ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐOÀN KHẮC THÀNH

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN
NHIỆT MỘT CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐOÀN KHẮC THÀNH

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN
NHIỆT MỘT CHIỀU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

1

Mục lục
Mở đầu
1

1

Cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt
1.1 Khái niệm về nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Nhiệt năng-Nhiệt lượng . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Nhiệt năng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Nhiệt lượng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Trao đổi nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Dòng nhiệt- Định luật Fourier . . . . . . . . . . .
1.3.1 Dòng nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Định luật Fourier . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Các nguyên lý của nhiệt động lực học . . . . . .
1.4.1 Nguyên lý thứ nhất . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Nguyên lý thứ hai . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Nguyên lý thứ ba . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương trình truyền nhiệt và các bài toán . . .
1.5.1 Thành lập phương trình . . . . . . . . . .
1.5.2 Các điều kiện biên và điều kiện đầu . . .
1.5.3 Bài toán đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . .

2 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville
2.1 Chuỗi Fourier thông thường . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier . . . . . . .
2.1.2 Hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . .

2.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin . .
2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
5
5
5
6
7
7
7
7
7
8
8
9
9

10
10

.
.
.
.
.
.
.

12
12
12
13
13
13
14
15


2

2.4

2.5

2.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval .
Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville . . . . . .

2.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số ví dụ về hàm riêng và trị riêng cho toán
hai trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
tử vi phân cấp
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

.
.
.
.
.

15
16
19
19
21

. 22

. 22
. 25

3 Phương trình truyền nhiệt trên khoảng hữu hạn
3.1 Tích phân năng lượng và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . .
3.1.1 Tích phân năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Tính duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt . . .
3.2 Nguyên lý cực trị đối với phương trình truyền nhiệt . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình truyền nhiệt . . . . .
3.2.2 Nguyên lý cực trị đối với phương trình truyền nhiệt của
thanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Một số kết quả khác liên quan đến nguyên lý cực trị của
phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Phương trình thuần nhất (Truyền nhiệt trong thanh hữu hạn) . .
3.4 Truyền nhiệt trong hình trụ tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Nguyên lý Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất trên khoảng hữu
hạn với các điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Trường hợp phương trình và các điều kiện biên không thuần nhất
3.8 Những thay đổi của bài toán truyền nhiệt cơ bản . . . . . . . . . .
3.8.1 Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Giải bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên không thuần
nhất (độc lập thời gian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
30
30
31

31
31
32
34
37
43
45
45
46
46
52
54
54
56

4 Phương pháp biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy của phương
trình truyền nhiệt
58
4.1 Định nghĩa biến đổi Fourier và các tính chất . . . . . . . . . . . . 58


3

4.2
4.3

4.4

4.1.1 Biến đổi Fourier trong L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 Biến đổi Fourier trong L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính duy nhất nghiệm của phương truyền nhiệt trong thanh dài
vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán Cauchy cho phương truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn
4.3.1 Công thức Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt . . . . . . .
Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

58
59
61
62
64
64
68
69

Kết luận

73

Tài liệu tham khảo

74


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ trực tiếp về lý thuyết
với các bài toán vật lý. Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng
thường gặp trong vật lý đã dẫn tới việc hình thành một ngành mới của giải tích,
phương trình vật lý toán vào giữa thế kỷ XVIII. Các phương pháp nghiên cứu
và giải quyết các bài toán cụ thể của vật lý toán đối với các bài toán về phương
trình truyền nhiệt có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển tổng quát phương
trình đạo hàm riêng vào cuối thế kỷ XIX. Điển hình là phương pháp biến đổi
Fourier để giải bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt của nhà toán học
và nhà vật lý nổi tiếng người Pháp Joseph Fourier (21/3/1768 - 16/5/1830).
Bên cạnh đó, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng cũng có mối quan hệ mật
thiết với các ngành toán học khác như giải tích hàm và lý thuyết hàm, tô pô,
đại số, giải tích phức. Một mặt lý thuyết phương trình đạo hàm riêng sử dụng
rộng rãi các khái niệm cơ bản, phương pháp của các lĩnh vực toán học này, mặt
khác nó cũng ảnh hưởng lại các vấn đề và hướng nghiên cứu của chúng.
Phương trình truyền nhiệt là một trong những phương trình cơ bản và quan
trọng của lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán. Phương
trình truyền nhiệt mô tả các hiện tượng về sự truyền nhiệt trong các vật, sự
khuếch tán của các phân tử không khí, sự truyền tải các tạp chất trong khí
quyển, v.v.., và thuộc dạng parabolic. Các bài toán đối với các phương trình
thuộc dạng parabolic thường là rất khó vì cùng với các biến không gian nó còn
chứa biến thời gian, nhất là các phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến. Do
tính phức tạp nói trên, nhiều tính chất quan trọng và lý thú của nghiệm các
phương trình truyền nhiệt chủ yếu được phát hiện đối với phương trình truyền
nhiệt cấp hai và có số chiều thấp. Một số hiện tượng nhiệt có số chiều bất kỳ có
thể được nghiên cứu một cách tương tự như đối với trường hợp một chiều.
Trong thực tế có nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý được mô tả dưới dạng
phương trình truyền nhiệt tuyến tính cấp hai một chiều. Do đó việc tìm hiểu


