
sin 3x  sin x  C .
12
4

2

VÍ DỤ 11 : Tính tích phân xác định : I = cos3xdx .
�
0


2

� 2
1
3
Theo VÍ DỤ 9, ta có I  �
� sin 3x  sin x�  .
12
4
�
�0 3
* Nhận xét :
Như vậy nếu f(x) là một đa thức lượng giác thì để xác định nguyên hàm của f(x) ta sử
dụng hai phép biến đổi cơ bản :
- Biến đổi tích thành tổng.
- Hạ bậc. Các công thức hạ bậc cần nhớ :
1

1
a) sin2 x   1  cos 2x
b) cos2 x   1  cos 2x
2
2
1  cos 2x
1  cos 2x
c) tan2 x 
d) cot 2 x 
1  cos 2x
1  cos 2x
1
1
e) sin3 x   3sin x  sin 3x
f) cos3 x   3cos x  cos 3x
4
4
Khi đó ta nhận được một đa thức gồm các hàm số lượng giác bậc nhất và việc xác định
nguyên hàm của nó không phải khó khăn.
tannxdx , với n  2.
6.
Dạng 6: Tính tích phân bất định : I = �
n
- Sử dụng đồng nhất thức :
� 1
�
1
tann x  tan2 x.tann 2 x  � 2  1�tann 2 x  tann 2 x.
 tann 2 x
2

cos x
�cos x
�
- Khi đó : I n 

1
1
tann1 x  �
tan n 2 xdx 
tan n1 x  I n  2 .
n1
n 1
BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 5/10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

- Đó là công thức truy hồi, ta sẽ tìm hiểu trong phương pháp “Tích phân truy hồi” sau.
tan 2xdx .
VÍ DỤ 12 : Tính tích phân bất định : I = �
� 1
�
2
tan
xdx



1
�
�dx  tan x  x  C.
�
�
2
cos
x
�
�
tan 3xdx .
VÍ DỤ 13 : Tính tích phân bất định : I = �
Ta có :

� 1
�
xdx  �
tan2 x tan xdx  �
� 2  1�tan xdx
�cos x
�
�tan x
�
tan xd  tan x  �
tan xdx
Suy ra : I  �
� 2  tan x�dx  �
cos
x

�
�
Ta có :

tan
�

3

1
tan2 x  ln cos x  C .
2
7.
Dạng 7: Tính tích phân các hàm phân thức :
1
x
dx .
VÍ DỤ 14 : Tính tích phân xác định : I = �
2
0  x +1
Vậy : I 

- Sử dụng đồng nhất thức : x  x  1  1.
�
1�
1
1
�
�dx 


- Ta được : I  �
2
�
x

1
0
 x  1 �
�
�

1

�
1 �
1
ln
x

1


ln
2

.
�
x  1�
2
�

�0
1

x5
dx .
VÍ DỤ 15 : Tính tích phân xác định : I = �2
0 x +1









5
5
3
3
3
2
2
- Sử dụng đồng nhất thức : x  x  x  x  x  x  x x  1  x x  1  x .
1

1

�3
�

� 1
x �
1 4 1 2 1
1
2
- Ta được : I  �
�x  x  2
�dx  � x  x  ln x  1 �  ln 2  .
4
2
2
4
x  1�
�
�0 2
0�
* Mở rộng : Có thể giải bài toán trên theo phương pháp đổi biến hoặc phương pháp
chia đa thức.
 Phương pháp đổi biến số :
Đặt t  x2 � dt  2xdx .
Đổi cận : Khi x = 0 thì t = 0
Khi x = 1 thì t = 1





1

1


1
� 1
t2
1 �
1 �
1 �1 2
1
dt  �
Suy ra : I  �
�t  1 
�dt  � t  t  ln t  1 �  ln 2 
20�
t  1�
2 �2
4
�0 2
0 2  t  1

 Phương pháp chia đa thức : (Tìm hiểu trong chuyên đề sau).
- Do bậc tử (bậc 5) lớn hơn bậc mẫu (bậc 2), nên ta có thể áp dụng phương pháp chia tử
cho mẫu.
C
- Khi đó biểu thức dưới dấu tích phân trở thành dạng (tổng quát): A  Bxn  ...  2
.
x 1
BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 6/10



PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

b

b
C
dx

C
.arctan
x
 C  arctan b  arctan a .
�
2
a
x

1
a
- Các tích phân còn lại tính được.