2


sâu hơn về phương trình truyền nhiệt thông qua phương trình truyền nhiệt cấp
hai một chiều là cần thiết. Đó chính là đề tài học tập và nghiên cứu của luận
văn này.
2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và đọc các tài liệu, giáo trình trong nước và quốc tế liên quan đến
phương trình truyền nhiệt và phương pháp giải phương trình truyền nhiệt.
3. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn là học tập, nghiên cứu sâu hơn về phương trình truyền
nhiệt và trình bày lý thuyết của phương trình truyền nhiệt không gian một chiều
với các vấn đề liên quan như: Cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt; chuỗi
Fourier và các bài toán Sturm-Liouville; phương trình truyền nhiệt trên khoảng
hữu hạn và phương pháp biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy của phương trình
truyền nhiệt.
4. Bố cục của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung chính, kết luận và tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt
Chương này trình bày các khái niệm về nhiệt độ, nhiệt năng, các nguyên lý
của nhiệt động lực học; giới thiệu Định luật Fourier về dòng nhiệt, trên cơ sở
đó thành lập phương trình truyền nhiệt; trình bày các bài toán biên-giá trị ban
đầu đối với phương trình truyền nhiệt.
Chương 2: Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville
Chương này trình bày những kiến thức bổ trợ cần thiết cho các vấn đề như:
Chuỗi Fourier và khai triển chuỗi Fourier theo các hàm riêng của các bài toán
Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng trong phương pháp tách biến giải các bài
toán biên của các phương trình đạo hàm riêng.
Chương 3: Phương trình truyền nhiệt trên khoảng hữu hạn
Trong chương này trình bày phương trình truyền nhiệt cấp hai một chiều
thuần nhất và không thuần nhất. Những vấn đề cơ bản được đề cập trong tích

phân năng lượng và ứng dụng vào chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương
trình truyền nhiệt, nguyên lý cực trị và các ứng dụng. Nội dung chính của chương
này là trình bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên của phương trình
truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trên khoảng hữu hạn. Nội dung
của chương trình bày nhiều ví dụ cụ thể để minh họa.


3

Chương 4: Phương pháp biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy của
phương trình truyền nhiệt
Chương này trình bày lý thuyết tóm lược của biến đổi Fourier trong các
không gian L1 (R) và L2 (R). Nội dung chính của chương này là vận dụng biến
đổi Fourier giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất mà
mấu chốt là công thức Poisson. Tiếp đó là trình bày công thức nghiệm và tính
trơn của nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không
thuần nhất.
Nội dung của luận văn này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1] - [7]
dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện
Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến Thầy!
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô của trường Đại học Khoa học Thái
Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học Khoa học
Thái Nguyên, Phòng đào tạo trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã tận tình
giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn này!
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 4 năm 2014
Tác giả

Đoàn Khắc Thành



4

Chương 1
Cơ sở nhiệt học và phương trình
truyền nhiệt
Chương này trình bày cơ sở nhiệt học và phương trình truyền nhiệt. Các kiến
thức của chương này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [5].

1.1

Khái niệm về nhiệt độ

Nhiệt phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ như, lửa, ánh sáng, điện hay khi va
chạm, hoặc cọ xát giữa các vật. Nhiệt độ là một khái niệm vật lý dùng để mô
tả cảm nhận nhiệt của một vật khi nó tiếp xúc với nguồn nhiệt, được dùng để
đo mức độ nhiệt. Thí dụ, như buổi trưa ta cảm thấy ấm do cơ thể hấp thụ năng
lượng nhiệt từ ánh sáng mặt trời.
Nhiệt độ là đơn vị đo lường cho biết mức độ nhiệt đo bằng đơn vị độ (o ).
Có ba hệ thống đo lường nhiệt độ: nhiệt độ C(Celsius), nhiệt độ K (Kelvin) và
nhiệt độ F (Farenheit). Các hệ thống nhiệt độ này được chuyển đổi như sau:
1K = 1o C, K =o C + 273,

o

F =o C × 1, 8 + 32.