- Trong đó :

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 7/10



PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH, XÁC ĐỊNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp
2
---oOo--I. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 TÍNH CÁC TÍCH PHÂN :
b

I =�
f  x  dx và I = �
f  x  dx
a

1. Phương pháp chung :
- Bước 1: Chọn x    t , trong đó   t là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
- Bước 2: Lấy vi phân dx   '  t dt .
- Bước 3: (Nếu là tích phân xác định) Đổi cận  và  tương ứng theo a và b.
- Bước 4: Biểu thị f  x dx theo t và dt . Giả sử rằng f  x dx  g  t dt .
- Bước 5: Khi đó I 



g  t dt hoặc I  �
g  t dt . Tính I.
�



2. Các dấu hiệu dẫn tới việc đặt ẩn phụ :
Dấu hiệu

Cách đặt


Đặt x  a sin t , với  �t �
2
2
Hoặc x  a cos t , với 0 �t �

a2  x2

�  �
 ; �\  0
với t ��
� 2 2�
sin t
� �
a
�
0;

\
Hoặc x 
với t ��
� � �2 �
�

cos t
Đặt x 

x2  a2

a x
hoặc
a x

a x
a x

a

Đặt x  a cos 2t
2
Đặt x  a   b  a sin t

 x  a  b  x

3. Các ví dụ :
VÍ DỤ 1 : Tính các tích phân bất định sau :



t .
2
2
dx
Suy ra : dx  cos tdt và

1  x2

I =�



1
1 x

2



3

dx

.

Đặt x  sin t , với 





3



cos t

dt
dt 
 d  tan t
3
cos t
cos2 t

d  tan t  tan t  C .
Khi đó : I  �
sin t
x

Mà : x  sin t � cos t  1  sin2 t  1  x2 . Suy ra : tan t 
.
cos t
1  x2
BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 8/10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

Vậy : I 

x
1  x2

GIẢI TÍCH 1


 C.
I =�

VÍ DỤ 2 : Tính các tích phân bất định sau :



t .
2
2
1
1
dt và
Suy ra : dx 
cos2 t
1  x2



1
1+x2



3

dx

.


Đặt x  tan t , với 





cos tdt  sin t  C 
Khi đó : I  �

3

cos3 t
dx 
dt  cos tdt
.
cos2 t
x

 C.

1 x

2

* Ghi nhớ 1:
Khi ta đặt x  tan t , với 



t .

2
2

� cos2 t  cos t
�
Suy ra : cos t  0 � �
1
sin
t

tan
t
.cos
t

tan
x
.

�
2
1

tan
t
�
Mà : cos t  1  sin2 t  1 

x2


1  x2

 Đặt x  tan t , ta suy ra : sin t 

1
1 x

x
1  x2

2

x
1  x2

.

và cos t 

1
1  x2

.

* Ghi nhớ 2:
Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tích phân tổng quát có dạng :
1
I �
dx
2k  1

, với k ��
2
2
a x





x2

dx (với x > 1).
VÍ DỤ 3 : Tính các tích phân bất định sau : I = � 2
x 1
2cos 2t
1

Đặt x 
, 0  t  . Suy ra : dx  
dt và
sin 2t
4
sin2 2t
2 cos2 t  sin2 t
x2
2
dx  
dt  
dt
3

3
3
2
sin
t
8sin
t
cos
t
x 1
�
1�
1
1
2
 �
cot t � 2  tan t � 2 
�dt
4�
sin t
cos t sin t cos t �







�
1�

1
1
2
cot t � 2  tan t � 2 
dt
�
2 �
4�
sin t
cos t tan t cos t �
BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 9/10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐH

GIẢI TÍCH 1

2d  tan t �
1�
 cot t.d  cot t  tan t.d  tan t 
�
�
4�
tan t �
�
�
d  tan t �
1�

I  �
 cot t.d  cot t  �
tan t.d  tan t  2�
�
4 ��
tan t �
�
�
�
1� 1
1
 �
 cot 2 t  tan2 t  2ln tan t � C
4� 2
2
�


Khi đó :





1
1
cot 2 t  tan2 t  ln tan t  C
8
2
1

1
 x x2  1  ln x  x2  1  C
2
2


VÍ DỤ 4 : Tính các tích phân xác định sau : I =

2
2

x2

�1  x
0

2

dx .

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Trang 10/10