• Vào năm 1742, nhà thiên văn học người Thụy Điển là Anders Celsius đề xuất


một thang nhiệt độ, trong đó băng tan ở Oo và nước sôi ở 100o . Người ta gọi
thang nhiệt độ này là thang bách phân vì có 100 độ chia giữa hai điểm cố định
đã nói. Nhiệt độ trên thang độ này là o C. Nhược điểm của thang nhiệt Celsius
là nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ đóng băng trên lý thuyết của nước có giá trị âm.
•. Độ Fahrenheit được nghĩ ra vào đầu Thế kỷ XVIII. Trên thang đo này, điểm
băng là 32o và điểm hơi nước là 212o . Thang đo Farenheit thỉnh thoảng vẫn được
sử dụng trên bản tin thời tiết ở Mĩ, còn trong khoa học nó đã thuộc về lịch sử.
• Vào năm 1846, William Thomson (sau này là huân tước Kelvin, nước Anh)


5

đề xuất một thang đo nhiệt độ bắt đầu tại nhiệt độ thấp nhất có thể có trên
lý thuyết, độ không tuyêt đối. Thang đo nhiệt này được gọi là nhiệt giai tuyệt
đối, hay nhiệt giai Kelvin. Các độ chia trên thang đo này được gọi là Kelvin và
được ký hiệu là K (không phải là o K ). Một độ chia Kelvin bằng cỡ với một độ
chia Celsius, tức là K =o C.

1.2
1.2.1

Nhiệt năng-Nhiệt lượng
Nhiệt năng

Nhiệt năng, hay còn gọi là nhiệt, là dạng năng lượng dự trữ trong vật chất
nhờ vào sự chuyển động hỗn loạn của các hạt vật chất cấu tạo nên vật.
Trong vật chất, các phân tử chuyển động hỗn loạn không ngừng, do đó chúng
có động năng. Động năng này bao gồm động năng chuyển động của khối tâm
của các phân tử, cộng với động năng trong dao động của các nguyên tử cấu tạo
nên phân tử quanh khối tâm của chúng.

Nhiệt năng có quan hệ chặt chẽ với nhiệt độ. Nhiệt độ của vật càng cao thì
các phân tử cấu tạo nên vật chuyển động càng nhanh, nên nhiệt năng của vật
càng lớn. Nhiệt năng có thể được trao đổi giữa các vật, hay giữa các hệ thống
do sự khác biệt về nhiệt độ.
Nhiệt cũng giống như công, luôn gắn liền với các quá trình biến đổi. Vì vậy
có thể coi nhiệt là một đại lượng quá trình, khác với các đại lượng trạng thái.

1.2.2

Nhiệt lượng

Nhiệt năng có thể được tạo ra hoặc thay đổi. Lượng nhiệt năng dự trữ hay
chuyển tải trên các vật còn được gọi là nhiệt lượng và thường được ký hiệu trong
các tính toán bằng chữ Q.
Nhiệt lượng chỉ truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp hơn.
Giả sử một vật đồng chất có nhiệt độ To , khi hấp thụ nhiệt, nhiệt độ của vật
sẽ là T. Thay đổi nhiệt độ trên vật là ∆T = T − To . Nếu khối lượng của vật là
m(kg), nhiệt dung riêng của chất làm vật là c(J/kgK). Khi đó vật sẽ hấp thụ
một nhiệt lượng là:
Q = cm∆T (J).
(1.1)
Dạng vi phân của nhiệt lượng
dQ = cmdT.

(1.2)


6

1.2.3


Trao đổi nhiệt

Trao đổi nhiệt là sự truyền nhiệt năng khi có sự chênh lệch nhiệt độ. Lượng
nhiệt năng trong quá trình trao đổi nhiệt được gọi là nhiệt lượng và là một quá
trình biến thiên. Quá trình trao đổi nhiệt diễn ra theo hướng đến vùng lạnh hơn.
Cân bằng nhiệt là sự trao đổi nhiệt giữa hai hay nhiều vật tham gia quá trình
trao đổi nhiệt cho đến khi đạt được cùng một nhiệt độ chung.
Trao đổi nhiệt được diễn ra dưới ba hình thức: dẫn nhiệt, đối lưu nhiệt và
bức xạ nhiệt.
• Dẫn nhiệt (tán xạ nhiệt) là sự truyền động năng giữa các nguyên tử hay
phân tử lân cận mà không kèm theo sự trao đổi phần tử vật chất. Hình thức
trao đổi nhiệt luôn diễn ra từ vùng có năng lượng cao hơn (với nhiệt độ cao
hơn) đến vùng có mức năng lượng thấp hơn (với nhiệt độ thấp hơn). Sự truyền
nhiệt trong kim loại thông qua sự chuyển động của các electron tự do và cấu
trúc của mạng tinh thể cũng là sự dẫn nhiệt. Trong các chất khí và chất lỏng,
dẫn nhiệt là sự va chạm và khuếch tán của các phân tử chuyển động ngẫu nhiên
của chúng.
Trong một quy mô nhỏ, dẫn nhiệt xảy ra khi các phân tử, nguyên tử hay các
hạt nhỏ hơn (như electron) ở vùng nóng, dao động nhanh tương tác với các hạt
lân cận (ở vùng lạnh hơn, dao động chậm hơn), chuyển giao một số động năng
sang các hạt dao động chậm. Nói cách khác, sức nóng được trao đổi giữa các
nguyên tử hay phân tử lân cận khi chúng dao động và va chạm với nhau.
• Đối lưu nhiệt là quá trình trao đổi nhiệt được thực hiện nhờ sự chuyển
động của các chất lỏng hay khí giữa các vùng có nhiệt độ khác nhau, hoặc sự
truyền nhiệt từ một hệ rắn sang một hệ lỏng (hoặc khí, gọi chung là chất lưu)
và ngược lại. Người ta phân biệt giữa đối lưu tự nhiên (dòng vật chất chuyển
động trong chất lưu) và đối lưu cưỡng bức (dòng chuyển động do ngoại lực tác
động, ví dụ như quạt, bơm, v.v..)
• Bức xạ nhiệt là sự trao đổi nhiệt thông qua sóng điện từ. Bức xạ nhiệt

có thể truyền qua mọi loại vật chất cũng như qua chân không. Tất cả các vật
thể có nhiệt độ lớn hơn độ không tuyệt đối (0 Kelvin) đều bức xạ nhiệt. Trong
bức xạ nhiệt, dòng nhiệt không chỉ truyền từ nơi nóng sang nơi lạnh mà còn
theo chiều ngược lại. Tuy nhiên, vì dòng nhiệt từ nóng sang lạnh luôn mạnh
hơn dòng nhiệt từ lạnh sang nóng, nên dòng nhiệt tổng hợp luôn theo chiều từ
nóng sang lạnh. Trong bức xạ nhiệt, dòng nhiệt được tính thông qua Định luật
Stefan-Boltzmann.


7

Lý thuyết về sự trao đổi nhiệt có ứng dụng rất lớn trong hoạt động của nhiều
thiết bị và hệ thống. Một vài ví dụ: tản nhiệt cho động cơ điện, sưởi ấm trong
mùa đông, thiết bị truyền dẫn v.v..

1.3

Dòng nhiệt- Định luật Fourier

Định luật Fourier là định luật cơ bản cho hiện tượng dẫn nhiệt. Trước hết ta
cần khái niệm về dòng nhiệt.

1.3.1

Dòng nhiệt

Q
J
× n ( 2 ),
(1.3)

S.s
m .s
trong đó n là véc tơ pháp tuyến đơn vị của mặt S có chiều dương là chiều của
q=

dòng nhiệt năng chuyển qua mặt này. Sau này ta dùng nét đậm để ám chỉ các
véc tơ và ma trận, ví dụ, như q = q.

1.3.2

Định luật Fourier

Định luật Fourier: Nhiệt lượng trong thời gian ∆t chuyển qua diện tích đủ
nhỏ ∆S bên trong vật được xác định theo thông thức
∆Q = −K(x, u)

∂u
.∆S∆t
∂n

(1.4)

trong đó n là pháp tuyến đơn vị của ∆S hướng theo hướng truyền nhiêt, K(x, u)
là hệ số dẫn nhiệt, u(x, t) là nhiệt độ ở tại điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ở thời
điểm t.
Độ dẫn nhiệt K thường được coi là hằng số, nhưng thực tế nó có thể thay
đổi nhỏ theo nhiệt độ và các yếu tố khác. Trong vật liệu không đẳng hướng, độ
dẫn nhiệt có thể thay đổi theo hướng. Trong vật liệu không đồng nhất, độ dẫn
nhiệt K thay đổi theo điểm trong vật.


1.4

Các nguyên lý của nhiệt động lực học

1.4.1

Nguyên lý thứ nhất

Nguyên lý thứ nhất, hay Định luật 1 của nhiệt động lực học, chính là định
luật bảo toàn năng lượng áp dụng vào hiện tượng nhiệt.


Luận vận đậy đu ở file:Luận vận Full